专题03 勾股定理的实际应用【重难点培优：知识梳理+12大题型+压轴真题】-2024-2025学年八年级数学下册人教版

专题03 勾股定理的实际应用重难点题型分类 【题型1：梯子滑落问题】 【题型2：小鸟飞行问题】 【题型3：大树折断问题】 【题型4：旗杆高度问题】 【题型5：水杯中的筷子问题】 【题型6：航海问题】 【题型7：河宽问题】 【题型8：台阶地毯问题】 【题型9：汽车超速问题】 【题型10：受台风影响问题】 【题型11：选址问题】 【题型12：压轴真题】 梯子滑落问题题型1 1．如图，一架10米长的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙米． (1)此时梯子顶端A离地面多少米？ (2)设梯子顶端到水平地面的距离为m米，底端到垂直墙面的距离为n米．若，根据经验，可知当时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子顶端A下滑3米到C处，请问这时使用是否安全？ 2．与危险相伴，与烈火为伍，致敬和平年代的英雄，最美的逆行者——中国消防员．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为24米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方6米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米? 3．综合与实践 问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离，． 独立思考： （1）这架云梯顶端距地面的距离有多高？ 深入探究： （2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），，云梯的底部B在水平方向滑动到的距离也是吗？若是，请说明理由；若不是，请求出的长度． 问题解决： （3）在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头进行救援？ 4．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在的正下方物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离，物体到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 小鸟飞行问题题型2 1．姑婆山国家森林公园古窑冲猴趣园，调皮可爱的猴子随处可见．如图：有两只猴子爬到—棵树上的点B处，且，突然发现远方A处有好吃的东西，其中一只猴子沿树爬下走到离树处的池塘A处，另一只猴子先爬到树顶D处后再沿缆绳线段滑到A处，已知两只猴子所经过的路程相等，设为． (1)请用含有x的整式表示线段的长为 m； (2)求这棵树高有多少米？ 2．如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 3．数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为米． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12米，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 大树折断问题题型3 1．如图，一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 2．如图，一根垂直于地面的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离．    (1)求旗杆折断处点距离地面的高度； (2)工人在修复的过程中，发现在折断处的下方1.4m的点处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点处吹断，旗杆的顶部落在水平地面上的处，形成一个，请求出的长． 3．“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部三尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈尺） 【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，其中一直角边长3尺，其余两边长度之和为10尺．求折断后的竹子高度． 4．如图，为一棵大树，在树上距地面10米的处有两只猴子，他们同时发现处有一筐水果，一只猴子从处往上爬到树顶处，又沿滑绳滑到处，另一只猴子从滑到，再由跑到处，已知两只猴子所经路程都为15米，求树高． 旗杆高度问题题型4 1．某兴趣小组在进行旗杆高度测量活动时，由《九章算术》中“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”启发，设计了如下测量方式：已知旗杆与地面垂直，将升旗的绳索自然下垂，测得绳索比旗杆长1米，拉直绳索，使绳索下端点A落在地面上，如图所示，测得点A与旗杆底端点B的距离为6米．请根据测量数据计算旗杆的高度． 2．如图是某校操场上的旗杆，小明和小华想测量旗杆高度，他们设计的测步骤如下： ①如图甲，底座截面是长方形，测出长方形的长，高，旗杆正好在底座的正中间（B是的中点）；（旗杆的直径忽略不计）将旗杆的绳子拉直垂直于底座时，发现拖在底座上的绳子长度恰好为的长； ②如图乙，将刚才拖到地上的绳子拉直至地面M处，使绳子底端恰好接触地面，测量出长为． 请用以上数据计算出该校操场上旗杆的高度． 3．为测量学校旗杆的高度，学校“华罗庚”数学兴趣小组的同学经过讨论，设计了以下两种方案： 方案一 方案二 测量工具 含角的教学用直角三角板、足够长的皮尺． 升旗用的绳子、足够长的皮尺． 测量方案 示意图 实施方案及 测量数据 在阳光的照射下，旗杆落在围墙上的影子为，测得为米，旗杆底部B处与围墙的距离为米．利用直角三角板得到此时太阳光与水平地面的夹角恰好是． 升旗用的绳子从旗杆顶端垂落地面后还多出，将绳子斜拉直后，使得绳子底端C刚好接触地面，此时测得． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②旗杆半径忽略不计． ①实施过程中，旗杆顶端绳子保持不动． 请从以上两种方案中任选一种，计算旗杆的高度． 水杯中的筷子问题题型5 1．如图，圆柱形茶杯内部底面的直径为，若将长为的筷子沿底面放入杯中，茶杯的高度为，则筷子露在茶杯口外的部分的最短长度是多少？ 2．如图在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面的部分为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即），已知红莲移动的水平距离为3米，则湖水深为多少？ 3．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 航海问题题型6 1．如图，在海平面上有，，三个标记点，其中在的北偏西方向上，与的距漓是40海里，在的南偏西方向上，与的距离是30海里． (1)求点与点之间的距离； (2)若在点处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为25海里，此时在点处有一艘轮船准备沿直线向点处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向处的过程中，有多少小时可以接收到信号？ 2．上午8时，一条渔船从港口A出发，以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从望海岛C，测得（如图所示）． (1)求海岛B到海岛C的距离； (2)这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？ (3)渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 河宽问题题型7 1．四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，． (1)求支渠的长度．（结果保留根号） (2)若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？ 2．有一辆载有集装箱的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米．这辆卡车能否通过此桥洞？通过计算说明理由． 台阶地毯问题题型8 1．某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 2．如图，楼梯的高度为，楼梯坡面的长度为，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？（精确到） 汽车超速问题题型9 1．如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，已知米． (1)若一辆汽车以的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？ (2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由． 2．交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组走进交警大队，了解了测试汽车速度的方法．案例如下：如图，一辆小汽车在街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪的正前方米的点处，过了秒后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为米，，已知该段城市街道的限速为/，请判断这辆小汽车是否超速，并说明理由． 受台风影响问题题型10 1．如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 2．庆庆家附近有一条东西走向的公路，一天一辆宣传车从这条路上经过．如图，从监测中心A处测得这辆宣传车从B点开始沿所在直线由东向西运动，已知点C为庆庆家的位置，点C与监测中心A的距离为，与这辆宣传车的起始位置B的距离为，且，过点C作于点D，以这辆宣传车为圆心，半径为的圆形区域内会听到宣传车的声音． (1)求监测点A与宣传车的起始位置B之间的距离； (2)若这辆宣传车的行驶速度为，则庆庆家能听到多长时间的宣传车声音？ 3．如图，经过村和村（将村看成直线上的点）的笔直公路旁有一块山地正在开发，现需要在处进行爆破．已知处与村的距离为300米，处与村的距离为400米，且． (1)求两村之间的距离； (2)为了安全起见，爆破点周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 4．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域处，在沿海城市的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东方向向移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过4级，则称受台风影响．（提示：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半） 试问： (1)城市是否会受到台风影响？ (2)若会受到台风影响，该城市受到台风影响的最大风力为几级？ (3)若会受到影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 选址问题题型11 1．如图所示，铁路上有A，B两点（看作直线上两点）相距，C，D为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为A，B，，，现在要在铁路旁修建一个检修点E，使得C，D两村到检修点E的距离相等（点A，B，C，D，E在同一平面）． (1)请用尺规作图，在图中作出检修点E的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求检修点E应建在距A点多少千米处？ 2．如图，小区A与公路l的距离米，小区B与公路l的距离米，已知米． (1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求的长； (2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求的最小值，求出此最小值． 3．【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）向中若时，，，，，设，求的值． 压轴真题题型12 1．（2024八年级上·全国·专题练习）在参加社会实践活动中，很多人带了拉杆箱．如图是桂老师带的拉杆箱的示意图，箱体长，拉杆最大伸长距离，在箱体的底端装有一圆形滚轮，其直径为，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的处，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移到处．请求出桂老师手的位置离地面的距离（假设点的位置保持不变）． 2．（24-25八年级上·广东梅州·期中）如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东的方向，航速是12海里/时，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？ 3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸莺”．又到了放风筝的最佳时节．如图，小亮的风筝在点C处，点A表示线轴所在的位置，已知引线的长度为10米，两处的水平距离为8米（风筝本身的长、宽忽略不计）．现要使风筝沿竖直方向上升9米至处，若位置不变，引线的长度应加长多少米？ 4．（24-25九年级上·海南儋州·期末）如图，早上一渔船以50海里/时的速度从海港A出发沿正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，航行2个小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上，同时测得灯塔P正东方向的避风港Q在B的北偏东方向上． (1)填空： __________，__________海里； (2)求海港A与灯塔P之间的距离；（结果保留根号） (3)天气预报显示当天台风将登陆渔船所在海域，为安全起见，渔船立即沿方向加速驶向避风港Q．出于安全考虑，渔船至少需要比台风到达所在海域的时刻提前1个小时抵达避风港Q，求渔船加速后的最小速度．（结果保留整数，参考数据：，，） 5．（24-25八年级下·全国·单元测试）新情境  如图①，某厂家设计了一种双层长方体垃圾桶，，侧面示意图如图②所示，为隔板，等分上，下两层．将下方内桶绕底部轴旋转打开后，内桶刚好卡在隔板边沿，侧面示意图如图③所示，求的长度．（板材厚度忽略不计） 6．（24-25八年级上·重庆万州·期末）放风筝是清明节的节日习俗，寓意将烦恼和疾病随着风筝一起放飞，此外，放风筝还是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系．某校八年级几名同学在学习了“勾股定理”之后，想用此定理来测量风筝的垂直高度．如图，牵线放风筝的同学站在处，风筝在处，先测得他抓线的地方与地面的距离为1.5米，然后测得他抓线的地方与风筝的水平距离为15米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米． (1)求此时风筝的垂直高度的长； (2)若放风筝的同学站在点不动，风筝沿的方向继续上升到处，风筝线又放出了8米，请求出风筝沿方向上升的高度的长． 7．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图：某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为，现要为喷泉铺设供水管道和，供水点M在小路上，供水点 M 到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长； (2)求喷泉B到小路的最短距离． 8．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方120米的处，过了8秒，小汽车到达处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为200米． (1)求的长； (2)“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由（参考数据：） 9．（24-25八年级下·重庆·开学考试）在学习了勾股定理后，小品对他家附近的一个公园里的音乐喷泉池产生了测量兴趣，如图，音乐喷泉池为四边形，在连线上有一地方性标志物，据了解，修建该喷泉池时要求，四边形为人行观赏步道，小品通过仪器测量得到，在的正西方，在的东北方向，且，在的正南方150米处，恰好又在的南偏东方向，由此他脑海里产生了以下数学问题，请你帮他解决一下．（参考数据：，，，） (1)求、之间的距离（结果保留根号）； (2)小品和姐姐同时从点出发，沿着不同的方向到点汇合，其中小品沿着①：的方向步行，姐姐沿着②的方向步行，通过计算说明哪一条路更近？（结果精确到个位） 10．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知某学校A与直线公路相距300米（即米，），且与该公路上一个车站D相距500米（即米），现要在公路边建一个超市C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么该超市 C 与车站D的距离是多少米? 11．（22-23八年级下·北京东城·期末）如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面， 并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图； ②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图． 小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图点处（）． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）； (2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 12．（23-24八年级下·广东潮州·期末）某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图 测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为米． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米． ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为米． 实践探究小组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务． (1)已知：如图，在中，．求线段的长． (2)如果小明想要风筝沿方向再上升米，长度不变，则他应该再放出多少米线？ 13．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）【阅读材料】调查数据显示，某小区居民平均每周去卖场的频数F与卖场的占地面积s（单位：）以及卖场与居住小区的距离h（单位：m）有关，如图1是频数F与之间关系的散点图．根据散点图可知，F与之间关系可合理估计为（k 为定值，）； 【理解应用】如图2，乙卖场（B点）位于甲卖场（O点）的正东方向，安居小区（A点）位于甲卖场的东偏南方向，过点A作的垂线段，已知与分别表示的实际距离为与，甲卖场的占地面积为．记乙卖场的占地面积为p，甲乙两卖场之间的距离为q，安居小区居民平均每周去甲卖场与乙卖场的频数分别为与． (1)求；（用含k的代数式表示） (2)若，，求p的范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 勾股定理的实际应用重难点题型分类 【题型1：梯子滑落问题】 【题型2：小鸟飞行问题】 【题型3：大树折断问题】 【题型4：旗杆高度问题】 【题型5：水杯中的筷子问题】 【题型6：航海问题】 【题型7：河宽问题】 【题型8：台阶地毯问题】 【题型9：汽车超速问题】 【题型10：受台风影响问题】 【题型11：选址问题】 【题型12：压轴真题】 梯子滑落问题题型1 1．如图，一架10米长的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙米． (1)此时梯子顶端A离地面多少米？ (2)设梯子顶端到水平地面的距离为m米，底端到垂直墙面的距离为n米．若，根据经验，可知当时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子顶端A下滑3米到C处，请问这时使用是否安全？ 【详解】（1）解：因为，米，米， 所以（米）． 答：此时梯子顶端离地面8米； （2）解：因为梯子顶端下滑了3米到处， 所以梯子距离地面的高度（米）， 所以（米）， 所以， 因为当时，梯子最稳定，使用时最安全， 又，即． 所以这时使用不安全． 2．与危险相伴，与烈火为伍，致敬和平年代的英雄，最美的逆行者——中国消防员．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为24米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方6米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米? 【详解】（1）解：在中， 米，米， 米 （米）． 答：处与地面的距离是米； （2）在中， 米，（米）， 米 （米）． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 3．综合与实践 问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离，． 独立思考： （1）这架云梯顶端距地面的距离有多高？ 深入探究： （2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），，云梯的底部B在水平方向滑动到的距离也是吗？若是，请说明理由；若不是，请求出的长度． 问题解决： （3）在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头进行救援？ 【详解】解：（1）在中，， ， 答：这架云梯顶端距地面的距离有； （2）云梯的底部B在水平方向滑动到的距离不是， 由（1）可知， ． 在中，， ， ； （3）若云梯底端离墙的距离刚好为云梯长度的， 则能够到达墙面的最大高度为． ， ， 在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员． 4．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在的正下方物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离，物体到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【详解】（1）解：由题意得，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． （2）解：由题意得，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 小鸟飞行问题题型2 1．姑婆山国家森林公园古窑冲猴趣园，调皮可爱的猴子随处可见．如图：有两只猴子爬到—棵树上的点B处，且，突然发现远方A处有好吃的东西，其中一只猴子沿树爬下走到离树处的池塘A处，另一只猴子先爬到树顶D处后再沿缆绳线段滑到A处，已知两只猴子所经过的路程相等，设为． (1)请用含有x的整式表示线段的长为 m； (2)求这棵树高有多少米？ 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． （2）解：由题意知，则在中， 有， ∴， 解得：， ∴． 答：这棵树高有3.2米 2．如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 【详解】（1）由题意知， ∵米，米． 在中 米， （2）设， 到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同， 则，， 在中，， ， 解得， 小鸟下降的距离为米． 3．数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为米． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12米，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【详解】解：（1）由题意得，，米，米， 在中，由勾股定理，可得：（米， （米． 答：线段的长为米． （2）如图，当风筝沿方向再上升12米， 所以米， 在中，，米， 由勾股定理，可得（米， 则应该再放出（米， 答：他应该再放出8米长的线． 大树折断问题题型3 1．如图，一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 【详解】如下图所示， ， 为直角三角形， 在中，，， ， ，， 树枝砸不到小车． 2．如图，一根垂直于地面的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离．    (1)求旗杆折断处点距离地面的高度； (2)工人在修复的过程中，发现在折断处的下方1.4m的点处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点处吹断，旗杆的顶部落在水平地面上的处，形成一个，请求出的长． 【详解】（1）解：由题意可知：米， ， ， 又米， ， 米； （2）解：点距地面米， 米， （米． 3．“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部三尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈尺） 【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，其中一直角边长3尺，其余两边长度之和为10尺．求折断后的竹子高度． 【详解】解：设折断后的竹子高度为x尺，则被折断的竹子长度为尺． 由勾股定理得：， 解得：， 答：折断后竹子的高度是尺． 4．如图，为一棵大树，在树上距地面10米的处有两只猴子，他们同时发现处有一筐水果，一只猴子从处往上爬到树顶处，又沿滑绳滑到处，另一只猴子从滑到，再由跑到处，已知两只猴子所经路程都为15米，求树高． 【详解】解：中，， 设（米，米，米， 则米． （米，米， 又在中，由勾股定理得：， ， 解得，，即（米) （米) 答：树高为12米． 旗杆高度问题题型4 1．某兴趣小组在进行旗杆高度测量活动时，由《九章算术》中“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”启发，设计了如下测量方式：已知旗杆与地面垂直，将升旗的绳索自然下垂，测得绳索比旗杆长1米，拉直绳索，使绳索下端点A落在地面上，如图所示，测得点A与旗杆底端点B的距离为6米．请根据测量数据计算旗杆的高度． 【详解】解：设旗杆的高度为x米，则绳长为米， 是直角三角形， ， ， 解得. 答：旗杆的高度为17.5米． 2．如图是某校操场上的旗杆，小明和小华想测量旗杆高度，他们设计的测步骤如下： ①如图甲，底座截面是长方形，测出长方形的长，高，旗杆正好在底座的正中间（B是的中点）；（旗杆的直径忽略不计）将旗杆的绳子拉直垂直于底座时，发现拖在底座上的绳子长度恰好为的长； ②如图乙，将刚才拖到地上的绳子拉直至地面M处，使绳子底端恰好接触地面，测量出长为． 请用以上数据计算出该校操场上旗杆的高度． 【详解】解：根据题意得， 如图，， 设旗杆，则，，， 在中，， ∴ 解得， ∴， 即该校操场上旗杆的高度为． 3．为测量学校旗杆的高度，学校“华罗庚”数学兴趣小组的同学经过讨论，设计了以下两种方案： 方案一 方案二 测量工具 含角的教学用直角三角板、足够长的皮尺． 升旗用的绳子、足够长的皮尺． 测量方案 示意图 实施方案及 测量数据 在阳光的照射下，旗杆落在围墙上的影子为，测得为米，旗杆底部B处与围墙的距离为米．利用直角三角板得到此时太阳光与水平地面的夹角恰好是． 升旗用的绳子从旗杆顶端垂落地面后还多出，将绳子斜拉直后，使得绳子底端C刚好接触地面，此时测得． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②旗杆半径忽略不计． ①实施过程中，旗杆顶端绳子保持不动． 请从以上两种方案中任选一种，计算旗杆的高度． 【详解】解：方案一 过点D作于点E，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 根据题意，得 ∴， ∴， ∴． 解：方案二 设旗杆的高，， 根据题意，，， ∵， ∴， 解得， 故的长度为12米． 水杯中的筷子问题题型5 1．如图，圆柱形茶杯内部底面的直径为，若将长为的筷子沿底面放入杯中，茶杯的高度为，则筷子露在茶杯口外的部分的最短长度是多少？ 【详解】解：由题意，得，，， 由勾股定理，得， ∴， ∴筷子露在茶杯口外的部分的最短长度是． 2．如图在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面的部分为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即），已知红莲移动的水平距离为3米，则湖水深为多少？ 【详解】解：设为米， ∵在中，，，， ∴由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴湖水深为米． 3．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【详解】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； 即尺； 答：水池的深度为12尺； （2）证明：水池深度，则芦苇高度为， 由题意有：； 为中点，且， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：； 表明刘徽解法是正确的． 航海问题题型6 1．如图，在海平面上有，，三个标记点，其中在的北偏西方向上，与的距漓是40海里，在的南偏西方向上，与的距离是30海里． (1)求点与点之间的距离； (2)若在点处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为25海里，此时在点处有一艘轮船准备沿直线向点处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向处的过程中，有多少小时可以接收到信号？ 【详解】（1）解：由题意，得：，； ； 海里，海里； （海里）， 即：点与点之间的距离为50海里； （2）解：过点作交于点，在上取点，，使得海里． ； ； ； 海里； 海里； 海里； 行驶时间为（小时）． 答：有0.7小时可以接收到信号． 2．上午8时，一条渔船从港口A出发，以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从望海岛C，测得（如图所示）． (1)求海岛B到海岛C的距离； (2)这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？ (3)渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 【详解】（1）解：由题意，得：海里； ∵， ∴， ∴ ∴海里； 答：海岛B到海岛C的距离为30海里； （2）解：过C作于点H， 又， ∴， ∴（海里）， ∴从B处到H处需要小时， ∴答：小船与灯塔C的距离最短时，此时为上午时； （3）解∶ 由题意：海里， 由（1）知：海里， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴海里， ∴救援队所用时间为（小时）， 救援队所用时间为（小时）， ∵， ∴救援队先到． 河宽问题题型7 1．四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，． (1)求支渠的长度．（结果保留根号） (2)若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？ 【详解】（1）解：由题意可知：， ， ，， ， ， ， 答：公路的长度为； （2）， ， ， ， ∴修建林荫小道需要的费用为万元． 2．有一辆载有集装箱的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米．这辆卡车能否通过此桥洞？通过计算说明理由． 【详解】能通过． 如图中的长方形是卡车横截面的示意图： 当桥洞中心线两边各为0.8米时，设米，在中，由勾股定理得 ， 解得， ∵， ∴卡车能通过． 台阶地毯问题题型8 1．某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为， ∴地毯面积为， 故答案为： 2．如图，楼梯的高度为，楼梯坡面的长度为，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？（精确到） 【详解】解：如图，由勾股定理得，， ∴米， ∴米， 答：地毯的长度至少需要米． 汽车超速问题题型9 1．如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，已知米． (1)若一辆汽车以的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？ (2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由． 【详解】（1）解：依题意可得，， ∴，为直角三角形 ∵米，米， ∴米， ， ∴ 答∶共用时4秒； （2）解：超速，理由如下∶ ， ∵， ∴该车超速． 2．交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组走进交警大队，了解了测试汽车速度的方法．案例如下：如图，一辆小汽车在街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪的正前方米的点处，过了秒后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为米，，已知该段城市街道的限速为/，请判断这辆小汽车是否超速，并说明理由． 【详解】解：这辆小汽车超速了．理由如下： 在中，米，米， 由勾股定理得（米）， （米/秒）（千米/时）． 因为， 所以这辆小汽车超速了． 受台风影响问题题型10 1．如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【详解】（1）解：由题意可知，，，， 在中，， ∴， 答：台风中心经过从点移到点； （2）解：如图，在射线上取点，使得， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：市受到台风影响的时间持续． 2．庆庆家附近有一条东西走向的公路，一天一辆宣传车从这条路上经过．如图，从监测中心A处测得这辆宣传车从B点开始沿所在直线由东向西运动，已知点C为庆庆家的位置，点C与监测中心A的距离为，与这辆宣传车的起始位置B的距离为，且，过点C作于点D，以这辆宣传车为圆心，半径为的圆形区域内会听到宣传车的声音． (1)求监测点A与宣传车的起始位置B之间的距离； (2)若这辆宣传车的行驶速度为，则庆庆家能听到多长时间的宣传车声音？ 【详解】（1）解：，，， ． 答：监测点与宣传车的起始位置之间的距离为． （2）解：，， ， ， ． 如图，以为圆心，长为半径画弧，交于点，， 则当时，正好能听到宣传车的声音． 在中， ， ． 宣传车的行驶速度为， ． 答：庆庆家能听到的宣传车声音． 3．如图，经过村和村（将村看成直线上的点）的笔直公路旁有一块山地正在开发，现需要在处进行爆破．已知处与村的距离为300米，处与村的距离为400米，且． (1)求两村之间的距离； (2)为了安全起见，爆破点周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 【详解】（1）解：在中，米，米， ∴（米）． 答：A，B两村之间的距离为500米； （2）公路有危险而需要封锁． 理由如下：如图，过C作于D．以点C为圆心，250米为半径画弧，交于点E，F，连接，， ∵， ∴（米）． 由于240米250米，故有危险， 因此段公路需要封锁． ∴米， ∴（米）， 故米， 则需要封锁的路段长度为140米． 4．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域处，在沿海城市的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东方向向移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过4级，则称受台风影响．（提示：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半） 试问： (1)城市是否会受到台风影响？ (2)若会受到台风影响，该城市受到台风影响的最大风力为几级？ (3)若会受到影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 【详解】（1）解：城市会受到台风的影响． 理由：在中，，（千米） （千米） 城市受到的风力超过4级，则称受台风影响 受台风影响范围的半径为（千米） 城市会受到台风的影响． （2）解：台风到达时台风中心距离城市最近，（千米） 又 则（级） 答：该城市受到台风影响的最大风力为7级． （3）解：由（1）可知，受台风影响范围的半径为200千米 则以为圆心，200千米为半径作交于、，如图 则（千米） ，（千米） （千米） 则（小时） 答：台风影响该城市的持续时间为16小时． 选址问题题型11 1．如图所示，铁路上有A，B两点（看作直线上两点）相距，C，D为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为A，B，，，现在要在铁路旁修建一个检修点E，使得C，D两村到检修点E的距离相等（点A，B，C，D，E在同一平面）． (1)请用尺规作图，在图中作出检修点E的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求检修点E应建在距A点多少千米处？ 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点， 则点即为所求． （2）解：连接， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∵两村到检修点的距离相等， ， 解得：． ， 答：检修点应建在距点16千米处． 2．如图，小区A与公路l的距离米，小区B与公路l的距离米，已知米． (1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求的长； (2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求的最小值，求出此最小值． 【详解】（1）解：如图1， 根据题意得：， 设，则， ， 解得， 即的长为475米； （2）如图，作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P． 则， ， 的最小值为， 如图，作于点E， 在中， 米，米， 米， 的最小值为1000米． 3．【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）向中若时，，，，，设，求的值． 【详解】解：（1）， ， ∴， 即； （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少5千米； （3）设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：． 压轴真题题型12 1．（2024八年级上·全国·专题练习）在参加社会实践活动中，很多人带了拉杆箱．如图是桂老师带的拉杆箱的示意图，箱体长，拉杆最大伸长距离，在箱体的底端装有一圆形滚轮，其直径为，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的处，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移到处．请求出桂老师手的位置离地面的距离（假设点的位置保持不变）． 【详解】解：如图所示，过作于，延长交于，则， 设，则， 由题可得，，， ∵中，， 中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴桂老师手的位置离地面的距离为． 2．（24-25八年级上·广东梅州·期中）如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东的方向，航速是12海里/时，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？ 【详解】解：由题意得：（海里），海里， ， 在中 ∴（海里）， ∴乙船的航速是（海里/时）， 答：乙船的航速是9海里/时． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸莺”．又到了放风筝的最佳时节．如图，小亮的风筝在点C处，点A表示线轴所在的位置，已知引线的长度为10米，两处的水平距离为8米（风筝本身的长、宽忽略不计）．现要使风筝沿竖直方向上升9米至处，若位置不变，引线的长度应加长多少米？ 【详解】解：在中，米，米， 则（米）． 在中，米，米， 则（米）． 则引线的长度应加长米． 4．（24-25九年级上·海南儋州·期末）如图，早上一渔船以50海里/时的速度从海港A出发沿正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，航行2个小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上，同时测得灯塔P正东方向的避风港Q在B的北偏东方向上． (1)填空： __________，__________海里； (2)求海港A与灯塔P之间的距离；（结果保留根号） (3)天气预报显示当天台风将登陆渔船所在海域，为安全起见，渔船立即沿方向加速驶向避风港Q．出于安全考虑，渔船至少需要比台风到达所在海域的时刻提前1个小时抵达避风港Q，求渔船加速后的最小速度．（结果保留整数，参考数据：，，） 【详解】（1）解：在处测得灯塔在北偏东方向上， ， ∵渔船以50海里/时的速度从海港A出发沿正东方向航行， ∴（海里）； （2）解：如图，过点、分别作的垂线，交的延长线于点、， 海里， 在中  ， 海里，（海里）， 在中  ， （海里）． 答：海港与灯塔之间的距离是海里； （3）解：， ， ， 是等腰直角三角形， 海里， 海里， 渔船从B到Q需要的最长时间为小时， ∴加速后的最小速度为： （海里/时）， 答：渔船加速后的最小速度海里/时． 5．（24-25八年级下·全国·单元测试）新情境  如图①，某厂家设计了一种双层长方体垃圾桶，，侧面示意图如图②所示，为隔板，等分上，下两层．将下方内桶绕底部轴旋转打开后，内桶刚好卡在隔板边沿，侧面示意图如图③所示，求的长度．（板材厚度忽略不计） 【详解】解：如答图，连接，过点作于点，易知四边形是长方形， ， ∵， ． 6．（24-25八年级上·重庆万州·期末）放风筝是清明节的节日习俗，寓意将烦恼和疾病随着风筝一起放飞，此外，放风筝还是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系．某校八年级几名同学在学习了“勾股定理”之后，想用此定理来测量风筝的垂直高度．如图，牵线放风筝的同学站在处，风筝在处，先测得他抓线的地方与地面的距离为1.5米，然后测得他抓线的地方与风筝的水平距离为15米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米． (1)求此时风筝的垂直高度的长； (2)若放风筝的同学站在点不动，风筝沿的方向继续上升到处，风筝线又放出了8米，请求出风筝沿方向上升的高度的长． 【详解】（1）∵米，米， ∴米 ∵米 ∴米 ∴米； （2）∵风筝线又放出了8米， ∴米， ∴米， ∴米． 7．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图：某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为，现要为喷泉铺设供水管道和，供水点M在小路上，供水点 M 到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长； (2)求喷泉B到小路的最短距离． 【详解】（1）∵在中，，， ∴ 在中， ∴， 答：供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为； （2）如图所示，过点B作， ． 答：喷泉B到小路的最短距离为． 8．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方120米的处，过了8秒，小汽车到达处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为200米． (1)求的长； (2)“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由（参考数据：） 【详解】（1）解：在中，， ， 答：的长为米； （2）解：小汽车的速度为：， ， 故小汽车超速了． 9．（24-25八年级下·重庆·开学考试）在学习了勾股定理后，小品对他家附近的一个公园里的音乐喷泉池产生了测量兴趣，如图，音乐喷泉池为四边形，在连线上有一地方性标志物，据了解，修建该喷泉池时要求，四边形为人行观赏步道，小品通过仪器测量得到，在的正西方，在的东北方向，且，在的正南方150米处，恰好又在的南偏东方向，由此他脑海里产生了以下数学问题，请你帮他解决一下．（参考数据：，，，） (1)求、之间的距离（结果保留根号）； (2)小品和姐姐同时从点出发，沿着不同的方向到点汇合，其中小品沿着①：的方向步行，姐姐沿着②的方向步行，通过计算说明哪一条路更近？（结果精确到个位） 【详解】（1）解：连接， 由题意得，，米， 在中，， 由勾股定理得，即， 解得，， ∵， ∴， ∴米； （2）解：∵在的东北方向， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴米， 在中，， ∴米， ∵， ∴路线②更近． 10．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知某学校A与直线公路相距300米（即米，），且与该公路上一个车站D相距500米（即米），现要在公路边建一个超市C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么该超市 C 与车站D的距离是多少米? 【详解】解：根据题意得：，， 在直角三角形中， 米，米， （米）， 设米，则米， 在中，， 即， 解得：， 答：该超市C与车站D的距离是312.5米． 11．（22-23八年级下·北京东城·期末）如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面， 并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图； ②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图． 小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图点处（）． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）； (2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 【详解】（1）解∶如图，由旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得∶， 解得∶， 故旗杆的高度为米； （2）解：由题可知，米，米． 在中，由勾股定理得∶， 解得∶， ∴米， ∴米． 故绳结离地面米高． 12．（23-24八年级下·广东潮州·期末）某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图 测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为米． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米． ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为米． 实践探究小组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务． (1)已知：如图，在中，．求线段的长． (2)如果小明想要风筝沿方向再上升米，长度不变，则他应该再放出多少米线？ 【详解】（1）解：由勾股定理得，， ∴（米）， ∴线段的长为米． （2）解：风筝沿方向再上升米，则， 由勾股定理得，， ∵， ∴他应该再放出8米线． 13．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）【阅读材料】调查数据显示，某小区居民平均每周去卖场的频数F与卖场的占地面积s（单位：）以及卖场与居住小区的距离h（单位：m）有关，如图1是频数F与之间关系的散点图．根据散点图可知，F与之间关系可合理估计为（k 为定值，）； 【理解应用】如图2，乙卖场（B点）位于甲卖场（O点）的正东方向，安居小区（A点）位于甲卖场的东偏南方向，过点A作的垂线段，已知与分别表示的实际距离为与，甲卖场的占地面积为．记乙卖场的占地面积为p，甲乙两卖场之间的距离为q，安居小区居民平均每周去甲卖场与乙卖场的频数分别为与． (1)求；（用含k的代数式表示） (2)若，，求p的范围． 【详解】（1）解：∵过点A作的垂线段，已知与分别表示的实际距离为与， ∴， ∵，且甲卖场的占地面积为． ∴， （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴ 则 ∵， ∴ ∵， 即， ∴， 即， 即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$