精品解析：河南省安阳市文源高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

绝密★启用前 2024-2025学年第二学期高一年级3月月考 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 集合有7个元素 C. D. 2. 下列函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各角中，与2286°角终边相同的角是（ ） A 36° B. 126° C. 216° D. 4. 如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是 A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，且，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. ，则（ ） A. B. C. D. 7. 中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，若扇环所在圆的圆心角，则扇环的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，记（）．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. 3 B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项中，值为的是（ ） A. B. C. D. 10. 若函数定义域为，最大值、最小值分别为，，则实数的值可能为（    ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 11. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ） A. 的周期为 B. C. 的所有零点之和为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的周期为___________. 13. 已知函数图象关于直线对称，则的值为______． 14. 函数的定义域是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的定义域； （2）求证： 16. 已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． （1）若，求扇形的弧长l； （2）若，求扇形的弧所在的弓形的面积； （3）若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 17. 在平面直角坐标系中，以轴为始边的锐角和钝角的终边分别交单位圆于，两点.已知点的横坐标为，点的纵坐标为. （1）求； （2）求的值. 18. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若，求函数值域； （3）若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. 19. 对于定义在上函数，如果存在一组常数，，…，（为正整数，且），使得，，则称函数为“阶零和函数”. （1）若函数，，请直接写出，是否为“2阶零和函数”； （2）判断“为2阶零和函数”是“为周期函数”的什么条件（用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要”回答），并证明你的结论； （3）判断下列函数是否为“3阶零和函数”，并说明理由.，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2024-2025学年第二学期高一年级3月月考 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 集合有7个元素 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出全集中的元素，根据集合的交并补运算逐项检验是否正确. 【详解】由题意知共7个元素,故，，，所以A，B，D三项正确，C项错误. 故选：C 2. 下列函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据各个函数的奇偶性逐个判断即可. 【详解】均是奇函数，是偶函数． 故选：B. 3. 下列各角中，与2286°角终边相同的角是（ ） A. 36° B. 126° C. 216° D. 【答案】B 【解析】 【分析】由终边相同角的定义判断即可. 【详解】因为， 所以与角终边相同的角是126°. 故选：B. 4. 如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在间阴影部分区域表示的角的范围是，然后再写出终边落在阴影部分的区域内的角的集合. 【详解】解：在间阴影部分区域中边界两条终边表示的角分别为，. 所以阴影部分的区域在间的范围是. 所以终边在阴影部分区域的角的集合为：. 故选：C. 【点睛】本题考查了象限角，终边相同角的集合表示法，某一范围内角的集合的表示法，属于基础.题. 5. 已知函数的定义域为，且，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到的周期为1，从而，代入求解即可. 【详解】因为，所以，函数的周期为1， 所以． 故选：B． 6. ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦函数的单调性可得的大小，根据对数的性质可得的大小. 【详解】因为，且在区间上为增函数， 所以，即； 又，故． 故选：C. 7. 中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，若扇环所在圆的圆心角，则扇环的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设扇环所在圆的圆心为，结合扇形的弧长公式求出，，进而结合扇形的面积公式求解即可. 【详解】如图，设扇环所在圆的圆心为，圆心角， 根据，得到， 所以扇环面积. 故选：A. 8. 已知，记（）．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分段写出函数的解析式，并确定其单调减区间，再结合集合的包含关系求解作答即可. 【详解】由题意知， 函数的单调递减区间为， 则或， 由，解得， 而，故需满足，即，此时不存在； 由，解得， 则需满足，即，即， 故，即， 故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解的含义，结合其解析式，求出函数的单调区间，进而转化为集合间的包含关系，列不等式求解即可. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项中，值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A利用二倍角余弦公式结合同角三角函数关系式求解判断；选项B利用两角和的正弦公式求解判断； 选项C利用诱导公式和二倍角的正弦公式求解判断； 选项D利用二倍角的正切公式求解判断. 【详解】选项A：，故选项A不符合题意； 选项B：，故选项B符合题意； 选项C：，故选项C符合题意； 选项D：，故选项C符合题意. 故选：BCD. 10. 若函数的定义域为，最大值、最小值分别为，，则实数的值可能为（    ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据已知条件，结合二次函数的性质求参数． 【详解】由，得函数的对称轴为， 当时，函数取的最小值为， 当或时，函数值为， 函数的定义域为，值域为， 所以，实数的值可能为． 故选：ABC 11. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ） A. 的周期为 B. C. 的所有零点之和为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意由的奇偶性和对称性分析的周期判断A；结合已知结合对称性得，，，，进而利用周期性求和判断B；的零点可看作与的图象交点的横坐标，作出与的图象，根据中心对称即可判断C；结合与的函数值的符号，根据奇函数性质和周期性判断D. 【详解】由偶函数，得，即， 函数的图象关于直线对称， 由为奇函数，得，即，则， 的图象关于点对称， 因此函数是周期为的周期函数，A错误； 由当时，，得，而， ，， 因此，B正确； 的零点可看作与的图象交点的横坐标， 作出与的图象， 观察图形知，直线与的图象共有个交点， 且它们关于点成中心对称，   所以所有零点之和为，C正确； 当时，，，与均为奇函数， 则当时， 因此当时，，又与的周期都为， 所以，D正确． 故选：BCD 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的周期为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由公式直接计算即可. 【详解】函数周期为. 故答案为： 13. 已知函数的图象关于直线对称，则的值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据函数图象对称得，代入解析式得，即可计算的值. 【详解】∵函数的图象关于直线对称， ∴对任意的，有，则，即， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：0． 14. 函数的定义域是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据偶次开方的被开方数为非负且对数函数的真数大于0可以得到不等式组求解即可. 【详解】要使函数有意义，需 解得： 即 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的定义域； （2）求证： 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接根据正切函数的性质求定义域； （2）利用三角函数公式变形证明即可. 【小问1详解】 令，得， 即的定义域为； 【小问2详解】 因为左边， 且， ，且， 所以. 16. 已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． （1）若，求扇形的弧长l； （2）若，求扇形的弧所在的弓形的面积； （3）若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据弧长公式进行计算即可； （2）由已知利用扇形面积，三角形面积公式即可得解弓形的面积 （3）由题意知，可得，然后结合二次函数的最值求法可得； 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 设弓形面积为．由题知． ． 【小问3详解】 由已知得，， 所以． 所以当时，S取得最大值， 此时． 17. 在平面直角坐标系中，以轴为始边的锐角和钝角的终边分别交单位圆于，两点.已知点的横坐标为，点的纵坐标为. （1）求； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件求得，，再根据同角三角函数基本关系式，以及两角和正弦公式，即可求解； （2）首先利用角的变换求，即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，，，，， 所以，， ； 【小问2详解】 ， ， ， 由，得，，则， 所以 18. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若，求函数的值域； （3）若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式，把函数整理为正弦型函数，利用周期公式，求周期，利用正弦函数的单调区间，求出函数的单调增区间； （2）根据题中所给，求得的取值范围，利用正弦函数的图像，求出函数值域； （3）根据题中所给范围，求得的取值范围，转化为解方程，借助正弦函数的对称性，求得，的关系，代入求解. 【小问1详解】 ， 令，，解得，， 故函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 由，得，则， 所以在区间上的值域为. 【小问3详解】 由，得， 又， 即的两个解为，且， 则，即，即， 则， 所以. 19. 对于定义在上的函数，如果存在一组常数，，…，（为正整数，且），使得，，则称函数为“阶零和函数”. （1）若函数，，请直接写出，是否为“2阶零和函数”； （2）判断“为2阶零和函数”是“为周期函数”的什么条件（用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要”回答），并证明你的结论； （3）判断下列函数是否为“3阶零和函数”，并说明理由.，. 【答案】（1）不，是； （2）充分不必要条件，证明见解析； （3）是，不是，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）利用恒等式判断，取计算，结合定义判断. （2）利用定义求出周期说明充分性，举例说明必要性不成立推理即得. （3）取计算，结合定义判断；利用反证法推理导出矛盾判断. 【小问1详解】 函数，不满足对一切实数成立， 所以函数不是“2阶零和函数”； 取，，， 所以是“2阶零和函数”. 【小问2详解】 “为2阶零和函数”是“为周期函数”的充分不必要条件.证明如下： 若为2阶零和函数，则存在常数，使得，， 即，因此，即函数为周期函数； 反之函数为周期函数， 如，对，，为周期函数， 对任意正常数，， 因此函数不是2阶零和函数， 所以“为2阶零和函数”是“为周期函数”的充分不必要条件. 【小问3详解】 函数是“3阶零和函数”，取，， ， 所以函数是“3阶零和函数”； 函数不是“3阶零和函数”， 假定函数是“3阶零和函数”， 则存在常数，，， 即 对成立， 则恒成立， 由，得， 因此，平方相加整理得， 则或， 由，同理得， 于是或， 则，或或或， 即，或或或，显然不成立， 因此不存在常数，使得，， 所以函数不是“3阶零和函数”. 【点睛】思路点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$