第四课时正比例的应用（分层作业）数学西南大学版六年级下册

第四课时 正比例的应用 一、选择题 1．已知下表中的x和y成正比例，那么a代表的数是（    ）。 x 4 0.5 y 18 a A．144 B．9 C．2.25 【答案】C 【分析】x和y成正比例，即x和y的比值一定，据此可得：4∶18＝0.5∶a，根据比例的基本性质解出比例即可。 【详解】4∶18＝0.5∶a 解：4a＝18×0.5 4a＝9 4a÷4＝9÷4 a＝2.25 故答案为：C 2．王小亮在弹簧秤上挂了3千克的物体，弹簧伸长约1.5厘米，在这个弹簧秤上挂2.5千克物体时，弹簧大约伸长（    ）厘米。 A．1.25 B．1.5 C．1 【答案】A 【分析】因为在一定限度内，弹簧秤弹簧所挂物体的重量越大，伸长量也就越大，即弹簧的伸长与所挂物体的重量成正比例关系；又已知当挂上了3千克的物体，伸长约为1.5厘米，要求得挂上2.5千克的物体，伸长大约多少，设此时弹簧大约伸长x厘米，可列比例式：3∶1.5＝2.5∶x，解这个比例即可。 【详解】解：设弹簧大约伸长x厘米。 3∶1.5＝2.5∶x 3x＝1.5×2.5 3x＝3.75 x＝3.75÷3 x＝1.25 在这个弹簧秤上挂2.5千克的物体时，弹簧大约伸长1.25厘米。 故答案为：A 【点睛】需要理解弹簧秤的工作原理，能利用正比例关系列式，解决生活中的问题。 3．如下图，甲、乙两名同学在路灯下，他们离路灯的远近不同，但影子几乎一样长，那么他们的身高（    ）。 A．甲同学高 B．乙同学高 C．一样高 【答案】A 【分析】本题可以画图表示出两名同学的身高，从图中可以看出，甲同学高。 【详解】如图所示： 从图中可以看出，甲同学高。 故选：A 【点睛】此题考查的是光的传播，明确光是直线传播的是解题关键。 4．松树村特菜生产基地，计划平整1.68公顷土地，5天平整了1.2公顷。照这样的效率，剩下的任务还要（    ）天完成。 A．2 B．1 C．4 D．3 【答案】A 【分析】根据题意可知，平整土地的总公顷数÷天数＝每天平整土地的公顷数（一定），则平整土地的总公顷数和天数的比值一定，它们成正比例关系，据此设剩下的任务还要x天完成，列比例为（1.68－1.2）∶x＝1.2∶5，然后解出比例即可。 【详解】解：设剩下的任务还要x天完成。 （1.68－1.2）∶x＝1.2∶5 0.48∶x＝1.2∶5 1.2x＝0.48×5 1.2x＝2.4 x＝2.4÷1.2 x＝2 剩下的任务还要2天完成。 故答案为：A 【点睛】本题主要考查了正比例的应用，判断相关的量是正比例还是反比例是解答本题的关键。 5．人的下肢长与身高之比满足黄金比时，更具美感。小红的妈妈身高是170cm，下肢长100cm，她的妈妈想买一双高跟鞋，你认为高跟鞋鞋跟的最佳高度应是多少厘米？列式正确的是（    ）。（x为高跟鞋鞋跟的高度） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当人的下肢长与身高之比满足黄金比＝0.618时，即人的下肢长与身高之比的比值一定时，更具美感，因为比值一定，所以更具美感时，人的下肢长与身高成正比例关系，据此设高跟鞋鞋跟的最佳高度应是xcm，列正比例解答即可。 【详解】解：设高跟鞋鞋跟的最佳高度应是xcm。 （x＋100）∶（x＋170）＝0.618∶1 （x＋170）×0.618＝x＋100 0.618x＋170×0.618＝x＋100 0.618x＋105.06＝x＋100 0.618x＋105.06－0.618x＝x＋100－0.618x 105.06＝0.382x＋100 105.06－100＝0.382x＋100－100 0.382x＝5.06 0.382x÷0.382＝5.06÷0.382 x≈13.25 所以正确的列式是：（x＋100）∶（x＋170）＝0.618∶1。 故答案为：C 二、填空题 6．如果y＝8x（x、y均不为0），那么x和y成( )比例，x∶y＝( )。 【答案】 正 【分析】如果字母x、y表示的两种相关联的量，则它们的比值一定时，则x、y成正比例关系。其中两个相关联的量x、y可以写成分数形式，也可以写成比的形式。据此可得出答案。 【详解】如果y＝8x（x、y均不为0），可化简为，即y与x的比值一定，成正比例。写成比的形式为：，则。 【点睛】本题主要考查的是正比例的判定，解题的关键是熟练掌握正比例的定义及用比的形式表示，进而得出答案。 7．在同一时刻和同一地点，量得身高180cm的张叔叔的影子长30cm，一棵树的影子长270cm。这棵树高( )m。 【答案】16.2 【分析】在同一时刻和同一地点，物体高度和影长成正比，据此设这棵树高xcm，列比例解答即可。 【详解】解：设这棵树高xcm。 180∶30＝x∶270 30x＝180×270 x＝ x＝1620 1620cm＝16.2m 所以这棵树高16.2m。 8．李伟、杨洋、张雯三人一起参加100米赛跑，李伟到达终点时领先杨洋10米，领先张雯15米，如果杨洋、张雯按他们原来的速度继续跑向终点，那么当杨洋跑到终点时会领先张雯( )米。 【答案】/ 【分析】已知参加比赛的三个人的速度是一定的，所以在相同的时间内，三个人所跑的路程比也是一定的。设当杨洋跑到终点时，张雯还差x米到达终点，根据题意可知，当李伟到达终点时，杨洋和张雯所跑的路程比是（100－10）∶（100－15）；当杨洋到达终点时，杨洋跑的路程是100米，张雯跑的路程是（100－x）米，此时杨洋和张雯所跑的路程比是100∶（100－x）。根据路程比相等列出方程解方程即可。 【详解】解∶设当杨洋跑到终点时会领先张雯x米。 100∶（100－x）＝（100－10）∶（100－15） 100∶（100－x）＝90∶85 90×（100－x）＝100×85 90×（100－x）＝8500 90×（100－x）÷90＝8500÷90 100－x＝ x＝100－ x＝ 当杨洋跑到终点时会领先张雯米。 【点睛】本题考查应用正比例解决实际问题，明确时间一定，路程和速度成正比例是解题的关键。 9．相同质量的冰与水的体积比是10∶9，9dm3的冰化成水是( )dm3。 【答案】8.1 【分析】根据相等质量的冰和水的体积之比是10∶9，设9dm3的冰化成水后的体积是xdm3，列出比例式，解答即可。 【详解】解：设9dm3的冰化成水后的体积是xdm3。 因此9dm3的冰化成水是8.1dm3。 10．一个圆锥，如果高不变，底面积扩大到原来的3倍，体积就扩大到原来的( )倍。 【答案】3 【分析】圆锥的体积＝ ×底面积×高，可得圆锥的体积÷底面积＝×高（一定），所以圆锥的体积与底面积成正比例，所以若“高不变，底面积扩大到原来的3倍”，则体积也扩大3倍。 【详解】由分析可知，一个圆锥，如果高不变，底面积扩大到原来的3倍，体积就扩大到原来的3倍。 【点睛】此题主要考查圆锥的体积公式的灵活应用。 11．100kg稻谷加工成大米是76kg。照这样计算，加工380kg大米需要( )kg稻谷。 【答案】500 【分析】根据稻谷的出米率一定，即大米重量÷稻谷重量×100%＝出米率（一定），所以大米的质量与稻谷的质量成正比例，由此列出比例，解答即可。 【详解】解：设加工380kg大米需要xkg大米，得： 100∶76＝x∶380 76x＝100×380 76x÷76＝38000÷76 x＝500 加工380kg大米需要500kg稻谷。 【点睛】根据稻谷的出米率一定，列比例式解决问题。 12．小芳身高1.5米，在与妹妹的合影中她的高度是5厘米，妹妹在这张照片中的高度是3厘米。在求“妹妹实际身高是多少米”时用比例的知识解决，设妹妹身高为x米后可列式是 ，妹妹的身高是 米。 【答案】 1.5∶0.05＝x∶0.03 0.9 【分析】根据题意，人的实际身高与照片中的身高比值一定，这道题的等量关系是小芳的身高∶小芳在照片中的身高＝妹妹的身高∶妹妹在照片中的身高，根据这个等量关系，列比例解答。 【详解】5厘米＝0.05米 3厘米＝0.03米 解：设妹妹身高为x米。 1.5∶0.05＝x∶0.03 0.05x＝1.5×0.03 0.05x＝0.045 x＝0.045÷0.05 x＝0.9 设妹妹身高为x米后可列式是1.5∶0.05＝x∶0.03，妹妹的身高是0.9米。 【点睛】本题解题关键是找出题中的不变量，判断题中两种相关联的量成什么比例，找出等量关系，再列比例解答。 13．如图，一个长方形被分成了四个小长方形，其中三个的面积为20、25和30（单位：平方厘米）。第四个小长方形的面积是( )平方厘米。 【答案】37.5 【分析】根据长方形的面积公式：长×宽，20平方厘米和30平方厘米的长相等，两个宽的比等于面积比，即30∶20；25平方厘米和第四个小长方形的长相等，所以它们的面积比也是两个宽的比，由于20平方厘米和25平方厘米的两个三角形宽相等；30平方厘米和第四个长方形的宽相等，所以下面长方形和上面长方形的比值相同，成正比例关系，据此即可列比例。 【详解】解：设第四个小长方形的面积是x平方厘米。 ＝ 20x＝30×25 20x＝750 x＝750÷20 x＝37.5 一个长方形被分成了四个小长方形，其中三个的面积为20、25和30（单位：cm2）。第四个小长方形的面积是37.5平方厘米。 三、判断题 14．聪聪身高1.4米，测得影长2.1米，同一时刻、同一地点测得一栋楼的影长22.5米，这栋楼的高度是31米。( ) 【答案】× 【分析】在同一时刻，同一地点，物体的实际高度和影长成正比例，设这栋楼的高度为x米，列比例：1.4∶2.1＝x∶22.5，解比例，求出这栋楼的实际高度，再进行比较，即可解答。 【详解】解：设这栋楼的高为x米。 1.4∶2.1＝x∶22.5 2.1x＝1.4×22.5 2.1x＝31.5 x＝15 聪聪身高1.4米，测得影长2.1米，同一时刻、同一地点测得一栋楼的影长22.5米，这栋楼的高度是15米。 原题干说法错误。 故答案为：× 15．买铅笔的支数和总价成正比例，5支铅笔花了4元钱，那么买6支铅笔要花6元钱。( ) 【答案】× 【分析】花的钱数4÷买的只数5＝每支的钱数0.8，每支的钱数0.8×买的只数6＝需要的钱数4.8。 【详解】4÷5×6 ＝0.8×6 ＝4.8（元） 故答案为：× 【点睛】本题考查正比例的实际应用，熟练掌握正比例的意义是解题的关键。 16．每公顷稻田的产量一定，公顷数与总产量成正比。( ) 【答案】√ 【分析】两个相互关联的量，如果它们的乘积是一定的，则这两个量成反比例关系；如果它们的比值是一定的，则这两个量成正比例关系，据此求解。 【详解】总产量÷公顷数＝每公顷稻田的产量，因为每公顷稻田的产量是一定的，所以顷数与总产量成正比，此题描述正确。 故答案为： √ 【点睛】掌握正比例的定义是解决本题的关键。 17．同样高的杆子离路灯越远，它的影子就越长。( ) 【答案】√ 【分析】比例的认识及组成比例的判断。 【详解】同样高的杆子离路灯越远，它的影子就越长。说法正确。 故答案为：√ 【点睛】同样高的杆子离路灯越近，影子就越短；离路灯越远，影子就越长。 18．同一时刻，同一地点，旗杆的高度与它影子的长度成正比例关系。( ) 【答案】√ 【分析】两个相关联的量它们的比值（商）一定，这两个量就成正比例关系，否则不成正比例关系，据此解答。 【详解】在同一时间，同一地点，树越高，影子越长；树越矮，影子越短。物体的影长∶物体的高度＝每米物体的影长（比值一定）。 所以，同一时刻，同一地点，旗杆的高度与它影子的长度成正比例关系。说法正确。 故答案为：√ 四、计算题 19．解比例。          【答案】；； 【分析】在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。 （1）先将原式改写成，再根据比例的基本性质，将算式变成，最后根据等式的性质2，等式两边同时除以7，即可求解。 （2）根据比例的基本性质，将原式变成，最后根据等式的性质2，等式两边同时除以18，即可求解。 （3）根据比例的基本性质，将原式变成，最后根据等式的性质2，等式两边同时除以，即可求解。 【详解】 解： 解： 解： 五、解答题 20．一辆客车和一辆货车同时从A、B两地相对开出，它们的速度之比是6∶5，相遇时客车行驶了96千米，货车行驶了多少千米？（用比例解答） 【答案】80千米 【分析】根据路程÷速度＝时间可知，相遇时间相同时，路程和速度成正比例关系，即客车与货车的路程之比等于它们的速度之比，据此列出比例方程，并求解。 【详解】解：设货车行驶了千米。 96∶＝6∶5 6＝96×5 6＝480 6÷6＝480÷6 ＝80 答：货车行驶了80千米。 【点睛】本题考查列比例方程解决问题，根据速度、时间、路程之间的关系，分析出路程和速度成正比例关系是解题的关键。 21．李师傅制造一批零件，前10天制造零件300个，照这样的速度，又用了9天就完成任务。这批零件有多少个？（用比例解答） 【答案】570个 【分析】根据题意可知工作效率一定，即工作量∶工作时间＝工作效率（一定），比值一定，则工作量与工作时间成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 【详解】解：设这批零件有个。 ∶（10＋9）＝300∶10 10＝300×（10＋9） 10＝300×19 10＝5700 ＝5700÷10 ＝570 答：这批零件有570个。 22．小明家上个月用了6吨水，交了30元水费；小红家上个月交水费50元，用了多少吨水？（用比例解） 【答案】10吨 【分析】由题意可知：每吨水的价格一定，也就是水费和用水量的比值一定，则应缴的水费和用水量成正比例，据此即可列比例求解。 【详解】解：设用了x吨水。   50∶x＝30∶6    30x＝50×6 30x＝300 x＝300÷30 x＝10       答：用了10吨水。 23．甲、乙两站间的铁路长为360千米，两列火车同时相向开出，小时后相遇，相遇时两车所行路程的比是8∶7，两列火车的速度分别为每小时行多少千米？ 【答案】分别为每小时80千米和每小时70千米。 【分析】根据相遇问题的解法，可求出两车速度和为（千米/时）。 由于相遇时间一定，所以两车相遇所行的路程与速度成正比例，路程比是8∶7，速度比也是8∶7，然后用按比例分配的方法解决。 【详解】（千米/时） （千米/时） （千米/时）， 答：两列火车的速度分别为每小时80千米和每小时70千米。 24．石家庄环城绿道通过架设桥梁、提升景观和完善绿地等措施，供市民无障碍自由步行、骑行。早上8：30王叔叔骑自行车从起点出发，行驶1.5小时后，已经行了30千米。照这样的速度，王叔叔在路上共需要行驶5小时才能到达终点。 （1）这条环城绿道全程是多少千米？（用比例解） （2）王叔叔在何时能到达终点？ 【答案】（1）100千米；（2）13时30分 【分析】（1）根据题意可知，速度＝路程÷时间，速度一定，路程和时间成正比例，据此设这条环城绿道全程是x千米，列方程为：x∶5＝30∶1.5，然后解出比例即可； （2）用起点时间加上经过时间，即可求出结束时间，代入数据解答即可。 【详解】（1）解：设这条环城绿道全程是x千米。 x∶5＝30∶1.5 1.5x＝5×30 1.5x＝150 x＝150÷1.5 x＝100 答：这条环城绿道全程是100千米。 （2）8时30分＋5时＝13时30分 答：王叔叔在13时30分能到达终点。 24．近年来，随着环保意识的日益加强和科技的飞速发展，新能源汽车越来越受欢迎。小齐一家四口自驾新能源汽车去游玩，下面是爸爸驾车从方城到郑州行驶路程与耗电量之间的关系统计表。 路程/千米 5 10 15 20 … 耗电量/度 1 2 3 4 … （1）我发现路程和耗电量之间成（    ）比例关系。 （2）方城到郑州路程有200千米，汽车行驶全程需耗电多少度？（用比例知识解答） 【答案】（1）正；（2）40度 【分析】（1）判断两种量成正比例还是成反比例，关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是比值一定还是乘积一定。如果比值一定，就成正比例，如果乘积一定，就成反比例；如果比值和乘积都不是定量，就不成比例。 （2）因为路程和耗电量之间成正比例，设汽车行驶200千米需耗电x度，则根据正比例的意义列出比例（方程）为＝，再根据比例的基本性质解比例即可。 【详解】（1）因为路程÷耗电量＝5（一定），所以路程和耗电量之间成正比例关系。 （2）解：汽车行驶全程需耗电x度， ＝ 5x＝200 5x÷5＝200÷5 x＝40 答：汽车行驶全程需耗电40度。 12 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四课时 正比例的应用 一、选择题 1．已知下表中的x和y成正比例，那么a代表的数是（    ）。 x 4 0.5 y 18 a A．144 B．9 C．2.25 2．王小亮在弹簧秤上挂了3千克的物体，弹簧伸长约1.5厘米，在这个弹簧秤上挂2.5千克物体时，弹簧大约伸长（    ）厘米。 A．1.25 B．1.5 C．1 3．如下图，甲、乙两名同学在路灯下，他们离路灯的远近不同，但影子几乎一样长，那么他们的身高（    ）。 A．甲同学高 B．乙同学高 C．一样高 4．松树村特菜生产基地，计划平整1.68公顷土地，5天平整了1.2公顷。照这样的效率，剩下的任务还要（    ）天完成。 A．2 B．1 C．4 D．3 5．人的下肢长与身高之比满足黄金比时，更具美感。小红的妈妈身高是170cm，下肢长100cm，她的妈妈想买一双高跟鞋，你认为高跟鞋鞋跟的最佳高度应是多少厘米？列式正确的是（    ）。（x为高跟鞋鞋跟的高度） A． B． C． D． 二、填空题 6．如果y＝8x（x、y均不为0），那么x和y成( )比例，x∶y＝( )。 7．在同一时刻和同一地点，量得身高180cm的张叔叔的影子长30cm，一棵树的影子长270cm。这棵树高( )m。 8．李伟、杨洋、张雯三人一起参加100米赛跑，李伟到达终点时领先杨洋10米，领先张雯15米，如果杨洋、张雯按他们原来的速度继续跑向终点，那么当杨洋跑到终点时会领先张雯( )米。 9．相同质量的冰与水的体积比是10∶9，9dm3的冰化成水是( )dm3。 10．一个圆锥，如果高不变，底面积扩大到原来的3倍，体积就扩大到原来的( )倍。 11．100kg稻谷加工成大米是76kg。照这样计算，加工380kg大米需要( )kg稻谷。 12．小芳身高1.5米，在与妹妹的合影中她的高度是5厘米，妹妹在这张照片中的高度是3厘米。在求“妹妹实际身高是多少米”时用比例的知识解决，设妹妹身高为x米后可列式是 ，妹妹的身高是 米。 13．如图，一个长方形被分成了四个小长方形，其中三个的面积为20、25和30（单位：平方厘米）。第四个小长方形的面积是( )平方厘米。 三、判断题 14．聪聪身高1.4米，测得影长2.1米，同一时刻、同一地点测得一栋楼的影长22.5米，这栋楼的高度是31米。( ) 15．买铅笔的支数和总价成正比例，5支铅笔花了4元钱，那么买6支铅笔要花6元钱。( ) 16．每公顷稻田的产量一定，公顷数与总产量成正比。( ) 17．同样高的杆子离路灯越远，它的影子就越长。( ) 18．同一时刻，同一地点，旗杆的高度与它影子的长度成正比例关系。( ) 四、计算题 19．解比例。 五、解答题 20．一辆客车和一辆货车同时从A、B两地相对开出，它们的速度之比是6∶5，相遇时客车行驶了96千米，货车行驶了多少千米？（用比例解答） 21．李师傅制造一批零件，前10天制造零件300个，照这样的速度，又用了9天就完成任务。这批零件有多少个？（用比例解答） 22．小明家上个月用了6吨水，交了30元水费；小红家上个月交水费50元，用了多少吨水？（用比例解） 23．甲、乙两站间的铁路长为360千米，两列火车同时相向开出，小时后相遇，相遇时两车所行路程的比是8∶7，两列火车的速度分别为每小时行多少千米？ 24．石家庄环城绿道通过架设桥梁、提升景观和完善绿地等措施，供市民无障碍自由步行、骑行。早上8：30王叔叔骑自行车从起点出发，行驶1.5小时后，已经行了30千米。照这样的速度，王叔叔在路上共需要行驶5小时才能到达终点。 （1）这条环城绿道全程是多少千米？（用比例解） （2）王叔叔在何时能到达终点？ 25．近年来，随着环保意识的日益加强和科技的飞速发展，新能源汽车越来越受欢迎。小齐一家四口自驾新能源汽车去游玩，下面是爸爸驾车从方城到郑州行驶路程与耗电量之间的关系统计表。 路程/千米 5 10 15 20 … 耗电量/度 1 2 3 4 … （1）我发现路程和耗电量之间成（    ）比例关系。 （2）方城到郑州路程有200千米，汽车行驶全程需耗电多少度？（用比例知识解答） 4 3 学科网（北京）股份有限公司 $$