第三课时正比例的意义及图象的认识（分层作业）数学西南大学版六年级下册

第三课时 正比例的意义及图象的认识 一、选择题 1．如果两个数字比值（    ），那么这两个数字成正比例关系。 A．相反 B．一定        C．不确定 2．下面各组量成正比例的是（    ）。 A．正方形的面积和边长 B．儿童年龄一定，身高和体重 C．一个播音员播音的速度一定，播音的字数和时间 3．下面表示a和b成正比例的式子是（    ）。（a、b均不为0） A．a＝b＋3 B．a＝5b C．b＝a－4 4．成正比例的两种量在变化过程中，一种量缩小，另一种量（    ）。 A．扩大 B．缩小 C．不变 5．图中表示斑马和长颈鹿的奔跑情况。下面叙述错误的是（    ）。 A．上图是一个正比例关系的图象 B．在20分钟时，它们路程相差8km C．斑马和长颈鹿的速度之比是2∶3 D．在15分钟时，长颈鹿跑了12km 二、填空题 6．如果（一定），则和成( )关系。 7．圆的周长和直径成( )比例，正方形的周长和边长成( )比例。 8．已知5x＝4y，则x∶y＝( )∶( )，x和y成( )比例。 9．小明买4支钢笔用了16元，照这样计算这句话中的“照这样计算”意思是钢笔的( )是一定的，( )和( )成( )比例关系。 10．一辆汽车行驶的时间和路程的关系如图所示。这辆汽车行驶的路程与时间成( )比例关系。照这样计算，6.5小时行驶( )千米。 11．下图是出租车所行的路程和时间图象。图中反映了当( )一定时，所行路程和时间成( )比例。照这样计算，这辆汽车8小时行( )千米。 12．已知y与x成正比例关系，在下表的空格中填写合适的数。 x 1 2 5 10 20 y 2.5 7.5 20 37.5 三、判断题 13．在一个圆中，它的周长和半径成正比例关系。( ) 14．梯形的上底和下底的和不变，梯形的面积和高成正比例关系。( ) 15．三角形的高不变，它的面积和底成正比例。( ) 16．除数一定，被除数和商成正比例。( ) 17．订阅《小火炬》的总钱数和订的份数成正比例。( ) 四、解答题 18．同一时间、同一地点测得3棵树的树高及其影长如下表。 树高/米 2 3 6 影长/米 1.6 2.4 4.8 （1）在下图中描出表示树高与对应影长的点，然后把它们连起来并向两边延长，观察图象的特点。 （2）影长与树高成正比例关系吗？你是依据什么作出判断的？ 19．看图回答问题。 （1）香蕉的总价和购买的质量成正比例吗？苹果呢？ （2）从图像上看，苹果和香蕉哪种水果贵一些？你是怎么看出来的？ （3）利用图像估计一下，苹果、香蕉各买2.5千克的总价分别是多少元？ 20．一种新型笔芯每支售价是0.8元。 数量/支 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … 总价/元 0 0.8 1.6 … （1）把笔芯数量与总价相对应的点在图中描出来，并连线。 （2）买11支笔芯需要（    ）元。 （3）小丽买笔芯的钱是小华的3倍，小丽买笔芯的支数是小华的（    ）倍。 21．下表是订阅数学报纸的数量与总价的关系。 数量/份 0 10 20 30 40 50 … 总价/元 0 120 240 360 480 600 … （1）把订阅数学报纸的数量与总价所对应的点在图中描出来，并连线。 （2）订阅数学报纸的数量与总价成（    ）比例关系。 （3）六（1）班订阅了45份数学报纸，总价是（    ）元；六（2）班订阅数学报纸的总价是516元，六（2）班订阅了（    ）份数学报纸。 22．一个带有容积刻度的圆柱形容器，里面水平放置着一个由圆柱和圆锥两部分组成的几何体铁块。以同样的速度往容器中注水（如左下图），注水时间与水面对应刻度的关系如右下图所示。 （1）图中铁块圆柱部分的高是圆锥高的（    ）倍。 （2）每秒注水多少毫升？ （3）铁块圆柱部分的体积是多少立方厘米。 4 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三课时 正比例的意义及图象的认识 一、选择题 1．如果两个数字比值（    ），那么这两个数字成正比例关系。 A．相反 B．一定        C．不确定 【答案】B 【详解】这是正比例的定义，也是辨别正比例的方法，同时考察了学生认识和辨别正比例和反比例的能力。 2．下面各组量成正比例的是（    ）。 A．正方形的面积和边长 B．儿童年龄一定，身高和体重 C．一个播音员播音的速度一定，播音的字数和时间 【答案】C 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系，据此解答。 【详解】A．正方形的面积＝边长×边长，边长＝面积÷边长，边长不一定，比值不一定，因此不符合题意； B．儿童的身高和体重不相关，不符合题意； C．播音的字数÷时间＝播音的速度，一个播音员播音的速度一定，比值一定，符合题意。 因此一个播音员播音的速度一定，播音的字数和时间成正比例关系。 故答案为：C 3．下面表示a和b成正比例的式子是（    ）。（a、b均不为0） A．a＝b＋3 B．a＝5b C．b＝a－4 【答案】B 【分析】正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。 【详解】A．a＝b＋3，则a－b＝3（一定），差一定，a和b不成正比例； B．a＝5b，则a÷b＝5（一定），商一定，a和b成正比例； C．b＝a－4，则a－b＝4（一定），差一定，a和b不成正比例。 故答案为：B 4．成正比例的两种量在变化过程中，一种量缩小，另一种量（    ）。 A．扩大 B．缩小 C．不变 【答案】B 【分析】根据两种量成正比例，就是这两种量的比值一定，由比的基本性质，比的前项和后项同时扩大或缩小相同的倍数，比值不变；可得成正比例关系的两种量的变化规律是两种量必须同时扩大或缩小。 【详解】成正比例的两种量在变化过程中，一种量缩小，另一种量缩小。 故答案为：B 【点睛】本题主要考查比例，解答本题的关键在于知道比的基本性质。 5．图中表示斑马和长颈鹿的奔跑情况。下面叙述错误的是（    ）。 A．上图是一个正比例关系的图象 B．在20分钟时，它们路程相差8km C．斑马和长颈鹿的速度之比是2∶3 D．在15分钟时，长颈鹿跑了12km 【答案】C 【分析】由图可知：斑马和长颈鹿的奔跑的路程和时间的商一定，也就是速度一定，可以判断图象是正比例图象；20分钟时，长颈鹿奔跑了16km，斑马奔跑了24km，两者相减，可得出它们的路程差；分别计算出20分钟时斑马和长颈鹿的速度，再进行比的运算可知斑马和长颈鹿的速度比； 15分钟时，长颈鹿奔跑的路程是12km。 【详解】A．斑马和长颈鹿的奔跑的路程和时间的商一定，奔跑的路程和时间成正比例。 B．20分钟时，长颈鹿奔跑了16km，斑马奔跑了24km。 24－16＝8（km） C．24÷20＝1.2（km/分） 16÷20＝0.8（km/分） 1.2∶0.8＝5∶4 D．在15分钟时，长颈鹿跑了12km。 故答案为：C 【点睛】本题考查了对成正比例关系图象的认识。根据图象，按要求找出有用的信息进行计算是解答本题的关键。 二、填空题 6．如果（一定），则和成( )关系。 【答案】正比例 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】因为（一定），比值一定，所以和成正比例关系。 7．圆的周长和直径成( )比例，正方形的周长和边长成( )比例。 【答案】 正 正 【分析】 判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】 圆的周长÷直径＝圆周率（一定），所以圆的周长和直径成正比例； 正方形的周长÷边长＝4（一定），所以正方形的周长和边长成正比例； 8．已知5x＝4y，则x∶y＝ ∶ ，x和y成 比例。 【答案】 4 5 正 【分析】比例的基本性质：在比例中，比例的两个外项之积等于两个内项之积。 两个量相除，商一定则这两个量成正比例。 【详解】因为5x＝4y，所以x∶y＝4∶5，x和y成正比例。 【点睛】此题考查正反比例的辨别，学会灵活运用比例的基本性质。 9．小明买4支钢笔用了16元，照这样计算这句话中的“照这样计算”意思是钢笔的( )是一定的，( )和( )成( )比例关系。 【答案】 单价 数量 总价 正 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；据此解答。 【详解】由分析可得：照这样计算这句话中的“照这样计算”意思是钢笔的单价是一定的，数量和总价成正比例关系。 【点睛】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 10．一辆汽车行驶的时间和路程的关系如图所示。这辆汽车行驶的路程与时间成( )比例关系。照这样计算，6.5小时行驶( )千米。    【答案】 正 520 【分析】由图可知，速度不变，路程÷时间＝速度，路程和时间的比值一定，成正比例；选取一点确认时间和路程，求出速度，再乘6.5小时即可求出路程。 【详解】这辆汽车行驶的路程与时间成正比例关系； 速度：400÷5＝80（千米/小时） 80×6.5＝520（千米） 照这样的速度计算，6.5小时行驶520千米。 【点睛】解决问题的关键在于明确成正比例的量比值一定。 11．下图是出租车所行的路程和时间图象。图中反映了当( )一定时，所行路程和时间成( )比例。照这样计算，这辆汽车8小时行( )千米。 【答案】 速度 正 640 【分析】根据正比例图象可知，两种相关联的量如果成正比例，则两种量会是一条经过原点的直线，则表示两个相关联的量成正比例关系，因此行驶的路程与时间成正比例，即速度一定；80÷1＝80（千米），160÷2＝80（千米），240÷3＝80（千米），因此这辆汽车每小时行驶的速度是80千米；根据路程＝时间×速度，即可求出这辆汽车8小时行驶的路程。 【详解】这辆汽车每小时行驶的速度是80千米，速度一定，它行驶的路程和时间成正比例； 8小时行驶的路程为：80×8＝640千米 因此这辆汽车8小时行驶640千米。 【点睛】明确正比例图象是一条经过原点的直线是解题的关键。 12．已知y与x成正比例关系，在下表的空格中填写合适的数。 x 1 2 5 10 20 y 2.5 7.5 20 37.5 【答案】见详解 【分析】y与x成正比例关系，则y与x的比值是一定的。当x＝1时，y＝2.5，则＝2.5则y与x的比值是2.5。求x的值用y÷2.5，求y的值用x×2.5。 【详解】据分析，当x＝1时，y＝2.5，则＝2.5。 x 1 2 3 5 8 10 15 20 y 2.5 5 7.5 12.5 20 25 37.5 50 当x＝2时，y＝2×2.5＝5； 当y＝7.5时，y＝7.5÷2.5＝3 当x＝5时，y＝5×2.5＝12.5 当y＝20时，y＝20÷2.5＝8 当x＝10时，y＝10×2.5＝25 当y＝37.5时，y＝37.5÷2.5＝15 当x＝20时，y＝20×2.5＝50 三、判断题 13．在一个圆中，它的周长和半径成正比例关系。( ) 【答案】√ 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系，用字母表示为（一定）。根据正比例的意义判断即可 【详解】根据圆的周长可知：，即在一个圆中，它的周长和半径的比值一定。所以圆的周长和半径成正比例关系。 故答案为：√ 【点睛】解决此题的关键是根据圆的周长公式推导出圆的周长与半径的比值一定。 14．梯形的上底和下底的和不变，梯形的面积和高成正比例关系。( ) 【答案】√ 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】梯形的面积÷高＝（上底＋下底）÷2（一定），商一定，所以梯形的面积和高成正比例关系。所以原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。 15．三角形的高不变，它的面积和底成正比例。( ) 【答案】√ 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。如果用字母和表示两种相关联的量，用表示它们的比值（一定），正比例关系可以用表示；据此解答。 【详解】由三角形的面积计算公式可知，三角形的高＝三角形的面积×2÷三角形的底，三角形的面积÷三角形的底＝（一定），则三角形的高不变，它的面积和底成正比例。 故答案为：√。 【点睛】掌握两种相关联的量成正比例关系的判断方法是解答题目的关键。 16．除数一定，被除数和商成正比例。( ) 【答案】√ 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 【详解】被除数÷商＝除数（一定），则被除数和商成正比例。 故答案为：√ 【点睛】掌握正比例关系的判断方法是解答题目的关键。 17．订阅《小火炬》的总钱数和订的份数成正比例。( ) 【答案】√ 【详解】略 四、解答题 18．同一时间、同一地点测得3棵树的树高及其影长如下表。 树高/米 2 3 6 影长/米 1.6 2.4 4.8 （1）在下图中描出表示树高与对应影长的点，然后把它们连起来并向两边延长，观察图象的特点。 （2）影长与树高成正比例关系吗？你是依据什么作出判断的？ 【答案】（1）见解析 （2）影长与树高成正比例关系，＝0.8（一定）。 【分析】（1）根据表格的数据先描点，再将点和点连接在一起后并向两边延长，图像连成了一条直线。 （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。根据表格，＝＝＝＝0.8。 【详解】（1）据分析 （2）在同一时间、同一地点，影长会随着树高的变化而变化，影长和树高的比值一定，影长与树高成正比例关系，＝0.8（一定），所以影长和树高成正比例关系。 19．看图回答问题。 （1）香蕉的总价和购买的质量成正比例吗？苹果呢？ （2）从图像上看，苹果和香蕉哪种水果贵一些？你是怎么看出来的？ （3）利用图像估计一下，苹果、香蕉各买2.5千克的总价分别是多少元？ 【答案】（1）香蕉的总价和购买的质量成正比例；苹果的总价和购买的质量成正比例。 （2）香蕉贵一些；由图像可知，1千克香蕉8元，1千克苹果4元，所以香蕉贵一些。 （3）苹果总价10元；香蕉总价20元。 【分析】（1）总价÷数量＝单价，选择几组数据计算香蕉和苹果的单价 ，如果单价一定，则总价和购买的质量成正比例； （2）有2种方法：①观察同样的质量，对比总价，哪种的总价更高，则哪种水果更贵；②同样的总价，对比质量，哪种的质量更少，则哪种水果更贵；（合理即可，答案不唯一） （3）观察图像可知，1千克苹果4元，1千克香蕉8元，总价＝单价×数量，代入数据计算即可。 【详解】（1）香蕉：（元） （元） （元） 香蕉的单价为每千克8元（一定），所以香蕉的总价和购买的质量成正比例。 苹果：（元） （元） （元） 苹果的单价为每千克4元（一定），所以苹果的总价和购买的质量成正比例。 （2）香蕉贵一些；观察图像可知，1千克苹果4元，1千克香蕉8元，所以香蕉贵一些。（合理即可，答案不唯一） （3）苹果：（元） 香蕉：（元） 答：2.5千克苹果的总价为10元，2.5千克香蕉的总价为20元。 20．一种新型笔芯每支售价是0.8元。 数量/支 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … 总价/元 0 0.8 1.6 … （1）把笔芯数量与总价相对应的点在图中描出来，并连线。 （2）买11支笔芯需要（    ）元。 （3）小丽买笔芯的钱是小华的3倍，小丽买笔芯的支数是小华的（    ）倍。 【答案】2.4；3.2；4.0；4.8；5.6；6.4 （1）图见详解 （2）8.8 （3）3 【分析】已知一种新型笔芯每支售价是0.8元，根据“单价×数量＝总价”，求出买不同数量的笔芯对应的总价，据此把表格补充完整。 （1）把笔芯数量与总价相对应的点在图中描出来，并连线。 （2）根据“单价×数量＝总价”，求出买11支笔芯需要的钱数。 （3）根据总价÷数量＝单价，单价一定，则总价与数量成正比例关系，据此解答。 【详解】0.8×3＝2.4（元） 0.8×4＝3.2（元） 0.8×5＝4.0（元） 0.8×6＝4.8（元） 0.8×7＝5.6（元） 0.8×8＝6.4（元） 数量/支 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … 总价/元 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 4.8 5.6 6.4 … （1）如下图： （2）0.8×11＝8.8（元） 买11支笔芯需要8.8元。 （3）因为单价一定，总价与数量成正比例关系，所以小丽买笔芯的钱是小华的3倍，小丽买笔芯的支数是小华的3倍。 21．下表是订阅数学报纸的数量与总价的关系。 数量/份 0 10 20 30 40 50 … 总价/元 0 120 240 360 480 600 … （1）把订阅数学报纸的数量与总价所对应的点在图中描出来，并连线。 （2）订阅数学报纸的数量与总价成（    ）比例关系。 （3）六（1）班订阅了45份数学报纸，总价是（    ）元；六（2）班订阅数学报纸的总价是516元，六（2）班订阅了（    ）份数学报纸。 【答案】（1）见详解 （2）正 （3）540；43 【分析】（1）根据表中数据，在图中先描出各点，再连线即可； （2）正比例是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。据此可知，订阅数学报纸的数量与总价成正比例关系； （3）先通过表中数据求出订阅一份数学报纸需要的钱数，再乘45就得订阅了45份数学报纸的总价；用钱数516除以订阅一份数学报纸需要的钱数就得订阅的份数。 【详解】（1） ； （2）由图可知，订阅数学报纸的数量与总价成正比例关系； （3）订阅一份数学报纸需：120÷10＝12（元） 45×12＝540（元） 516÷12＝43（份） 所以，六（1）班订阅了45份数学报纸，总价是540元；六（2）班订阅数学报纸的总价是516元，六（2）班订阅了43份数学报纸。 22．一个带有容积刻度的圆柱形容器，里面水平放置着一个由圆柱和圆锥两部分组成的几何体铁块。以同样的速度往容器中注水（如左下图），注水时间与水面对应刻度的关系如右下图所示。 （1）图中铁块圆柱部分的高是圆锥高的（    ）倍。 （2）每秒注水多少毫升？ （3）铁块圆柱部分的体积是多少立方厘米。 【答案】（1）2 （2）10毫升 （3）30立方厘米 【分析】（1）从图中可知，水先填满圆柱周围空间，再填满圆锥周围空间。当容器里有圆柱时，水面刻度上升到了200毫升；当容器里有圆锥时，水面刻度上升了300－200＝100毫升；因为圆柱形容器的底面积不变，容积刻度和水面高度成正比，所以用200÷100即可求出圆柱的高是圆锥高的倍数。 （2）当注水第25秒至40秒时，水漫过了圆柱和圆锥。水面刻度从300毫升到450毫升时，即增加了水的体积450－300＝150毫升，用时40－25＝15秒，用150÷15＝10毫升，即求出了每秒注水量。 （3）当容器里有圆柱时，水面刻度上升到了200毫升，用时17秒。此时容积刻度＝圆柱体积＋水的体积，水的体积：10×17＝170毫升＝170立方厘米，所以圆柱体积＝水面刻度－水的体积＝200－170＝30毫升＝30立方厘米。 【详解】（1）200÷（300－200） ＝200÷100 ＝2 图中铁块圆柱部分的高是圆锥高的2倍。 （2）（450－300）÷（40－25） ＝150÷15 ＝10（毫升） 答：每秒注水10毫升。 （3）200－17×10 ＝200－170 ＝30（毫升） ＝30（立方厘米） 答：铁块圆柱部分的体积是30立方厘米。 【点睛】理解圆柱形容器的底面积不变，容积刻度和水面高度成正比是解此题的关键。 4 13 学科网（北京）股份有限公司 $$