精品解析：河南省安阳市文源高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

绝密★启用前 2024-2025学年第二学期高二年级3月月考 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知一组样本数据1，2，2，3，4，5，则2.5是该组数据的（ ） A. 极差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 【答案】C 【解析】 【分析】利用极差，平均数，中位数和众数的定义进行求解，得到答案. 【详解】由题得众数为2，极差为，平均数为， 中位数为． 故选：C 2. 直线与直线垂直，垂足为，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：根据两直线垂直可得，然后将点的坐标代入直线可得，同理可得，于是可得． 详解：∵直线与直线垂直， ∴， ∴， ∴直线方程即为． 将点的坐标代入上式可得， 解得． 将点的坐标代入方程得， 解得． ∴． 故选B． 点睛：本题考查两直线的位置关系及其应用，考查学生的应用意识及运算能力，解题的关键是灵活运用所学知识解题． 3. 已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】由二项分布的概念，根据二项式系数的对称性即可求解. 详解】由题得， 由题知在中，最大值只有， 即在中，最大值只有，由二项式系数的对称性可知. 故选：. 4. 某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如下图所示（收支差额＝车票收入－支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（1）不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）不改变支出费用，提高车票价格.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（ ） A. ①反映建议（2），③反映建议（1） B. ①反映建议（1），③反映建议（2） C. ②反映建议（1），④反映建议（2） D. ④反映建议（1），②反映建议（2） 【答案】B 【解析】 【分析】根据收支差额的计算公式可得正确的判断. 【详解】对于建议（1），因为不改变车票价格，减少支出费用，故建议后的图象与目前的图象倾斜方向相同，且纵截距变大，故①反映建议（1）； 对于建议（2），因为不改变支出费用，提高车票价格，故建议后的图象比目前的图象的倾斜角大，故③反映建议（2）. 故选：B. 【点睛】本题考查函数图像在实际问题中的应用，注意根据给出的建议结合题设中的计算公式分析出图象变化的规律，此题为基础题. 5. 已知直线和圆，则“”是“直线与圆相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的判断方法，结合直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】圆的方程可化为， 其圆心坐标为，半径为， 当时，直线，圆心到直线的距离，此时直线与圆相切，故充分性成立； 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，所以，故必要性成立， 所以“”是“直线与圆相切”的充要条件. 故选：C. 6. 已知函数为连续可导函数，的图象如图所示，以下命题正确的是（ ） A. 是函数的最小值 B. 是函数极小值 C. 在区间上单调递增 D. 在处的切线的斜率大于0 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象得到的单调性，并结合极值的定义和导数的几何意义求出答案. 【详解】C选项，由图象可看出当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，C错误； A选项，是函数的极小值，但无法确定是不是最小值，A错误； B选项，是函数的极大值，B错误； D选项，由于，故在处的切线的斜率大于0，D正确. 故选：D 7. 已知直线，相互平行，且，间的距离为，则a的值为（ ） A. B. 6 C. 或 D. 6或-4 【答案】C 【解析】 【分析】根据两平行直线之间的距离公式即可求出． 【详解】即，所以，间的距离为，解得或． 故选：C． 8. 已知圆，则的最小值为 A. 10 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点之间的距离公式，可得表示圆x2+y2-2x+4y-20=0上的点到原点的距离. 根据图形，结合两边之差小于第三边，可知此距离的最小值为圆的半径r减去圆心到原点的距离，进而求解. 【详解】， .圆心为（1，-2）半径为5. 又， 结合图形可知所求的最小值为. 故选B. 【点睛】本题考查了圆的方程的应用，考查了与圆的性质有关的最值问题，考查了数形结合和转化的思想方法，解答本题的关键是理解代数式所对应的几何意义. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，准线为直线，直线与交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 点到直线的距离是4 B. 若的方程是，则的面积为3 C. 若的中点到直线的距离为3，则 D. 若点在直线上，则 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，根据抛物线的定义即可求得；B选项，联立直线与抛物线方程，求出交点即可求得面积；C选项，依据抛物线的定义进行转化即可求得；D选项，设直线方程与抛物线联立，借助韦达定理设而不求求解. 【详解】对于选项A，由题意可知抛物线的焦点为，准线的方程为，所以点到直线的距离是2，故A错误； 对于选项B，由得，解得或， 所以6，又与轴的交点为，所以，所以的面积为，故B正确； 对于选项C，因为的中点到直线的距离为3，所以，即，所以，故C错误； 对于选项D，设：，，， 由得，，，， 因为，所以，故D正确. 故选：BD. 10. 设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 是等差数列 B. 当或时，取得最大值 C. 数列的前项和是 D. ，，成等差数列，公差为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据已知条件可得是以为首项，为公差的等差数列，利用通项公式求出，，根据二次函数性质可判断选项B，利用与的关系可求得，即可判断选项A，根据等差数列前项和的公式和性质即可判断选项CD. 【详解】由，， 可得是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以， 对于函数，开口向下，其对称轴为， 所以对于，当或时，取得最大值，B正确； 则 ， 又，符合上式， 所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列，A正确； 所以，，成等差数列， 又，， 所以， 所以，，成等差数列，且公差为，D错； 又当时，， 所以数列的前项和是 ， 又，， 所以数列的前项和为，C正确. 故选：ABC 11. 已知，是双曲线（，）的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且，下列判断正确的是（ ） A. B. E的离心率等于 C. 的内切圆半径是 D. 双曲线渐近线的方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】由几何关系得轴，再由离心率，渐近线的概念对选项逐一判断， 【详解】因为M，O分别是，的中点， 所以在中，，所以轴， 对于A，因为直线的倾斜角为，所以，故A正确， 对于B，中，，，， 所以，得：，故B正确， 对于C，的周长为，设内切圆半径为r，根据三角形的等面积法， 有，得：，故C错误， 对于D，，双曲线渐近线的方程为，故D错误， 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过两圆和的交点的直线方程为__． 【答案】 【解析】 【分析】将两个圆的标准方程化为一般方程，然后作差，得到公共弦方程． 【详解】解：的一般方程为：①， 的一般方程为：②， ①②可得，，即， 所以两圆公共弦方程为， 故答案为：． 13. 大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由计数原理确定总的分配方法，再确定小明恰好分配到甲村小学的分配方法，由古典概型概率公式即可求解； 【详解】依题意，小明与另外3名大学生分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学的分配方法是1个学校2人，另外2个学校各1人，共有（种）分配方法， 若小明恰好分配到甲村小学，有（种）分配方法， 根据古典概型的概率计算公式得所求的概率为． 故答案： 14. 设函数，若在上满足的正整数至多有两个，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】在上满足的正整数至多有两个，即，设，求导，可得函数单调性及函数值，进而可得参数范围. 【详解】由在上满足的正整数至多有两个， 即在上满足的正整数至多有两个， 设，， 则， 设，， 则，， 设，， 则恒成立， 则在上单调递增， 即，即， 所以在上单调递增， 又， 所以当时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增； 所以当时，取最小值， 又在上满足的正整数至多有两个， 则， 即， 故答案为：. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）长轴长为，离心率为； （2）x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，结合椭圆的焦点在轴和上，分类讨论，即可求解； （2）设椭圆的标准方程为，根据题意求得的值，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意，椭圆的长轴长为，离心率为， 可得，可得，则， 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为. 综上，椭圆的方程为或. 【小问2详解】 解：由题意，设椭圆的标准方程为， 如图所示，为椭圆的一个焦点，分别为短轴的两个端点，且焦距为， 则为一等腰直角三角形，所以，所以， 故所求椭圆的标准方程为. 16. 在数列中， （1）证明：数列是等比数列． （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设得，结合等比数列定义即可得证； （2）由（1）求出数列的通项公式，再由等差、等比数列前n项和公式即可计算得解. 【小问1详解】 由得，， 所以数列为首项为1，公比为3的等比数列. 【小问2详解】 由（1）得，则， . 17. 某家庭进行摸球得压岁钱游戏．规则如下：袋中有大小相同的3个红球，2个蓝球，每次从袋中摸出2个球，若摸到0个红球就没有压岁钱；若摸到1个红球就得压岁钱100元；若摸到2个红球就得压岁钱200元． （1）求摸球一次，摸到红球个数的分布列； （2）求摸球一次，得到的压岁钱的均值． 【答案】（1） 0 1 2 （2）120元【解析】 【分析】（1）求出的所有可能取值及对应的概率，得到分布列； （2）在（1）基础上求出，由得到. 【小问1详解】 的所有可能取值为，则， ，， 所以摸到红球个数的分布列为 0 1 2 【小问2详解】由题意得：摸球一次得到的压岁钱， 由（1）得， 所以， 故摸球一次得到的压岁钱的数学期望为120元． 18. 已知四数． （1）求在处的切线方程； （2）证明：函数只有一个零点； （3）当时，函数恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）讨论、、，根据函数值符号，且利用导数判断在上恒成立或的单调性，即可证结论； （3）问题化为在上恒成立，对求导，讨论参数，利用导数研究对应的单调性及其函数符号求参数范围. 【小问1详解】 由题设，则，又， 所以在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 当时，，，故恒成立； 当时，； 当时， 法一：令，则， 令，则，即在上单调递增， 所以，故在上单调递增， 所以在上恒成立； 法二：恒成立，即在上单调递增，所以； 综上，函数只有一个零点为，得证； 【小问3详解】 由题意，在上恒成立， 所以，在上恒成立， 而， 令，则， 对于且，则， 所以在上单调递增，则，可得， 对于且，则， 所以在上单调递增，则，可得， 综上，，则，即在上单调递增， 所以， 当时，，即在上单调递增，此时，满足； 当时，，， 所以使，即存在区间使，不符合； （保号性：，，故必存在的情况，不符合；） 综上，. 【点睛】关键点点睛：第二问，注意应用导数判断在上恒成立；第三问，问题化为在上恒成立为关键. 19. 已知椭圆的左右焦点为为其上顶点，正三角形 （1）求椭圆离心率； （2）若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于的面积是，求椭圆的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合正三角形特征可得，求出离心率作答. （2）由（1）可得椭圆C的方程，再把直线方程与椭圆方程联立结合给定条件，求出半焦距c作答. 【小问1详解】 设，显然，因为为正三角形，则， 所以椭圆的离心率. 【小问2详解】 由（1）知，，椭圆的方程为：，显然， 由消去y并整理得：， ，即有，设， 则有， ，因此， 整理得，满足，点O到直线的距离， ， 的面积，解得， 所以椭圆的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2024-2025学年第二学期高二年级3月月考 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知一组样本数据1，2，2，3，4，5，则2.5是该组数据的（ ） A. 极差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 2. 直线与直线垂直，垂足为，则 A B. C. D. 3. 已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4. 某条公共汽车线路收支差额与乘客量函数关系如下图所示（收支差额＝车票收入－支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（1）不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）不改变支出费用，提高车票价格.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（ ） A. ①反映建议（2），③反映建议（1） B. ①反映建议（1），③反映建议（2） C. ②反映建议（1），④反映建议（2） D. ④反映建议（1），②反映建议（2） 5. 已知直线和圆，则“”是“直线与圆相切”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数为连续可导函数，的图象如图所示，以下命题正确的是（ ） A. 是函数的最小值 B. 是函数的极小值 C. 在区间上单调递增 D. 在处的切线的斜率大于0 7. 已知直线，相互平行，且，间的距离为，则a的值为（ ） A. B. 6 C. 或 D. 6或-4 8. 已知圆，则的最小值为 A. 10 B. C. D. 5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，准线为直线，直线与交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 点到直线的距离是4 B. 若的方程是，则的面积为3 C. 若的中点到直线的距离为3，则 D. 若点在直线上，则 10. 设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 是等差数列 B. 当或时，取得最大值 C. 数列的前项和是 D. ，，成等差数列，公差为 11. 已知，是双曲线（，）的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且，下列判断正确的是（ ） A. B. E离心率等于 C. 的内切圆半径是 D. 双曲线渐近线的方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过两圆和的交点的直线方程为__． 13. 大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为_________． 14. 设函数，若在上满足的正整数至多有两个，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）长轴长为，离心率为； （2）x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为. 16. 在数列中， （1）证明：数列是等比数列． （2）求数列的前n项和． 17. 某家庭进行摸球得压岁钱游戏．规则如下：袋中有大小相同的3个红球，2个蓝球，每次从袋中摸出2个球，若摸到0个红球就没有压岁钱；若摸到1个红球就得压岁钱100元；若摸到2个红球就得压岁钱200元． （1）求摸球一次，摸到红球个数的分布列； （2）求摸球一次，得到压岁钱的均值． 18. 已知四数． （1）求在处的切线方程； （2）证明：函数只有一个零点； （3）当时，函数恒成立，求a的取值范围． 19. 已知椭圆的左右焦点为为其上顶点，正三角形 （1）求椭圆的离心率； （2）若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于的面积是，求椭圆的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $