精品解析：北京师范大学附属实验中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

阶段性练习 2025.3.4 一、选择题（共16分，每题2分）． 1. 窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是轴对称图形、中心对称图形的定义，解题关键是熟练掌握轴对称图形、中心对称图形的定义． 根据轴对称图形、中心对称图形的定义对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：选项，该窗花是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； 选项，该窗花是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； 选项，该窗花是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意，选项错误； 选项，该窗花既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意，选项正确． 故选：． 2. 在2025年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的运用，确定的值是解题的关键． 科学记数法的形式为，确定值的方法：当原数的绝对值时，把原数变为时，小数点向左移动位数即为的值；当原数的绝对值时，把原数变为时，小数点向右移动位数的相反数即为的值；由此即可求解． 【详解】解：前三日，总票房便达到亿元， ∴平均每天的票房为（亿）， ∴亿， 故选：D ． 3. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 4. 若实数x的取值范围在数轴上的表示如图所示，在下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，不等式的性质，化简绝对值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据绝对值的性质与不等式的性质逐一分析判断即可． 【详解】解：， 当时，， 故选项A错误； ， ， 故选项B错误； ， ， 故选项C错误； ， ， 故选项D正确； 故选：D． 5. 平面直角坐标系中，若点和在反比例函数图像上，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数图像的特点即可求解． 【详解】解：∵反比例函数， ∴反比例函数图像经过第一、三象限，在第一象限中，函数值随的增大而减小， ∴点和中，， ∴，即， 故选：． 【点睛】本题主要考查反比例函数图像的特点，掌握反比例函数图像的增减性是解题的关键． 6. 不透明的袋子中装有四个小球，上面分别写有数字“1”，“2”，“3”，“4”，除数字外这些小球无其他差别．从袋中随机同时摸出两个小球，那么这两个小球上的数字之和是5的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了树状图法求概率，先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的卡片的数字之和等于5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：根据题意画树状图如图：     共有12种情况，两次摸出的卡片的数字之和等于5的有4种， ∴两次摸出的卡片的数字之和等于5的概率为， 故选：B． 7. 如图，是的弦，是的直径，于点E．在下列结论中，不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理，熟练掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理、圆周角定理判断求解即可． 【详解】解：是的直径，， ，，，， 故A、B、C不符合题意，D符合题意； 故选：D． 8. 如图，在中，，， (其中)．于点D，点E在边上， 设，，， 给出下面三个结论∶①；②；③的长是关于 x 的方程 的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，公式法解一元二次方程，关键在于找出各边的几何关系． 【详解】解：∵在中，，即， 在中，，即， ∴ ， 即， 故①正确． ∵在中，， 在中，， ∴， 又∵在中，， ∴， 即， 即， ∴， ∴， 故②错误． ∵， ∴， ∵的实数根为： ， ∴的长是关于 x 的方程 的一个实数根， 故③正确． 综上①③正确， 故选：B． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 要使二次根式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件， 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴． 故答案为：． 10. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 11. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】先将原分式方程转化为整式方程，解整式方程得到未知数的值后进行检验，即可得到原方程的解，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 【详解】解： 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 解得：， 检验：把代入，得， ∴原分式方程的解为． 12. 如图， 在中，点在边上，，的延长线交于点．若，， 则 ． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由，推出． 由平行四边形的性质得到，，推出，得到，而，于是得到． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 13. 咖啡树种子的发芽能力会随着保存时间的增长而减弱．咖啡树种子保存到三个月时，发芽率约为95%；从三个月到五个月，发芽率会逐渐降到75%；从五个月到九个月，发芽率会逐渐降到25%．农科院记录了某批咖啡树种子的发芽情况，结果如下表所示： 种子数量 10 50 150 300 500 800 发芽数量 9 41 133 261 431 689 发芽率 0.9 0.82 0.887 0.87 0.862 0.861 据此推测，下面三个时间段中，这批咖啡树种子的保存时间是________（填“三个月内”“三至五个月”或“五至九个月”）． 【答案】三至五个月 【解析】 【分析】根据频率估计概率，结合题意即可求解．利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：根据表格可知，某批咖啡树种子的发芽情况接近 ∵咖啡树种子保存到三个月时，发芽率约为95%；从三个月到五个月，发芽率会逐渐降到75%； ∴这批咖啡树种子的保存时间是三至五个月 故答案为：三至五个月． 【点睛】本题考查了频率估计概率，理解题意是解题的关键． 14. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】由于关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，由此可以得到，并且方程的判别式，由此即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 且． 15. 如图，两个边长相等的正六边形的公共边为，点A，B，C在同一直线上， 点，分别为两个正六边形的中心． 则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．连接，过点作，垂足为E， 根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点作，垂足为E， 设正六边形的边长为a，则， 在中，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 某陶艺工坊有A和B两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品，两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如表所示． 尺寸 数量（个） 款式 大 中 小 A 8 15 25 B 0 10 20 烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品，某批次需要生产10个大尺寸陶艺品，50个中尺寸陶艺品，76个小尺寸陶艺品． （1）烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用__________次； （2）若A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元，则烧制这批陶艺品成本最低为__________元． 【答案】 ①. 2 ②. 135 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据需要生产10个大尺寸陶艺品，A款电热窑每次烧制8个大尺寸陶艺品，B款电热窑每次烧制0个大尺寸陶艺品即可得到答案； （2）要使成本最低，则在保证能够完成烧制任务的前提下，A款电热窑的使用次数要保证使用次数最少，且B款电热窑的使用次数也要最少，据此求解即可． 【详解】解：（1）设烧制这批陶艺品，A款电热窑使用了x次， 根据题意，得， 则， ∵x为正整数，x的最小值为2， ∴烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用2次， 故答案为：2； 解：（2）∵A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元， ∴要使成本最低，则在保证能够完成烧制任务的前提下，A款电热窑的使用次数要保证使用次数最少，且B款电热窑的使用次数也要最少； 当A款电热窑的使用次数为2次时，则可以烧制10个大尺寸陶艺品，个中尺寸陶艺品，个小尺寸陶艺品， ∴在此种情形下，只需要B款电热窑的使用次数1次即可完成任务， ∴烧制这批陶艺品成本最低为， 故答案为：135． 三、解答题（共68分）解答应写出文字说明、演算步骤域证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算能力，特殊角的三角函数值．根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【详解】解：原式 18. 解不等式组，并写出它的所有正整数解． 【答案】 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式的步骤即可解答． 【详解】解： ， 由①得：， 由②得：， ∴原不等式的解集为； ∴原不等式所有正整数解为：； 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减运算法则是解答本题的关键．先把所给分式化简，再把代入计算即可． 【详解】解：原式． ∵， ∴， ∴原式． 20. 如图，点在的对角线的延长线上，，于点，交的延长线于点，连接． （1）求证: 四边形是菱形； （2）若 求菱形的面积． 【答案】（1）证明：，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）32 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得出，再证和全等，得出，于是根据对角线相等的四边形是平行四边形推出四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出四边形是菱形； （2）分别求出、的长，即可得出对角线、的长，根据菱形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得，， ， ， 即， ， 四边形是菱形， ，， 菱形的面积． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，锐角三角函数，菱形的面积等，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 21. 每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设的长为x米，的长为y米． 测量数据（精确到0.1米）如表所示： 直杆高度 直杆影长 的长 第一次 1.0 0.6 15.8 第二次 1.0 0.7 20.1 （1）由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______； （2）该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得，则钟楼的高度约为______米． 【答案】（1）， （2）43 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由同一时刻测量，得到是本题的关键． （1）由同一时刻测量，可得，分别代入第一次测量、第二次测量的数值，可得其关于、的方程； （2）已经求得，将代入任一个方程，可求得的值，即得钟楼的高度． 【小问1详解】 由同一时刻测量，可得， 第一次测量：，化简得，， 第二次测量：，化简得，， 故答案为：，； 【小问2详解】 对于，代入， 得，， 解得：， 钟楼米， 故答案为：43． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求该函数解析式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且大于，直接写出n的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象及性质等． （1）将点和代入中即可得到本题答案； （2）根据可得与轴交于，再画出符合题意的图象进行分析即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：由题意得：将点和代入中得： ，解得：， ∴该函数解析式为：； 【小问2详解】 解：当时，代入得：， 在平面直角坐标系中画出直线和满足条件的直线，如图： ∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值， ∴当过时满足题意 ∴，， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于， ∴当过时满足题意， ∴，， 综上：满足条件的n的取值范围为：． 23. 商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅．下面给出了商品售价和成本（单位：元）的相关公式和部分信息： ．计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为： ，； ．规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半； ．甲、乙两种商品成本与售价信息如下： 甲商品的成本与售价信息表 第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 成本 售价 m n p 乙商品的成本与售价统计图 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲商品这五周成本的平均数为___________，中位数为___________； （2）表中m的值为____________，从第三周到第五周，甲商品第_______周的售价最高； （3）记乙商品这周售价的方差为，若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，重新计算每周售价，记这周新售价的方差为，则________；（填“”“”或“”）． 【答案】（1）， （2），四 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意知，成本从小到大依次排序为；则甲商品这五周成本的平均数为，中位数为第3个位置的数，求解作答即可； （2）由题意知，第二周成本的涨跌幅为，第二周售价的涨跌幅为，可求；同理可求；；根据，作答即可； （3）由，可知改规定后售价的波动比改规定前的售价波动小，即，然后作答即可． 【小问1详解】 解：由题意知，成本从小到大依次排序为； ∴甲商品这五周成本的平均数为， 中位数为第3个位置的数即中位数是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意知，第二周成本的涨跌幅为， ∴第二周售价的涨跌幅为， 解得，； 同理，第四周成本的涨跌幅为，第四周售价的涨跌幅为， 解得，； 第五周成本的涨跌幅为，第五周售价的涨跌幅为， 解得，； ∵， ∴从第三周到第五周，甲商品第四周的售价最高， 故答案为：，四； 【小问3详解】 解：由题意知，改规定前“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”，改规定后“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”， ∵， ∴改规定后售价的波动比改规定前的售价波动小， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平均数，中位数，一元一次方程的应用，方差与稳定性．熟练掌握平均数，中位数，一元一次方程的应用，方差与稳定性是解题的关键． 24. 如图，中，，，是的外接圆，D在上，满足，与交于点E，过点A作的切线，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】（1）在中，圆周角定理得出是的直径，切线的性质得出，再结合求出，，等角对等边即可证明． （2）连接．圆周角定理得出．，结合（1）得，勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质即可求出，再证明，，得出E为的中点，即可求解． 【小问1详解】 证明：在中， ∵， ∴是的直径． ∵是的切线， ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 【小问2详解】 解：连接． ∵是的直径， ∴． ∴， ∵由（1）得，， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴E为的中点． ∴． 【点睛】该题主要考查了圆周角定理，切线的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 25. 已知乒乓球桌的长度为，某人从球桌边缘正上方高处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度（单位：cm）与水平距离（单位：cm）近似满足函数关系．乒乓球的水平距离与竖直高度的几组数据如表所示．根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式； 水平距离 0 40 80 120 160 竖直高度 18 42 50 42 18 （2）乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．判断乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上，并说明理由． 【答案】（1）， （2） 乒乓球再次落下时仍落在球桌上，理由如下： 令，则， 解得或（舍去）， ∴球第一次落在球桌面上的点为， 把代入，得， 解得（舍去）或， ∴乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系， 当时，， 解得或（舍去）， ∵， ∴乒乓球再次落下时仍落在球桌上． 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质； （1）从表格中发现高度的最大值为50，可知顶点为，可知，再将代入即可求出； （2）乒乓球在桌面的落点就是抛物线与x轴的交点，在中令，即可求出球第一次落在球桌面上的落点，再将代入到求出弹起后满足的关系式，再令，就可求出第二次的落点，然后跟桌面长度比较即可，注意乒乓球是向前运动的，即在坐标系中是向右运动的，所以求出在左侧的落点要舍去. 【小问1详解】 解：乒乓球竖直高度的最大值 依题意，， ∴与的函数关系式为， 把代入函数解析式得：， 解得， ∴与的函数关系式为. 【小问2详解】 略 26. 在平面直角坐标系中，点，是抛物线上不重合的两点． （1）当，时，求的值； （2）若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1）0 （2）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质； （1）由求出，，再根据得到，代入计算即可； （2）的对称轴为，根据二次函数的增减性判断即可，注意根据开口方向分类讨论． 【小问1详解】 解：当时，，， 将代入得，，即 ∵， ∴， 将代入得，， 解得：或， ∵点A、B不重合， ∴； 【小问2详解】 解：∵的对称轴为， ∴关于对称轴对称的点坐标为， 当时，抛物线开口向上，在对称轴右边时，即当时，随增大而增大， ∴， ∵， ∴，都在对称轴右侧， ∵对于，都有， ∴，解得，此时； 当时，抛物线开口向下，在对称轴左边时，即当时，随增大而增大， ∴， ∵， ∴ ∴，都在对称轴的左侧， ∵对于，都有， ∴，解得，此时； 综上所述，的取值范围为或． 27. 在中，，，绕点C顺时针旋转角度α（）得到． （1）如图1，若，连接交于点E，若，求的长； （2）如图2，若，平分交于点F，连接，过点C作，在射线上取点G使得，连接，请用等式表示线段、、之间的数量关系并证明； （3）如图3，若，点P是线段上一动点，将绕点P逆时针旋转得到，连接，M为的中点，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1）； （2） 证明：连接，与交于点O，如图2， 由旋转可得，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴G、B、D三点共线，且是等腰直角三角形， ∴， ∴， 整理得； （3）8． 【解析】 【分析】（1）根据旋转可得，即可得到，据此求解即可； （2）连接，与交于点O，根据角平分线可得，进而得到，，得到，，可得，即可推出和是等腰直角三角形，据此求解即可； （3）如图，过P作交于H，交于O，过Q作交于G，延长交于N，延长至E，使，过A作交于F，根据一线三垂直模型可证明，得，，设,则， ，得到四边形是矩形，四边形是正方形，再说明M与O重合，，最后根据，得到当A、N、E三点共线时取得最小值，得到，解得，最后根据计算即可． 【小问1详解】 解：由旋转可得，， ∴，， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图3，过P作交于H，交于O，过Q作交于G，延长交于N，延长至E，使，过A作交于F， ∵将绕点P逆时针旋转90°得到， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， 设， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴点B在上，，, ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴O为的中点， ∵M为的中点， ∴M与O重合，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当A、N、E三点共线时取得最小值，此时， ∴, ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，轴对称与最小值，勾股定理，30°直角三角形的性质，涉及知识点比较多，难度比较大． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和不在直线上的点C，给出如下定义：若，且点C关于弦的中点M的对称点在上或其内部，则称点C为弦的“关联点”. （1）已知点，. ①在点，，中，点 是弦的关联点，其中 °； ②若直线上存在的“关联点”，则b的取值范围是 ； （2）若点C是的“关联点”，且，直接写出弦的最大值和最小值. 【答案】（1）①，60； （2）最大值和最小值分别为和1 【解析】 【分析】（1）①反向思考，作出关于点M的对称圆，只要满足，，在上或内部，均符合题意，先根据中点坐标公式求出M，再求出，根据点与圆的位置关系即可求解； ②同上作出关于点M的对称圆，连接，可求，，则，故的“关联点”在优弧上（不包括端点），若直线上存在的“关联点”，则直线与优弧上（不包括端点）有交点，当直线经过点A时，把代入，求出，当直线与相切时，记切点为H，连接，记直线与轴交于点，可求，则，过作轴交直线于点，求出点，代入，求得：，那么时，直线上存在的“关联点”； （2）先确定点C在以O为圆心为半径的圆上，对于弦，我们固定点，调整点A位置即可，同上作出关于点M对称的，则根据关联点的定义可知：点C首先需要在关于点M对称的上或者内部（不包括A、B），以为底边，作顶角为的等腰，由圆周角定理可得，故点C又得在以为圆心，为半径的优弧上，那么优弧必须与以O为圆心为半径的圆有交点，才符合题意，当优弧必须与以O为圆心为半径的圆相切时，最小，设切点为点，由圆的对称性可知共线，，设，则同上可得，由，得到，解得：，则，当恰好经过优弧时，此时最大，那么此时点与重合，则，求得，那么，综上，弦的最大值为，最小值为1． 【小问1详解】 解：①∵点C关于弦的中点M的对称点在上或其内部，则称点C为弦的“关联点”， ∴反向思考，作出关于点M的对称圆，只要满足，，在上或内部，均符合题意， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴点到的距离为， ∴点在上， 同理经过计算，到的距离为均大于半径，故不符合题意， ∴点是弦的关联点， 连接， ∴，同理可求，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，60； ②同上作出关于点M的对称圆，连接， ∵，，，， 同理可求，，， ∴同理可求， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的“关联点”在优弧上（不包括端点）， ∴若直线上存在的“关联点”， 则直线与优弧上（不包括端点）有交点， 当直线经过点A时，如图： ∴把代入得：， 解得：， ∴，直线与优弧上（不包括端点）有交点， 当直线与相切时，如图： 记切点为H，连接，记直线与轴交于点， 当时，， 解得：， ∴， 当，， ∴， 则， ∴， 过作轴交直线于点， 则， ∵由切线得性质得到： ∴， ∴点， 代入， 求得：， ∴，直线与优弧上（不包括端点）有交点， 综上所述：时，直线上存在的“关联点”， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴点C在以O为圆心为半径的圆上， 对于弦，我们固定点，调整点A位置即可， 同上作出关于点M对称的， ∵点C是的“关联点”， ∴根据关联点的定义可知：点C首先需要在关于点M对称的上或者内部（不包括A、B）， ∵点C是的“关联点”， ∴以为底边，作顶角为的等腰， ∴由圆周角定理可得：， ∴点C又得在以为圆心，为半径的优弧上， 那么优弧必须与以O为圆心为半径的圆有交点，才符合题意， ∴当优弧必须与以O为圆心为半径的圆相切时，最小，设切点为点，如图： 由圆的对称性可知共线，， 设，则同上可得， ∴在中，， ∵， ∴， 解得：或（舍） ∴， 当恰好经过优弧时，此时最大，那么此时点与重合，如图： ∴， ∴， ∴， 综上，弦的最大值为，最小值为1． 【点睛】本题考查了新定义，难度很大，涉及圆周角定理，解直角三角形，点与圆的位置关系，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，综合性很强，解题的关键在于反向思考和固定变量解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段性练习 2025.3.4 一、选择题（共16分，每题2分）． 1. 窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 在2025年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 3. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 4. 若实数x的取值范围在数轴上的表示如图所示，在下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 平面直角坐标系中，若点和在反比例函数图像上，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 不透明的袋子中装有四个小球，上面分别写有数字“1”，“2”，“3”，“4”，除数字外这些小球无其他差别．从袋中随机同时摸出两个小球，那么这两个小球上的数字之和是5的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的弦，是的直径，于点E．在下列结论中，不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，， (其中)．于点D，点E在边上， 设，，， 给出下面三个结论∶①；②；③的长是关于 x 的方程 的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 要使二次根式有意义，则的取值范围是_____． 10. 分解因式：________． 11. 方程的解为________． 12. 如图， 在中，点 在边上，，的延长线交于点 ．若，， 则 ． 13. 咖啡树种子的发芽能力会随着保存时间的增长而减弱．咖啡树种子保存到三个月时，发芽率约为95%；从三个月到五个月，发芽率会逐渐降到75%；从五个月到九个月，发芽率会逐渐降到25%．农科院记录了某批咖啡树种子的发芽情况，结果如下表所示： 种子数量 10 50 150 300 500 800 发芽数量 9 41 133 261 431 689 发芽率 0.9 0.82 0.887 0.87 0.862 0.861 据此推测，下面三个时间段中，这批咖啡树种子的保存时间是________（填“三个月内”“三至五个月”或“五至九个月”）． 14. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 15. 如图，两个边长相等的正六边形的公共边为，点A，B，C在同一直线上， 点，分别为两个正六边形的中心． 则的值为______． 16. 某陶艺工坊有A和B两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品，两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如表所示． 尺寸 数量（个） 款式 大 中 小 A 8 15 25 B 0 10 20 烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品，某批次需要生产10个大尺寸陶艺品，50个中尺寸陶艺品，76个小尺寸陶艺品． （1）烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用__________次； （2）若A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元，则烧制这批陶艺品成本最低为__________元． 三、解答题（共68分）解答应写出文字说明、演算步骤域证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组，并写出它的所有正整数解． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，点 在的对角线的延长线上，，于点 ，交的延长线于点，连接． （1）求证: 四边形是菱形； （2）若 求菱形的面积． 21. 每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设的长为x米，的长为y米． 测量数据（精确到0.1米）如表所示： 直杆高度 直杆影长 的长 第一次 1.0 0.6 15.8 第二次 1.0 0.7 20.1 （1）由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______； （2）该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得，则钟楼的高度约为______米． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求该函数解析式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且大于，直接写出n的取值范围． 23. 商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅．下面给出了商品售价和成本（单位：元）的相关公式和部分信息： ．计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为： ，； ．规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半； ．甲、乙两种商品成本与售价信息如下： 甲商品的成本与售价信息表 第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 成本 售价 m n p 乙商品的成本与售价统计图 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲商品这五周成本的平均数为___________，中位数为___________； （2）表中m的值为____________，从第三周到第五周，甲商品第_______周的售价最高； （3）记乙商品这周售价的方差为，若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，重新计算每周售价，记这周新售价的方差为，则________；（填“”“”或“”）． 24. 如图，中，，，是的外接圆，D在上，满足，与交于点E，过点A作的切线，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 已知乒乓球桌的长度为，某人从球桌边缘正上方高处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度（单位：cm）与水平距离（单位：cm）近似满足函数关系．乒乓球的水平距离与竖直高度的几组数据如表所示．根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式； 水平距离 0 40 80 120 160 竖直高度 18 42 50 42 18 （2）乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．判断乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上，并说明理由． 26. 在平面直角坐标系中，点，是抛物线上不重合的两点． （1）当，时，求的值； （2）若对于，都有，求的取值范围． 27. 在中，，，绕点C顺时针旋转角度α（）得到． （1）如图1，若，连接交于点E，若，求的长； （2）如图2，若，平分交于点F，连接，过点C作，在射线上取点G使得，连接，请用等式表示线段、、之间的数量关系并证明； （3）如图3，若，点P是线段上一动点，将绕点P逆时针旋转得到，连接，M为的中点，当取得最小值时，请直接写出的面积． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和不在直线上的点C，给出如下定义：若，且点C关于弦的中点M的对称点在上或其内部，则称点C为弦的“关联点”. （1）已知点，. ①在点，，中，点 是弦的关联点，其中 °； ②若直线上存在的“关联点”，则b的取值范围是 ； （2）若点C是的“关联点”，且，直接写出弦的最大值和最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $