第7单元用方程解决其他实际问题知识全梳理、考点全汇总、针对性训练-2024-2025学年数学五年级下（北师大版）

第7单元用方程解决其他实际问题知识全梳理、考点全汇总、针对性训练-2024-2025学年数学五年级下册北师大版 知识全梳理 列方程解应用题的步骤 ①弄清题意，确定未知数，并用x表示． ②找出题中数量之间的相等关系． ③列方程，解方程． ④检查或验算，写出答案． 列方程解应用题的方法 ①综合法：先把应用题中已知的数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，并找出它们之间的等量关系，列出方程．这是从部分到整体的一种思维过程，其思考的方向是从已知到未知． ②分析法：先找出等量关系，再根据建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，列出方程．这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知． 考点全汇总 【考点一】列简易方程 【考点二】列方程解和差倍问题 【考点三】列方程解年龄问题 【考点四】列方程解相遇问题 【考点五】列方程解复杂行程问题 【考点六】列方程解其他实际问题 针对性训练 【考点一】列简易方程 1．箱子里有同样数量的乒乓球和羽毛球。每次取出5个乒乓球和3个羽毛球，取了m次后，乒乓球没有了，羽毛球还剩16个，下列方程错误的是（    ）。 A．5m－3m＝16 B．5m－16＝3m C．5m＋3m＝16 D．3m＋16＝5m 2．下列数学问题中，不能用方程“”解决的是（    ）。 A．哥哥今年15岁，比弟弟年龄的3倍多6岁，弟弟几岁？ B．买3本笔记本和1个6元的文具袋共15元，1本笔记本多少元？ C． D． 3．元宵舞龙是重要的民俗之一。2015年，惠东县吉隆镇元宵舞龙被纳入广东省第六批非物质文化遗产代表作名录。在元宵当天，圩镇会有二三十条舞龙队穿街走巷，其中维持秩序的志愿者队伍里有男生85人，男生是女生的2倍多15人，女生有多少人？设女生人数为人，正确的方程是（    ）。 A． B． C． D． 4．一套桌椅的售价为196元，一张桌子的售价比一把椅子的售价的3倍少8元，一张桌子、一把椅子的售价分别是多少元？设一把椅子的售价为元，列式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【考点二】列方程解和差倍问题 5．购买一套桌椅需要224元，一张桌子的价格是一把椅子的3倍。一把椅子多少元？ 6．一个长方形的周长是80厘米，长比宽多4厘米，这个长方形的长和宽各是多少厘米？（列方程解决问题。） 7．公园里有菊花和月季花一共560盆，菊花的盆数是月季花的7倍。那么月季花有多少盆？（用方程解答） 8．乐乐家养白兔、灰兔共300只，灰兔比白兔少8只，乐乐家养的白兔、灰兔各有多少只？（用方程解决问题） 【考点三】列方程解年龄问题 9．小明今年8岁，爸爸今年42岁，若干年后，爸爸的年龄比小明年龄的4倍少11岁，那时爸爸的年龄是多少岁？ 10．今年妈妈的年龄比笑笑年龄的3倍少3岁，妈妈今年39岁，笑笑今年多少岁？（列方程解答） 11．小红今年比妈妈小25岁，今年妈妈年龄是小红的6倍，今年小红和妈妈各多少岁？（用方程方法解） 12．李老师今年38岁，比笑笑年龄的4倍少6岁，笑笑今年几岁？（先写出等量关系式，再列方程解答） 【考点四】列方程解相遇问题 13．一辆客车和一辆货车同时从相距1320千米的两地相向而行，客车每时行驶60千米，货车每时行驶50千米。几时后两车相遇？ 14．北京到呼和浩特的铁路线长660千米，一列火车从呼和浩特开出，每时行驶120千米；另一列火车从北京出发，每时行驶144千米，两列火车同时开出，经过几时相遇？（用方程解答） 15．甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向开出，甲车每时行60千米，乙车每时行48千米，两车在离中点30千米处相遇。A、B两地间的距离是多少千米？ 16．小刚和小强两人同时从家里出发，相向而行。 两人经过几分钟相遇？在图中用“”标出相遇时的大致位置。相遇时，小强走了多少米？ 【考点五】列方程解复杂行程问题 17．一列快车和一列慢车从相距945千米的两地同时相对开出，3时后相遇，已知快车的速度是慢车的2倍。慢车的行驶速度是多少千米/时？（列方程解答） 18．小明要在早上7：50之前到达距家1000米的学校上学。一天，小明以80米/分的速度从家出发，5分钟后，爸爸发现小明忘了带数学书，于是爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并在中途追上了他。爸爸追上小明用了多少分钟？（列方程计算） 19．小强家到学校，如果每分走50米，上课就要迟到3分钟，如果每分钟走60米，就可以提前2分钟到校。小强家到学校的路程是多少米？ 20．兄妹二人同时离家去上学，哥哥每分钟走80米，妹妹每分钟走60米，哥哥到校门口时，突然发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，返回时行至离校门140米处与妹妹相遇，问他们家离学校有多远？ 【考点六】列方程解其他实际问题 21．依依去文具店买了一个日记本和一支新款钢笔，共花了20.4元。钢笔的价钱正好是日记本的3倍。依依买的日记本和钢笔分别是多少元？ 22．甲、乙两个科研小组共同获得一笔奖金，甲组人数是乙组人数的2倍。这笔奖金一共有多少万元？ 23．第七届世界军人运动会是历史上规模最大、参赛人员最多的运动会，组委会招募的城市志愿者和赛会志愿者共计23.6万人，其中城市志愿者人数比赛会志愿者的8倍多0.2万人。参与服务的赛会志愿者和城市志愿者各有多少万人？ 24．近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活。某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送。若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件。该分派站现有包裹多少件？快递员多少名？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】根据四个选项的不同方程，得出相应的等量关系，看是否符合题意，找出错误的方程。 【详解】A．5m－3m＝16，等量关系：取了m次的乒乓球的数量－取了m次的羽毛球的数量＝羽毛球还剩的数量，符合题意，方程正确； B．5m－16＝3m，等量关系：取了m次的乒乓球的数量－羽毛球还剩的数量＝取了m次的羽毛球的数量，符合题意，方程正确； C．5m＋3m＝16，等量关系：取了m次的乒乓球的数量＋取了m次的羽毛球的数量＝16，不符合题意，方程错误； D．3m＋16＝5m，等量关系：取了m次的羽毛球的数量＋羽毛球还剩的数量＝取了m次的乒乓球的数量，符合题意，方程正确。 故答案为：C 2．D 【分析】A．求一个数的几倍是多少用乘法，比一个数多几就加几，设弟弟岁，根据弟弟年龄×3＋6＝哥哥年龄，列方程解决问题； B．设1本笔记本元，根据笔记本单价×本数＋文具袋单价＝总钱数，列方程解决问题； C．看图可知，男生人，女生人数比男生人数的2倍多6人，女生有（2＋6）人，根据男生人数＋女生人数＝总人数，列方程解决问题； D．看图可知，长方形的长（＋6）cm，宽3cm，根据长方形的长×宽＝面积，列方程解决问题。 【详解】A．解：设弟弟岁。 弟弟3岁。 B．解：设1本笔记本元。 设1本笔记本3元。 C． 解： →与题干方程一样 男生有3人。 D． 解：，不符合题意。 不能用方程“”解决的是。 故答案为：D 3．D 【分析】由题意可知，维持秩序的志愿者队伍里有男生85人，男生是女生的2倍多15人，求女生有多少人，由此可得等量关系：女生的人数×2＋15＝男生的人数，据此列方程解答即可。 【详解】A．由等量关系：女生的人数×2＋15＝男生的人数，可知错误； B．由等量关系：女生的人数×2＋15＝男生的人数，可知错误； C．由等量关系：女生的人数×2＋15＝男生的人数，可知错误； D．由等量关系：女生的人数×2＋15＝男生的人数，可知正确。 故答案为：D 4．D 【分析】一张桌子的售价比一把椅子的售价的3倍少8元，一把椅子的售价为元，则一张桌子的售价为元，一套桌椅的售价为196元，一张桌子的售价加上一把椅子的售价等于一套桌椅的售价，由此可列式。 【详解】由分析可知，一张桌子的售价＋一张椅子的售价＝一套桌椅的售价，设一把椅子的售价为元，则列方程为： 故答案为：D 5．56元 【分析】根据题意可知，椅子的价格×3＝桌子的价格，桌子的价格＋椅子的价格＝桌椅的价格，据此设椅子为x元，然后列方程为，再解出方程即可。 【详解】解：设一把椅子x元。 答：一把椅子56元。 6．长是22厘米，宽是18厘米 【分析】设长方形的长为x厘米，则宽为（x－4）厘米；x厘米与（x－4）厘米的和的2倍等于80厘米，根据这个等量关系列方程解答。 【详解】解：设长方形的长为x厘米，则宽为（x－4）厘米； （x＋x－4）×2＝80 （2x－4）×2＝80 （2x－4）×2÷2＝80÷2 2x－4＝40 2x－4＋4＝40＋4 2x＝44 2x÷2＝44÷2 x＝22 当x＝22时， x－4 ＝22－4 ＝18（厘米） 答：这个长方形的长是22厘米，宽是18厘米。 【点睛】本题考查长方形的周长公式的灵活运用，找准题目中的等量关系是关键。 7．70盆 【分析】根据题意，将月季花的盆数设为x盆，菊花的盆数是月季花的7倍，则菊花的盆数可以表示为7x盆，列出等量关系：月季花的盆数＋菊花的盆数＝560盆，据此列方程解答即可。 【详解】由分析可得： 解：设月季花的盆数为x盆， x＋7x＝560 8x＝560 8x÷8＝560÷8 x＝70 答：月季花有70盆。 【点睛】本题考查了简单的列方程解应用题，关键是找准等量关系，根据题中已知条件写出等量关系式即可。 8．白兔有154只，灰兔有146只。 【分析】根据题意可知，可设灰兔数量为x只，则白兔可以表示为（x＋8）只，根据白兔数量＋灰兔数量＝乐乐家养兔子的总数量设方程为：x＋（x＋8）＝300，解方程即可。 【详解】解：设灰兔数量为x只。 x＋（x＋8）＝300 2x＋8＝300 2x＋8－8＝300－8 2x＝292 2x÷2＝292÷2 x＝146 可得灰兔有146只，则白兔有：146＋8＝154（只） 答：白兔有154只，灰兔有146只。 【点睛】解答此题的关键是根据题干找到本题的等量关系，再根据等量关系列出方程求解即可。 9．49岁 【分析】根据题意，爸爸今年比小明大42－8＝34（岁），那么若干年后，爸爸仍然比小明大34岁。设若干年后小明x岁，则爸爸（4x－11）岁，根据“爸爸的年龄－小明的年龄＝34岁”列方程求出若干年后小明的年龄，再求出爸爸那时的年龄。 【详解】解：设若干年后小明x岁，则爸爸（4x－11）岁。 4x－11－x＝42－8 3x－11＝34 3x＝45 x＝45÷3 x＝15 爸爸：15×4－11 ＝60－11 ＝49（岁） 答：那时爸爸的年龄是49岁。 【点睛】列方程解含有两个未知数的问题时，设其中的一个未知数是x，用含有x的式子表示另一个未知数，再根据等量关系即可列出方程。明确“若干年后，爸爸仍然比小明大34岁”，然后找出等量关系式是解题的关键。 10．14岁 【分析】根据题目可知，妈妈的年龄比笑笑年龄的3倍少3岁，可以设笑笑的年龄为x岁，则妈妈的年龄＝笑笑年龄×3－3，把x代入等式即可列方程，再解答即可。 【详解】解：设笑笑今年x岁。 3x－3＝39 3x＝39＋3 3x＝42 x＝42÷3 x＝14 答：笑笑今年14岁。 【点睛】本题主要考查列方程解应用题，应找准等量关系再列方程。 11．小红5岁；妈妈30岁 【分析】设小红今年年龄是x岁，妈妈今年年龄是6x岁；小红今年比妈妈小25岁，即6x－x＝25岁，据此解答即可。 【详解】设小红今年年龄是x岁，妈妈今年年龄是6x岁。 6x－x＝25 5x＝25 x＝25÷5 x＝5 6×5＝30 答：今年小红5岁，妈妈30岁。 【点睛】依据等量关系式：妈妈的年龄－小红的年龄＝25岁，据此列出方程解答即可。 12．笑笑今年的年龄×4－6＝李老师今年的年龄；11岁 【分析】假设笑笑今年有x岁，求一个数的几倍是多少用乘法，所以等量关系式可表示为：笑笑今年的年龄×4－6＝李老师今年的年龄，已知李老师今年38岁，把已知的数据和未知数代入到等量关系式中，列出方程，解方程即可求出笑笑的年龄。 【详解】等量关系式：笑笑今年的年龄×4－6＝李老师今年的年龄 解：设笑笑今年有x岁， x×4－6＝38 4x＝38＋6 4x＝44 x＝44÷4 x＝11 答：笑笑今年11岁。 【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把笑笑今年的年龄设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。 13．12时 【分析】根据题意可得出等量关系：（客车的速度＋货车的速度）×相遇时间＝两地的距离，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设时后两车相遇。 （60＋50）＝1320 110＝1320 110÷110＝1320÷110 ＝12 答：12时后两车相遇。 14．2.5时 【分析】已知两列火车同时开出，相向而行，根据相遇问题的公式可得出等量关系：两列火车的速度和×相遇时间＝北京到呼和浩特的铁路线全长，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设经过时相遇。 （120＋144）＝660 264＝660 264÷264＝660÷264 ＝2.5 答：经过2.5时相遇。 15．540千米 【分析】两车在离中点30千米处相遇，甲车超过中点30千米，乙车没有到中点30千米，则甲车的路程比乙车的路程多行驶60千米。甲车行驶的路程＝甲车的速度×相遇的时间，乙车行驶的路程＝乙车的速度×相遇的时间。设经过x小时两车相遇，则数量关系式为：甲车的速度×相遇的时间－乙车的速度×相遇的时间＝60。再根据等式的性质2解方程得出相遇的时间，则A、B两地间的距离＝甲、乙速度和×相遇时间。 【详解】解：设经过x小时两车相遇。 60x－48x＝30×2 12x＝60 x＝60÷12 x＝5 （60＋48）×5 ＝108×5 ＝540（千米） 答：A、B两地间的距离是540千米。 16．5.5分钟；192.5米；图见详解 【分析】设两人经过x分钟相遇，小刚行驶的路程＝小刚行驶的速度×相遇的时间＝25x，小强行驶的路程＝小强行驶的速度×相遇的时间＝35x。则根据数量关系式小刚行驶的路程＋小强行驶的路程＝总路程列出方程。总路程是三段的路程和为330千米，求出方程的解。再用小强的速度×相遇的时间得出小强走的千米数。 【详解】 解：设两人经过x分钟相遇。 35x＋25x＝152＋48＋130 60x＝330 60x÷60＝330÷60 x＝5.5 35×5.5＝192.5（米） 答：两人经过5.5分钟相遇，相遇时，小强走了192.5米。 17．105千米/时 【分析】两车相对开出并相遇，则两地距离等于两车的路程和，设慢车速度是x千米/时，则快车速度是2x千米/时，根据路程和＝速度和×时间，列方程即可求解。 【详解】解：设慢车的行驶速度是x千米/时，则快车的行驶速度是2x千米/时。 （2x＋x）×3＝945 2x＋x＝945÷3 2x＋x＝315 3x＝315 x＝315÷3 x＝105 答：慢车的行驶速度是105千米/时。 【点睛】此题考查基本数量关系：路程和＝速度和×时间，再据题目中的其它数据即可解决问题。 18．4分钟 【分析】设小明爸爸追上小明用了x分钟，由题意知小明比爸爸多走5分钟且找出等量关系，小明和他爸爸走的路程一样，由此等量关系列出方程求解。 【详解】解：设爸爸追上小明用了x分钟。 180x－80x＝80×5 100x＝400 x＝4 答：爸爸追上小明用了4分钟。 【点睛】关键在于弄清题意，找出等量关系即：小明爸爸和小明所行路程相等，列出方程求解。 19．1500米 【分析】设小强正常从家到学校时间为x分钟，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟，小强实际走了（x＋3）分钟，走了50×（x＋3）米，就是家到学校的路程；如果每分钟走60米，就可以提前2分钟到学校，小强实际走了（x－2）分钟，走了60×（x－2）米，也就是家到学校的路程，由于学校路程不变，列方程：50×（x＋3）＝60×（x－2），解方程，求出小强正常从家到学校的时间。进而求出家到学校的路程。 【详解】解：设小强正常从家到学校的时间为x分钟。 50×（x＋3）＝60×（x－2） 50x＋150＝60x－120 60x－50x＝150＋120 10x＝270 x＝270÷10 x＝27 50×（27＋3） ＝50×30 ＝1500（米） 答：小强家到学校的路程是1500米。 【点睛】本题考查方程的实际应用，利用路程不变，小强正常上学的时间不变，列方程，找出相关的量，列方程，解方程。 20．980米 【分析】根据题意，兄妹俩同时从家出发去学校，哥哥到学校立即返回又行了140米遇到妹妹，这时哥哥比妹妹多行了140×2＝280米，哥哥每分钟比妹妹多行80－60＝20米，根据速度差×相遇时间＝路程差，设x分钟后两人相遇，据此列方程为：（80－60）x＝140×2，然后解出方程即可求出相遇时间，根据速度×时间＝路程，用妹妹的速度乘相遇时间加140米，即可求出家到学校的距离。 【详解】解：设x分钟后两人相遇。 （80－60）x＝140×2 20x＝140×2 20x÷20＝140×2÷20 x＝14 家到学校路程： 60×14＋140 ＝840＋140 ＝980（米） 答：他们家离学校980米。 【点睛】本题主要考查对相遇问题公式的掌握与灵活运用，还可以根据等量关系列方程解答。 21．日记本5.1元；钢笔15.3元 【分析】设依依买的日记本是x元，则钢笔是3x元，根据日记本价格＋钢笔价格＝总钱数，列出方程求出x的值是日记本价格，日记本价格×3＝钢笔价格。 【详解】解：设依依买的日记本是x元，则钢笔是3x元。 x＋3x＝20.4    4x＝20.4 4x÷4＝20.4÷4 x＝5.1    5.1×3＝15.3（元） 答：依依买的日记本是5.1元，钢笔是15.3元。 22．54万元 【分析】设乙组有x人，则甲组有2x人，根据总钱数一定，甲组平均每人钱数×人数＋余下钱数＝乙组平均每人钱数×人数－差的钱数，据此列出方程求出x的值是乙组人数，乙组平均每人钱数×乙组人数－差的钱数＝奖金总钱数。 【详解】解：设乙组有x人，则甲组有2x人。 5×2x＋4＝11x－1 10x＋4＝11x－1 10x＋4－10x－4＝11x－1－10x－4 x－5＝0 x－5＋5＝0＋5 x＝5 11×5－1 ＝55－1 ＝54（万元） 答：这笔奖金一共有54万元。 23．赛会志愿者：2.6万人；城市志愿者：21万人 【分析】假设参与服务的赛会志愿者有x万人，则城市志愿者有（）万人，根据数量关系：城市志愿者＋赛会志愿者＝23.6，列出方程，解答方程即可。 【详解】解：设参与服务的赛会志愿者有x万人，则城市志愿者有万人。      （万人） 答：参与服务的赛会志愿者有2.6万人，城市志愿者有21万人。 24．快递员：6名；包裹：66件 【分析】根据题意可知，无论按哪种派送方法，包裹的总件数是一定的。若每个快递员派送10件，还剩6件，则包裹的总件数是10×快递员的人数＋6；若每个快递员派送12件，还差6件，则包裹的总件数是12×快递员的人数－6。所以此题的等量关系为“10×快递员的人数＋6＝12×快递员的人数－6”。设快递员x名，则可列出方程10x＋6＝12x－6，解方程即可求出快递员的人数；再用10×快递员的人数＋6可求出包裹的件数。 【详解】解：设快递员x名。 10x＋6＝12x－6 10x＋6＋6＝12x－6＋6 10x＋12＝12x 10x＋12－10x＝12x－10x 12＝2x 2x＝12 2x÷2＝12÷2 x＝6 10×6＋6 ＝60＋6 ＝66（件） 答：该分派站现有包裹66件，快递员6名。 【点睛】此题考查了运用抓不变量法列方程解决问题。根据包裹的总件数不变建立等量关系是解答此题的关键。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$