专题05 圆周角定理与垂径定理-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（重庆专用）

专题5 圆周角定理与垂径定理 圆周角定理为中考的高频考察模型，在以圆为背景的题目中，均有圆周角定理的涉及。垂径定理为中考的高频考点，常结合求线段长度进行考察。运用时，抽离垂直于直径的弦进行相关计算或构造垂直于直径的弦进行相关计算。 2 模型1.圆周角定理 2 模型2.垂径定理 4 10 模型1.圆周角定理 定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 结论：. 例1．如图，内接于圆O，为圆O的直径，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解答】解：∵为圆O的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 例2．如图，已知点A在外，与相切于点B，点O在直线上，连接，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解答】解：如图，连接， ∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理可知，， ∴． 故选：B． 例3．如图，在中，，D是上的一点，以为直径的与相切于点E，连 接、，若，，则的长度是（　　） A． B．2 C．3 D． 【答案】B． 【解答】解：连接， ∵切圆于E， ∴于E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 模型2.垂径定理 定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 条件：在中，为的直径，为弦，且于点E 结论：①；②；③. 条件：在中，为的直径，为弦，且于点E 结论：①；②；③. 证明：如图，连接，，则， ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∴. ∵为的直径， ∴， ∴. 例1．如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，弦与小圆相切于点C，则（　　） A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm 【答案】D． 【解答】解：连接，， ∵与小圆相切， ∴， ∴C为的中点，即， 在中，，， 根据勾股定理得：， 则． 故选：D． 例2．以为直径的与相切于点A，弦于点H连接并延长交于点F、交于 点G，连接．若，，．则　 　，　 　． 【答案】，． 【解答】解：∵为直径，， ∴， 由题意知，， ∴， 由勾股定理得，， ∴； ∵与相切于点A， ∴， ∴， ∴， 如图，连接，， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 如图，过G作的延长线于M， 设，，则， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， 由勾股定理得， 故答案为：，． 例3．如图，是的外接圆，是的直径，过点O作于点M，交于点N， 连接，． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为4，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解答】（1）证明：是的外接圆，是的直径，如图，连接， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为4，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 圆周角定理 1．如图，，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，是的内接三角形，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，，则的大小为（　　） A． B． C． D． 4．如图，等腰内接于，点D是圆中优弧上一点，连接、，已知，， 则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，，，若，， 则（　　） A． B． C． D． 6．如图，与相切于点B，的延长线交于点A，连接，若，则的 度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，内接于，E是的中点，连接，，，若，则的 度数为（　　） A． B． C． D． 8．如图，是的弦，交于点C，点D是上一点，连接，．若， 则的度数为（　　） A． B． C． D． 垂径定理 1．如图，是的直径，弦于E，若，，则的长是（　　） A．12 B．16 C． D． 2．如图，为的直径，弦于点E，若，，则的半径为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 3．如图，已知是的直径，弦，垂足为E，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 4．如图，弦垂直于的直径，垂足为H，且，，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，A、B是上的两点，连接并延长到C，与相切于点D，且， 若，则（　　） A． B． C． D．4 6．如图，是的外接圆，，若的半径为4，则弦的长为（　　） A．6 B． C． D． 7．如图，是半径为3的的切线，B为切点，连接交于点C，且C是的中点，作 交于点D，连接，则的长是（　　） A． B． C． D． 8．如图，已知的半径为5，为的弦，，点C在上，且满足， 交于点D，则的长为（　　） A．3 B． C． D． 9．如图，内接于，是的直径，于点F，，，连接， ，则的长度为（　　） A． B．5 C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交于M，N两点， 若点M的坐标是，则点N的坐标为（　　） A． B． C． D． 11．如图，圆内接四边形的对角线平分，且，过点C作， 若，，则圆的半径的长为（　　） A． B． C．1 D．2 12．如图，的半径，设，P为上一动点，则点P到圆心O的最短距离为 　 　cm． 13．如图，在中，，，，以为直径的半圆交于点D， 则图中阴影部分的面积是 　 　． 14．如图，点A，B是上两点，连接，直径与垂直于点E，点F在上，连接，， 过点A作的垂线交于点G，交于点H，若，，，则的长度 为 　 　，的长度为 　 　． 15．如图，内接于，点E是弧的中点，连接，平分交线段于点D， 过点E作交的延长线于点F．若，，，则的 面积为　 　． 16．如图，是内接三角形，的半径是，，，的角平分 线交于点F，交于点D，连接、，过点D作的切线交的延长线于点E，则 线段的长度为　 　，线段的长度为　 　． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5 圆周角定理与垂径定理 圆周角定理为中考的高频考察模型，在以圆为背景的题目中，均有圆周角定理的涉及。垂径定理为中考的高频考点，常结合求线段长度进行考察。运用时，抽离垂直于直径的弦进行相关计算或构造垂直于直径的弦进行相关计算。 2 模型1.圆周角定理 2 模型2.垂径定理 4 10 模型1.圆周角定理 定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 结论：. 例1．如图，内接于圆O，为圆O的直径，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解答】解：∵为圆O的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 例2．如图，已知点A在外，与相切于点B，点O在直线上，连接，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解答】解：如图，连接， ∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理可知，， ∴． 故选：B． 例3．如图，在中，，D是上的一点，以为直径的与相切于点E，连 接、，若，，则的长度是（　　） A． B．2 C．3 D． 【答案】B． 【解答】解：连接， ∵切圆于E， ∴于E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 模型2.垂径定理 定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 条件：在中，为的直径，为弦，且于点E 结论：①；②；③. 条件：在中，为的直径，为弦，且于点E 结论：①；②；③. 证明：如图，连接，，则， ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∴. ∵为的直径， ∴， ∴. 例1．如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，弦与小圆相切于点C，则（　　） A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm 【答案】D． 【解答】解：连接，， ∵与小圆相切， ∴， ∴C为的中点，即， 在中，，， 根据勾股定理得：， 则． 故选：D． 例2．以为直径的与相切于点A，弦于点H连接并延长交于点F、交于 点G，连接．若，，．则　 　，　 　． 【答案】，． 【解答】解：∵为直径，， ∴， 由题意知，， ∴， 由勾股定理得，， ∴； ∵与相切于点A， ∴， ∴， ∴， 如图，连接，， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 如图，过G作的延长线于M， 设，，则， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， 由勾股定理得， 故答案为：，． 例3．如图，是的外接圆，是的直径，过点O作于点M，交于点N， 连接，． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为4，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解答】（1）证明：是的外接圆，是的直径，如图，连接， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为4，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 圆周角定理 1．如图，，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解答】解：∵， ∴， 故选：C． 2．如图，是的内接三角形，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解答】解：∵， ∴． 故选：C． 3．如图，是的直径，，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解答】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4．如图，等腰内接于，点D是圆中优弧上一点，连接、，已知，， 则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【解答】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，，，若，， 则（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【解答】解：∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：D． 6．如图，与相切于点B，的延长线交于点A，连接，若，则的 度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【解答】解：如图所示，连接， ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 7．如图，内接于，E是的中点，连接，，，若，则的 度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【解答】解：连接、，则， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 8．如图，是的弦，交于点C，点D是上一点，连接，．若， 则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解答】解：∵， ∴． ∵， ∴点C为的中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 垂径定理 1．如图，是的直径，弦于E，若，，则的长是（　　） A．12 B．16 C． D． 【答案】A． 【解答】解：连接， 设圆的半径是r， ∵， ∴， ∵直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．如图，为的直径，弦于点E，若，，则的半径为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B． 【解答】解：连接， ∵直径， ∴， ∴， ∴的半径为5， 故选：B． 3．如图，已知是的直径，弦，垂足为E，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【解答】解：连接， ∵， ∴， ∵直径， ∴，， 在中，， 设的半径为r，则， 在中，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴， 故选：D． 4．如图，弦垂直于的直径，垂足为H，且，，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B． 【解答】解：连接． 由垂径定理得，由勾股定理得， 设圆O的半径为R，在中，，， 则，由此得， 故选：B． 5．如图，A、B是上的两点，连接并延长到C，与相切于点D，且， 若，则（　　） A． B． C． D．4 【答案】A． 【解答】解：连接，，过点O作于E， ∴， ∵，， ∴， ∵与相切于点D， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴； 故选：A． 6．如图，是的外接圆，，若的半径为4，则弦的长为（　　） A．6 B． C． D． 【答案】C． 【解答】解：过点O作，垂足为D， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7．如图，是半径为3的的切线，B为切点，连接交于点C，且C是的中点，作 交于点D，连接，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【解答】解：连接， ∵切于B， ∴半径， ∴， ∵C是中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 8．如图，已知的半径为5，为的弦，，点C在上，且满足， 交于点D，则的长为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】D． 【解答】解：作于H，连接，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 9．如图，内接于，是的直径，于点F，，，连接， ，则的长度为（　　） A． B．5 C． D． 【答案】A． 【解答】解：连接交于点G， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， 故选：A． 10．如图，在平面直角坐标系中，与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交于M，N两点， 若点M的坐标是，则点N的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【解答】解：过点A作，连接 设的半径为r， 则，，， 则在中，根据勾股定理，可得：， ∴， ∴N到y轴的距离为：， 又点N在第三象限， ∴N的坐标为． 故选：A． 11．如图，圆内接四边形的对角线平分，且，过点C作， 若，，则圆的半径的长为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】B． 【解答】解：∵， ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴是圆的直径， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中， ， ∴． 在中， ， ∴， 即圆的直径为， ∴圆的半径为． 故选：B． 12．如图，的半径，设，P为上一动点，则点P到圆心O的最短距离为 　 　cm． 【答案】6． 【解答】解：根据垂线段最短知， 当点P运动到时，点P到点O的距离最短， 由垂径定理知，此时点P为中点，， 由勾股定理得，此时． 13．如图，在中，，，，以为直径的半圆交于点D， 则图中阴影部分的面积是 　 　． 【答案】． 【解答】解：取中点O，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴． 又∵， ∴． 过点O作的垂线，垂足为M， ∴． 在中， ， ∴． 在中， ， ∴． ∴， ∴． 故答案为：． 14．如图，点A，B是上两点，连接，直径与垂直于点E，点F在上，连接，， 过点A作的垂线交于点G，交于点H，若，，，则的长度 为 　 　，的长度为 　 　． 【答案】，． 【解答】解：连接， ∵，且是的直径， ∴的半径为， ∴． ∵， ∴． 在中， ． 连接，， 在中， ， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 令， 则，． 在中， ， ∴， ∴． 在中， ， 解得， ∴． 故答案为：，． 15．如图，内接于，点E是弧的中点，连接，平分交线段于点D， 过点E作交的延长线于点F．若，，，则的 面积为　 　． 【答案】． 【解答】解：连接，，过点C作于点G， ∵点E是弧的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设，， 则在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 16．如图，是内接三角形，的半径是，，，的角平分 线交于点F，交于点D，连接、，过点D作的切线交的延长线于点E，则 线段的长度为　 　，线段的长度为　 　． 【答案】，． 【解答】解：是内接三角形，，的角平分线交于点F，如图，作直径，连接，，过点B作于点H， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得． 故答案为：，． 32 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $$