热点01 数与式（10大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（山东专用）

热点01 数与式 中考数学中数与式部分主要考向分为四类： 一、实数与特殊角的三角函数值（每年2~4道，9~16分） 二、整式与因式分解（每年2~4道，7~10分） 三、分式（每年1~3题，3~13分） 四、二次根式（每年1~3题，3~12分） 在数学中考中，数与式部分主要考察实数及其运算、数轴、因式分解、整式的化简及求值、根式的计算、分式的化简求值；试题难度设置的并不大，属于中考中的基础“送分题”，题目多以选择题、填空题以及简单计算形式的解答题出现；在复习时，需要考生对这部分的知识点的原理及变形都达到熟悉掌握，才能在众多的变形中，快速识别问题考点，拿下这部分基础分。 考向一：实数及其运算 【题型1 实数的基本概念】 实数内的基本概念包括：相反数、绝对值、倒数、有理数、无理数、科学记数法； 注意：①注意不要混淆相反数和倒数；②常见几种无理数：（1）开不尽的根式、（2）含π的数、（3）有规律但属于无限不循环的小数；③判断无理数、有理数时，将式子化简彻底后再进行判断；④科学记数法中，一般万化为，亿化为。 1．（2024·山东烟台·中考真题）下列实数中的无理数是（    ） A． B．3.14 C． D． 【分析】本题考查无理数，根据无理数的定义：无限不循环小数，叫做无理数，进行判断即可． 【详解】解：A、是有理数，不符合题意； B、3.14是有理数，不符合题意； C、是无理数，符合题意； D、是有理数，不符合题意； 故选：C． 2．（2024·山东威海·中考真题）一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了绝对值的意义，正负数的意义，直接利用正负数的意义以及绝对值的意义可得最接近标准是哪一袋． 【详解】解：∵超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示． ∴ ∴最接近标准质量的是 故选：C． 3．（2024·山东泰安·中考真题）的相反数是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行求解即可． 【详解】解：的相反数是． 故选：D． 4．（2023·山东淄博·中考真题）的运算结果等于（    ） A．3 B． C． D． 【分析】根据绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数直接求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， 故选：B； 5．（2023·山东·中考真题）的倒数是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了倒数的概念，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【详解】解：， 的倒数是， 故选：C． 6．（2024·山东济南·中考真题）截止2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林覆盖率达到，将数字3465000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【分析】此题主要考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 根据科学记数法定义，这里，． 【详解】． 故选：B． 7．（2024·山东东营·中考真题）从2024年一季度GDP增速看，东营市增速位居山东16市“第一方阵”，一季度全市生产总值达到957.2亿元，同比增长，957.2亿用科学记数法表示为 ． 【分析】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，关键是确定 n与a的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，它等于原数的整数数位与1的差．据此即可完成作答． 【详解】解：957.2亿， 故答案为：． 8．（2024·山东烟台·中考真题）目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是纸厚度的六分之一，已知1毫米百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（    ） A．纳米 B．纳米 C．纳米 D．纳米 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数进行表示即可． 【详解】解：0.015毫米纳米； 故选：B． 9．（2024·山东威海·中考真题）据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录．“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：百万分之一． 故选：B． 【题型2 实数的运算】 实数的运算是实数内各种概念法则运算的结合，一般以简答题为主，个别会出填空题，这也就决定了实数的运算需要我们注意的三个方面： ①实数的运算必须熟悉的几个法则：零指数幂运算、负指数幂运算、绝对值的化简、根式的化简计算、特殊角的三角函数值计算等； ②实数的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的； ③在做解答题时，第一步写清每个零指数幂运算、负指数幂运算、绝对值的化简、根式的化简计算、特殊角的三角函数值的直接答案，尽量避免跨步，以防口算错误导致全错。 1．（2024·山东淄博·中考真题）下列运算结果是正数的是（    ） A． B． C． D． 【分析】题考查了正数的定义，负整数指数幂的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据正数的定义，负整数指数幂的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义计算选择即可． 【详解】解：A、是正数，符合题意； B、是负数，不符合题意； C、是负数，不符合题意； D、是负数，不符合题意； 故选：A． 2．（2024·山东日照·中考真题）计算： 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．分别化简绝对值，零指数幂，再进行加减计算． 【详解】解：原式， ． 故答案为：1 3．（2024·山东潍坊·中考真题）计算：； 【分析】本题主要考查了实数的运算，分式的化简求值，熟练掌握立方根，负指数，绝对值，分式的混合运算，是解决问题的关键． 先化简立方根，负指数，绝对值，再相加减； 【详解】 ； 4．（2024·山东泰安·中考真题）计算：； 【分析】本题考查了实数的运算和分式的化简，实数运算涉及特殊角的三角函数，负指数幂，二次根式和绝对值，熟练掌握相关的法则是解题的关键． 利用特殊角的三角函数，负指数幂，二次根式和绝对值进行实数的运算； 【详解】解： ； ； 5．（2024·山东济南·中考真题）计算：． 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质是解题的关键． 根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可 【详解】解：原式． 【题型3 实数的大小比较】 实数比较大小的常见方法：①法则法：正数＞0＞负数；②数轴法：数轴上的数，右边的总比左边的大；③绝对值法：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；④平方法：两个正数比较大小，谁的平方大，谁本身就大，两个负数比较大小，谁的平方大，谁本身反而小； 注意：个别实数的比较大小会结合其他基本概念或计算，这类问题要同时兼顾结合考点的性质再做比较 1．（2024·山东威海·中考真题）下列各数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较即可求解． 【详解】解：， ∵ ∴最小的数是 故选：A． 2．（2024·山东·中考真题）下列实数中，平方最大的数是（    ） A．3 B． C． D． 【分析】本题考查的是实数的大小比较，乘方运算，先分别计算各数的乘方，再比较大小即可. 【详解】解：∵，，，， 而， ∴平方最大的数是3； 故选：A 3．（2022·山东临沂·中考真题）比较大小： （填“”，“”或“”）． 【分析】根据实数大小比较解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 【题型4 数轴】 注意：①互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称；②在数轴上，到原点的距离代表了一个数的绝对值，也就是说，在比较绝对值大小时，可以通过比较到原点的距离 1．（2024·山东青岛·中考真题）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最小的是（    ） A．a B．b C．c D．d 【分析】本题主要考查了实数与数轴，根据绝对值的几何意义可知，一个实数的绝对值表示的是这个实数在数轴上与原点的距离，故离原点越近，其绝对值越小，据此可得答案． 【详解】解：由数轴上点的位置可知，， ∴这四个实数中绝对值最小的是， 故选：C． 2．（2024·山东烟台·中考真题）实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了数轴，绝对值，不等式的性质，根据数轴分别判断，，的正负，然后判断即可，解题的关键是结合数轴判断判，，的正负． 【详解】由数轴可得，，，， 、，原选项判断错误，不符合题意， 、，原选项判断正确，符合题意， 、根据数轴可知：，原选项判断错误，不符合题意， 、根据数轴可知：，则，原选项判断错误，不符合题意， 故选：． 3．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了数轴与实数的运算法则，掌握实数与数轴的基本知识是解题的关键．根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，不等式的性质及绝对值的意义判断出式子的大小即可． 【详解】解：根据数轴得， ∴， 故选：D． 4．（2023·山东·中考真题）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（    ）    A． B． C． D． 【分析】根据数轴可得，，再根据逐项判定即可． 【详解】由数轴可知， ∴，故A选项错误； ∴，故B选项错误； ∴，故C选项正确； ∴，故D选项错误； 故选：C． 考向二：整式 【题型5 因式分解】 因式分解时，首选提公因式，再考虑公式法将括号中的整式进行因式分解。 1．（2024·山东威海·中考真题）因式分解： ． 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多项式乘以多项式展开，然后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 2．（2024·山东东营·中考真题）因式分解： ． 【分析】本题考查因式分解，掌握用公式法分解因式、提公因式法分解因式是解题关键．先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（2024·山东·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，直接提取公因式即可． 【详解】解：原式， 故答案为： ． 【题型6 整式化简求值】 1、常见必会计算公式：①am•an＝a m+n（m，n是正整数） ②（am）n＝amn（m，n是正整数） ③（ab）n＝anbn（n是正整数） ④am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ⑤（a±b）2＝a2±2ab+b2⑥（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 2、完全平方公式的常见变形： 3、其他技巧：整式的化简计算，其实就是去括号法则与合并同类项法则的联合应用，所以两个法则的注意事项也是整式化简的注意事项。 1．（2024·山东济南·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了去括号，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，掌握去括号，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．根据相关运算法则运算判断，即可解题． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，不符合题意； B、，选项运算错误，不符合题意； C、，选项运算错误，不符合题意； D、，选项运算正确，符合题意； 故选：D． 2．（2024·山东青岛·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、积的乘方逐项运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 3．（2024·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方，负整数幂，根据相关运算法则逐个判断即可． 【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意； B、，故B不正确，不符合题意； C、，故C正确，符合题意； D、，故D不正确，不符合题意； 故选：C． 4．（2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查完全平方公式，利用添项法，先加上一次项系数一半的平方使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 根据利用完全平方公式的特征求解即可； 【详解】解： 故选B． 5．（2024·山东济宁·中考真题）已知，则的值是 ． 【分析】本题考查了代数式的求值，解题的关键是熟练掌握整体思想的运用．根据对已知条件进行变形得到，代入进而即可求解 【详解】解：， ， 故答案为：2 6．（2024·山东济宁·中考真题）先化简，再求值： ，其中，． 【分析】先将原式利用多项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并同类项得到最简结果，再把x与y的值代入计算即可求出结果． 此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 7．（2023·山东·中考真题）已知实数满足，则 ． 【分析】由题意易得，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故答案为8． 8．（2023·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【分析】直接利用整式的混合运算法则化简进而合并得出答案． 【详解】原式 , 当 时, 原式 ． 考向三：二次根式 【题型7 有意义】 1 对于二次根式有意义，需保证被开方式≥0，若二次根式在分母上，则被开方式＞0；②表示的是a的算术平方根，也表示面积为a的正方形的边长，只有在求a的平方根时，结果才可能是正负；③在判断同类二次根式时，需要先将根式化简，再判断；④的整数部分如果是b，那么它的小数部分是 1．（2024·山东烟台·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 2．（2023·山东·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得到不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得且， 故选：D 3．（2013·湖北恩施·中考真题）25的平方根是 ． 【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根． 【详解】∵（±5）2=25， ∴25的平方根是±5． 4．（2023·山东·中考真题）面积为9的正方形，其边长等于（　　） A．9的平方根 B．9的算术平方根 C．9的立方根 D．5的算术平方根 【分析】根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：∵面积等于边长的平方， ∴面积为9的正方形，其边长等于9的算术平方根． 故选B． 5．（2023·山东烟台·中考真题）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、，与是同类二次根式，符合题意； D、，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：C． 6．（2023·山东临沂·中考真题）设，则实数m所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的加减运算进行计算，然后估算即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， 即， 故选：B． 【题型8 化简计算】 在进行二次根式的乘除运算时，有时先将二次根式化成最简二次根式再进行乘除运算，有时直接将被开方式进行乘除运算后再进行化简，在计算直线应该先考虑哪种方式更简便，再动笔计算。 1．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断． 【详解】A. 不能合并，所以A选项错误； B. ，所以B选项正确； C. ，所以C选项错误； D. ，所以D选项错误． 故选：B． 2．（2024·山东威海·中考真题）计算： ． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质以及二次根式的乘法进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 3．（2023·山东潍坊·中考真题）从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果） 【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得． 【详解】解：①选择和， 则 ． ②选择和， 则 ． ③选择和， 则 ． 故答案为：（或或，写出一种结果即可）． 考向四：分式及运算 【题型9 分式的计算】 1 最简公分母：系数：各个系数的最小公倍数；取所有字母；相同字母取最大指数；②整式与分式相加减时，将整式整体加括号，看作分母为1的分数. 1．（2024·山东济南·中考真题）若分式的值为0，则的值是 ． 【分析】直接利用分式值为零的条件，则分子为零进而得出答案． 【详解】∵分式的值为0， ∴x−1＝0，2x≠0 解得：x＝1． 故答案为：1． 2．（2024·山东威海·中考真题）计算： ． 【分析】本题考查分式的加减，根据同分母分式的加减法则解题即可． 【详解】 ． 故答案为：． 3．（2024·山东德州·中考真题）化简： 【分析】先计算分式除法，然后计算分式减法即可； 【详解】解：（）原式 ； 4．（2023·山东临沂·中考真题） 下面是某同学计算的解题过程： 解：                       ①                          ②                        ③                               ④ 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程． 【分析】根据分式的运算法则，进行计算即可． 【详解】解： 从第①步开始出错，正确的解题过程如下： ． 【题型10 分式化简求值】 分式求值时，和整式不一样，需要注意所代入的数值是否会使得原计算式子有意义。 1．（2024·山东淄博·中考真题）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定，的值）    【分析】本题考查分式的化简求值，无理数估算；根据对话可求得，的值，将原分式化简后代入数值计算即可． 【详解】解：依题意，，且为整数，又，则， ； 当，时，原式． 2．（2024·山东潍坊·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【分析】先括号内通分，分子分解因式，除法换作乘法，约分化简，再代入a值，合并即得． 【详解】 ； 当时， 原式． 3．（2024·山东青岛·中考真题）先化简，再从，，中选一个合适的数作为的值代入求值． 【分析】利用分式的性质和运算法则对分式进行化简，根据分式有意义的条件可知，，，再从和任选一个数代入化简后的结果中计算即可； 本题考查了解一元一次不等式组，分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解： 原式 ， ， ， ∵， ∴当时，原式 当时，原式． 4．（2024·山东烟台·中考真题）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若是其显示结果的平方根，先化简：，再求值． 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则对分式化简，然后根据题意求出的值，把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，正确化简分式和求出的值是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴的平方根为， ∵， ∴， 又∵为的平方根， ∴， ∴原式． 5．（2024·山东日照·中考真题） 先化简，再求值：，其中x满足． 【分析】 根据分式混合运算规则进行化简，得，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解： 原式 ． 当时，， 原式 6．（2023·山东东营·中考真题） 先化简，再求值：，化简后，从的范围内选择一个你喜欢的整数作为x的值代入求值． 【答案】，当时，原式=． 【分析】 先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： 原式 ； 由题意可知：，，， ∴当时，原式． 7．（2023·山东滨州·中考真题）先化简，再求值：，其中满足． 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，然后将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，求得的值，最后将代入化简结果即可求解． 【详解】解： ； ∵， 即， ∴原式． 8．（2023·山东·中考真题）先化简，再求值：，其中x，y满足． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时将除法变为乘法，约分得到最简结果，将变形整体代入计算即可求解． 【详解】解：原式 ； 由，得到， 则原式． （建议用时：15分钟） 1．（2024·山东·一模）禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为，数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【分析】根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故选：A． 2．（2024·山东青岛·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了负整指数幂，合并同类项，同底数幂的乘法与除法，正确的计算是解题的关键． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 3．（2024·山东·一模）下列实数中是无理数的为（　　　） A． B．2 C． D．0.9 【分析】根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：A、是无理数，故本选项符合题意； B、2是整数，属于有理数，，故本选项不合题意； C、是分数，属于有理数，故本选项不合题意； D、0.9是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意； 故选：A． 4．（2024·山东·一模）某市去年第四季度财政收入为亿元，用科学记数法(结果保留两个有效数字)表示为（  ）元 A． B． C． D． 【分析】根据科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，由于41.76亿=4 176 000 000，整数位数有10位，所以可以确定n=10-1=9．即可得到答案． 【详解】解：41.76亿元=4 176 000 000元=4.176×109元≈4.2×109元， 故选：C． 5．（2024·山东·一模）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（华东师大版2024））的相反数是（ ） A． B． C． D． 【分析】本题考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键； 求一个数的相反数就是在这个数前面添上一个负号即可． 【详解】解：的相反数是； 故选：B． 6．（2024·山东青岛·一模）去年年底，国产—龙芯在北京发布，标志着我国自主研发的在自主可控程度和产品性能方面达到新高度．龙芯采用的工艺制程为，将用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，确定与的值是解题的关键．用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可． 【详解】解：， 故选：B． 7．（2024·山东·一模）9的算术平方根是（    ） A．3 B．81 C． D． 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，两个实数a、b若满足且a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：9的算术平方根是3， 故选：A． 8．（2024·山东·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】根据完全平方公式，合并同类项，单项式乘以多项式，积的乘方等运算法则分别计算，分别判断即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 9．（2024·山东·一模）的倒数是（ ） A．5 B． C． D． 【详解】解：的倒数是5． 故选A． 10．（2024·山东·一模）据初步统计，2016年高青县实现地区生产总值（）约为亿元.其中亿元用科学记数法表示为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：亿元用科学记数法表示应为：元  ， 故选：C． 11．（2024·山东·一模）据科技日报报道，中国已实现离子注入装备纳米工艺制程全覆盖，有力保障了我国集成电路制造行业在成熟制程领域的产业安全．已知长度单位1纳米米，用科学记数法表示纳米是（    ）米 A． B． C． D． 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：∵1纳米米， ∴纳米米 米 故选：． 12．（2024·山东·一模）下列式子中，为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【分析】利用最简二次根式定义判断即可． 【详解】A、原式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、原式，不符合题意； D、原式，不符合题意； 故选B． 13．（2024·山东济南·一模）已知有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，先观察数轴得到，，，然后根据不等式的基本性质、有理数的加法和乘法法则判断各个选项的正误即可． 【详解】解：观察数轴可知：，，， ， ，，，， ，，选项错误，选项正确， 故选：C． 14．（2019·山东青岛·二模）计算：＝ ． 【分析】直接利用负指数幂的性质以及二次根式的乘除运算法则化简得出答案． 【详解】原式＝4+ ＝4+ =4+3 ＝7． 故答案为7． 15．（2024·山东·一模）分解因式：2x2+4xy+2y2＝ ． 【分析】先提出公因式2，再运用完全平方公式分解. 【详解】原式=2（x2+2xy+y2）=2(x+y) 2. 故答案为2(x+y) 2. 16．（2024·山东青岛·一模）的计算结果为 ． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．根据二次根式的乘法分配律计算即可． 【详解】解：， 原式， ， 故答案为：． 17．（2024·山东·一模）分解因式：2x3﹣6x2+4x= ． 【详解】分析：首先提取公因式2x，再利用十字相乘法分解因式得出答案． 详解：2x3﹣6x2+4x =2x（x2﹣3x+2） =2x（x﹣1）（x﹣2）． 故答案为2x（x﹣1）（x﹣2）． 18．（2024·山东泰安·一模）计算： ． 【分析】本题考查了平方差公式．根据平方差公式求出即可． 【详解】解：． 故答案为：． 19．（2024·山东·一模）化简：的结果是 ． 【分析】将分式因式分解后，再通分化简计算得到结果． 【详解】解： 20．（2023·山东青岛·三模）计算： ． 【分析】此题主要考查了实数运算，直接利用负整数指数幂的性质以及立方根的性质化简各数进而求出答案． 【详解】解：原式 故答案为：． 21．（2024·山东青岛·一模）已知，则 ． 【分析】本题考查了算术平方根以及绝对值的非负性，先由非负性得出，解出的值，再代入，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴ 故答案为：1 22．（2024·山东·一模）分解因式： ． 【分析】先去括号合并后，直接提取公因式，再利用十字相乘法分解因式即可． 本题考查了用提公因式法和十字相乘法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止 【详解】解： ． 故答案为：． 23．（2024·山东济南·一模）若分式有意义，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件（分母不为零）是解题的关键； 由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：若分式有意义，则， ∴的值可以是1， 故答案为：1（答案不唯一）． 24．（2024·山东·一模）已知，，则的值为 ． 【分析】根据平方差公式直接计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：8 【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握平方差公式是解题的关键． 25．（2024·山东济宁·一模）若单项式与是同类项，则m的值为 ． 【分析】本题考查了同类项的定义，根据同类项中所含字母相同，相同字母的指数也相同列方程，再求解即可． 【详解】单项式与是同类项， ， ， 故答案为：． 26．（2024·山东·一模）先化简，再求值：并在2，3，-3，4这四个数中取一个合适的数作为a的值代入求值． 【分析】按照先乘除后加减进行化简，再代入能使原式有意义的a值4即可求出结论； 【详解】解：原式= = ＝－． ∵a≠-3，2，3， ∴取a=4， 原式=－=-3． 27．（2024·山东泰安·一模）计算：． 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 首先计算乘方、零指数幂、开平方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】解： ． 28．（2024·山东青岛·一模）（1）解不等式组，并写出它的非负整数解． （2）计算：． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法以及分式的混合运算，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键． （1）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集； （2）先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简． 【详解】解：（1） 解①得， 解②得， ∴， ∴非负整数解有0，1； （2） ． 29．（2024·山东·一模）计算： 【分析】根据绝对值的性质、零指数幂、负整指数幂的性质及45°角的正切值计算解题即可． 【详解】解： ． 30．（2025·山东·一模）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，满足． 【分析】本题考查实数的混合运算，分式的化简求值： （1）先去绝对值，进行开方和乘方运算，再进行乘法运算，最后算加减即可； （2）除法变乘法，利用乘法分配律进行化简，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式 ； ∵， ∴， ∴原式． 2 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点01 数与式 中考数学中数与式部分主要考向分为四类： 一、实数与特殊角的三角函数值（每年2~4道，9~16分） 二、整式与因式分解（每年2~4道，7~10分） 三、分式（每年1~3题，3~13分） 四、二次根式（每年1~3题，3~12分） 在数学中考中，数与式部分主要考察实数及其运算、数轴、因式分解、整式的化简及求值、根式的计算、分式的化简求值；试题难度设置的并不大，属于中考中的基础“送分题”，题目多以选择题、填空题以及简单计算形式的解答题出现；在复习时，需要考生对这部分的知识点的原理及变形都达到熟悉掌握，才能在众多的变形中，快速识别问题考点，拿下这部分基础分。 考向一：实数及其运算 【题型1 实数的基本概念】 实数内的基本概念包括：相反数、绝对值、倒数、有理数、无理数、科学记数法； 注意：①注意不要混淆相反数和倒数；②常见几种无理数：（1）开不尽的根式、（2）含π的数、（3）有规律但属于无限不循环的小数；③判断无理数、有理数时，将式子化简彻底后再进行判断；④科学记数法中，一般万化为，亿化为。 1．（2024·山东烟台·中考真题）下列实数中的无理数是（    ） A． B．3.14 C． D． 2．（2024·山东威海·中考真题）一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东泰安·中考真题）的相反数是（　　） A． B． C． D． 4．（2023·山东淄博·中考真题）的运算结果等于（    ） A．3 B． C． D． 5．（2023·山东·中考真题）的倒数是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·山东济南·中考真题）截止2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林覆盖率达到，将数字3465000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·山东东营·中考真题）从2024年一季度GDP增速看，东营市增速位居山东16市“第一方阵”，一季度全市生产总值达到957.2亿元，同比增长，957.2亿用科学记数法表示为 ． 8．（2024·山东烟台·中考真题）目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是纸厚度的六分之一，已知1毫米百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（    ） A．纳米 B．纳米 C．纳米 D．纳米 9．（2024·山东威海·中考真题）据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录．“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【题型2 实数的运算】 实数的运算是实数内各种概念法则运算的结合，一般以简答题为主，个别会出填空题，这也就决定了实数的运算需要我们注意的三个方面： ①实数的运算必须熟悉的几个法则：零指数幂运算、负指数幂运算、绝对值的化简、根式的化简计算、特殊角的三角函数值计算等； ②实数的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的； ③在做解答题时，第一步写清每个零指数幂运算、负指数幂运算、绝对值的化简、根式的化简计算、特殊角的三角函数值的直接答案，尽量避免跨步，以防口算错误导致全错。 1．（2024·山东淄博·中考真题）下列运算结果是正数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东日照·中考真题）计算： 3．（2024·山东潍坊·中考真题）计算：； 4．（2024·山东泰安·中考真题）计算：； 5．（2024·山东济南·中考真题）计算：． 【题型3 实数的大小比较】 实数比较大小的常见方法：①法则法：正数＞0＞负数；②数轴法：数轴上的数，右边的总比左边的大；③绝对值法：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；④平方法：两个正数比较大小，谁的平方大，谁本身就大，两个负数比较大小，谁的平方大，谁本身反而小； 注意：个别实数的比较大小会结合其他基本概念或计算，这类问题要同时兼顾结合考点的性质再做比较 1．（2024·山东威海·中考真题）下列各数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东·中考真题）下列实数中，平方最大的数是（    ） A．3 B． C． D． 3．（2022·山东临沂·中考真题）比较大小： （填“”，“”或“”）． 【题型4 数轴】 注意：①互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称；②在数轴上，到原点的距离代表了一个数的绝对值，也就是说，在比较绝对值大小时，可以通过比较到原点的距离 1．（2024·山东青岛·中考真题）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最小的是（    ） A．a B．b C．c D．d 2．（2024·山东烟台·中考真题）实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·山东·中考真题）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（    ）    A． B． C． D． 考向二：整式 【题型5 因式分解】 因式分解时，首选提公因式，再考虑公式法将括号中的整式进行因式分解。 1．（2024·山东威海·中考真题）因式分解： ． 2．（2024·山东东营·中考真题）因式分解： ． 3．（2024·山东·中考真题）因式分解： ． 【题型6 整式化简求值】 1、常见必会计算公式：①am•an＝a m+n（m，n是正整数） ②（am）n＝amn（m，n是正整数） ③（ab）n＝anbn（n是正整数） ④am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ⑤（a±b）2＝a2±2ab+b2⑥（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 2、完全平方公式的常见变形： 3、其他技巧：整式的化简计算，其实就是去括号法则与合并同类项法则的联合应用，所以两个法则的注意事项也是整式化简的注意事项。 1．（2024·山东济南·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东青岛·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·山东济宁·中考真题）已知，则的值是 ． 6．（2024·山东济宁·中考真题）先化简，再求值： ，其中，． 7．（2023·山东·中考真题）已知实数满足，则 ． 8．（2023·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 考向三：二次根式 【题型7 有意义】 1 对于二次根式有意义，需保证被开方式≥0，若二次根式在分母上，则被开方式＞0；②表示的是a的算术平方根，也表示面积为a的正方形的边长，只有在求a的平方根时，结果才可能是正负；③在判断同类二次根式时，需要先将根式化简，再判断；④的整数部分如果是b，那么它的小数部分是 1．（2024·山东烟台·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 2．（2023·山东·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 4．（2023·山东·中考真题）面积为9的正方形，其边长等于（　　） A．9的平方根 B．9的算术平方根 C．9的立方根 D．5的算术平方根 5．（2023·山东烟台·中考真题）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·山东临沂·中考真题）设，则实数m所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【题型8 化简计算】 在进行二次根式的乘除运算时，有时先将二次根式化成最简二次根式再进行乘除运算，有时直接将被开方式进行乘除运算后再进行化简，在计算直线应该先考虑哪种方式更简便，再动笔计算。 1．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东威海·中考真题）计算： ． 3．（2023·山东潍坊·中考真题）从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果） 考向四：分式及运算 【题型9 分式的计算】 1 最简公分母：系数：各个系数的最小公倍数；取所有字母；相同字母取最大指数；②整式与分式相加减时，将整式整体加括号，看作分母为1的分数. 1．（2024·山东济南·中考真题）若分式的值为0，则的值是 ． 2．（2024·山东威海·中考真题）计算： ． 3．（2024·山东德州·中考真题）化简： 4．（2023·山东临沂·中考真题） 下面是某同学计算的解题过程： 解：                       ①                          ②                        ③                               ④ 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程． 【题型10 分式化简求值】 分式求值时，和整式不一样，需要注意所代入的数值是否会使得原计算式子有意义。 1．（2024·山东淄博·中考真题）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定，的值）    2．（2024·山东潍坊·中考真题）先化简，再求值：，其中． 3．（2024·山东青岛·中考真题）先化简，再从，，中选一个合适的数作为的值代入求值． 4．（2024·山东烟台·中考真题）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若是其显示结果的平方根，先化简：，再求值． 5．（2024·山东日照·中考真题） 先化简，再求值：，其中x满足． 6．（2023·山东东营·中考真题） 先化简，再求值：，化简后，从的范围内选择一个你喜欢的整数作为x的值代入求值． 7．（2023·山东滨州·中考真题）先化简，再求值：，其中满足． 8．（2023·山东·中考真题）先化简，再求值：，其中x，y满足． （建议用时：15分钟） 1．（2024·山东·一模）禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为，数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东青岛·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东·一模）下列实数中是无理数的为（　　　） A． B．2 C． D．0.9 4．（2024·山东·一模）某市去年第四季度财政收入为亿元，用科学记数法(结果保留两个有效数字)表示为（  ）元 A． B． C． D． 5．（2024·山东·一模）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（华东师大版2024））的相反数是（ ） A． B． C． D． 6．（2024·山东青岛·一模）去年年底，国产—龙芯在北京发布，标志着我国自主研发的在自主可控程度和产品性能方面达到新高度．龙芯采用的工艺制程为，将用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·山东·一模）9的算术平方根是（    ） A．3 B．81 C． D． 8．（2024·山东·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（2024·山东·一模）的倒数是（ ） A．5 B． C． D． 10．（2024·山东·一模）据初步统计，2016年高青县实现地区生产总值（）约为亿元.其中亿元用科学记数法表示为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 11．（2024·山东·一模）据科技日报报道，中国已实现离子注入装备纳米工艺制程全覆盖，有力保障了我国集成电路制造行业在成熟制程领域的产业安全．已知长度单位1纳米米，用科学记数法表示纳米是（    ）米 A． B． C． D． 12．（2024·山东·一模）下列式子中，为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 13．（2024·山东济南·一模）已知有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 14．（2019·山东青岛·二模）计算：＝ ． 15．（2024·山东·一模）分解因式：2x2+4xy+2y2＝ ． 16．（2024·山东青岛·一模）的计算结果为 ． 17．（2024·山东·一模）分解因式：2x3﹣6x2+4x= ． 18．（2024·山东泰安·一模）计算： ． 19．（2024·山东·一模）化简：的结果是 ． 20．（2023·山东青岛·三模）计算： ． 21．（2024·山东青岛·一模）已知，则 ． 22．（2024·山东·一模）分解因式： ． 23．（2024·山东济南·一模）若分式有意义，则的值可以是 ．（写出一个即可） 24．（2024·山东·一模）已知，，则的值为 ． 25．（2024·山东济宁·一模）若单项式与是同类项，则m的值为 ． 26．（2024·山东·一模）先化简，再求值：并在2，3，-3，4这四个数中取一个合适的数作为a的值代入求值． 27．（2024·山东泰安·一模）计算：． 28．（2024·山东青岛·一模）（1）解不等式组，并写出它的非负整数解． （2）计算：． 29．（2024·山东·一模）计算： 30．（2025·山东·一模）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，满足． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$