大题02 数列及求和（5大题型+高分必刷）-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（新高考专用）

大题02 数列及数列求和 根据近几年的高考情况，数列是高考数学中必考题目，高频考点，解答题小题都会涉及通常情况下与解三角形解答题二选一。一般考查内容之是等差等比数列性质的简单应用。求和部分一般主要考查错位相减求和，裂项求和以及奇偶项讨论分组求和，随着新课程改革，数列新定义问题也会作为压轴题的形式出现，主要考查学生对与新概念的认识以及自主学习能力问题。 题型一 : 数列通项及裂项求和 1（24-25高三下·四川乐山·期末）设等差数列的前n项和为，且，（为常数） (1)求a的值； (2)求的通项公式； (3)若，求数列的前n项和 【思路分析】 （1）利用的关系可求得； （2）由（1）可得 （3）由（2）可得，利用裂项相消法可求得. 【规范答题】【详解】（1）当时，， 当时，， 因为是等差数列，则时也应满足，即， 又，所以，解得； （2）由（1）得 （3）， 2 （24-25高二下·黑龙江大庆·开学考试）设是等比数列的公比大于0，其前n项和为，是等差数列，已知，，，. (1)求，的通项公式 (2)设，数列的前n项和为，求并证明. 【思路分析】 （1）利用等差和等比数列的通项公式基本量运算求解即得； （2）利用裂项相消法求和，并利用数列的单调性证明不等式. 【规范答题】（1）设的公比，因为，所以， 即，解得或（舍）， 所以. 设的公差为d，因为，， 所以，， 所以， 解得， 所以． （2）， 所以 ， 因为n为正整数，所以，所以， 又因为数列单调递减，所以单调递增， 所以，所以. 一般地，如果一个数列的通项公式是分式形式，那么往往可灵活运用“裂项”求和技巧简捷求解该数列的前n项和．常见的“裂项”结论有： 形如 当，时，易知 形如 当，时，易知 形如 当，时，易知 形如 当，时，易知 1（24-25高三上·浙江舟山·期末）数列满足：． (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据的关系，即可作差求解， （2）利用裂项相消法求解，根据单调性可得，进而根据求解即可. 【详解】（1）令 又① ② 由①②得到 即：， 经检验，也成立，故数列的通项公式 （2） 因为是单调递增数列，且 若恒成立，则，解得或， 实数的取值范围为或． 2．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知数列中，，为数列的前n项和，满足 (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由的关系作差得到，通过构造即可求证； （2）由（1）得到，裂项相消求和即可； 【详解】（1）由题意，当时，，得， ， 当时，，① ，② ①-②得， 因为，所以则， ，， 所以是以为首项，3为公比的等比数列. 所以，则 （2）由， 则， 所以的前n项和 3．（24-25高三下·湖南·阶段练习）已知数列的前项和． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用数列前项和与的关系求的通项公式.（2）先求出的表达式，再根据其特点进行求和. 【详解】（1）当时：已知，那么，所以. 当时：， 先展开式子. 则，所以. 当时，，上式也成立.所以. （2）已知，把代入可得： . 可以发现相邻两项相加为，除了第一项中的和最后一项中的. 所以. 题型二：数列通项及错位相减求和 1（贵州省毕节市2024-2025学年高三下学期第二次模拟（3月）数学试题）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)令，记数列的前项和为，求证：. 【思路分析】（1）根据数列的递推式即可求数列的通项公式. （2）利用错位相减求和法求数列的前项和. 【规范答题】（1）当时，， 当时，，， 故. 时，上式亦成立. 所以数列的通项公式为： （2）因为， 所以， 所以 两式相减得：， 所以：. 设是等差数列，是公比的等比数列，则数列的前n项和的常规求法是错位相减法，取巧可这样做：设，则，其中，.推导过程请参考视频，x、y的计算公式可不记，记住的形式，取和用待定系数法来算就可以了. 1（24-25高三下·山西·阶段练习）数列满足． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）计算，根据等比数列的定义得证； （2）由（1）得，利用分组求和和错位相减法求和. 【详解】（1）因为， 且，所以数列是等比数列． （2）由（1）得数列是等比数列，且公比， 所以，故． 所以． 故 , 令, , 两式相减得 , 所以, 即. 2．（24-25高三下·云南玉溪·开学考试）等比数列中，，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合已知，根据等比数列的基本量运算列式求解首项和公比，然后利用等比数列通项公式求解即可. （2）利用（1）求得，利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）等比数列中，， 所以公比，又得， 所以数列是以4为首项，为公比的等比数列，所以． （2）， 所以， 故， 所以 ， 所以 题型三：数列通项及奇偶项讨论问题  1（24-25高三下·广东惠州·阶段练习）已知数列的前项和为，且， (1)证明是等差数列； (2)求； (3)求证： 【思路分析】（1）根据等差数列的定义即可证明. （2）先根据等差数列的定义得出和是等差数列；再根据等差数列的通项公式 求出，及；最后利用等差数列的通项公式即可解答. （3）先变形得出；再根据裂项相消求和即可证明. 【规范答题】 （1）证明：因为在数列中，，， 所以， 所以是以1为首项，3为公差的等差数列． （2）由（1）可知是以1为首项，3为公差的等差数列,， 所以. 同理由，可得. 又因为， 所以是以2为首项，3为公差的等差数列， 故， 则. 所以. （3）证明：因为， 所以. 因为 所以， 即. 1（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）设数列的前项和为，已知，且为等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和. 【答案】(1)(2). 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为， 所以，即， 所以，即， 当时，， 当时，，满足上式，所以. （2）由（1）知 则 ， 所以数列的前项和为. 2．（24-25高三下·河南开封·开学考试）已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列.且，，，. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若，求数列的前2n项和. 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】(1)由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求； (2)由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和； (3)由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和． 【详解】（1）是等差数列，是各项都为正数的等比数列，设公差为d，公比为， 由，，，，可得，， 解得：负的舍去， 则，； （2）数列的前n项和， ， 两式相减可得， 化为； （3）， 则数列的前2n项和 . 3．（24-25高三下·广西·开学考试）已知函数且. (1)计算，； (2)求通项公式； (3)设为数列的前n项和，求； 【答案】(1)；5(2)(3) 【详解】（1）由题意可得：， 所以；. （2）因为， 当n为奇数，则； 当n为偶数，则；所以. （3）由（2）可知， 若n为奇数，则，可得： 当n为偶数时，； 故当n为奇数时；所以. 题型四：数列证明类问题  1（2025·甘肃兰州·一模）已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)证明：； (3)若数列满足，证明：（e为自然对数的底）． 【思路分析】（1）由等差数列的通项公式及等比数列的性质即可求解，进而可得通项公式； （2）设，求导，可得的单调性，进而可得结论； （3）由题意需证，由（2）可得，利用放缩法与裂项相消法可证结论. 【规范答题】（1）设等差数列公差为成等比数列，则， 所以，解得或（舍去），所以； （2）设，当时，单调递减， ，所以，由（1）可知， 则有，所以不等式恒立． （3）因为，所以要证， 只需证：， 根据（2）可知，那么， ， 所以. 1 （24-25高三下·福建福州·阶段练习）已知为数列的前项和，为数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)若，求的最大值； 【答案】(1)(2)5 【详解】（1）由，得，所以数列为等差数列， 所以，所以. 又，所以， 设的公差为， 即解得 所以的通项公式是 （2）由（1）知， 所以 令， 得， 设，则数列是递增数列. 又， 所以的最大值为5. 2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．令，为数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）由题意得，                ①， 当时，       ② 由①②得：，即 ． 又时，满足. （2）由得，. ①当n为偶数时， 此时，，故 ②当n为奇数时， 综上，当时，． 题型五：数列型定义问题  1（2025·江苏苏州·模拟预测）设为正整数，数列是首项为，公差为的等差数列，若存在一组正整数，使得能构成等比数列，则称数列为可拆数列. (1)对任意正整数，判断数列是否为可拆数列； (2)若对任意正整数，数列是可拆数列，求的所有可能值； (3)若存在无穷多个正整数，使得是等比数列，求的取值范围. 【思路分析】（1）利用可拆数列的定义即可求解； （2）根据定义证明命题等价于是正有理数； （3）利用（2）的结论即可得到结果. 【规范答题】（1）根据定义，取，即可得到构成等比数列. 所以是可拆数列. （2）先证明一个引理：对任意的正整数，数列包含一个无穷等比数列. 证明：由于. 故可以取，则此时. 从而得到是等比数列. 引理证毕，回到原题. ①由于包含构成等比数列的三项，故存在非负整数使得，即. 从而，这得到一定是正有理数. ②若是正有理数，设，则根据引理知数列包含无穷等比数列. 所以也包含无穷等比数列，这就意味着对任意正整数，存在使得构成等比数列，从而一定是可拆数列，条件满足. 综合①②可知，的所有可能值为全体正有理数. （3）①在此条件下，显然对任意正整数，数列都是可拆数列，根据（2）的结论可知. ②若，设，则同样根据（2）中的引理，知数列包含无穷等比数列. 所以也包含无穷等比数列，条件满足. 综合①②可知，的取值范围是. 2（2025·山西吕梁·一模）若数列中且对任意的恒成立，则称数列为“数列”. (1)若数列为“-数列”，写出所有可能的； (2)若“-数列”中，，求的最大值. 【思路分析】 【分析】（1）利用“数列”的定义，得到关于的不等式组，列出所有满足条件，即可得解； （2）利用“数列”的定义，推得，进而得到，解得；再取，推得符合题意，由此得解； 【规范答题】 （1）依题意，因为数列为“数列”，则， 注意到，故所有可能的为或或. （2）一方面，注意到： 对任意的，令，则且， 故对任意的恒成立（★）， 当时，注意到， 得， 此时， 即，解得，故；另一方面， 取，则对任意的，故数列为“数列”， 此时，即符合题意. 综上，n的最大值为. 新定义问题的求解过程可以模型化，一般解题步骤如下： 第一步：提取信息  —  对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号， 第二步：加工信息  —  细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点 第三步：迁移转化  —  如果是新定义的运算法则，直接按照运算法则计算即可，如果是新定义的性质，一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等） 第四步：计算，得结论  —  结合题意进行严密的逻辑推理、计算，得结论 1（24-25高三·云南保山·期末）已知表示正整数的最大奇数因数． (1)试求的值； (2)求证：，，其中； (3)记，求． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）显然7的最大奇数因数为7，从而 由于，12的最大奇数因数为3，故． （2）的最大奇数因数显然是它本身，故， 对于，设的最大奇数因数为，并设， 则，从而成立． （3） ． 从而， 以下累加 ， ， …… ， ， 又从而． 2．（24-25高三·陕西西安·期末）对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中.对于正整数，称为数列的阶差分数列，其中.已知数列满足，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)，；(2)证明见解析. （2）根据已知得，应用错位相减法及等比数列前n项和公式求，即可证结论. 【详解】（1）因为，所以， 所以是公差为1的等差数列，所以. 因为，所以，所以，即. 因为， 所以. 因为，所以. 因为， 所以，所以. 因为，所以，所以. 因为，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，即. （2）因为，所以，则， 所以， 故. .一、解答题 1．（2025·山东济宁·一模）已知数列和满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)；(2)证明见详解 【详解】（1）因为，可得， 即， 可知数列为常数列，则，所以； 又因为，则有： 若，可得； 若，则， 两式相减得； 且符合上式，所以. （2）由（1）可知：， 可得， 显然，所以. 2．（24-25高三上·安徽芜湖·阶段练习）已知数列的首项为且. (1)求的通项公式； (2)若求数列的前项和． 【答案】(1)(2) 【详解】（1） 两边同时除以可得 则 累加可得则经检验也适合上式， 所以 （2）由（1）可知数列的前项和 则 ① ②由两式相减 ①-②可得： 故． 3．（2025·陕西榆林·模拟预测）数列是公比为的等比数列，且是与的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）依题可得：， 即：，解得， 所以. （2）证明：设， 则，所以， 4．（24-25高三下·广东东莞·阶段练习）已知等差数列满足，是关于的方程的两个根. (1)求； (2)设求数列的前项和． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）设等差数列的公差为. 当时，是方程的两根， 由韦达定理得，① 当时，是方程的两根， 由韦达定理得，② 由①②，解得； （2）由（1）知，所以， 则，对于方程， 由韦达定理得，即， 所以， 所以 . 5．（2025·陕西宝鸡·二模）已知：数列的前项和为，，当时． (1)求证：数列为等差数列； (2)记表示不超过的最大整数，设，求数列前2025项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意结合整理可得，即可证等差数列； （2）由（1）可得：，分和两种情况，结合取整函数的定义求数列的通项公式，进而求和. 【详解】（1）当时，且， 可得，整理得， 即，且， 所以数列为以1为首项，1为公差的等差数列． （2）由（1）可得：，即， 由定义可得：， 当时，，即， 所以； 当且时，不是整数， 可设，则， 则，可得； 综上所述：. 在上，，， 所以. 6．（2024高三·全国·专题练习）已知数列中，，，对任意都成立，数列的前n项和为． (1)若是等差数列，求k的值； (2)若，，求； (3)是否存在实数k，使数列是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）根据等差数列性质得，即可得参数值； （2）根据已知得，讨论的奇偶性求； （3）由题设有，，，讨论不同的等差中项，结合已知求参数值，判断存在性. 【详解】（1）由题意，数列是等差数列，可得， 即，即，故． （2）由时，，即， 整理得，故． 当n是偶数时，； 当n是奇数时，， ． 综上，． （3）若是等比数列，则公比， 由题意，故，，． ①若为等差中项，则，即，，解得（舍去）； ②若为等差中项，则，即，． 因为，解得，； ③若为等差中项，则，即，． 因为，解得，， 综上，存在实数k满足题意，． 7．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）对一个给定的数列的相邻两项作差，得到一个新数列，，…，，…这个数列称为的一阶差数列．如果记该数列为，其中，再求的相邻两项之差，那么称所得数列，，…，，…为原数列的二阶差数列．依此类推，对任意，可以定义数列的p阶差数列．如果的p阶差数列是一个非零常数列，那么称它为p阶等差数列．特别地，一阶等差数列就是我们常说的等差数列，二阶及二阶以上的等差数列统称为高阶等差数列． (1)数列的通项公式为，证明：数列是二阶等差数列． (2)数列的通项公式为，证明：数列的前n项和公式为． (3)设数列是一个三阶等差数列，其前面的若干项为1，2，8，22，47，86，…，求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）数列的通项公式为，设数列的一阶差数列为， 则， 即， 所以数列的一阶差数列为， 所以的1阶差数列是一个以为首项，2为等差的等差数列， 则 的2阶差数列是一个以2为首项的常数列， 根据二阶等差数列定义可知数列是二阶等差数列. （2）证明： ． ∵， ∴， ∴．证毕． （3）计算的各阶等差数列，设的一阶差数列为，二阶差数列为，三阶差数列为， 得：1，6，14，25，39，…；：5，8，11，14，…；：3，3，3，…． ∵是一个三阶等差数列，∴是一个常数列， ． ∵，，2，…， ∴， ∴． 同理可解得， 故． 【点睛】关键点点睛：先计算出的各阶等差数列，得：1，6，14，25，39，…；：5，8，11，14，…；：3，3，3，…．再利用累加法即可求出数列的通项公式 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. （2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答. 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时，若，则 ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 2．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据即可求出； （2）根据错位相减法即可解出． 【详解】（1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 3．（2022·全国甲卷·高考真题）记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证； （2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得． 【详解】（1）因为，即①， 当时，②， ①②得，， 即， 即，所以，且， 所以是以为公差的等差数列． （2）[方法一]：二次函数的性质 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，所以， 所以，当或时，． [方法二]：【最优解】邻项变号法 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，即有. 则当或时，． 4．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； （2） ∴ 5．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． (1)证明：； (2)求集合中元素个数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出； （2）根据题意化简可得，即可解出． 【详解】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证． （2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为． 6．（2021·全国乙卷·高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列; （2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得. 【详解】（1）[方法一]： 由已知得,且，, 取,由得, 由于为数列的前n项积， 所以, 所以， 所以, 由于 所以，即,其中 所以数列是以为首项，以为公差等差数列; [方法二]【最优解】： 由已知条件知    ① 于是．       ② 由①②得．     ③ 又，       ④ 由③④得． 令，由，得． 所以数列是以为首项，为公差的等差数列． [方法三]：   由，得，且，，． 又因为，所以，所以． 在中，当时，． 故数列是以为首项，为公差的等差数列． [方法四]：数学归纳法   由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且． 下面用数学归纳法证明． 当时显然成立． 假设当时成立，即． 那么当时，． 综上，猜想对任意的都成立． 即数列是以为首项，为公差的等差数列． （2） 由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列， , , 当n=1时，, 当n≥2时,,显然对于n=1不成立, ∴. 7．（2021·全国·高考真题）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列是等差数列：②数列是等差数列；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】证明过程见解析 【分析】选①②作条件证明③时，可设出，结合的关系求出，利用是等差数列可证；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明. 选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出，结合等差数列定义可证； 选②③作条件证明①时，设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论. 【详解】选①②作条件证明③： [方法一]：待定系数法+与关系式 设，则， 当时，； 当时，； 因为也是等差数列，所以，解得； 所以，，故. [方法二] ：待定系数法 设等差数列的公差为d，等差数列的公差为， 则，将代入， 化简得对于恒成立． 则有，解得．所以． 选①③作条件证明②： 因为，是等差数列， 所以公差， 所以，即， 因为， 所以是等差数列. 选②③作条件证明①： [方法一]：定义法 设，则， 当时，； 当时，； 因为，所以，解得或； 当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列； 当时，，不合题意，舍去. 综上可知为等差数列. [方法二]【最优解】：求解通项公式 因为，所以，，因为也为等差数列，所以公差，所以，故，当时，，当时，满足上式，故的通项公式为，所以，，符合题意. 【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，平方后得到的关系式，利用得到的通项公式，进而得到，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出与的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，，进而得到；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出及，进而由等差数列定义进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；法二：利用是等差数列即前两项的差求出公差，然后求出的通项公式，利用，求出的通项公式，进而证明出结论. 8．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 【答案】（1）；（2）. 【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可； (2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和. 【详解】解：（1）[方法一]【最优解】： 显然为偶数，则， 所以，即，且， 所以是以2为首项，3为公差的等差数列， 于是． [方法二]：奇偶分类讨论 由题意知，所以． 由（为奇数）及（为偶数）可知， 数列从第一项起， 若为奇数，则其后一项减去该项的差为1， 若为偶数，则其后一项减去该项的差为2． 所以，则． [方法三]：累加法 由题意知数列满足． 所以， ， 则． 所以，数列的通项公式． （2）[方法一]：奇偶分类讨论 ． [方法二]：分组求和 由题意知数列满足， 所以． 所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； 同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列． 从而数列的前20项和为： ． 【整体点评】(1)方法一：由题意讨论的性质为最一般的思路和最优的解法； 方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质； 方法三：写出数列的通项公式，然后累加求数列的通项公式，是一种更加灵活的思路. (2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法； 方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择. 9．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 【答案】(1)；(2)7. 【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式； (2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值. 【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：， 设等差数列的公差为，从而有：， ， 从而：，由于公差不为零，故：， 数列的通项公式为：. (2)由数列的通项公式可得：，则：， 则不等式即：，整理可得：， 解得：或，又为正整数，故的最小值为. 1 / 51 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大题02 数列及数列求和 根据近几年的高考情况，数列是高考数学中必考题目，高频考点，解答题小题都会涉及。一般考查内容之是等差等比数列性质的简单应用。求和部分一般主要考查错位相减求和，裂项求和以及奇偶项讨论分组求和，随着新课程改革，数列新定义问题也会作为压轴题的形式出现，主要考查学生对与新概念的认识以及自主学习能力问题。 题型一：数列通及裂项求和 1（24-25高三下·四川乐山·期末）设等差数列的前n项和为，且，（为常数） (1)求a的值； (2)求的通项公式； (3)若，求数列的前n项和 2 （24-25高三下·黑龙江大庆·开学考试）设是等比数列的公比大于0，其前n项和为，是等差数列，已知，，，. (1)求，的通项公式 (2)设，数列的前n项和为，求并证明. 一般地，如果一个数列的通项公式是分式形式，那么往往可灵活运用“裂项”求和技巧简捷求解该数列的前n项和．常见的“裂项”结论有： 形如 当，时，易知 形如 当，时，易知 形如 当，时，易知 形如 当，时，易知 1（24-25高三上·浙江舟山·期末）数列满足：． (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 2．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知数列中，，为数列的前n项和，满足 (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和 3．（24-25高三下·湖南·阶段练习）已知数列的前项和． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 题型二：数列通项及错位相减求和 （贵州省毕节市2024-2025学年高三下学期第二次模拟（3月）数学试题）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)令，记数列的前项和为，求证：. 设是等差数列，是公比的等比数列，则数列的前n项和的常规求法是错位相减法，取巧可这样做：设，则，其中，.推导过程请参考视频，x、y的计算公式可不记，记住的形式，取和用待定系数法来算就可以了. 1（24-25高三下·山西·阶段练习）数列满足． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 2．（24-25高三下·云南玉溪·开学考试）等比数列中，，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 题型三：数列通项及奇偶项讨论问题 1（24-25高三下·广东惠州·阶段练习）已知数列的前项和为，且， (1)证明是等差数列； (2)求； (3)求证： 1（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）设数列的前项和为，已知，且为等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和. 2．（24-25高三下·河南开封·开学考试）已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列.且，，，. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若，求数列的前2n项和. 3．（24-25高三下·广西·开学考试）已知函数且. (1)计算，； (2)求通项公式； (3)设为数列的前n项和，求； 题型四：数列证明类问题 1（2025·甘肃兰州·一模）已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)证明：； (3)若数列满足，证明：（e为自然对数的底）． 1 （24-25高三下·福建福州·阶段练习）已知为数列的前项和，为数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)若，求的最大值； 2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．令，为数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)证明：当时，． 题型五：数列型定义问题 1（2025·江苏苏州·模拟预测）设为正整数，数列是首项为，公差为的等差数列，若存在一组正整数，使得能构成等比数列，则称数列为可拆数列. (1)对任意正整数，判断数列是否为可拆数列； (2)若对任意正整数，数列是可拆数列，求的所有可能值； (3)若存在无穷多个正整数，使得是等比数列，求的取值范围. 2（2025·山西吕梁·一模）若数列中且对任意的恒成立，则称数列为“数列”. (1)若数列为“-数列”，写出所有可能的； (2)若“-数列”中，，求的最大值. 新定义问题的求解过程可以模型化，一般解题步骤如下： 第一步：提取信息  —  对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号， 第二步：加工信息  —  细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点 第三步：迁移转化  —  如果是新定义的运算法则，直接按照运算法则计算即可，如果是新定义的性质，一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等） 第四步：计算，得结论  —  结合题意进行严密的逻辑推理、计算，得结论 1（24-25高三·云南保山·期末）已知表示正整数的最大奇数因数． (1)试求的值； (2)求证：，，其中； (3)记，求． 2．（24-25高三·陕西西安·期末）对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中.对于正整数，称为数列的阶差分数列，其中.已知数列满足，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，证明：. .一、解答题 1．（2025·山东济宁·一模）已知数列和满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：． 2．（24-25高三上·安徽芜湖·阶段练习）已知数列的首项为且. (1)求的通项公式； (2)若求数列的前项和． 3．（2025·陕西榆林·模拟预测）数列是公比为的等比数列，且是与的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，证明：. 4．（24-25高三下·广东东莞·阶段练习）已知等差数列满足，是关于的方程的两个根. (1)求； (2)设求数列的前项和． 5．（2025·陕西宝鸡·二模）已知：数列的前项和为，，当时． (1)求证：数列为等差数列； (2)记表示不超过的最大整数，设，求数列前2025项和． 6．（2024高三·全国·专题练习）已知数列中，，，对任意都成立，数列的前n项和为． (1)若是等差数列，求k的值； (2)若，，求； (3)是否存在实数k，使数列是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由． 7．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）对一个给定的数列的相邻两项作差，得到一个新数列，，…，，…这个数列称为的一阶差数列．如果记该数列为，其中，再求的相邻两项之差，那么称所得数列，，…，，…为原数列的二阶差数列．依此类推，对任意，可以定义数列的p阶差数列．如果的p阶差数列是一个非零常数列，那么称它为p阶等差数列．特别地，一阶等差数列就是我们常说的等差数列，二阶及二阶以上的等差数列统称为高阶等差数列． (1)数列的通项公式为，证明：数列是二阶等差数列． (2)数列的通项公式为，证明：数列的前n项和公式为． (3)设数列是一个三阶等差数列，其前面的若干项为1，2，8，22，47，86，…，求数列的通项公式． 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 2．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 3．（2022·全国甲卷·高考真题）记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 4．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 5．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． (1)证明：； (2)求集合中元素个数． 6．（2021·全国乙卷·高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 7．（2021·全国·高考真题）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列是等差数列：②数列是等差数列；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 8．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 9．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 1 / 51 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$