精品解析：安徽省蒙城县实验中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题

蒙城实验永兴中学2024－2025学年高一下学期第一次月考 数学试题 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色.墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：北师大版必修第一册～必修第二册第一章4.2结束. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列各角中，与终边相同的角为（ ） A. B. C. D. 3. 我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1521石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约（ ） A. 133石 B. 159石 C. 163石 D. 169石 4. 在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式在上的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 甲班和乙班同学在体育课上进行拔河比赛，比赛采取三场两胜制（当一个班获得两场胜利时，该班获胜，比赛结束），假设每场比赛甲班获胜的概率为，每场比赛结果互不影响，则甲班最终获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的最大值为1，最小值为，则函数的最大值为（ ） A. 5 B. －5 C. 1 D. －1 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列转化结果正确的是（） A. 化成弧度 B. 化成角度是 C. 化成弧度是 D. 化成角度是 10. 已知函数的定义域为，且，下列说法正确的是（ ） A. B. 若上有最小值－1，则在上有最大值1 C. 若在上为增函数，则在上为减函数 D. 若时，，则时， 11. 已知函数且时，，则的取值可能是（ ） A 9 B. 11 C. 12 D. 13 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______． 13. 已知一组数据的平均数，方差，去掉一个数据之后，剩余数据的平均数没有变，方差变为24，则这组数据的个数__________. 14. 函数的定义域为，且满足，若，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤. 15. 已知角的顶点为原点，始边与轴的非负半轴重合．若角的终边过点，且，判断角的终边所在的象限，并求的值． 16. 某公园要设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是以点为圆心的两个同心圆，圆弧所在圆的半径（单位：米），圆弧所在圆的半径（单位：米），圆心角． （1）求弧长； （2）求花坛的面积． 17. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，． （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计该企业的职工对该部门评分的分位数（保留一位小数）； （3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率． 18. 已知函数． （1）写出函数的最小正周期以及单调递减区间； （2）求函数在区间上的最小值，并写出取得最小值时的值； （3）时，函数有零点，求取值范围． 19. 若存在实数对，使等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为型函数. （1）若函数是型函数，求的值； （2）若函数是型函数，求和的值； （3）已知函数定义在上，恒大于0，且为型函数，当时，.若在恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 蒙城实验永兴中学2024－2025学年高一下学期第一次月考 数学试题 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色.墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：北师大版必修第一册～必修第二册第一章4.2结束. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式，得到，利用并集概念求出答案. 【详解】因， 所以. 故选：D 2. 下列各角中，与终边相同的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用终边相同的角的定义计算可得结果. 【详解】因为, 所以与的终边相同. 故选：A 3. 我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1521石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A. 133石 B. 159石 C. 163石 D. 169石 【答案】D 【解析】 【分析】根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而求得结果. 【详解】因为252粒内夹谷28粒，所以米内夹谷的频率为：. 所以这批米内夹谷约为：石. 故选：D 4. 在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数、对数函数和幂函数的图象与性质，结合排除法即可求解. 【详解】因在同一坐标系中， 所以的单调性一定相反，且图象均不过原点，故排除AD； 在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象， 由图象可知，所以单调递减，单调递增，故排除B， 故选：C. 5. 不等式在上的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合余弦函数图象分析运算，即可得结果. 【详解】∵，则， 注意到，结合余弦函数图象解得. 故选：D. 6. 甲班和乙班同学在体育课上进行拔河比赛，比赛采取三场两胜制（当一个班获得两场胜利时，该班获胜，比赛结束），假设每场比赛甲班获胜的概率为，每场比赛结果互不影响，则甲班最终获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意甲班最终获胜分三种情况进行讨论，进而求出结果. 【详解】甲班最终获胜有三种情况： ①甲班前两场获胜； ②甲班第1场和第3场获胜，第2场输； ③甲班第1场输，第2场和第3场获胜. 故甲班最终获胜的概率为. 故选：D. 7. 已知函数的最大值为1，最小值为，则函数的最大值为（ ） A. 5 B. －5 C. 1 D. －1 【答案】A 【解析】 【分析】分，求出的值，再求函数的最大值. 【详解】若，则， 所以（当时取“”）； 若，则， 所以（当时取“”）. 综上可知：的最大值为：5. 故选：A 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 首选判断，，再利用作商法以及基本不等式比较大小，根据指数式与对数式的互化以及对数函数的性质可得，利用对数的运算性质可判断. 【详解】因为，， 所以， 所以，所以， 因为，所以. 综上所述，， 故选：B. 【点睛】本题考查指数式､对数式的大小比较､基本不等式，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养，属于基础题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列转化结果正确的是（） A. 化成弧度是 B. 化成角度是 C. 化成弧度是 D. 化成角度是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据弧度制和角度制的转化公式求得正确答案. 【详解】化成弧度是，A选项正确. 化成角度是，B选项错误. 化成弧度是，C选项正确. 化成角度是，D选项正确. 故选：ACD 10. 已知函数的定义域为，且，下列说法正确的是（ ） A. B. 若在上有最小值－1，则在上有最大值1 C. 若在上为增函数，则在上为减函数 D. 若时，，则时， 【答案】AB 【解析】 【分析】根据奇函数和单调性的定义与性质逐项判断即可确定答案. 【详解】由题意可知：函数是定义在上的奇函数，其图象关于原点对称. 对A：令，则，故A正确； 对B：根据奇函数图象的对称性，若在上有最小值－1，则在上有最大值1，故B正确； 对C：根据奇函数图象的对称性，若在上为增函数，则在上也为增函数，故C不正确； 对D：设，则，所以， 又，所以（）. 故D不正确. 故选：AB 11. 已知函数且时，，则的取值可能是（ ） A. 9 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意画出图形，得出各自的范围以及关系，进一步即可求解. 【详解】 ， 结合图形可得，，， ∵，∴，，即，∴， ∴，∴. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式求函数值. 【详解】因为. .即. 故答案为： 13. 已知一组数据的平均数，方差，去掉一个数据之后，剩余数据的平均数没有变，方差变为24，则这组数据的个数__________. 【答案】8 【解析】 【分析】由数据的平均数没有变，得到去掉的数据为6，根据方差列出方程，求出. 【详解】因为去掉一个数据之后，数据的平均数没有变，所以去掉的数据为6， 去掉6后方差变为24，故得到，解得： 故答案为：8 14. 函数的定义域为，且满足，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据所给的条件，利用“赋值法”求，，的值，再探索函数的周期性，进而可以求解. 【详解】因为，所以，. 令，则；由； 令，则. 由，代入，得， 用代替可得：， 两式相减得：，所以函数是以4为周期的周期函数. 所以：，. 所以. . 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据函数的关系式推出函数的周期，求出一个周期的函数值，进而可以求解结果. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤. 15. 已知角的顶点为原点，始边与轴的非负半轴重合．若角的终边过点，且，判断角的终边所在的象限，并求的值． 【答案】角的终边在第二或第三象限；. 【解析】 【分析】根据三角函数的定义列方程，化简求得正确答案. 【详解】根据三角函数的定义得， 由于，所以， 所以， 所以，所以角的终边在第二或第三象限. 当角的终边在第二象限时， ，则； 当角的终边在第三象限时， ，则. 综上所述，角的终边在第二或第三象限，. 16. 某公园要设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是以点为圆心的两个同心圆，圆弧所在圆的半径（单位：米），圆弧所在圆的半径（单位：米），圆心角． （1）求弧长； （2）求花坛的面积． 【答案】（1）米 （2）平方米 【解析】 【分析】（1）根据弧长公式求解即可. （2）根据扇形的面积公式，把花坛面积看成两个扇形面积的差即可. 【小问1详解】 弧长米 【小问2详解】 花坛面积 平方米 17. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，． （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计该企业的职工对该部门评分的分位数（保留一位小数）； （3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可求的值. （2）根据频率分布直方图计算50%分位数即可. （3）根据频率分布直方图得出50名职工中评分在、分别有2人、3人，利用列举法结合古典概型的概率公式即可求. 【小问1详解】 由题意： 【小问2详解】 因为评分在的频率为：， 评分在的频率为：. 所以评分的第分位数在， 由. 所以估计该企业的职工对该部门评分的分位数为：. 【小问3详解】 受访职工中评分在的人数为：人，设为， 受访职工中评分在的人数为：人，设为， 从中任取两人的结果有：，，，，，，，，，，共10个，且每个结果出现的可能性相同. 2人评分都在的结果有：，，，共3个. 所以此2人评分都在的概率为：. 18. 已知函数． （1）写出函数的最小正周期以及单调递减区间； （2）求函数在区间上的最小值，并写出取得最小值时的值； （3）时，函数有零点，求的取值范围． 【答案】（1）；，. （2）当时，取得最小值为. （3） 【解析】 【分析】结合余弦函数的图象和性质可求解. 【小问1详解】 函数的最小正周期为：； 由，， 得函数的单调递减区间为：，. 【小问2详解】 因为，所以， 所以当时，取得最小值为. 【小问3详解】 当时，，. 方程有解，所以. 即函数有零点，得. 19. 若存在实数对，使等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数型函数. （1）若函数是型函数，求的值； （2）若函数是型函数，求和的值； （3）已知函数定义在上，恒大于0，且为型函数，当时，.若在恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的定义，结合指数运算计算即得. （2）利用给定的定义，建立恒成立的等式，借助恒等式求解即得. （3）利用新定义建立关系，再分段讨论并借助函数不等式恒成立求解即得. 【小问1详解】 由是型函数，得，即， 所以. 【小问2详解】 由是型函数，得， 则，因此对定义域内任意恒成立， 于是，解得， 所以. 【小问3详解】 由是型函数，得， ①当时，，而，则，满足； ②当时，恒成立， 令，则当时，恒成立，于是恒成立， 而函数在单调递增，则，当且仅当时取等号，因此； ③当时，，则， 由，得， 令，则当时，， 由②知，则只需时，恒成立，即恒成立， 又，当且仅当时取等号，因此， 所以实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：函数的定义区间为， ①若，总有成立，则； ②若，总有成立，则； ③若，使得成立，则； ④若，使得成立，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$