精品解析：湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年九年级上学期数学开学试卷

湖南省长沙市长郡中学2024－2025学年九年级上学期数学开学试卷 注意事项： 1.本卷为试题卷，考生应在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 2.答题前，考生须将自己的姓名、准考证分别在试题卷和答题卡上填写清楚． 3.答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌子上，由监考老师统一收回． 本试卷共三道答题，26道小题，满分120分，时量共120分钟． 一、单选题（本大题12个小题，每小题3分，共36分，请将每个小题所给四个选项中唯一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上） 1. 如图，已知▱ABCD中，∠B＝50°．依据尺规作图的痕迹，则∠DAE＝（　　） A. 50° B. 65° C. 75° D. 80° 2. 期中考试后，班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩，小明说：“我们组成绩是86分的同学最多”，小英说：“我们组的7位同学成绩排在最中间的恰好也是86分”．上面两位同学的话能反映出的统计量分别是( ) A. 众数和平均数 B. 平均数和中位数 C. 众数和方差 D. 众数和中位数 3. 若一次函数的图象不经过第一象限，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 根据某市统计局发布的该市近5年的年度GDP增长率的有关数据，经济学家评论说，该市近5年的年度GDP增长率相当平稳，从统计学的角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据的（　　）比较小． A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差 5. 函数的图象如图所示，点，，点，在该图象上，下列判断正确的是　　 甲：与之间的大小关系为 乙：关于的不等式的解集为 A. 只有甲对 B. 只有乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对 6. 如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为米，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口方向向下 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 抛物线与轴交于点 D. 抛物线与轴没有交点 8. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 9. 关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A. 函数图象的开口向下 B. 二次函数的最小值为1 C. 该函数的对称轴为 D. 当时，随的增大而减小 10. 若关于x的方程x2+（m+1）x+=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是（ ） A. ﹣ B. C. ﹣或 D. 1 11. 如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点．连接，，当最大时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作▱EFGH，且点G、H分别在CD、AD上．在动点F运动的过程中，▱EFGH的面积（　　） A. 逐渐增大 B. 逐渐减小 C. 不变 D. 先增大，再减小 二、填空题（本答题共6个小题，每小题3分，共18分，请将正确答案写在答题卡相应的横线上） 13. 将直线向上平移个单位长度，则平移后的直线解析式为__________． 14. 著名数学家张景中教授主编的《数学美拾趣》一书中，记载了这样一首民间数学诗：“三百六十一只缸，任君分作几船装．不许一船多一只，不容一船少一缸”，译文为：“361只缸，任君分作几船装，船儿总数是多少，每船便装多少缸，问每船装几只缸？”答：每船所装的缸数为_______． 15. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是____________________． 16. 如图，四边形是平行四边形，若，，，则______． 17. 已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中： ①若点，，均在该二次函数图象上，则； ②； ③若m为任意实数，则； ④方程的两实数根为，且，则，． 正确结论为 ________． 18. 二次函数中，________决定该函数图象的开口方向和开口大小，在________确定的条件下，________决定图象对称轴的位置，________决定图象与轴交点的位置． 三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每题10分，共66分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明的主要步骤） 19. 解方程： （1） （2） （3） （4） 20. 如图，已知直线与y轴相较于点，直线交y轴于点B，交直线于点． （1）求直线的解析式； （2）过动点作x轴的垂线，与直线相交于点M，与直线相交于点N，当时，求a的值； （3）点Q为上一点，若，直接写出点Q的坐标． 21. 公司生产、两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产的、型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：），并进行整理、描述和分析（除尘量用表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息： 10台型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98． 10台型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94 抽取的、型扫地机器人除尘量统计表 型号 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占百分比 90 89 26.6 90 90 30 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_________，_________，_________； （2）这个月公司可生产型扫地机器人共3000台，估计该月型扫地机器人“优秀”等级的台数； （3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 22. 已知E，F分别是的边，的中点． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求的周长． 23. 已知：关于x的一元二次方程． （1）判断方程的根的情况； （2）若为等腰三角形，，另外两条边长是该方程的根，求的周长． 24. 某商品进货价为每件40元，将该商品每件的售价定为50元时，每星期可销售250件．现在计划提高该商品的售价增加利润，但不超过58元．市场调查反映：若该商品每件的售价在50元基础上每上涨1元，其每星期的销售量减少10件．设该商品每件的售价上涨 x 元(x为整数且)时，每星期的销售量为 y 件． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）当该商品每件的售价定为多少元时，销售该商品每星期获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）若该商品每星期的销售利润不低于 3000 元，求商品售价上涨 x元的取值范围． 25. 已知二次函数的图象经过点和. （1）求，满足的关系式； （2）当自变量的值满足时，随的增大而增大，求的取值范围； （3）若函数图象与轴无交点，求的取值范围. 26. 已知抛物线的解析式y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，点B的坐标为（﹣1，0）抛物线与y轴正半轴交于点C，△ABC面积为6． （1）如图1，求此抛物线的解析式； （2）P为第一象限抛物线上一动点，过P作PG⊥AC，垂足为点G，设点P的横坐标为t，线段PG的长为d，求d与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； （3）如图2，在（2）的条件下，过点B作CP的平行线交y轴上一点F，连接AF，在BF的延长线上取点E，连接PE，若PE＝AF，∠AFE+∠BEP＝180°，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市长郡中学2024－2025学年九年级上学期数学开学试卷 注意事项： 1.本卷为试题卷，考生应在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 2.答题前，考生须将自己的姓名、准考证分别在试题卷和答题卡上填写清楚． 3.答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌子上，由监考老师统一收回． 本试卷共三道答题，26道小题，满分120分，时量共120分钟． 一、单选题（本大题12个小题，每小题3分，共36分，请将每个小题所给四个选项中唯一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上） 1. 如图，已知▱ABCD中，∠B＝50°．依据尺规作图的痕迹，则∠DAE＝（　　） A. 50° B. 65° C. 75° D. 80° 【答案】D 【解析】 【分析】依据尺规作图的痕迹，可得EF是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得出EA=EB，根据等边对等角得到∠EAB=∠B=50°，利用三角形内角和定理求出∠AEB=180°-∠EAB-∠B=80°，再根据平行四边形的对边平行以及平行线的性质求出∠DAE=∠AEB=80°． 【详解】解：∵EF是AB的垂直平分线， ∴EA=EB， ∴∠EAB=∠B=50°， ∴∠AEB=180°-∠EAB-∠B=80°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE=∠AEB=80°． 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的对边平行的性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质．求出∠AEB的度数是解题的关键． 2. 期中考试后，班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩，小明说：“我们组成绩是86分的同学最多”，小英说：“我们组的7位同学成绩排在最中间的恰好也是86分”．上面两位同学的话能反映出的统计量分别是( ) A. 众数和平均数 B. 平均数和中位数 C. 众数和方差 D. 众数和中位数 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数和中位数的概念可得出结论. 【详解】一组数据中出现次数最多的数值是众数；将数据从小到大排列，当项数为奇数时中间的数为中位数，当项数为偶数时中间两个数的平均数为中位数；由题可知，小明所说的是多数人的分数，是众数，小英所说的为排在中间人的分数，是中位数. 故选为D. 【点睛】本题考查众数和中位数的定义，熟记定义是解题的关键. 3. 若一次函数的图象不经过第一象限，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，图象与系数的关系是解题关键． 由一次函数的图象不经过第一象限，则经过第二、三、四象限即可求解． 【详解】由一次函数的图象不经过第一象限， 则经过第二、三、四象限，且， 即 ． 故选D． 4. 根据某市统计局发布的该市近5年的年度GDP增长率的有关数据，经济学家评论说，该市近5年的年度GDP增长率相当平稳，从统计学的角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据的（　　）比较小． A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．故从统计角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据方差比较小． 【详解】解：由于方差反映的是数据的波动大小，故增长率相当平衡是指明方差比较小． 故选：D． 【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 5. 函数的图象如图所示，点，，点，在该图象上，下列判断正确的是　　 甲：与之间的大小关系为 乙：关于的不等式的解集为 A. 只有甲对 B. 只有乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的性质即可即可判断甲正确；观察图象即可判断乙错误． 【详解】解：， 随的增大而增大， 点，，，在该图象上，且， ， 故甲判断正确； 由图象可知，直线与轴的交点为， 关于的不等式的解集为， 故乙判断错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． 6. 如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为米，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是解题的关键． 【详解】解：设道路的宽应为米，由题意得， ， 故选：C． 7. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口方向向下 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 抛物线与轴交于点 D. 抛物线与轴没有交点 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴的交点问题对各选项一一进行判断即可得出答案． 【详解】解：A、由知抛物线开口向上，故此选项说法错误，不符合题意； B、抛物线的对称轴是直线，故此选项说法错误，不符合题意； C、当时，，故抛物线与轴交于点，此选项说法正确，符合题意； D、由知抛物线与轴有两个不同交点，故此选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握抛物线的开口方向、对称轴的相关性质和抛物线与坐标轴的交点的求法是解答此题的关键． 8. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 【解析】 【详解】∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3， ∴当x=0时，y=-1，故选项A错误， 该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误， 当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误， 当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 9. 关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A. 函数图象的开口向下 B. 二次函数的最小值为1 C. 该函数的对称轴为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的最值，二次函数的图象及性质等．根据题意利用二次函数图象及性质逐一对选项进行分析即可． 【详解】解∶∵， ∴， ∴函数图象开口向上，故A不符合题意， ∵函数图象的对称轴为：，故C符合题意， ∵函数图象的顶点坐标是，函数图象开口向上， ∴函数有最小值为5，故B不符合题意， ∵函数图象的对称轴为， ∴时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大，故D不符合题意． 故选：C． 10. 若关于x的方程x2+（m+1）x+=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是（ ） A. ﹣ B. C. ﹣或 D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】解：由根与系数的关系可得：x1+x2=﹣（m+1），x1•x2=， ∵一个实数根的倒数恰是它本身，则该实根为1或﹣1， 若x1=1时，则1+x2=﹣（m+1），1·x2=，解得m=﹣； 若x1=﹣1时，则m=． 故答案选：C． 11. 如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点．连接，，当最大时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，轴对称最短路线问题．当、、三点共线时，最大，则直线与对称轴的交点即为点．根据待定系数法求得直线的解析式，求得对称轴与直线的交点坐标即可． 【详解】解：当、、三点共线时，最大，则直线与对称轴的交点即为点． 由线可知，，， 对称轴 设直线为． ， 解得 直线解析式为， 当时，， ， 故选：D． 12. 如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作▱EFGH，且点G、H分别在CD、AD上．在动点F运动的过程中，▱EFGH的面积（　　） A. 逐渐增大 B. 逐渐减小 C. 不变 D. 先增大，再减小 【答案】C 【解析】 【分析】设AB=a，BC=b，BE=c，BF=x，根据S平行四边形EFGH=S矩形ABCD-2()=，由E是AB的中点可得,即可得出判断． 【详解】解：设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x， 连接EG， ∵四边形EFGH为平行四边形， ∴EF＝HG，EF∥HG， ∴∠FEG＝∠HGE， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB∥CD， ∴∠BEG＝∠DGE， ∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH， ∴∠BEF＝∠HGD ∵EF＝HG，∠B＝∠D， ∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS）， 同理Rt△AEH≌Rt△CGF， ∴S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2(S△BEF+S△AEH) ＝ab﹣2[cx+(a﹣c)(b﹣x)] ＝ab﹣(cx+ab﹣ax﹣bc+cx) ＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx ＝(a﹣2c)x+bc， ∵E是AB的中点， ∴a＝2c， ∴a﹣2c＝0， ∴S平行四边形EFGH＝bc＝ab， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形和平行四边形的性质，解题关键是掌握矩形和平行四边形的性质． 二、填空题（本答题共6个小题，每小题3分，共18分，请将正确答案写在答题卡相应的横线上） 13. 将直线向上平移个单位长度，则平移后的直线解析式为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据一次函数图象平移的特点即可求得答案． 【详解】直线向上平移个单位长度可得到直线． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数图象平移的特点：一次函数的图象可以由正比例函数平移个单位长度得到，当时，向上平移，当时，向下平移．牢记一次函数图象平移的特点是解题的关键． 14. 著名数学家张景中教授主编的《数学美拾趣》一书中，记载了这样一首民间数学诗：“三百六十一只缸，任君分作几船装．不许一船多一只，不容一船少一缸”，译文为：“361只缸，任君分作几船装，船儿总数是多少，每船便装多少缸，问每船装几只缸？”答：每船所装的缸数为_______． 【答案】19 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设船儿总数是，则每船装只缸，根据“361只缸，任君分作几船装，船儿总数是多少，每船便装多少缸”即可列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设船儿总数是，则每船装只缸， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去），， 故答案为：19． 15. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是____________________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的根的判别式的知识，理解并掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键．只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程；一元二次方程的根的判别式为，与根的关系为：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义可得，根据方程有实数根，则有，建立关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：根据一元二次方程的定义，可得， 解得， ∵方程有实数根， ∴， 解得， ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 16. 如图，四边形是平行四边形，若，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，，而，可得，可得，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，，而， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，证明是解本题的关键． 17. 已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中： ①若点，，均在该二次函数图象上，则； ②； ③若m为任意实数，则； ④方程的两实数根为，且，则，． 正确结论为 ________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由抛物线经过可判断①，由各点到抛物线对称轴的距离大小可判断从而判断②，由时取最大值可判断③，由抛物线的对称性可得抛物线与轴交点坐标，从而判断④． 【详解】解：， 抛物线开口向下， 点，，均在该二次函数图象上，且点到对称轴的距离最大，点到对称轴的距离最小， ，①正确； 图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， 图象与轴的另一个交点坐标为， ， ，②正确； ， ， ， ， 抛物线的最大值为， 为任意实数，则， ， ， ，③错误； 方程的两实数根为，， 抛物线与直线的交点的横坐标为：，， 由抛物线对称性可得抛物线与轴另一交点坐标为， 抛物线与轴交点坐标为，， 抛物线开口向下，， ，，④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 18. 二次函数中，________决定该函数图象的开口方向和开口大小，在________确定的条件下，________决定图象对称轴的位置，________决定图象与轴交点的位置． 【答案】 ①. ②. ③. ④. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数图象与系数的关系回答即可． 【详解】解：二次函数中，决定该函数图象的开口方向和开口大小，在确定的条件下，决定图象对称轴的位置，决定图象与轴交点的位置． 故答案为：；；；． 三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每题10分，共66分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明的主要步骤） 19. 解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：直接开平方法，配方法，因式分解法及公式法，根据方程的特点灵活选取解题的方法是解题的关键． （1）方程移项后得：，利用直接开平方法求解即可； （2）先化为一元二次方程的一般式的形式，利用公式法求解； （3）方程右边移项后，利用因式分解法即可求解； （4）方程移项，并化二次项系数化为1得，再利用配方法求解． 【小问1详解】 解：移项后得：， 开平方得：， 即； 【小问2详解】 解：原方程化为：， ， ∴， 即； 【小问3详解】 解：方程化简得：， 即或， 解得：； 【小问4详解】 解：方程化为， 配方得：， 即， 开方得：， 即． 20. 如图，已知直线与y轴相较于点，直线交y轴于点B，交直线于点． （1）求直线的解析式； （2）过动点作x轴的垂线，与直线相交于点M，与直线相交于点N，当时，求a的值； （3）点Q为上一点，若，直接写出点Q的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意求得点的坐标，待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据题意推得，，根据，列式求解即可； （3）设，分当点Q在线段上和当点Q在射线上讨论，根据，进列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵过点 ∴即点 设的解析式为 ∵过点， ∴， 解得，， 所以的解析式为． 【小问2详解】 解：由题意可知，，， 因为，有两种情况： ， 解得：； ， 解得：． 【小问3详解】 解：设，有两种情况： 当点Q在线段上， ∵， ∴， ∴， 即； 当点Q在射线上， ∵ ∴， ∴， 即； 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了求一次函数的函数值，求一次函数的解析式等，在（1）中求得点坐标是解题的关键，注意函数图象的交点坐标满足每个函数的解析式，在（2）中用含的代数式表示出的长是解题的关键，在（3）中三角形面积的表示是关键． 21. 公司生产、两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产的、型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：），并进行整理、描述和分析（除尘量用表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息： 10台型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98． 10台型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94 抽取的、型扫地机器人除尘量统计表 型号 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占百分比 90 89 26.6 90 90 30 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_________，_________，_________； （2）这个月公司可生产型扫地机器人共3000台，估计该月型扫地机器人“优秀”等级的台数； （3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1）95；90；20 （2）900台 （3）型号更好，在平均数均为90的情况下，型号的平均除尘量众数大于B型号的平均除尘量众数90 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出a，b，根据型扫地机器人中“优秀”等级所占百分比和“良好”等级包含的数据可求出m； （2）用总数乘以型扫地机器人“优秀”等级所占百分比即可； （3）可从众数的角度进行分析判断． 【小问1详解】 解：型中除尘量为95的有3个，数量最多， 所以众数a＝95； B型中“良好”等级包含的数据有5个，则所占百分比为50%， 所以m%＝1－50%－30%＝20%，即m＝20； 因为B型中“合格”等级所占百分比为20%， 所以B型中“合格”的有2个， 所以B型中中位数b＝； 故答案为：95；90；20； 【小问2详解】 （台）， 答：估计该月型扫地机器人“优秀”等级的台数有900台； 【小问3详解】 型号更好， 理由：在平均数均为90的情况下，型号的平均除尘量众数大于B型号的平均除尘量众数90． 【点睛】本题考查了众数，中位数，用样本估计总体等知识，能够从不同的统计图或统计表中获取有用信息是解题的关键． 22. 已知E，F分别是的边，的中点． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求的周长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，． 点、分别是平行四边形的边、的中点， ，， ， 又，即， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行四边形的周长等知识点，掌握相关定理是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质得到，，结合利用点、分别是、的中点得到，从而得证； （2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，从而利用平行四边形周长公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，是的中点． ， 平行四边形的周长． 23. 已知：关于x的一元二次方程． （1）判断方程的根的情况； （2）若为等腰三角形，，另外两条边长是该方程的根，求的周长． 【答案】（1）有两个不相等的实数根 （2）13或17 【解析】 【分析】（1）计算方程的根的判别式，根据其属性判断即可． （2）先求得方程的两个根，后分类计算即可． 【小问1详解】 ∵一元二次方程， ∴△=， 故一元二次方程有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 ∵一元二次方程，△= ∴， 解得， 当m+1=5时即m=4，原方程变形为， 解得， 故三角形的三边长为5，5，3，三角形存在， 此时三角形的周长为5+5+3=13； 当m+-1=5时即m=6，原方程变形为， 解得， 故三角形的三边长为5，5，7，三角形存在， 此时三角形的周长为5+5+7=17； 当AB为底时，两个根为腰，故方程有两个相等的实数根， 这与方程有两个不相等的实数根矛盾， 故此情形不存在， 故等腰三角形的周长为13或17． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，方程的解法，等腰三角形的分类计算，熟练掌握根的判别式，灵活进行等腰三角形的分类是解题的关键． 24. 某商品进货价为每件40元，将该商品每件的售价定为50元时，每星期可销售250件．现在计划提高该商品的售价增加利润，但不超过58元．市场调查反映：若该商品每件的售价在50元基础上每上涨1元，其每星期的销售量减少10件．设该商品每件的售价上涨 x 元(x为整数且)时，每星期的销售量为 y 件． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）当该商品每件的售价定为多少元时，销售该商品每星期获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）若该商品每星期的销售利润不低于 3000 元，求商品售价上涨 x元的取值范围． 【答案】（1） （2）当该商品每件的售价为57或58元时，每星期获得的利润最大，最大利润为3060元 （3）且x为整数 【解析】 【分析】此题考查二次函数的销售利润问题，解题关键是明确利润公式，求利润最大值相当于数形结合，直接转化成求函数最大值． （1）直接根据利润（售价进价）数量列解析式即可； （2）将利润最大值转化成二次函数的函数最大值直接求解即可； （3）令，求出x的值即可得出答案． 【小问1详解】 解∶由题意可得，， y与x之间的函数解析式是； 【小问2详解】 解∶设当该商品每件的售价上涨 x元时，销售该商品每星期获得的利润为w元． 由题意可得∶ ，且x为整数 当或8时，w取得最大值3060，此时或58． 答∶当该商品每件的售价为57或58元时，每星期获得的利润最大，最大利润为3060元． 【小问3详解】 解∶由题意得： 解得， 当或10时，此时或60, 售价不超过58元, 且x为整数． 25. 已知二次函数的图象经过点和. （1）求，满足的关系式； （2）当自变量的值满足时，随的增大而增大，求的取值范围； （3）若函数图象与轴无交点，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）把和分别代入解析式，即可确定a和b的关系； （2）先表示表示出对称轴，在根据自变量的值满足时，随的增大而增大可确定的范围； （3）根据函数图象与轴无交点，把表示出来，根据a的取值范围即可求解． 【小问1详解】 把和分别代入函数式， 得方程组. 由这个方程组得. 所以，满足的关系式为. 【小问2详解】 ∵当自变量的值满足时，随的增大而增大，且， ∴. ∵， ∴，解得. 所以的取值范围是. 【小问3详解】 由（1）得，， 又∵函数图象与轴无交点， ∴，解得. ∵， ∴当时，的最小值为，当时，. ∴的取值范围是 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，关键是要牢记抛物线的对称轴公式，顶点公式，会根据抛物线和x轴交点的情况求解． 26. 已知抛物线的解析式y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，点B的坐标为（﹣1，0）抛物线与y轴正半轴交于点C，△ABC面积为6． （1）如图1，求此抛物线的解析式； （2）P为第一象限抛物线上一动点，过P作PG⊥AC，垂足为点G，设点P的横坐标为t，线段PG的长为d，求d与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； （3）如图2，在（2）的条件下，过点B作CP的平行线交y轴上一点F，连接AF，在BF的延长线上取点E，连接PE，若PE＝AF，∠AFE+∠BEP＝180°，求点P的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2），0＜t＜3；（3）P() 【解析】 【分析】（1）根据条件易求出A，B两点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）作PD⊥x轴交AC于点E，如图3，易知∠A＝45°，然后利用三角形的内角和可得：∠P＝∠A，则，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，而点P的横坐标已知，则可用含t的代数式表示出PE，问题即得解决； （3）如图4，过点P作PN⊥BE交BE于点N，过点C作CH⊥BE于点H，过点A作AG⊥BE于点G，设BE与AC交于点M，根据AAS可证明△PEN≌△AFG，可得PN＝AG，然后再根据AAS证明△CHM≌△AGM，可得CM＝AM，于是由中点坐标公式可求得点M的坐标，再根据待定系数法可求得直线BM的解析式，进而求出直线CP的解析式，然后解由直线CP和抛物线的解析式组成的方程组即可求出点P的坐标． 【详解】解：（1）当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），∴OC＝3， ∵B（﹣1，0），∴OB＝1，∴，解得：AB＝4， ∴OA＝AB﹣OB＝3，∴A（3，0）， 将A，B的坐标代入抛物线的解析式y＝ax2+bx+3，得：，解得；， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）作PD⊥x轴交AC于点E，如图3， ∵OA＝OC=3，∴∠A＝45°， ∵∠PEG＝∠AED，∠PGE＝∠EDA＝90°，∴∠P＝∠A＝45°， ∴，∴， 设直线AC的解析式为：y＝kx+b，把A（3，0），C（0，3）两点代入，得：，解得：， ∴直线AC为y＝﹣x+3， 设P（t，﹣t2+2t+3），∵PD⊥x轴，∴E（t，﹣t+3）， ∴PE＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，∴， ∵P为第一象限抛物线上一动点，∴0＜t＜3； ∴，0＜t＜3； （3）如图4，过点P作PN⊥BE交BE于点N，过点C作CH⊥BE于点H，过点A作AG⊥BE于点G，设BE与AC交于点M， ∵∠BEP+∠PEN＝180°，∠AFE+∠BEP＝180°，∴∠PEN＝∠AFG， ∵∠PNE＝∠AGF＝90°，PE＝AF， ∴△PEN≌△AFG（AAS），∴PN＝AG， ∵CP∥BE，∴四边形CPNH是矩形，∴PN＝CH＝AG， ∵∠CMH＝∠AMG，∠CHM＝∠AGM， ∴△CHM≌△AGM（AAS），∴CM＝AM，∴M（，）， 则可得过点B（－1，0）和点M（，）两点的直线解析式为：y=， ∵CP∥BM，∴直线CP的解析式为y=， 解方程组：，得：，， ∴P（）． 【点睛】本题是二次函数综合题，综合考查了待定系数法求函数的解析式、锐角三角函数、函数图象上点的坐标特点、全等三角形的判定和性质以及两个函数的交点等知识，难度较大，属于试卷的压轴题，熟练掌握函数的基本知识和全等三角形的判定与性质是求解的关键． 第1页/共1页 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