6.2 排列与组合（单元教学设计）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

6．2 排列与组合（单元教学设计） 一、【单元目标】 （1）理解并掌握排列的概念，能应用排列知识解决简单的实际问题． （2）理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系，会用组合知识解决一些简单的组合问题． （3）掌握组合数公式和组合数的性质，能运用组合数的性质进行计算． 二、【单元知识结构框架】 三、【学情分析】 本节课面对的学生已经具备了一定的数学基础，对基本的数学概念和运算有了一定的了解．然而，排列与组合作为数学中的经典问题，其抽象性和逻辑性较强，对学生来说可能存在一定的难度．部分学生可能对排列与组合的概念区分不清，容易混淆．因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解排列与组合的本质区别，通过实例演示和动手操作，帮助学生直观感受排列与组合的不同．同时，要鼓励学生多思考、多实践，逐步培养他们的逻辑思维能力和问题解决能力． 四、【教学设计思路/过程】 课时安排：约4课时 教学重点：排列与组合的概念及计算方法． 教学难点：区分排列与组合的不同，理解排列的有序性和组合的无序性． 教学方法/过程： 五、【教学问题诊断分析】 环节一、情景引入，温故知新 情景：用分步乘法计数原理和分类加法计数原理解决含一个字母或者两个字母的汽车号牌数时，反复做一些重复性的工作而显得繁琐．能否对这类计数问题给出一些更为简洁的计算方法呢?为此，先来分析下面的问题． 环节二、抽象概念，内涵辨析 1．排列概念的理解 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 【破解方法】 【归纳新知】 排列的定义： 一般地，从n个不同的元素中取出m（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 知识点诠释： （1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”． （2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列． （3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列． 2．排列数公式 问题2：怎样推导从个不同的元素中取出个元素的排列数? 【破解方法】我们把从个不同元素中取出，且个元素的排列，看成从个不同的球中取出m个球，放入排好的个盒子中，每个盒子里放一个球，我们根据分步乘法计数原理排列这些球： 第1步，从全体个球中任选一个放入第1个盒子，有种方法； 第2步，从剩下的（n-1）个球中任选一个放入第2个盒子，有（n-1）种方法； 第3步，从剩下的（n-2）个球中任选一个放入第3个盒子，有（n-2）种方法； ．．． 第步，从剩下的个球中任选一个放入第个盒子，有种方法， 因此，根据分步乘法计数原理，从个不同的球中取出个球的排列，共有种方法． 【归纳新知】 （1）排列数的定义 从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示． 知识点诠释： “排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从个不同的元素中，任取个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）； （2）排列数公式 ，其中，且． 知识点诠释： 公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数． （3）阶乘表示式 ①阶乘的概念： 把正整数1到的连乘积，叫做的阶乘．表示：，即!． 规定：． ②排列数公式的阶乘式： 所以． 3．组合概念的理解 问题3：小明五一到石城旅游，要从A，B，C，D4处景点中选择2处，上午选1处，下午选1处，有多少种不同的旅游方案？如果仅从A，B，C，D4处景点中选择2处，又有多少种不同的旅游方案呢？ 【破解方法】学生思考回答． 【归纳新知】 组合的定义： 一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合． 知识点诠释： （1）从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关． 排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别． （2）如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或末被取到． 问题4：回顾排列数的学习过程，思考下列问题： （1）排列数的定义是什么？排列数如何表示的？ （2）类比排列数的定义和表示，我们应该如何定义和表示组合数？ （3）组合与组合数的区别是什么？ 【破解方法】学生自主学习，教师抽取学生展示交流，并适时评价． 【归纳新知】 （1）组合数的定义： 从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作． 知识点诠释： “组合”与“组合数”是两个不同的概念： 一个组合是指“从个不同的元素中取出个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数”，它是一个数． （2）组合数公式： ①（，且） ②（，且） 知识点诠释： 上面第一个公式一般用于计算，但当数值m、n较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式． 4．组合数的性质 问题5：假如我们年级将在月底进行一场篮球比赛．包括体育委员在内，班上篮球运动员有8人，按照篮球比赛规则，比赛时一个球队的上场队员是5人．我们可以形成多少种队员上场方案？我们又可以形成多少种队员不上场方案？这两种方案有什么关系？ 【破解方法】由上场的方案有，不上场的方案有；． 问题6：从问题5中的这8名篮球运动员中选择5人的时候，可以按照体育委员是否入选进行分类：当体育委员入选时，有种选法；当体育委员未入选时，有种选法．这与直接选5人参加的选法一样吗？你能得出什么结论？ 【破解方法】一样，． 【归纳总结】 组合数的性质 性质1：（，且） 性质2：（，且） 环节三：例题练习，巩固理解 题型一：简单的排列问题 【例1】某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？ 【解析】法一，可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队．按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为． 法二，根据主客场比赛，一场比赛就是在6个队中选两个队的一个排列， 故有种安排方法，即每组共进行30场比赛． 【变式1-1】（1）一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？ （2）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？ 【解析】（1）由题意，问题相当于从5个不同元素中取3个元素的排列数， 故有种． （2）可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法．按分步乘法计数原理，不同的选法种数为（种）． 【变式1-2】用到这个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 【解析】第一步从9个非零数字选一个放在首位，第二步从剩下的9个个数字中选2个排在后二位． 根据分步乘法计数原理，所求的三位数有个． 题型二：画树形图写排列 【例2】（1）5名运动员中有3名参加乒乓球团体比赛，如果前三场单打比赛每名运动员各出场1次，那么前三场单打比赛的顺序有几种？ （2）乒乓球比赛规定，团体比赛采取5场单打3胜制，每支球队由3名运动员参赛，前三场各出场1次，其中第1，2个出场的运动员分别还将参加第4，5场比赛．写出甲、乙、丙三人参加比赛可能的全部顺序． 【解析】（1）可看作是从5名运动员中选3名进行排列，则前三场单打比赛的顺序有种； （2）若进行3场比赛，出场顺序有“甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲”共6种； 若进行4场比赛，出场顺序有“甲乙丙甲，甲丙乙甲，乙甲丙乙，乙丙甲乙，丙甲乙丙，丙乙甲丙” 共6种； 若进行5场比赛，出场顺序有“甲乙丙甲乙，甲丙乙甲丙，乙甲丙乙甲，乙丙甲乙丙，丙甲乙丙甲，丙乙甲丙乙” 共6种； 则甲、乙、丙三人参加比赛可能的全部顺序有18种． 【变式2-1】甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛． （1）列出所有各场比赛的双方； （2）列出所有冠、亚军的可能情况． 【解析】（1）所有各场比赛的双方有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，共6种； （2）所有冠、亚军的可能情况有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，乙甲，丙甲，丁甲，丙乙，丁乙，丁丙，共12种． 题型三：排列数公式的应用 【例3】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）． 【变式3-1】先计算，然后用计算工具检验 （1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）． 【变式3-2】求证：（1）； （2）． 【解析】（1）右式左式， 故等式成立； （2）左式右式， 故等式成立． 题型四：简单的组合问题 【例4】平面内有、、、共个点． （1）以其中个点为端点的有向线段共有多少条？ （2）以其中个点为端点的线段共有多少条？ 【解析】（1）每个点为端点的有向线段有条，故满足条件的有向线段条数为． （2）每个点为端点的线段只有条，故满足条件线段条数为． 【变式4-1】在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件． （1）有多少种不同的抽法？ （2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ 【解析】（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，即（种） 所以有161700种不同的抽法． （2）从2件次品中抽出1件次品的抽法有种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有种，则（种）， 所以抽出的3件中恰好有 1件次品的抽法有9506种． （3）抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况， 由（2）知，有1件是次品的抽法有种，有2件次品的抽法有种， 由分类加法计数原理得：（种）， 所以抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有9604种． 【变式4-2】有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门成绩． （1）共有多少种不同的选法？ （2）如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法？ （3）如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法． 【解析】（1）从6门成绩中选3门成绩共有种不同的选法； （2）如果物理和化学恰有1门被选，则共有种不同的选法； （3）如果物理和化学至少有1门被选，则共有种不同的选法． 题型五：组合数公式的应用 【例5】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】（1） （2） （3） （4） 【变式5-1】先计算，然后用计算工具检验： （1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）． 【变式5-2】求证：． 【解析】证明：因为， 所以， 所以得证． 【变式5-3】求证：（1）； （2）． 【解析】（1）左边 右边， ∴结论成立，即； （2）当时， 左边 右边， ∴结论成立，即． 环节四：小结提升，形成结构 问题7：请你带着下列问题回顾本节课学习的内容： （1）什么是排列？ （2）什么是组合？如何区分一个问题是排列问题还是组合问题？ （3）组合与排列的关系是什么？你认为探究一个组合问题的所有组合个数的计算公式该从什么地方人手? 【破解方法】（学生根据上述问题进行思考回答，教师点评总结． 六、【教学成果自我检测】 环节五：目标检测，检验效果 1．写出：（1）用0~4这5个自然数组成的没有重复数字的全部两位数； （2）从a，b，c，d中取出2个字母的所有排列． 【解析】（1）10，12，13，14，20，21，23，24，30，31，32，34，40，41，42，43． （2）ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc． 2．一位老师要给4个班轮流做讲座，每个班讲1场，有多少种轮流次序？ 【解析】将4个班进行全排列，即． 答：有24种轮流次序． 3．一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，共有多少种不同的停放方法？ 【解析】因为一个火车站有8股岔道，每股道只能停放1列火车， 现要停放4列不同的火车，则有种不同的停放方法． 4．已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出以其中任意3个点为顶点的所有三角形． 【解析】因为平面内A，B，C，D这4个点中任何3个点都不在一条直线上， 所以其中任意3个点为顶点构成的三角形有共4个． 5．先计算，然后用计算工具检验： （1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）； 6．壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆的人民币各1张，一共可以组成多少种币值？ 【解析】因为四张人民币的面值不同，且组成的面值与顺序无关， 所以可分为以下四类面值： 由一张人民币组成：币值种数， 由两张人民币组成：币值种数， 由三张人民币组成：币值种数， 由四张人民币组成：币值种数， 所以可组成种币值． 7．一名同学有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，现要将这些书放在一个单层的书架上． （1）如果要选其中的6本书放在书架上，那么有多少种不同的放法？ （2）如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，那么有多少种不同的放法？ 【解析】（1）根据题意，共有本书，所以从中选出6本放在书架上， 共有种选法； （2）根据题意，将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开， 则数学书有种放法，物理书有种放法，化学书有种放法， 3种书共有种排法， 共有种放法． 8．（1）空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作多少个平面？ （2）空间中有10个点，其中任何4个点不共面，过每4个点为顶点作一个四面体，可以作多少个四面体？ 【解析】（1）根据“三个不共线的点确定一个平面”，且所确定的平面与点的顺序无关， 所以共可确定的平面个数是个； （2）根据“四个不共面的点确定一个四面体”，且所确定的四面体与点的顺序无关， 所以共可确定的四面体个数是：个． 【设计意图】落实与理解教材要求的基本教学内容． 环节六：布置作业，应用迁移 作业：教科书第26页习题6．2第3、4、5、9、19、题． 【设计意图】巩固本节课的知识点． 七、【教学反思】 本节课的教学目标是让学生掌握排列与组合的基本概念及计算方法，并能够运用这些知识解决实际问题。在教学过程中，我注重引导学生通过观察、猜测、操作等活动，探索排列与组合的规律，培养他们的逻辑思维能力和问题解决能力。 课后反思，我认为本节课的教学效果整体较好，但也存在一些不足之处。首先，部分学生对排列与组合的概念区分不够清晰，容易混淆。这提示我在后续教学中需要加强对这两个概念的对比和讲解。其次，有些学生在解决有限制条件的排列与组合问题时，思路不够开阔，解题方法单一。我需要引导他们尝试多种解题思路，培养他们的发散思维能力。 总之，本节课的教学让我深刻体会到，数学教学需要注重学生的主体性和实践性，引导他们主动探索、积极思考，才能真正提高他们的数学素养。 12 / 12 京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$