第四讲 不等式与不等式组-【数理报】2025年中考数学高效复习（云南专版）

解得ｘ１ ＝ １ ２，ｘ２ ＝３． ９．Ｂ． １０．设该城区绿化面积的年平均增长率为ｘ， 根据题意可得１０（１＋ｘ）２ ＝１４．４， 解得ｘ１ ＝０．２＝２０％，ｘ２ ＝－２．２（舍去）． 答：该城区绿化面积的年平均增长率为２０％． 每讲一测 １．Ｂ；　２．Ｃ；　３．Ａ；　４．Ｄ；　５．Ｄ； ６．－２；　７．３ｘ＋（２０－ｘ－６）＝３２；　８．ｍ≠－２． ９．（１） ｘ＋２ｙ＝３，① ｘ－２ｙ＝１，{ ② ① ＋②，得２ｘ＝４，解得ｘ＝２， 把ｘ＝２代入①，得ｙ＝ １２， 所以方程组的解为 ｘ＝２， ｙ＝ １２ { ． （２）去分母，得２ｘ２－８＝ｘ２－２ｘ， 所以ｘ２＋２ｘ－８＝０， 所以（ｘ－２）（ｘ＋４）＝０， 解得ｘ＝２或ｘ＝－４， 经检验ｘ＝２是增根，ｘ＝－４是原方程的解， 所以分式方程的解为ｘ＝－４． １０．（１）根据题意得，ｙ＝６０－２（ｘ－５０）＝－２ｘ＋１６０， 故ｙ与ｘ的函数关系式为ｙ＝－２ｘ＋１６０（３０≤ｘ≤６５）． （２）根据题意得（ｘ－３０）（－２ｘ＋１６０）＝８００， 解得ｘ１ ＝４０，ｘ２ ＝７０（舍去）． 答：销售单价应定为４０元． 第四讲　不等式与不等式组 知识梳理 用符号“＞”或“＜”表示大小关系的式子 使不等式成立的未知数的值 含有未知数的不等式的所有的解 不变　不变　改变 把两个一元一次不等式合起来 不等式组中两个不等式解集的公共部分 ｘ≥ｂ　ｘ≤ａ　ａ≤ｘ≤ｂ　无解 考点演练 １．Ｂ；　２．ｍ≤２． ３． ３ｘ－２＞１，① ２ｘ－１ ３ ＞ｘ－２， { ② 解不等式①得ｘ＞１， 解不等式②得ｘ＜５， 所以不等式组的解集为１＜ｘ＜５． 将解集表示在数轴上如图１． !" !" !# !$ % & ' & $ ( " ) 图１４．（１）１７． （２）Ⅰ．租用甲种型号的客车ｘ辆，则租用乙种型号的客车 （７－ｘ）辆， 所以ｙ＝１５００ｘ＋１２００（７－ｘ）＝３００ｘ＋８４００． Ⅱ．因为租车总费用不超过１０２００元，师生共有２７５人， 所以 ３００ｘ＋８４００≤１０２００， ４５ｘ＋３３（７－ｘ）≥２７５{ ， 解得 １１ ３≤ｘ≤６． 在ｙ＝３００ｘ＋８４００中，因为３００＞０，所以ｙ随ｘ的增大而 增大． 又因为 １１ ３≤ｘ≤６，且ｘ为整数， 所以当ｘ＝４时，ｙ取最小值，最小值为３００×４＋８４００＝ ９６００（元）． 答：租用甲种型号客车４辆，乙种型号客车３辆最省钱，此 时总费用是９６００元． 每讲一测 １．Ｄ；　２．Ａ；　３．Ａ；　４．Ｃ；　５．Ｂ； ６．４ｘ＋７≥６；　７．１４；　８．１１＜ｘ≤３２． ９．解不等式ｘ＋２≥１，得ｘ≥－１， 解不等式２（ｘ＋３）－３＞３ｘ，得ｘ＜３， 将解集表示在数轴上如图２． !" !# !$ %& ' & $ ( " 图２ 所以不等式组的解集为 －１≤ｘ＜３． １０．（１）设甲种花卉每株的价格为ｘ元，则乙种花卉每株的 价格为１．２ｘ元， 由题意得 ２７００－１２００ １．２ｘ － １２００ ｘ ＝２，解得ｘ＝２５， 经检验，ｘ＝２５是原方程的解，且符合题意， 所以１．２ｘ＝１．２×２５＝３０． 答：甲种花卉每株的价格为２５元，乙种花卉每株的价格为 ３０元． （２）设该部门需购买甲种花卉 ｍ株，则需购买乙种花卉 （１２０－ｍ）株                                                                      ， —３— 初中数学·中考（ＹＮ）　第２７～３６期 由题意得， ２５×０．８ｍ＋３０×０．８（１２０－ｍ）≤２７００， ２５×０．８ｍ≤１０００{ ， 解得４５≤ｍ≤５０． 因为ｍ为正整数，所以ｍ＝４５，４６，４７，４８，４９，５０， 所以购买这两种花卉有６种方案， 设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为ｙ元， 由题意得ｙ＝２５×０．８ｍ＋３０×０．８（１２０－ｍ）＝－４ｍ＋ ２８８０， 因为 －４＜０，所以ｙ随ｍ的增大而减小， 所以当ｍ＝５０时，ｙ有最小值，最小值为 ｙ＝－４×５０＋ ２８８０＝２６８０． 答：购买这两种花卉有 ６种方案，所需费用的最小值为 ２６８０元． １１．（１）关于ｘ的组合 ｘ－５ ３ ＝２－ ３－ｘ ２ ， ｘ＋３ ２ －１＜ ３－ｘ{ ４ 是“友好组合”， 理由如下： 由 ｘ－５ ３ ＝２－ ３－ｘ ２ ，得ｘ＝－１３， 由 ｘ＋３ ２ －１＜ ３－ｘ ４ ，得ｘ＜ １ ３． 因为ｘ＝－１３在ｘ＜１３范围内，所以组合是“友好组合”． （２）解方程５ａ－ｘ２ －３＝２ｘ－３ａ，得ｘ＝ １１ａ－６ ５ ， 解不等式 ｘ－ａ ２ ＋１≤ｘ＋ａ，得ｘ≥－３ａ＋２． 因为关于ｘ的组合 ５ａ－ｘ ２ －３＝２ｘ－３ａ， ｘ－ａ ２ ＋１≤ { ｘ＋ａ 是“非友好组合”， 所以 １１ａ－６ ５ ＜－３ａ＋２，解得ａ＜ ８ １３． 第五讲　坐标系与函数的初步认识 知识梳理 垂直　重合　ｘ　横　右　ｙ　竖　上 横　纵 横　纵 ＋　 ＋　 －　 ＋　 －　 －　 ＋　 － 纵　横 每一个确定的值　惟一确定的值　自变量　函数 图象法　解析式法　表格法 考点演练 １．４；　２．（０，－１）；　３．Ｄ；　４．Ａ． 每讲一测 １．Ｂ；　２．Ｃ；　３．Ｄ； ４．（－２，１）；　５．（３，－５）；　６．（５１２，５１２）． ７．（１）如图３所示． ! " # $ % ! " " ! & ' ( 图３ （２）由图可知，景观Ｃ的坐标为（－１，２）． （３）Ｄ，Ｅ的位置如图３所示． 由图可知，ＡＣ∥ＤＥ． ８．（１）由图象可知，摩托车从出发到最后停止共经过了 １００分钟，离家最远的距离是４０千米． （２）根据图象，可知当０＜ｔ≤２０时，ｓ＝１０千米，速度为 １０ ２０＝０５（千米 ／分钟）； 当２０＜ｔ≤５０时，ｓ＝４０－１０＝３０（千米），速度为 ３０５０－２０ ＝１（千米 ／分钟）； 当５０＜ｔ≤１００时，ｓ＝４０千米，速度为 ４０１００－５０＝０８（千 米 ／分钟）． 所以摩托车在２０～５０分钟这一时间段内速度最快，最快 速度为１千米 ／分钟． 第六讲　一次函数 知识梳理 ｋｘ＋ｂ　≠０　 ＝０　ｋｘ　≠０ ｂ　 －ｂｋ　直线 增大　减小 相同　不同 考点演练 １．（１）Ｂ，　（２）Ｄ；　２．Ｂ；　３．Ｃ． ４．（１）设ＤＢ段的函数关系式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ， 由图可知，Ｄ（２，９０），Ｂ（４，２４０）， 将Ｄ（２，９０），Ｂ（４，２４０）代入ｙ＝ｋｘ＋ｂ， 得 ９０＝２ｋ＋ｂ， ２４０＝４ｋ＋ｂ{ ，解得 ｋ＝７５， ｂ＝－６０{                                                                      ， —４— 初中数学·中考（ＹＮ）　第２７～３６期 书 考点１：不等式的基本性质 　　　　　　　　　　　　　　　例１ 若ｘ＋５＞０，则下列不等式成立的是 （　　） Ａ．ｘ＋３＜０ Ｂ．－２ｘ＜１６ Ｃ．ｘ５ ＜－１ Ｄ．ｘ－３＜０ 分析：本题考查了不等式的性质，不等式两 边同时加或减同一个数，不等号不改变方向；不 等式两边同时乘或除以同一个正数，不等号不 改变方向；不等式两边同时乘或除以同一个负 数，不等号改变方向，据此逐一判断即可，熟知 上述性质是解题的关键． 解：因为ｘ＋５＞０，所以ｘ＞－５． Ａ．ｘ＋３＜０，则ｘ＜－３，故Ａ不符合题意； Ｂ．－２ｘ＜１６，则ｘ＞－８，当ｘ＞－５时，不 等式 －２ｘ＜１６成立，符合题意； Ｃ．ｘ５ ＜－１，则ｘ＜－５，故Ｃ不符合题意； Ｄ．ｘ－３＜０，则ｘ＜３，故Ｄ不符合题意． 故选Ｂ． 跟踪训练１：若ｘ＜ｙ，且ａｘ＜ａｙ，则ａ的值 可能是 （　　） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．－１ Ｄ．－２ 考点２：解不等式（组） 例２　不等式２ｘ＋１＜５的解集是（　　） Ａ．ｘ＜２ Ｂ．ｘ＜３ Ｃ．ｘ＞２ Ｄ．ｘ＞３ 解：移项，得２ｘ＜５－１， 合并同类项，得２ｘ＜４， 系数化为１，得ｘ＜２． 故选Ａ． 跟踪训练 ２：关于 ｘ的一元一次不等式组 ｘ－ｍ＞０， ３ｘ－４＞{ ２的解为ｘ＞２，则 ｍ的取值范围为                                 ． 书 　　　　 不等式的相关概念 　　 （１）不等式： ． （２）不等式的解： ． （３）不等式的解集： ． （４）不等式解集的表示方法：①写成ｘ＞ａ或ｘ＜ａ或ｘ≥ａ或ｘ≤ａ的形式； ②用数轴表示． 不等式的性质 　　　　 （１）性质１：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或代数式，不等号的方向 ． （２）性质２：不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向 ． （３）性质３：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向 ． 不等式组 　　　　　　 （１）一元一次不等式组： ． （２）一元一次不等式组的解集： ． （３）不等式组解集的表示方法（将下表中的空白处补充完整）． 不等式组 （其中ａ＜ｂ） ｘ≥ａ， ｘ≥{ ｂ ｘ≤ａ，ｘ≤{ ｂ ｘ≥ａ，ｘ≤{ ｂ ｘ≤ａ，ｘ≥{ ｂ 解集 ! " # $ ! " # % !" 书 例３　已知不等式组 ｘ－ａ＞２， ｘ＋１{ ＜ｂ的解集是 －１＜ｘ＜１，则（ａ＋ｂ）２０２４ ＝ （　　） Ａ．０ Ｂ．－１ Ｃ．１ Ｄ．２０２４ 分析：分别求出每一个不等式的解集，根据 不等式组的解集得出 ａ，ｂ的值，代入计算可得． 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出 每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同 小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的 原则是解答此题的关键． 解：由ｘ－ａ＞２，得ｘ＞ａ＋２， 由ｘ＋１＜ｂ，得ｘ＜ｂ－１， 因为解集为 －１＜ｘ＜１， 所以ａ＋２＝－１，ｂ－１＝１， 解得ａ＝－３，ｂ＝２， 则（ａ＋ｂ）２０２４ ＝（－３＋２）２０２４ ＝（－１）２０２４ ＝１． 故选Ｃ． 跟 踪 训 练 ３： 解 不 等 式 组： ３ｘ－２＞１， ２ｘ－１ ３ ＞ｘ－２ { ，并把解集在数轴上表示出来． 考点３：不等式（组）的应用 例４　蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐 篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不 惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露 营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需 要购买Ａ，Ｂ两种型号的帐篷．若购买Ａ种型号帐 篷２顶和Ｂ种型号帐篷４顶，则需５２００元；若购 买Ａ种型号帐篷３顶和Ｂ种型号帐篷１顶，则需 ２８００元． （１）求每顶Ａ种型号帐篷和每顶 Ｂ种型号 帐篷的价格； （２）若该景区需要购买 Ａ，Ｂ两种型号的帐 篷共２０顶（两种型号的帐篷均需购买），购买 Ａ种型号帐篷数量不超过购买 Ｂ种型号帐篷数 量的 １ ３，为使购买帐篷的总费用最低，应购买 Ａ种型号帐篷和Ｂ种型号帐篷各多少顶？购买帐 篷的总费用最低为多少元？ 解：（１）设每顶Ａ种型号帐篷的价格为ｘ元， 每顶Ｂ种型号帐篷的价格为ｙ元． 根据题意得 ２ｘ＋４ｙ＝５２００， ３ｘ＋ｙ＝２８００{ ， 解得 ｘ＝６００， ｙ＝１０００{ ． 答：每顶Ａ种型号帐篷的价格为６００元，每 顶Ｂ种型号帐篷的价格为１０００元． （２）设Ａ种型号帐篷购买 ｍ顶，总费用为 ｗ元，则Ｂ种型号帐篷购买（２０－ｍ）顶， 由题意得 ｗ＝６００ｍ＋１０００（２０－ｍ）＝ －４００ｍ＋２００００， 其中ｍ≤ １３（２０－ｍ），得ｍ≤５， 故当Ａ种型号帐篷为５顶时，总费用最低， 总费用为ｗ＝６００×５＋１０００×（２０－５）＝ １８０００                                                              ．!" !" !# !$ % & ' & $ ( " ) !" 书 答：当Ａ种型号帐篷为５顶，Ｂ种型号帐篷为 １５顶时，总费用最低，为１８０００元． 跟踪训练４：（１）ＡＭＣ１０是美国十年级数学 竞赛的缩写．ＡＭＣ１０共有２５道选择题，每一道选 择题答对得６分，留空得１．５分，答错不得分．预 估ＡＭＣ１０得分达到１０５分的参赛者有机会被邀 请参加美国高中数学邀请赛，小明有２道题留 空，那么他至少需要答对 题才有机会 进入邀请赛． （２）某学校计划租用７辆客车送２７５名师生 去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客 车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最 多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用 甲种型号的客车ｘ辆，租车总费用为ｙ元． 型号 载客量（人 ／辆） 租金（元 ／辆） 甲 ４５ １５００ 乙 ３３ １２００ Ⅰ．求ｙ与ｘ的函数解析式（不需要写定义 域）； Ⅱ．要使租车总费用不超过１０２００元，怎样 租车最省钱？此时租车的总费用是多少元？ 每讲一测 １．若ｍ·４是不等式，则符号“·”可以是 （　　） Ａ．＋ Ｂ．＝ Ｃ．× Ｄ．≥ ２．不等式２ｘ＞ｘ＋１的解集是 （　　） Ａ．ｘ＞１ Ｂ．ｘ＜１ Ｃ．ｘ≥１ Ｄ．ｘ≤１ ３．设ａ＞ｂ，下列结论正确的是 （　　） Ａ．ａ＋３＞ｂ＋３ Ｂ．ａ＋３＜ｂ＋３ Ｃ．ａ＋３＝ｂ＋３ Ｄ．ａ＋３≥ｂ＋３ ４．平面直角坐标系中，点（ｘ－１，ｘ）在第二 象限，则ｘ的取值范围为 （　　） Ａ．ｘ＞０ Ｂ．ｘ＜１ Ｃ．０＜ｘ＜１ Ｄ．ｘ＞１ ５．关于 ｘ的不等式组 ４－２ｘ＜０， ２ｘ≤{ ａ 恰好有 ２个整数解，则ａ满足 （　　） Ａ．８＜ａ＜１０　　 Ｂ．８≤ａ＜１０ Ｃ．８＜ａ≤１０　　 Ｄ．８≤ａ≤１０ ６．“４ｘ与７的和不小于６”用不等式表示为 ． ７．一种荔枝的进价是每千克１２．６元，销售 中估计有１０％的荔枝正常损耗（包含剪枝），商 家把售价至少定为每千克 元，才能避免 亏本． ８．在如图１所示的运行程序中，规定：从“输 入一个值ｘ”到“结果是否大于９５”为一次程序 操作，如果程序操作进行了二次才停止，那么输 入的ｘ的取值范围是                                                              ． !" #$% !" ! !& "# '() #$ % * !" 书 ９．解不等式组 ｘ＋２≥１， ２（ｘ＋３）－３＞３ｘ{ ，并将解 集在数轴上（如图２所示）表示出来． １０．为进一步美化环境，提升生活品质，某部 门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊，预算 资金为２７００元，其中１２００元购买甲种花卉，其 余资金购买乙种花卉．已知乙种花卉每株的价 格是甲种花卉每株价格的１．２倍，且购买乙种花 卉的数量比甲种花卉多２株． （１）求甲、乙两种花卉每株的价格； （２）购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花 卉均按原价八折销售．已知该部门需购买甲、乙 两种花卉共１２０株，总费用不超预算，其中甲花 卉的资金不超过１０００元．求购买这两种花卉有 几种方案？并计算所需费用的最小值． １１．我们把关于ｘ的一个一元一次方程和一 个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当 一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的 解时，我们把这种组合叫做“友好组合”；当一元 一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我 们把这种组合叫做“非友好组合”． 例如： ８ｘ－４＝０， ５ｘ－２＜{ ３是“友好组合”． 分析：由８ｘ－４＝０，得ｘ＝１２， 由５ｘ－２＜３，得ｘ＜１， 因为ｘ＝１２在ｘ＜１范围内， 所以 ８ｘ－４＝０， ５ｘ－２＜{ ３是“友好组合”． （１） 请 判 断 关 于 ｘ 的 组 合 ｘ－５ ３ ＝２－ ３－ｘ ２ ， ｘ＋３ ２ －１＜ ３－ｘ{ ４ 是“友好组合”还是“非友 好组合”，并说明理由； （２） 若 关 于 ｘ 的 组 合 ５ａ－ｘ ２ －３＝２ｘ－３ａ， ｘ－ａ ２ ＋１≤ { ｘ＋ａ 是“非友好组合”，求 ａ 的取值范围                                                              ． !" !# !$ %& ' & $ ( " ! $ !"