第十五讲 几何图形的变换-【数理报】2025年中考数学高效复习（云南专版）

书 考点演练 考点１：轴对称图形与中心对称图形的识别 　　　　　　　　　　　　　　　例１ 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意 深广．下列四个选项中，可以看作是轴对称图形 的为 （　　） Ａ．爱 Ｂ．国 Ｃ．敬 Ｄ．业 解：观察各选项可知Ｄ选项可以看作是轴对 称图形． 故选Ｄ． 跟踪训练１：           下列图形中既是轴对称图形又 !"#$%& ! !'"(#)*+ " ,#$"!"-./ !!!!0*+ # ,#$"!" -./ !!!!0*+1! $#$"!"-./ !!!!" 23"#$%& 2345!"6-.7%08-.9:;!"0<=23>123 *+ !!!! ,?,#$@ 2345!"8-.7%0 6-.9: ;!"0<=23>123*+ !!!! ,?,#$@2345!"6 -.A8-.9:;!"0<="23>123*+ !!!! !? !!!! #$# 23"BC%& 2345!"6-.7%08-.9DEFGHI)%$%!"%JKL0 M23N &&&&FGN &&&&OBCP &&&& JKL@2345!"8 -.7%06-.9DEFGHI)%$%!"%JKL0M23N &&&& FGN &&&&)BCP &&&&JKL' %&Q"-. BC RBST0 UVJ23WXJYNCZ V["\]0^_"23`Z$a !!!!" bJ23WcVdefghijk !!!!(lm^bJ23 !!!!(^def n !!!!0 bJ23"#o!n !!!!0# ofpn !!!!" qrVJ23WcXdef#gi0efbs"tujk !!!!0lm^J23 vnw !!!!0^defnw !!!!" 23xcXV!'y[)zZ"{|0$ a !!!!0^Vy[!n !!!!" RBST0}VJ23xcXJ!~z 0qrj>VJ23 0l m^bJ23?Q€#$0^J!n‚" " RBST0}VJ23xXJ!~z 0qrj>ƒ„…†0lm^J2 3nwQ€#$23"Q€#$234"‡V##o!<ˆ?"fp9‰#$ Q€ " qrbJ23*+XVdef# $0lm#ofp !!!0#oŠ !!!0 #o!<ˆ"fp‰‹ef !!!!" 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B C ! , # $ ! ~ z !" 书 是中心对称图形的是 （　　） 考点２：图形的平移 例 ２　 如图 １，将 △ＡＢＣ沿 ＢＣ方向平移 ２ｃｍ得到 △ＤＥＦ，若 △ＡＢＣ的周长等于８ｃｍ， 则四边形ＡＢＦＤ的周长等于 ｃｍ． 解：因为△ＡＢＣ的周长等于８ｃｍ，所以ＡＢ＋ ＡＣ＋ＢＣ＝８ｃｍ．由平移的性质可知ＡＤ＝ＣＦ＝ ２ｃｍ，ＤＦ＝ＡＣ， 所以四边形ＡＢＦＤ的周长 ＝ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＦ ＋ＤＦ＋ＡＤ＝８＋２＋２＝１２（ｃｍ）． 故填１２． 跟踪训练 ２：如图 ２， 在平行四边形 ＡＢＣＤ中， ＡＢ＝４，ＢＣ＝６，将线段 ＡＢ水平向右平移 ａ个单 位长度得到线段ＥＦ，若四边形ＥＣＤＦ为菱形，则 ａ的值为 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 考点３：图形的旋转 例 ３　 如图 ３，将 Ｒｔ△ＡＢＣ绕直角顶点 Ｃ 顺时针旋转 ９０°，得到 △ＤＥＣ，连 接 ＡＤ，若 ∠ＢＡＣ＝２０°，则 ∠ＢＡＤ ＝ （　　） Ａ．４５° Ｂ．５０° Ｃ．６０° Ｄ．６５° 解：因为Ｒｔ△ＡＢＣ绕其直角顶点Ｃ按顺时针 方向旋转９０°后得到△ＤＥＣ， 所以ＡＣ＝ＣＤ，∠ＡＣＤ＝９０°， 所以 △ＡＣＤ是等腰直角三角形，所以 ∠ＣＡＤ＝４５°． 因为∠ＢＡＣ＝２０°，所以∠ＢＡＤ＝∠ＢＡＣ＋ ∠ＣＡＤ＝２０°＋４５°＝６５°． 故选Ｄ． 跟踪训练３：如图４，将 △ＡＢＣ绕点 Ａ顺时针旋转 ９０°得到 △ＡＤＥ，点 Ｂ，Ｃ的 对应点分别为点 Ｄ，Ｅ，连接 ＣＥ，点 Ｄ恰好落在线段 ＣＥ 上，若ＣＤ＝３，ＢＣ＝１，则ＡＤ的长为 （　　） 槡 槡Ａ．５ Ｂ． １０ 槡Ｃ．２ Ｄ．２２ 考点４：图形的对称 例 ４　 如图 ５，在 △ＡＢＣ中，∠Ｃ ＝９０°， ∠ＡＢＣ＝６０°，ＡＢ＝１０， ＡＤ平分 ∠ＢＡＣ，点 Ｐ，Ｑ 分别是ＡＢ，ＡＤ边上的动 点，则ＰＱ＋ＢＱ的最小值是 （　　） Ａ．７ Ｂ．６ Ｃ．５ Ｄ．４ 解：如图 ６，作点 Ｐ 关于直线 ＡＤ的对称点 Ｐ′，连接ＱＰ′，ＢＰ′，则ＰＱ ＝ＱＰ′， 因 为 ＡＤ 平 分 ∠ＢＡＣ，所以点Ｐ′在ＡＣ上． 因为在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，所以ＰＱ＋ＢＱ ＝Ｐ′Ｑ＋ＢＱ≥ＢＰ′≥ＢＣ， 所以当点Ｑ在ＢＰ′上，且点Ｐ′与点Ｃ重合 时，ＰＱ＋ＢＱ＝Ｐ′Ｑ＋ＢＱ＝ＢＰ′＝ＢＣ，此时ＰＱ ＋ＢＱ的值最小． 因为∠ＡＢＣ＝６０°，所以∠ＢＡＣ＝３０°． 因为ＡＢ＝１０，所以 ＢＣ＝１２ＡＢ＝５，所以 ＰＱ＋ＢＱ的最小值是５． 故选Ｃ                                                               ． ! "# $ % & ! ! ! " # & % ! " & % " ! # ! # " ! % ' & ( ! $ " ! % ( ! ' & ( ! % & ' ( ) $ " ! # & % ! * !" 书 跟踪训练 ４：如图 ７， △ＤＥＣ与△ＡＢＣ关于点Ｃ 成中心对称，ＡＢ ＝３，ＡＣ ＝２，∠ＣＡＢ＝９０°，则 ＡＥ 的长是 ． 考点５：图形变换与点的坐标 例５　如图８，将线段ＡＢ先向左平移，使点 Ｂ与原点Ｏ重合，再将所得线段绕原点旋转１８０° 得到线段Ａ′Ｂ′，则点Ａ的对应点Ａ′的坐标是 （　　） Ａ．（２，－３） Ｂ．（－２，３） Ｃ．（３，－２） Ｄ．（－３，２） 解：根据题意作如图８， 由题意可知，点Ａ（０，３），Ｂ（２，０）， 由平移的性质，得点Ａ″（－２，３），Ｂ′（０，０）， 由旋转的性质，得点Ａ′与Ａ″关于原点对称， 所以Ａ′（２，－３）． 故选Ａ． 跟踪训练 ５：如图 ９， △ＡＢＣ 经 过 平 移 得 到 △Ａ１Ｂ１Ｃ１，已知在 ＡＣ上的 一点 Ｐ（２．４，２）平移后的 对应点为点 Ｐ１，若点 Ｐ２与 点Ｐ１关于点 Ｏ中心对称， 则点Ｐ２的坐标为 （　　） Ａ．（１．４，－１） Ｂ．（１．６，１） Ｃ．（２．４，１） Ｄ．（１．５，２） 例６　 如图 １０，在平面直角坐标系中，将 △ＡＢＯ绕点Ａ顺时针旋转到△ＡＢ１Ｃ１的位置，点 Ｂ，Ｏ分别落在点Ｂ１，Ｃ１处，点Ｂ１在ｘ轴上，再将 △ＡＢ１Ｃ１绕点 Ｂ１顺时针旋转到 △Ａ１Ｂ１Ｃ２的位 置，点Ｃ２在ｘ轴上，将△Ａ１Ｂ１Ｃ２绕点Ｃ２顺时针 旋转到△Ａ２Ｂ２Ｃ２的位置，点Ａ２在ｘ轴上，依次进 行下去 …… 若点 Ａ（３２，０），Ｂ（０，２），则点 Ｂ２０２５ 的坐标为 ． 解：由图象可知点Ｂ２０２５在ｘ轴上， 因为ＯＡ＝３２，ＯＢ＝２，∠ＡＯＢ＝９０°，所以 ＡＢ＝ ＯＡ２＋ＯＢ槡 ２ ＝ （３２） ２＋２ 槡 ２ ＝５２， 所以 Ｂ１（４，０），Ｂ３（１０，０），Ｂ５（１６，０），…，所 以ＯＢ１ ＝４，Ｂ１Ｂ３ ＝Ｂ３Ｂ５ ＝６． 因为（２０２５－１）÷２＝１０１２，所以１０１２× ６＋４＝６０７６，所以Ｂ２０２５（６０７６，０）． 故填（６０７６，０）． 跟踪训练６：如图１１，将 点Ａ绕原点Ｏ逆时针旋转９０° 得到点Ａ１；作点 Ａ１关于 ｘ轴 的对称点 Ａ２；将点 Ａ２绕点 Ｏ 逆时针旋转９０°得到点Ａ３；作点Ａ３关于ｘ轴的对 称点Ａ４；…，按照这样的规律，点Ａ２０２５的坐标是 （　　） Ａ．（－３，２） Ｂ．（－２，３） Ｃ．（－２，－３） Ｄ．（３，－２） 考点６：几何变换的综合 例７　 如图 １２，在平面直角坐标系中， △ＡＢＣ的顶点坐标分别为 Ａ（０，３），Ｂ（３，４）， Ｃ（２，１）                                                              ． ! " # $!%" % ! " ! # ! & # " ! # # $ $ & # %! ! $$ # & " & % & # ' % ' " ' # $ " $ % $ # % % % " % # % & $ # %( # ' " ( % # ) #! #" *+ *& *' *$ *% % $ ' & + + & ' $ % *% *$ *' *& *+ % # ! & # , $ !%!" !" 书 （１）若点Ｍ（１，２）是△ＡＢＣ的边ＡＣ上的一 点，将△ＡＢＣ先向下平移３个单位长度，再向右 平移２个单位长度，则平移后点 Ｍ的对应点 Ｍ′ 的坐标为 ； （２）画出△ＡＢＣ以点Ａ为旋转中心，顺时针 旋转９０°后得到的△ＡＢ１Ｃ１； （３）画出与△ＡＢＣ关于点Ｏ成中心对称的 图形△Ａ２Ｂ２Ｃ２． 解：（１）根据题意，得点 Ｍ先向下平移３个 单位长度，再向右平移２个单位长度， 因为 Ｍ（１，２），所以 Ｍ′（１＋２，２－３），即 Ｍ′（３，－１）． 故填（３，－１）． （２）如图１３，△ＡＢ１Ｃ１即为所求． （３）如图１３，△Ａ２Ｂ２Ｃ２即为所求． 跟踪训练７：在平面直角坐标系中，如图１４ 所示，Ａ（－２，１），Ｂ（－４，１），Ｃ（－１，４）． （１）画出与△ＡＢＣ关于原点Ｏ成中心对称 的△Ａ１Ｂ１Ｃ１； （２）平移△ＡＢＣ，当点Ａ移动到点Ａ２（１，０）， 那么点Ｂ的对应点Ｂ２的坐标为 ； （３）将△ＡＢＣ绕Ａ点逆时针旋转９０°，那么 Ｃ的对应点Ｃ３的坐标为 ． 例８　 如图 １５，四边 形ＡＢＣＤ是正方形，△ＡＤＦ 旋转 一 定 角 度 后 得 到 △ＡＢＥ，如果ＡＦ＝４，ＡＢ＝ ７，求： （１）指出旋转中心和旋转角度； （２）求ＤＥ的长度； （３）ＢＥ与ＤＦ的位置关系如何？ 解：（１）根据正方形和旋转的性质可知 ＡＥ ＝ＡＦ＝４，∠ＥＡＦ＝９０°，∠ＥＢＡ＝∠ＦＤＡ，所以 旋转中心为点Ａ；旋转角度为９０°或２７０°． （２）ＤＥ＝ＡＤ－ＡＥ＝７－４＝３． （３）ＢＥ⊥ ＤＦ．理由： 如图１６，延长ＢＥ交ＤＦ于 点Ｇ， 由旋转知 ∠ＡＤＦ ＝ ∠ＡＢＥ． 又因为∠ＤＥＧ ＝∠ＡＥＢ，所以 ∠ＤＧＥ ＝ ∠ＥＡＢ＝９０°，所以ＢＥ⊥ＤＦ． 跟踪训练８：如图１７，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ ＝９０°，∠Ａ＝３０°，ＡＢ＝４，点Ｄ在直线ＢＣ上，点 Ｅ在边ＡＣ上，且ＡＣ＝ＣＤ，                                                               ＤＥ＝ＡＢ． ! " # $ % & ! !" #" #$ #% #& #! ! & % $ " " $ % & ! #! #& #% #$ #" ! " ' ( ! !& $ ) #" #$ #% #& #! ! & % $ " " $ % & ! #! #& #% #$ #" ! " ' ( ! !% $ ! ! $ ! ! & " & $ & ) #" #$ #% #& #! ! & % $ " " $ % & ! #! #& #% #$ #" ! " ' ( ! !$ $ ) ! " # $ % & * ! !' !" 书 （１）如图１７－①，求证：ＢＣ＝ＣＥ； （２）如图１７－②，将 △ＥＣＤ沿 ＣＢ方向平 移，使点Ｅ落在ＡＢ上，得到△Ｅ１Ｃ１Ｄ１，求平移的 距离； （３）如图１７－③，将△ＥＣＤ绕点Ｃ逆时针 旋转，使点Ｅ落在ＡＢ上，得到 △Ｅ２ＣＤ２，求旋转 角∠ＤＣＤ２的度数． １．如图 １，△ＡＢＣ与 △ＤＥＦ关于直线ＭＮ对称， ∠Ｆ＝２０°，∠Ａ＝４０°，则 ∠Ｂ的度数为 （　　） Ａ．２０° Ｂ．４０° Ｃ．１２０° Ｄ．１００° ２．今年大同文创产品的热度持续高涨，大 同集文化与艺术的碰撞、传统与现代交融于一 身的文创产品，极大带动了文旅消费热，成为旅 游消费的重要增长点．下列文字上方的文创产 品简化图形既是轴对称图形，又是中心对称图 形的是 （　　） ３．如图２，在三角 形ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°， ∠Ｂ＝３５°，将三角形 ＡＢＣ绕点 Ａ按顺时针 方向旋转到三角形 ＡＢ１Ｃ１的位置，使得点Ｃ，Ａ，Ｂ１在一条直线上，那 么旋转角等于 （　　） Ａ．１４５° Ｂ．１２５° Ｃ．７０° Ｄ．５５° ４．如图３，动点Ｐ在平面直角坐标系中按图 中箭头所示方向运动，第１次从原点运动到点 （１，１），第２次接着运动到点（２，０），第３次接着 运动到点（３，２），…，按这样的运动规律，经过第 ３１次运动后动点Ｐ的坐标是 （　　） Ａ．（３１，２） Ｂ．（６２，０） Ｃ．（３１，１） Ｄ．（６２，１） ５． 如 图 ４， △ＡＢＣ与 △ＤＥＦ 关于点Ｏ成中心对 称，则下列结论不 一定正确的是 （　　） Ａ．△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ Ｂ．ＢＣ＝ＥＦ Ｃ．ＯＡ＝ＯＢ Ｄ．ＡＢ∥ＤＥ ６．如图５，                                                               用平移方法说明平行四边形的面 ! ! ! " ! " # $ % $ ! ! " # $ % ! " # $ % $ " ! " ! " # ! !# & ' $ ! ( % # " ! ! ""#$$%%&$$%&&$$%'&$$%!$&$$%!"&$$ ) ' "!!&"$ "#&"$ "(&!$ ")&!$ "*&"$ "!&!$ * + ! * + , ()*+,-./012 3456789: - . !# & $ + % " ! % # ! " ! % " # ! " !" 书 积公式Ｓ＝ａｈ时，若△ＡＢＥ 平移到△ＤＣＦ，ａ＝１０，ｈ＝ ６，则△ＡＢＥ的平移距离为 ． ７．如图６，是一个中心 对称图形，Ａ为对称中心，若 ∠Ｃ＝９０°，∠Ｂ＝ ３０°，ＡＣ＝２，则ＢＢ′的长为 ． ８．如图７，等腰△ＡＢＣ的底边ＢＣ长为４，面 积是１２，腰ＡＣ的垂直平分线ＥＦ分别交ＡＣ，ＡＢ 边于Ｅ，Ｆ点．若点Ｄ为ＢＣ边的中点，点Ｍ为线 段ＥＦ上一动点，则 △ＣＤＭ的周长最小值为 ． ９．已知 △Ａ１Ｂ１Ｃ１三个顶点的坐标分别为 Ａ１（－３，４），Ｂ１（－１，３），Ｃ１（１，６），把△Ａ１Ｂ１Ｃ１先 向右平移３个单位长度，再向下平移３个单位长 度后得到△ＡＢＣ，且点Ａ１的对应点为Ａ，点Ｂ１的 对应点为Ｂ，点Ｃ１的对应点为Ｃ． （１）在如图８的坐标系中画出△Ａ１Ｂ１Ｃ１和 △ＡＢＣ； （２）画出 △ＡＢＣ关于原点 Ｏ对称的 △Ａ２Ｂ２Ｃ２； （３）求△ＡＢＣ的面积． １０．已知四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ⊥ ＡＤ，ＢＣ⊥ ＣＤ，ＡＢ ＝ＢＣ，∠ＡＢＣ ＝１２０°，∠ＭＢＮ ＝６０°， ∠ＭＢＮ绕Ｂ点旋转，它的两边分别交ＡＤ，ＤＣ（或 它们的延长线）于Ｅ，Ｆ．当∠ＭＢＮ绕Ｂ点旋转到 ＡＥ＝ＣＦ时，如图９－①，易证ＡＥ＋ＣＦ＝ＥＦ（不 用证明）． （１）当∠ＭＢＮ绕Ｂ点旋转到ＡＥ≠ＣＦ时， 如图９－②，题中结论是否依然成立？若成立，请 给予证明． （２）当∠ＭＢＮ绕Ｂ点旋转到ＡＥ≠ＣＦ时， 如图９－③，题中结论是否依然成立？若不成立， 线段ＡＥ，ＣＦ，ＥＦ又有怎样的数量关系？请给予 证明                                                               ． ! " # $ % & " ' ( ! ! &!$! ( $ & ! " & # $ ! ) % ( ! # # ) % * ! $ & ( # ) % * ! $ & ( # ) % * ! $ & ( ! " # ! $ %! %& %' %( %) ) ( * & ! " ! & * ( ) +) %( %* %& %! + , ! , - !" 所以ＢＤ＝ ＤＥｓｉｎ∠ＤＢＥ≈ ９００ ０．８０＝１１２５（ｍ）， 所以需要的时间 ｔ＝ｔ步行 ＋ｔ缆车 ＝ ６００ ３０ ＋ １１２５ ６０ ≈ ３８．８（ｍｉｎ）． 答：从山底Ａ处到达山顶Ｄ处大约需要３８．８ｍｉｎ． 第十五讲　几何图形的变换 知识梳理 平移 形状　大小　平行（或在同一条直线上）　相等　相等 平移方向　平移距离 重合　关于这条直线（成轴）对称　对称轴　对称点　 对称线段 相等　相等　垂直平分 互相重合　轴对称图形　对称轴 旋转　旋转中心 形状　大小　相同的　距离相等　相等　相等 １８０°　重合　对称中心 １８０°　平分 （ｘ，－ｙ）　（－ｘ，ｙ）　（－ｘ，－ｙ） ｘ　ｙ　原　中心 上　下　ｎ　右　左　ｎ 考点演练 １．Ｄ；　２．Ｂ；　３．Ａ；　４．５；　５．Ｂ；　６．Ｂ． ７．（１）如图１７，△Ａ１Ｂ１Ｃ１即为所求． !" !# !$ %& %' ( & $ ) " " ) $ & ( %( %& %$ %) %" ! " # $ % ! ( % ( " ( & 图１７ （２）因为Ａ（－２，１）移动到点Ａ２（１，０）， 所以平移方式为向右平移３个单位长度，向下平移１个单 位长度， 所以Ｂ（－４，１）平移后的点Ｂ２（－１，０）． 故填（－１，０）． （３）如图１８，△ＡＢＣ绕Ａ点逆时针旋转９０°后的△Ａ３Ｂ３Ｃ３ 如下图，则Ｃ３（－５，２）． 故填（－５，２）． !" !# !$ %& %' ( & $ ) " " ) $ & ( %( %& %$ %) %" ! "!" $ " # $ % ! ( % ( " ( ! $ % $ & 图１８ ８．（１）证明：因为∠ＡＣＢ＝９０°， 所以∠ＥＣＤ＝９０°， 所以△ＡＢＣ，△ＤＥＣ是直角三角形． 因为ＡＣ＝ＣＤ，ＡＢ＝ＤＥ， 所以Ｒｔ△ＡＣＢ≌Ｒｔ△ＤＣＥ， 所以ＢＣ＝ＣＥ． （２）因为在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ａ＝３０°，ＡＢ＝４， 所以ＢＣ＝ １２ＡＢ＝２． 由（１）知ＢＣ＝ＣＥ，所以ＣＥ＝２． 由平移知，Ｃ１Ｅ１∥ＡＣ，Ｃ１Ｅ１ ＝ＣＥ＝２， 所以∠ＢＥ１Ｃ１ ＝∠Ａ＝３０°． 因为 ＢＣ１ Ｅ１Ｃ１ ＝ｔａｎ∠ＢＥ１Ｃ１ ＝ｔａｎ３０°＝槡 ３ ３， 所以ＢＣ１ ＝２×槡 ３ ３ ＝ 槡２３ ３， 所以ＣＣ１ ＝ＢＣ－ＢＣ１ ＝２－ 槡 ２３ ３ ＝ ６－ 槡２３ ３ ，即平移距离 为 ６－ 槡２３ ３ ． （３）由旋转的性质得∠ＤＣＤ２ ＝∠ＥＣＥ２， 因为∠ＡＢＣ＝６０°，ＢＣ＝ＣＥ２ ＝２， 所以△Ｅ２ＢＣ是等边三角形， 所以∠ＢＣＥ２ ＝６０°， 所以∠ＤＣＤ２ ＝∠ＥＣＥ２ ＝∠ＡＣＢ－∠ＢＣＥ２ ＝９０°－６０° ＝３０°． 每讲一测 １．Ｃ；　２．Ｄ；　３．Ｂ；　４．Ａ；　５．Ｃ； ６．１０；　７．８；　８．８． ９．（１）如图１９，将点Ａ１，Ｂ１，Ｃ１首尾相连，△Ａ１Ｂ１Ｃ１即为所 求．Ａ１，Ｂ１，Ｃ１三点向右平移３个单位长度，再向下平移３个单 位长度，得到 Ａ（０，１），Ｂ（２，０），Ｃ（４，３），然后将这三点首尾相 连，△ＡＢＣ即为所求                                                                      ． —３１— 初中数学·中考（ＹＮ）　第２７～３６期 !" !# !$ %& %' ( & $ ) " " ) $ & ( %( %& %$ %) %" ! " # $ % & * & ' ! ' " ' 图１９ （２）如图２０，Ａ，Ｂ，Ｃ关于原点的对称点分别为Ａ２（０，－１）， Ｂ２（－２，０），Ｃ２（－４，－３），然后将这三点首尾相连，△Ａ２Ｂ２Ｃ２ 即为所求． !" !# !$ %& %' ( & $ ) " " ) $ & ( %( %& %$ %) %" ! " # $ % * " & % & ! & & 图２０ （３）Ｓ△ＡＢＣ ＝３×４－ １ ２×２×４－ １ ２×１×２－ １ ２×２×３ ＝４． １０．（１）成立．证明如下： 将Ｒｔ△ＡＢＥ绕点Ｂ顺时针旋转１２０°，如图２１， 因为ＡＢ＝ＢＣ，∠ＡＢＣ＝１２０°， 所以点Ａ与点Ｃ重合， 所以ＢＧ＝ＢＥ，ＦＧ＝ＣＧ＋ＣＦ＝ＡＥ＋ＣＦ． 因为∠ＡＢＣ＝１２０°，∠ＭＢＮ＝６０°， 所以∠ＧＢＦ＝６０°． 因为ＢＦ＝ＢＦ，所以△ＧＢＦ≌△ＥＢＦ， 所以ＦＧ＝ＥＦ，所以ＥＦ＝ＡＥ＋ＣＦ． ! " # $ % & ' ( ) ! " * $ % & ' ( ) 图２１ 图２２ （２）不成立，新结论为ＥＦ＝ＡＥ－ＣＦ．证明如下： 将Ｒｔ△ＡＢＥ绕点Ｂ顺时针旋转１２０°，如图２２， 因为ＡＢ＝ＢＣ，∠ＡＢＣ＝１２０°， 所以点Ａ与点Ｃ重合，∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＧ， 所以ＢＧ＝ＢＥ，ＦＧ＝ＣＧ－ＣＦ＝ＡＥ－ＣＦ． 因为∠ＡＢＣ＝∠ＡＢＥ＋∠ＣＢＥ＝１２０°， 所以∠ＣＢＧ＋∠ＣＢＥ＝∠ＧＢＥ＝１２０°． 因为∠ＭＢＮ＝６０°，所以∠ＧＢＦ＝６０°． 因为ＢＦ＝ＢＦ，所以△ＧＢＦ≌△ＥＢＦ， 所以ＦＧ＝ＥＦ，所以ＥＦ＝ＡＥ－ＣＦ． 第十六讲　圆 知识梳理 轴对称　任何一条直径所在的直线　无数　中心对称 　圆心 平分　两条弧　垂直于　两条弧 相等　一半 相等 ｄ＞ｒ　ｄ＝ｒ　ｄ＜ｒ ｄ＜ｒ　ｄ＝ｒ　ｄ＞ｒ 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 圆的切线垂直于过切点的半径 ｌ＝ｎπＲ１８０ Ｓ扇形 ＝ ｎπＲ２ ３６０ ＝ １ ２ｌＲ 考点演练 １．Ｄ． ２．由题意可得ＣＤ＝８ｃｍ，ＡＢ⊥ＯＣ，ＡＢ＝２４ｃｍ， 所以ＡＤ＝ＢＤ＝ １２ＡＢ＝１２ｃｍ． 设圆的半径为ｘｃｍ，则ＯＤ＝（ｘ－８）ｃｍ，ＡＯ＝ｘｃｍ， 在Ｒｔ△ＡＤＯ中，由勾股定理，得ＡＯ２ ＝ＡＤ２＋ＯＤ２， 所以ｘ２ ＝（ｘ－８）２＋１２２， 解得ｘ＝１３， 所以圆柱形管道横截面的直径为１３×２＝２６（ｃｍ）． ３．（１）５１°，　（２）Ｄ； ４．ｄ＞５； ５．（１）Ａ． （２）证明：过点Ｄ作ＤＦ⊥ＡＣ于点Ｆ， 因为在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，所以ＡＢ⊥ＢＣ． 因为ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＤＦ⊥ＡＣ， 所以                                                                      ＢＤ＝ＤＦ． —４１— 初中数学·中考（ＹＮ）　第２７～３６期