第十四讲 锐角三角函数-【数理报】2025年中考数学高效复习（云南专版）

书 考点演练 考点１：三角函数的计算 例１　在Ｒｔ△ＡＣＢ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝３ＢＣ， 则ｓｉｎＡ＝ （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　 Ａ． 槡３ １０１０ Ｂ． 槡２ ４ Ｃ．槡１０１０ Ｄ． １ ３ 　　　　　　　　　　　　　　　解：根据题意作如图１，设ＢＣ＝ａ，则ＡＣ＝ ３ａ，因为∠Ｃ＝９０°， 所以ＡＢ＝ ＢＣ２＋ＡＣ槡 ２ ＝ ａ２＋（３ａ）槡 ２ ＝ 槡１０ａ， 所以ｓｉｎＡ＝ＢＣＡＢ＝ ａ 槡１０ａ ＝槡１０１０． 故选Ｃ． 跟踪训练１：如图２，在 Ｒｔ△ＡＣＢ中，∠Ｃ＝ ９０°，ＡＢ＝８，ｃｏｓＡ＝３４，则ＡＣ的长为 （　　） Ａ．６ Ｂ．７．５ Ｃ．８ Ｄ．１２．４ 考点２：特殊角的三角函数值 例 槡２　 ３ｔａｎ３０°－１的值等于 （　　） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．槡２２ 槡－１ Ｄ．２－１ 解：原式 ＝槡３×槡 ３ ３－１＝１－１＝０． 故选Ａ． 跟踪训练２：计算：ｔａｎ６０°－２ｃｏｓ２４５°－２ｓｉｎ６０                                °． !"#"$% & !"!!"#'("##$%!($(%(&)*+"!,""("#-./(0 &'( !'(((((()*& !'(((((("+( !'((((() &'( ,%!#(((((()*& ,%!#(((((("+( ,%!#(((((1 &'( -.!#(((((()*& -.!#(((((("+( -.!#(((((/ &'( 0%!#(((((()*& 0%!#(((((("+( 0%!#(((((1 2"34"56789:;<=>?@=-A";BC 222222/ 6987:;<=>?@=-A";BC 2222221 DE3D"5DF-GHIEJ*K>?@LE + -MBC 22222,N+ ,;,'((((() D"NO !;DEPQD"- (((((;R ,'(((((;DEST;D" 222221 UH"#"V UWH"#"VXYZ[;\Z]'^_ ,%!;0%!";X`abcYPd#"V -efg\Z]'^_ -.!";X`abcYPdH"#"V-ef1 ! # " ! 3 " # ! ! 4 !" 书 例３　在△ＡＢＣ中，若∠Ａ，∠Ｂ满足｜ｓｉｎＡ －槡３２ ｜＋（ １ ２ －ｃｏｓＢ） ２ ＝０，则 △ＡＢＣ是 三角形． 解：根据题意，得ｓｉｎＡ－槡３２ ＝０， １ ２－ｃｏｓＢ ＝０，所以 ｓｉｎＡ＝槡３２，ｃｏｓＢ＝ １ ２，所以 ∠Ａ＝ ６０°，∠Ｂ＝６０°，所以△ＡＢＣ是等边三角形． 故填等边． 跟踪训练 ３：已知 ∠Ａ是锐角，且 ｓｉｎＡ＝ ｃｏｓＡ，则∠Ａ的度数是 （　　） Ａ．３０° Ｂ．４５° Ｃ．６０° Ｄ．７５° 考点３：网格中的三角函数 例４　如图３，在４×４的 正方形网格中，每个小正方 形的边长都是１，若△ＡＢＣ的 三个顶点在图中相应的格点 上，则ｔａｎ∠ＡＢＣ的值为 （　　） 槡Ａ．３ Ｂ．２５ Ｃ．槡２５３ Ｄ． １ ３ 解：根据勾股定理，得 ＡＣ＝ １２＋１槡 ２ ＝ 槡２，ＡＢ＝ ２ ２＋４槡 ２ ＝ 槡２５，ＢＣ＝ ３ ２＋３槡 ２ ＝ 槡３２，所以ＡＣ ２＋ＢＣ２＝ＡＢ２＝２０，所以∠ＡＣＢ＝ ９０°，所以ｔａｎ∠ＡＢＣ＝ＡＣＢＣ＝ １ ３． 故选Ｄ． 跟踪训练 ４：如图 ４， △ＡＢＣ的顶点都在方格纸的 格点上，那么ｓｉｎＡ的值为 （　　） Ａ．３２ 　　　Ｂ． ３ ４ Ｃ．３５ 　　　Ｄ． ４ ５ 考点４：三角函数的应用 例５　我国生产的无人机畅销世界，树立了 良好的品牌形象，在一座高架桥的修建过程中， 需要测量一条河的宽度，如图５，工作人员使用 无人飞机通过设备在Ｐ处测得Ｍ，Ｎ两处的俯角 分别为α＝６０°和β＝３７°，测得无人机离水平地 面的高度ＰＱ为２４０米，若Ｑ，Ｍ，Ｎ三点在同一条 水平直线上，则这条河的宽度 ＭＮ为多少米（参 考数据：ｔａｎ３７°≈０．７５，槡３≈１．７３，结果保留整 数）？ 解：因为ＰＡ∥ＱＮ，所以∠ＰＮＱ＝β＝３７°， ∠ＰＭＱ＝α＝６０°． 在Ｒｔ△ＰＭＱ中，因为 ∠ＰＱＭ ＝９０°，所以 ｔａｎ∠ＰＭＱ＝ＰＱＱＭ， 所以ＱＭ ＝ ＰＱｔａｎ∠ＰＭＱ ＝ ＰＱｔａｎ６０°＝ ２４０ 槡３ ＝ 槡８０３≈１３８４（米）． 在Ｒｔ△ＰＱＮ中，因为ｔａｎ∠ＰＮＱ＝ＰＱＱＮ， 所以ＱＮ＝ ＰＱｔａｎ∠ＰＮＱ ＝ ＰＱｔａｎ３７°≈ ２４０ ０７５＝ ３２０（米）， 所以 ＭＮ ＝ＱＮ－ＱＭ ＝３２０－１３８．４≈ １８２（米）． 答：这条河的宽度ＭＮ为１８２米． 跟踪训练５：周末爬大蜀山是合肥市民的一 项娱乐休闲、锻炼身体的方式之一．如图６，上个 周末，小明同学从大蜀山西坡沿坡角为３７°的山 坡爬了３００米到达 Ｅ处，紧接着又爬了坡角为 ４５°的山坡１４８米到达山顶 Ａ处，请计算大蜀山 的高度约为多少米（结果精确到１米，参考数据： 槡２≈１．４，槡３≈１．７，ｓｉｎ３７°≈０．６，ｃｏｓ３７°                                                               ≈ ! " # ! ! " ! # ! " $ %& ! " ' ! # " !" 书 ０８，ｔａｎ３７°≈０．７５）？ １．如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝ ４，ＡＣ＝２，则ｔａｎＡ的值为 （　　） Ａ．１２ Ｂ．２ Ｃ． 槡５ ５ Ｄ．槡５ ２．如图２，在平面直角坐标系中，点Ａ的坐标 为（３，４），那么ｓｉｎα的值是 （　　） Ａ．３５ Ｂ． ５ ４ Ｃ． ４ ５ Ｄ． ４ ３ ３．如图３，ＡＣ是电线杆 ＡＢ的一根拉线，ＡＣ ＝６米，∠ＡＣＢ＝５２°，则ＡＢ的长为 （　　） Ａ．６ｃｏｓ５２°米 Ｂ．６ｓｉｎ５２°米 Ｃ． ６ｃｏｓ５２°米 Ｄ． ６ ｓｉｎ５２°米 ４．已知ｃｏｓ（４５°－α）＝槡３２，则α的度数为 （　　） Ａ．３０° Ｂ．２５° Ｃ．２０° Ｄ．１５° ５．如图４，在边长为１的小正方形组成的网 格中，点 Ａ，Ｂ，Ｃ都在格点上，那么 ｃｏｓ∠ＡＣＢ的 值为 （　　） Ａ．槡５５ Ｂ． 槡２５ ５ Ｃ．１２ Ｄ． ２ ３ ６．若 ｓｉｎα ＝槡３２，则锐角 α的余角是 ． ７．已知在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝２， ｔａｎＡ＝１２，则ＡＢ的长为 ． ８．在锐角 △ＡＢＣ中，已知 ∠Ａ，∠Ｂ满足 （ｓｉｎＡ－槡２２） ２＋｜槡３－ｔａｎＢ｜＝０，则 ∠Ｃ＝ ． ９．如图５，已知点 Ｃ 处有一个高空探测气 球，从点Ｃ处测得水平地 面上Ａ，Ｂ两点的俯角分 别为３０°和４５°．若ＡＢ＝ ２ｋｍ，则Ａ，Ｃ两点之间的距离为 ｋｍ（结 果保留根号）． １０．计算：槡６ｓｉｎ４５°＋ｃｏｓ ２６０°－ｔａｎ６０°· ｃｏｓ３０                                                              °． ! " # ! ! " ! # ! " "#! !$! # " ! ! # " # ! ! % ! "#! # $ " !&! ! ' % #"!#"$ % ! ! ( & ' !" 书 １１．如图６，在 △ＡＢＣ中，ＢＤ⊥ ＡＣ，垂足为 Ｄ，ＡＢ＝６，ＡＣ＝ 槡５３，∠Ａ＝３０°． （１）求ＢＤ和ＢＣ的长； （２）求ｓｉｎＣ的值． １２．如图７，某市对位于笔直公路ＡＢ上的两 个小区Ａ，Ｂ的供水路线进行优化改造，供水站Ｍ 在笔直公路上，测得供水站Ｍ在小区Ａ的南偏东 ３０°方向上，在小区Ｂ的南偏西４５°方向上，已知 小区Ａ与供水站Ｍ的距离为６０米，求小区Ｂ与 供水站Ｍ的距离（结果保留根号）． １３．“周末不忙，来趟衡阳！”小明与小亮相 约到南岳衡山旅游风景区登山，需要登顶 １２００ｍ高的山峰，如图 ８，由山底 Ａ处先步行 ６００ｍ到达Ｂ处，再由Ｂ处乘坐登山缆车到达山 顶Ｄ处，已知点Ａ，Ｂ，Ｄ，Ｅ，Ｆ在同一平面内，山坡 的坡角为３０°，缆车行驶路线与水平面的夹角为 ５３°（换乘登山缆车的时间忽略不计）． （１）求登山缆车上升的高度ＤＥ； （２）若步行速度为３０ｍ／ｍｉｎ，登山缆车的速 度为６０ｍ／ｍｉｎ，求从山底Ａ处到达山顶Ｄ处大约 需要多少分钟（结果精确到０．１ｍｉｎ，参考数据： ｓｉｎ５３°≈０．８０，ｃｏｓ５３°≈０．６０，ｔａｎ５３°≈１３３）                                                              ？ ! " # $ % !"! "#! ! $ " # # & $ % ! % ' # $ % ! & !" 因为∠ＡＢＥ＝∠ＣＭＥ＝９０°，∠ＡＥＢ＝∠ＣＥＭ， 所以△ＡＢＥ∽△ＣＭＥ， 所以 ＡＢ ＣＭ ＝ ＡＥ ＣＥ，即 ＡＢ １．６＝ ９ ４，解得ＡＢ＝３．６米． 故路灯的高度ＡＢ为３．６米． 第十四讲　锐角三角函数 知识梳理 ａ ｃ　 ｂ ｃ　 ａ ｂ １ ２　 槡３ ２　 槡３ ３ 槡２ ２　 槡２ ２　１ 槡３ ２　 １ ２ 槡　 ３ 俯角　仰角 坡度（或坡比）　 ｈｌ　正切值　ｔａｎα　越大 考点演练 １．Ａ． ２．原式 ＝槡３－２×（槡 ２ ２） ２－２×槡３２ ＝槡３－２× １ ２－槡３ ＝槡３－１－槡３ ＝－１． ３．Ｂ；　４．Ｃ． ! " # !"! $ % & #$! ' 图１４ ５．如图１４，过点Ａ作ＡＤ⊥ ＢＣ于点Ｄ，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＡＤ于 点Ｆ，ＥＧ⊥ＢＣ于点Ｇ，则四边形 ＥＧＤＦ为矩形，所以ＥＧ＝ＦＤ． 在Ｒｔ△ＡＥＦ中，因为∠ＡＥＦ ＝４５°，ｓｉｎ∠ＡＥＦ＝ＡＦＡＥ，ＡＥ＝１４８米， 所以 ＡＦ ＝ＡＥ·ｓｉｎ∠ＡＥＦ ＝１４８×槡２２ ＝ 槡７４ ２≈ １０３．６（米）． 在Ｒｔ△ＥＢＧ中，因为∠Ｂ＝３７°，ＢＥ＝３００米，ｓｉｎＢ＝ＥＧＢＥ， 所以ＥＧ＝ＢＥ·ｓｉｎＢ≈３００×０．６＝１８０（米）， 所以ＡＤ＝ＡＦ＋ＥＧ＝１０３．６＋１８０＝２８３．６≈２８４（米）． 答：大蜀山的高度约为２８４米． 每讲一测 １．Ｂ；　２．Ｃ；　３．Ｂ；　４．Ｄ；　５．Ａ；　 ６．３０°；　７．槡２５；　８．７５°；　９．（２＋ 槡２３）． １０．原式＝槡６×槡 ２ ２＋（ １ ２） ２－槡３×槡 ３ ２ ＝槡３＋ １ ４－ ３ ２ ＝槡３－ ５ ４． １１．（１）因为ＢＤ⊥ＡＣ，所以∠ＡＤＢ＝∠ＢＤＣ＝９０°． 在Ｒｔ△ＡＢＤ中，ＡＢ＝６，∠Ａ＝３０°， 所以ＢＤ＝ＡＢ·ｓｉｎＡ＝６×ｓｉｎ３０°＝３，ＡＤ＝ＡＢ·ｃｏｓＡ ＝６×ｃｏｓ３０°＝ 槡３３， 所以ＣＤ＝ＡＣ－ＡＤ＝ 槡５３－ 槡３３＝ 槡２３． 在Ｒｔ△ＣＢＤ中，ＢＤ＝３，ＣＤ＝ 槡２３， 所以由勾股定理，得ＢＣ＝ ３２＋（槡２３）槡 ２ ＝槡２１． 综上所述，ＢＤ的长为３，ＢＣ的长为槡２１． （２）在Ｒｔ△ＣＢＤ中，∠ＢＤＣ＝９０°，ＢＣ＝槡２１，ＢＤ＝３， 所以ｓｉｎＣ＝ＢＤＢＣ＝ ３ 槡２１ ＝槡２１７ ． ! " # $ % 图１５ １２．如图１５，过点Ｍ作ＭＥ⊥ＡＢ于点 Ｅ． 在Ｒｔ△ＡＭＥ中，由题意，得∠ＭＡＢ＝ ９０°－３０°＝６０°，ＡＭ ＝６０米， 所以ＭＥ＝ＡＭ·ｓｉｎ６０°＝６０×槡３２ ＝ 槡３０３（米）． 在Ｒｔ△ＢＭＥ中，由题意，得∠ＡＢＭ ＝９０°－４５°＝４５°， 所以ＢＭ ＝ ＭＥｓｉｎ４５°＝ 槡３０３ 槡２ ２ ＝ 槡３０６（米）． 答：小区Ｂ与供水站Ｍ的距离为 槡３０６米． ! " # $ % & !"! "#! 图１６ １３．如图１６，过点 Ｂ作 ＢＭ⊥ ＡＦ 于点Ｍ，则四边形ＢＭＦＥ为矩形，所以 ＢＭ ＝ＥＦ， （１）由题意可知，在 Ｒｔ△ＡＢＭ 中，∠Ａ＝３０°，ＡＢ＝６００ｍ， 所以ＢＭ ＝ １２ＡＢ＝３００ｍ＝ＥＦ， 因为ＤＦ＝１２００ｍ， 所以ＤＥ＝ＤＦ－ＥＦ＝１２００－３００＝９００（ｍ）． 答：登山缆车上升的高度ＤＥ为９００ｍ． （２）因为在Ｒｔ△ＢＤＥ中，∠ＤＢＥ＝５３°，ＤＥ＝９００ｍ                                                                      ， —２１— 初中数学·中考（ＹＮ）　第２７～３６期 所以ＢＤ＝ ＤＥｓｉｎ∠ＤＢＥ≈ ９００ ０．８０＝１１２５（ｍ）， 所以需要的时间 ｔ＝ｔ步行 ＋ｔ缆车 ＝ ６００ ３０ ＋ １１２５ ６０ ≈ ３８．８（ｍｉｎ）． 答：从山底Ａ处到达山顶Ｄ处大约需要３８．８ｍｉｎ． 第十五讲　几何图形的变换 知识梳理 平移 形状　大小　平行（或在同一条直线上）　相等　相等 平移方向　平移距离 重合　关于这条直线（成轴）对称　对称轴　对称点　 对称线段 相等　相等　垂直平分 互相重合　轴对称图形　对称轴 旋转　旋转中心 形状　大小　相同的　距离相等　相等　相等 １８０°　重合　对称中心 １８０°　平分 （ｘ，－ｙ）　（－ｘ，ｙ）　（－ｘ，－ｙ） ｘ　ｙ　原　中心 上　下　ｎ　右　左　ｎ 考点演练 １．Ｄ；　２．Ｂ；　３．Ａ；　４．５；　５．Ｂ；　６．Ｂ． ７．（１）如图１７，△Ａ１Ｂ１Ｃ１即为所求． !" !# !$ %& %' ( & $ ) " " ) $ & ( %( %& %$ %) %" ! " # $ % ! ( % ( " ( & 图１７ （２）因为Ａ（－２，１）移动到点Ａ２（１，０）， 所以平移方式为向右平移３个单位长度，向下平移１个单 位长度， 所以Ｂ（－４，１）平移后的点Ｂ２（－１，０）． 故填（－１，０）． （３）如图１８，△ＡＢＣ绕Ａ点逆时针旋转９０°后的△Ａ３Ｂ３Ｃ３ 如下图，则Ｃ３（－５，２）． 故填（－５，２）． !" !# !$ %& %' ( & $ ) " " ) $ & ( %( %& %$ %) %" ! "!" $ " # $ % ! ( % ( " ( ! $ % $ & 图１８ ８．（１）证明：因为∠ＡＣＢ＝９０°， 所以∠ＥＣＤ＝９０°， 所以△ＡＢＣ，△ＤＥＣ是直角三角形． 因为ＡＣ＝ＣＤ，ＡＢ＝ＤＥ， 所以Ｒｔ△ＡＣＢ≌Ｒｔ△ＤＣＥ， 所以ＢＣ＝ＣＥ． （２）因为在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ａ＝３０°，ＡＢ＝４， 所以ＢＣ＝ １２ＡＢ＝２． 由（１）知ＢＣ＝ＣＥ，所以ＣＥ＝２． 由平移知，Ｃ１Ｅ１∥ＡＣ，Ｃ１Ｅ１ ＝ＣＥ＝２， 所以∠ＢＥ１Ｃ１ ＝∠Ａ＝３０°． 因为 ＢＣ１ Ｅ１Ｃ１ ＝ｔａｎ∠ＢＥ１Ｃ１ ＝ｔａｎ３０°＝槡 ３ ３， 所以ＢＣ１ ＝２×槡 ３ ３ ＝ 槡２３ ３， 所以ＣＣ１ ＝ＢＣ－ＢＣ１ ＝２－ 槡 ２３ ３ ＝ ６－ 槡２３ ３ ，即平移距离 为 ６－ 槡２３ ３ ． （３）由旋转的性质得∠ＤＣＤ２ ＝∠ＥＣＥ２， 因为∠ＡＢＣ＝６０°，ＢＣ＝ＣＥ２ ＝２， 所以△Ｅ２ＢＣ是等边三角形， 所以∠ＢＣＥ２ ＝６０°， 所以∠ＤＣＤ２ ＝∠ＥＣＥ２ ＝∠ＡＣＢ－∠ＢＣＥ２ ＝９０°－６０° ＝３０°． 每讲一测 １．Ｃ；　２．Ｄ；　３．Ｂ；　４．Ａ；　５．Ｃ； ６．１０；　７．８；　８．８． ９．（１）如图１９，将点Ａ１，Ｂ１，Ｃ１首尾相连，△Ａ１Ｂ１Ｃ１即为所 求．Ａ１，Ｂ１，Ｃ１三点向右平移３个单位长度，再向下平移３个单 位长度，得到 Ａ（０，１），Ｂ（２，０），Ｃ（４，３），然后将这三点首尾相 连，△ＡＢＣ即为所求                                                                      ． —３１— 初中数学·中考（ＹＮ）　第２７～３６期