第十三讲 投影与视图-【数理报】2025年中考数学高效复习（云南专版）

所以△ＡＢＣ是等腰三角形，所以∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ． 又因为ＣＥ是∠ＡＣＢ的平分线，ＢＦ是∠ＡＢＣ的平分线， 所以∠ＦＢＣ＝ １２∠ＡＢＣ，∠ＥＣＢ＝ １ ２∠ＡＣＢ， 所以∠ＦＢＣ＝∠ＥＣＢ． 又因为ＢＣ＝ＢＣ， 所以△ＢＣＦ≌△ＣＢＥ，所以ＢＦ＝ＣＥ． ３．Ａ． ４．（１）选择①②为题设，③为结论， 命题为：若∠１＝∠２，∠Ｂ＝∠Ｃ，则ＡＢ∥ＣＤ， 该命题是真命题； 选择①③为题设，②为结论， 命题为：若∠１＝∠２，ＡＢ∥ＣＤ，则∠Ｂ＝∠Ｃ， 该命题是真命题； 选择②③为题设，①为结论， 命题为：若∠Ｂ＝∠Ｃ，ＡＢ∥ＣＤ，则∠１＝∠２， 该命题是真命题． （２）证明：选择①②为题设，③为结论， 因为∠１＝∠２，∠１＝∠ＣＧＤ， 所以∠２＝∠ＣＧＤ，所以ＣＥ∥ＢＦ， 所以∠Ｃ＝∠ＢＦＤ． 因为∠Ｂ＝∠Ｃ，所以∠Ｂ＝∠ＢＦＤ， 所以ＡＢ∥ＣＤ； 选择①③为题设，②为结论， 因为∠１＝∠２，∠１＝∠ＣＧＤ， 所以∠２＝∠ＣＧＤ，所以ＣＥ∥ＢＦ， 所以∠Ｃ＝∠ＢＦＤ． 因为ＡＢ∥ＣＤ，所以∠Ｂ＝∠ＢＦＤ， 所以∠Ｂ＝∠Ｃ； 选择②③为题设，①为结论， 因为ＡＢ∥ＣＤ，所以∠Ｂ＝∠ＢＦＤ． 因为∠Ｂ＝∠Ｃ，所以∠Ｃ＝∠ＢＦＤ， 所以ＣＥ∥ＢＦ，所以∠２＝∠ＣＧＤ． 又因为∠１＝∠ＣＧＤ，所以∠１＝∠２． 每讲一测 １．Ｂ；　２．Ｄ；　３．Ｂ；　４．Ｂ； ５．如果∠α与∠β互为补角，那么∠α＋∠β＝１８０°； ! ! " # $ % 图１０ ６．１．５；　７．６０°． ８．（１）如图１０所示，∠ＡＰＤ即为 所求． （２）ＰＤ∥ＡＣ，理由如下： 因为∠ＡＰＤ＝∠ＢＡＣ，所以ＰＤ∥ＡＣ． 第十三讲　投影与视图 知识梳理 平行 比例 中心　投影中心 一条直线上　变化 主　长　高　俯　长　宽　左　宽　高 俯　左　长　高　宽　实　虚 考点演练 １．Ｂ；　２．圆柱． ３．（１）圆锥． ! " # 图１１ （２）如图１１，由三视图可得，母 线长为 （ ６ ２） ２＋４槡 ２ ＝５（ｍｍ）， 由题易得底面圆周长为６πｍｍ， 所以侧面积为 １ ２ ×６π×５＝ １５π（ｍｍ２），底面积为π×（６２） ２ ＝９π（ｍｍ２）， 所以表面积为１５π＋９π＝２４π（ｍｍ２）． 故这个圆锥的表面积为２４πｍｍ２． ４．Ｃ；　５．Ａ． 每讲一测 １．Ｂ；　２．Ｄ；　３．Ｂ； 槡４．３６３；　５．０．３；　６．５． ７．如图１２，三视图即为所作． !"# $%& '"& ! "# $ % & ' ( 图１２ 图１３ ８．（１）点Ｆ的位置如图１３所示． （２）由题意，得ＣＤ∥ＥＦ， 所以∠ＡＣＤ＝∠ＡＥＦ，∠ＡＤＣ＝∠ＡＦＥ， 所以△ＡＣＤ∽△ＡＥＦ， 所以 ＡＣ ＡＥ＝ ＣＤ ＥＦ＝ １．８ ３．２４＝ ５ ９，所以 ＡＥ ＣＥ＝ ９ ４                                                                      ． —１１— 初中数学·中考（ＹＮ）　第２７～３６期 因为∠ＡＢＥ＝∠ＣＭＥ＝９０°，∠ＡＥＢ＝∠ＣＥＭ， 所以△ＡＢＥ∽△ＣＭＥ， 所以 ＡＢ ＣＭ ＝ ＡＥ ＣＥ，即 ＡＢ １．６＝ ９ ４，解得ＡＢ＝３．６米． 故路灯的高度ＡＢ为３．６米． 第十四讲　锐角三角函数 知识梳理 ａ ｃ　 ｂ ｃ　 ａ ｂ １ ２　 槡３ ２　 槡３ ３ 槡２ ２　 槡２ ２　１ 槡３ ２　 １ ２ 槡　 ３ 俯角　仰角 坡度（或坡比）　 ｈｌ　正切值　ｔａｎα　越大 考点演练 １．Ａ． ２．原式 ＝槡３－２×（槡 ２ ２） ２－２×槡３２ ＝槡３－２× １ ２－槡３ ＝槡３－１－槡３ ＝－１． ３．Ｂ；　４．Ｃ． ! " # !"! $ % & #$! ' 图１４ ５．如图１４，过点Ａ作ＡＤ⊥ ＢＣ于点Ｄ，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＡＤ于 点Ｆ，ＥＧ⊥ＢＣ于点Ｇ，则四边形 ＥＧＤＦ为矩形，所以ＥＧ＝ＦＤ． 在Ｒｔ△ＡＥＦ中，因为∠ＡＥＦ ＝４５°，ｓｉｎ∠ＡＥＦ＝ＡＦＡＥ，ＡＥ＝１４８米， 所以 ＡＦ ＝ＡＥ·ｓｉｎ∠ＡＥＦ ＝１４８×槡２２ ＝ 槡７４ ２≈ １０３．６（米）． 在Ｒｔ△ＥＢＧ中，因为∠Ｂ＝３７°，ＢＥ＝３００米，ｓｉｎＢ＝ＥＧＢＥ， 所以ＥＧ＝ＢＥ·ｓｉｎＢ≈３００×０．６＝１８０（米）， 所以ＡＤ＝ＡＦ＋ＥＧ＝１０３．６＋１８０＝２８３．６≈２８４（米）． 答：大蜀山的高度约为２８４米． 每讲一测 １．Ｂ；　２．Ｃ；　３．Ｂ；　４．Ｄ；　５．Ａ；　 ６．３０°；　７．槡２５；　８．７５°；　９．（２＋ 槡２３）． １０．原式＝槡６×槡 ２ ２＋（ １ ２） ２－槡３×槡 ３ ２ ＝槡３＋ １ ４－ ３ ２ ＝槡３－ ５ ４． １１．（１）因为ＢＤ⊥ＡＣ，所以∠ＡＤＢ＝∠ＢＤＣ＝９０°． 在Ｒｔ△ＡＢＤ中，ＡＢ＝６，∠Ａ＝３０°， 所以ＢＤ＝ＡＢ·ｓｉｎＡ＝６×ｓｉｎ３０°＝３，ＡＤ＝ＡＢ·ｃｏｓＡ ＝６×ｃｏｓ３０°＝ 槡３３， 所以ＣＤ＝ＡＣ－ＡＤ＝ 槡５３－ 槡３３＝ 槡２３． 在Ｒｔ△ＣＢＤ中，ＢＤ＝３，ＣＤ＝ 槡２３， 所以由勾股定理，得ＢＣ＝ ３２＋（槡２３）槡 ２ ＝槡２１． 综上所述，ＢＤ的长为３，ＢＣ的长为槡２１． （２）在Ｒｔ△ＣＢＤ中，∠ＢＤＣ＝９０°，ＢＣ＝槡２１，ＢＤ＝３， 所以ｓｉｎＣ＝ＢＤＢＣ＝ ３ 槡２１ ＝槡２１７ ． ! " # $ % 图１５ １２．如图１５，过点Ｍ作ＭＥ⊥ＡＢ于点 Ｅ． 在Ｒｔ△ＡＭＥ中，由题意，得∠ＭＡＢ＝ ９０°－３０°＝６０°，ＡＭ ＝６０米， 所以ＭＥ＝ＡＭ·ｓｉｎ６０°＝６０×槡３２ ＝ 槡３０３（米）． 在Ｒｔ△ＢＭＥ中，由题意，得∠ＡＢＭ ＝９０°－４５°＝４５°， 所以ＢＭ ＝ ＭＥｓｉｎ４５°＝ 槡３０３ 槡２ ２ ＝ 槡３０６（米）． 答：小区Ｂ与供水站Ｍ的距离为 槡３０６米． ! " # $ % & !"! "#! 图１６ １３．如图１６，过点 Ｂ作 ＢＭ⊥ ＡＦ 于点Ｍ，则四边形ＢＭＦＥ为矩形，所以 ＢＭ ＝ＥＦ， （１）由题意可知，在 Ｒｔ△ＡＢＭ 中，∠Ａ＝３０°，ＡＢ＝６００ｍ， 所以ＢＭ ＝ １２ＡＢ＝３００ｍ＝ＥＦ， 因为ＤＦ＝１２００ｍ， 所以ＤＥ＝ＤＦ－ＥＦ＝１２００－３００＝９００（ｍ）． 答：登山缆车上升的高度ＤＥ为９００ｍ． （２）因为在Ｒｔ△ＢＤＥ中，∠ＤＢＥ＝５３°，ＤＥ＝９００ｍ                                                                      ， —２１— 初中数学·中考（ＹＮ）　第２７～３６期 书 考点演练 考点１：由几何体确定视图 例１　 紫砂壶，被誉为 中国非物质文化遗产的瑰 宝，以其独特的成型工艺和 多样的造型式样著称，陶器 所散发的古朴典雅之色更是引人入胜．如图１所 展示的是一把精湛工艺紫砂壶“景舟石瓢”，下 面四幅图是此紫砂壶的俯视图的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　 解：根据俯视图的定义，选项 Ｄ中的图形符 合题意． 故选Ｄ． 跟踪训练１：榫卯是我国古代建筑、家具的 一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相 结合来将不同构件组合在一起，如图２是其中一 种榫，其主视图是 （　　） 考点２：由视图确定几何体 例２　观察如图３所示的某 物体的三视图，请判断该物体为 （　　） Ａ．三棱锥 Ｂ．长方体 Ｃ．三棱柱 Ｄ．不能确定 解：根据三视图可知，该物体为三棱柱                             ． !" #$%&'()*+,-./0*+12345678"9:;128+,!"4<=>? 78!":; !!! !"4@AB8 !!! C !!!D<E>?78!":; !!! !"4@A12 8 !!!C !!!F<GH?78!":; !!!!"4@A128 !!!C !!!" IJK+LM4NOP#Q!"8RSTIUQ!"4VWXQ!"8Y>IU !!! !"4X Q!"8ZHIU !!! !""XI[!"34Q\]!"^ !!! _=4Q\G!"^ !!! ` a4]\G!"^ !!! bc"de6?fgh8ijklmIn !!! kT6ofgh8ij klmIn !!!k" p q r ! " pq `spq etpq #$Kuvwkx6yz`s8T{|}8wk~712ET59n8pq€  !!!!pq" ‚ƒ„…#†XuvwYTo‡3ˆT‡+128q‰Š3‹8ŒŽŒF …$†XuvwY4‡+3ˆ4‡+M4‘M>128q’rd1“n !!!!% #$%+”wkz<+•U84{|}8wk~X12E59n8pq€  !!!!pq4|,–—˜z !!!!" ‚ƒ„…&†w™\12Hš8›œBXq‰E8_X !!!!ž …$†X‡+ŸwYT‡+128q’ŠRS8ŒŽ !!!!% ! & ' ( ) * "#! $#! %#! ! + ' ( ) * ! $ !" 书 故选Ｃ． 跟踪训练２：如图４是一个简单几何体的三 视图，则这个几何体是 ． 考点３：有关三视图的计算 例３　如图５是一个几何体的三视图，根据 图中所标数据，该几何体的体积为 ． 解：由三视图可知这个立体图形为半个圆 柱， 所以该几何体的体积Ｖ＝１２×π×１ ２×２＝ π． 故填π． 跟踪训练３：根据图６所示的立体图形的三 视图，回答下列问题： （１）写出这个立体图形的名称： ； （２）求出这个立体图形的表面积． 例４　 一个几何体由 大小相同的立方块搭成，该 几何体的三种视图如图 ７ 所示，则搭成该几何体的立 方块有 个． 解：由俯视图可知，该 几何体的下层有 ４个小立方块；结合主视图可 知，该几何体的左边两列都有两层，右边一列只 有一层，前后两排各有一个，再结合用左视图验 证，可得搭成该几何体用了６个立方块． 故填６． 跟踪训练４：小江同学发现一个用 大小相同的小立方块搭成的几何体，无 论从正面、左面还是上面看到的这个几 何体的形状均如图８所示，则搭成该几何体的小 立方块有 （　　） Ａ．６个 Ｂ．５个 Ｃ．４个 Ｄ．７个 考点４：投影 例５　下列各图中，在地面上形成的投影与 其它三项不同的是 （　　） 解：根据平行投影与中心投影的定义，可判断 选项Ａ，Ｂ，Ｄ是中心投影，选项Ｃ是平行投影， 所以在地面上形成的投影与其它三项不同的 是Ｃ． 故选Ｃ． 跟踪训练 ５：如图 ９，晚上小亮在路灯下 散步，他从 Ａ处向着路 灯灯柱的方向径直走 到Ｂ处，这一过程中他 在该路灯灯光下的影 子 （　　） Ａ．逐渐变短 Ｂ．逐渐变长 Ｃ．先变短后变长 Ｄ．                                                               先变长后变短 ! " ! ! !"# $%& " '"& & # !"& $"& '"& & $ & % & ' ( ) & * & + ! " , -- * -- '"& !"& $"& & , ( !" 书 １．下列各种现象中，属于平行投影的是 （　　） Ａ．皮影戏中的影子 Ｂ．阳光下旗杆的影子 Ｃ．台灯下笔筒的影子 Ｄ．汽车灯光照射下行人的影子 ２．下列几何体中，主视图、左视图和俯视图 都相同的是 （　　） ３．如图１所示的是由一些相同的小正方体 构成的几何体的三视图，则这个几何体中小正 方体的个数为 （　　） Ａ．４个 Ｂ．５个 Ｃ．６个 Ｄ．７个 ４．如图２是一个正三棱柱的三视图，则这个 棱柱的体积是 ． ５．在操场上高 １５ｍ的旗杆，其影长为 ２．５ｍ，那么同一时刻，身高１．８ｍ的小强的影长 应为 ｍ． ６．由１０个完全相同的 小正方体搭成的几何体，它 的主视图和左视图如图３所 示，要使它的主视图与左视 图不变，则最多需要拿走的小正方体的个数为 个． ７．画出如图４所示几何体的三视图． ８．学习了投影和相似的相关知识后，瑶瑶想 测量操场边路灯的高度ＡＢ．如图５，灯泡 Ａ处的 灯光照在水平放置的单杠ＣＤ上，在地面上留下 影子ＥＦ，经测量得知，单杠ＣＤ长为１．８米，影子 ＥＦ长为３．２４米，单杠高１６米（即ＣＭ＝ＤＮ＝ １．６米）．已知ＡＢ⊥ＢＦ，ＣＭ⊥ＢＦ，ＤＮ⊥ＢＦ，点 Ｂ，Ｍ，Ｅ，Ｎ，Ｆ在同一水平直线上． （１）请你在图中画出点Ｆ的位置（保留画图 痕迹）； （２）请你求出路灯的高度                                                              ＡＢ． !"# $"% &'% % ! % " # $ $ ! !"% &"% $"% !"% &"% % $ () % # ! "# $ % & ' % % & ' ( ) !!