第十六讲 圆-【数理报】2025年中考数学高效复习（云南专版）

书 考点演练 考点１：圆的基本认识 例１　以下命题正确的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．任何一条直径都是圆的对称轴 Ｂ．周长相等的圆是等圆 Ｃ．平分弦的直径垂直于弦 Ｄ．直径是圆上任意两点所连的线段 解：Ａ．圆的直径是一条线段，而圆的对称轴 是一条直线，故此选项说法错误，不符合题意； Ｂ．周长相等的圆的半径也相等，故是等圆， 故此选项说法正确，符合题意； Ｃ．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧，故此选项说法错误，不符 合题意； Ｄ．通过圆心并且两端都在圆周上的线段叫 做圆的直径，故此选项说法错误，不符合题意． 故选Ｂ． 跟踪训练１：下列说法中错误的是 （　　） Ａ．圆有无数条对称轴 Ｂ．过圆心的弦是直径 Ｃ．平分弧的直径垂直于弧所对的弦 Ｄ．相等的圆心角所对的弧相等 例２　如图１，在⊙Ｏ中， 直径ＡＢ＝８，弦 ＣＤ⊥ ＡＢ，交 ＡＢ于点Ｅ，若ＡＥ＝１，则弦ＣＤ 的长为 ． 解：连接 ＯＣ，因为 ＡＢ＝ ８，所以ＯＡ＝ＯＣ＝４． 因为ＡＥ＝１，所以ＯＥ＝ＯＡ－ＡＥ＝４－１＝３． 因为 ＣＤ ⊥ ＡＢ， 所 以 ＣＥ ＝ ＥＤ ＝ ＯＣ２－ＯＥ槡 ２ ＝槡７，所以ＣＤ＝２ＣＥ＝ 槡２７． 故填 槡２７． 跟踪训练２：往一个圆柱形管道内注入一些 水以后，发现其横截面如图２所示，若水面宽ＡＢ 为２４ｃｍ，水的最大深度ＣＤ为８ｃｍ，求圆柱形管 道横截面的直径                               ． ! ! ! " # $ % & !"# $%& '() ! %&*!+,!+-!+.+/+!01+!21! !3 """"4567893 """"6!:789; """"<6!=3 """" 45678>23 """"! ?@AB*?CD/:C@ """"E</FGHIJ/K7: """"! LM*IJ/NO3C@P:C@ """"/FGHIQ/KR: """"! !01AB*S,!T-!>F,/T-.K7:!01 """"F,. T-.K7:!01:UV3WK7!21UV: """"! !21X/+.YZ:$[*S,!T-!>F\]^_!21X^<.X^< />;`abc-FdefgK7h:WijaklJm """"! no!: pq$[ r!":s@t 'Fn (u!2:vwt )Fx;*!n (S!y"***z "n (S!{"****z#n (S!|"****+ C}o!: pq$[ r!":s@t 'F!2uC} ,:vwt )Fx;*!C} ,o!"c ~"****z"C} ,o!"c"****z#C} ,o!"cw"****+ } €A*""""""""""""""""""""""! ()*""""""""""""""""""""""! o!; $:p q$[ !:; $‚ ƒ„:‚…†*""""""""""""""""""""""z ‡5ˆ‰:‚Š†*""""""""""""""""""! !! 书 考点２：圆周角定理 例３　 如图 ３，在圆内 接四边形 ＡＢＣＤ中，∠ＢＣＤ ＝１０５°，连接 ＯＢ，ＯＣ，ＯＤ， ＢＤ，∠ＢＯＣ＝２∠ＣＯＤ，则 ∠ＣＢＤ的度数是 （　　） Ａ．２５° 　　Ｂ．３０° Ｃ．４０° 　　Ｄ．５０° 解：在圆内接四边形 ＡＢＣＤ中，因为 ∠ＢＣＤ ＝１０５°，所以∠Ａ＝７５°，所以∠ＢＯＤ＝２∠Ａ＝ １５０°．因为 ∠ＢＯＣ＝２∠ＣＯＤ，所以 ∠ＣＯＤ ＝ １ ３∠ＢＯＤ＝５０°．因为 ) ) ＣＤ＝ＣＤ，所以∠ＣＢＤ＝ １ ２∠ＣＯＤ＝２５°． 故选Ａ． 跟踪训练３：（１）如图４，△ＡＢＣ内接于⊙Ｏ， ＣＤ是 ⊙Ｏ的直径，连接 ＢＤ，∠ＤＣＡ＝３９°，则 ∠ＡＢＣ的度数是 ． （２）如图５，四边形ＡＢＣＤ是⊙Ｏ的内接四 边形，∠ＡＯＣ＝１４２°，则∠ＡＢＣ的度数是 （　　） Ａ．１９° Ｂ．１４２° Ｃ．４５° Ｄ．１０９° 考点３：与圆有关的位置关系 例４　平面内有两点Ｐ，Ｏ，⊙Ｏ的半径为１，若 ＰＯ＝槡２，则点Ｐ与⊙Ｏ的位置关系是 （　　） Ａ．点Ｐ在⊙Ｏ外 Ｂ．点Ｐ在⊙Ｏ上 Ｃ．点Ｐ在⊙Ｏ内 Ｄ．无法判断 解：因为⊙Ｏ的半径为１，ＰＯ＝槡２， 又因为１＜槡２，所以点Ｐ与⊙Ｏ的位置关系 是点Ｐ在⊙Ｏ外． 故选Ａ． 跟踪训练４：已知点Ｐ在⊙Ｏ外，⊙Ｏ的直径 是 １０，则点 Ｏ到点 Ｐ的距离 ｄ的范围是 ． 例５　已知⊙Ｏ的直径为１２ｃｍ，圆心Ｏ到 直线ｌ的距离为５ｃｍ，则直线ｌ与⊙Ｏ的位置关 系为 （　　） Ａ．相交 Ｂ．相切 Ｃ．相离 Ｄ．无法确定 解：因为 ⊙Ｏ的直径等于１２ｃｍ，所以该圆 的半径ｒ＝６ｃｍ，因为圆心Ｏ到直线ｌ的距离ｄ ＝５ｃｍ，所以ｄ＜ｒ，所以直线和圆相交． 故选Ａ． 跟踪训练５：（１）已知直线ｌ与⊙Ｏ相离，圆 心Ｏ到直线ｌ的距离为５ｃｍ，则⊙Ｏ的半径可能 为 （　　） Ａ．４ｃｍ Ｂ．５ｃｍ Ｃ．６ｃｍ Ｄ．７ｃｍ （２）如图６，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°， ∠ＢＡＣ的平分线交 ＢＣ于点 Ｄ，以点 Ｄ为圆心， ＤＢ长为半径作⊙Ｄ．求证：ＡＣ与⊙Ｄ相切                                                               ． ! " # $ % ! ! ! & % $ # ! " ! # & % $ ! # # & % $ ! $ % ! # $ & ! % !" 书 考点４：切线长定理 例６　如图７，ＰＡ，ＰＢ 与⊙Ｏ分别相切于点 Ａ， Ｂ，ＰＡ＝３，∠Ｐ＝６０°，则 ＡＢ的长为 （　　） Ａ．２ Ｂ．３ 槡 槡Ｃ．２３ Ｄ．３３ 解：因为ＰＡ，ＰＢ是⊙Ｏ的切线，ＰＡ＝３，所 以ＰＡ＝ＰＢ＝３． 因为 ∠Ｐ＝６０°，所以 △ＡＢＣ为等边三角 形，所以ＡＢ＝ＰＡ＝３． 故选Ｂ． 跟踪训练 ６：如图 ８， ＡＢ，ＡＣ，ＢＤ是 ⊙Ｏ的切线， 切点分别是 Ｐ，Ｃ，Ｄ．若 ＡＢ ＝５，ＡＣ＝３，则ＢＤ的长是 （　　） Ａ．４ 　　Ｂ．３ Ｃ．２ 　　Ｄ．１ 考点５：三角形的外接圆与内切圆 例７　如图９，在平面 直角坐标系 ｘＯｙ中，点 Ａ（０，３），点 Ｂ（２，１），点 Ｃ（２，－３），则经画图操作 可知 △ＡＢＣ的外接圆的 圆心坐标是 （　　） Ａ．（－２，－１） Ｂ．（－１，０） Ｃ．（－１，－１） Ｄ．（０，－１） 解：因为△ＡＢＣ的外心是三角形三边垂直 平分线的交点， 如图９所示，ＥＦ与ＭＮ的交点Ｏ′即为所求 的△ＡＢＣ的外心，所以 △ＡＢＣ的外心坐标是 （－２，－１）． 故选Ａ． 跟踪训练７：如图１０，将△ＡＢＣ放在每个小 正方形的边长为１的网格中，点Ａ，Ｂ，Ｃ均落在格 点上，用一个圆面去覆盖 △ＡＢＣ，能够完全覆盖 这个三角形的最小圆面的半径是 （　　） 槡Ａ．４ Ｂ． １０ 槡 槡Ｃ．５ Ｄ．２４ 例８　如图１１，△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝ ６，ＢＣ＝８，则△ＡＢＣ的内切圆半径ｒ为 （　　） Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．１．５ Ｄ．２．５ 解：如图１１，设⊙Ｏ与ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ分别相切 于点 Ｅ，Ｄ，Ｆ，连接 ＯＥ，ＯＡ，ＯＢ，ＯＤ，ＯＣ，ＯＦ，则 ＯＥ＝ＯＤ＝ＯＦ＝ｒ． 因为∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝６，ＢＣ＝８，所以ＡＢ ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ ＝１０． 因为ＡＢ⊥ ＯＥ，ＢＣ⊥ ＯＤ，ＡＣ⊥ ＯＦ，所以 Ｓ△ＡＯＢ＋Ｓ△ＢＯＣ＋Ｓ△ＡＯＣ ＝Ｓ△ＡＢＣ，所以 １ ２×１０ｒ＋ １ ２ ×８ｒ＋１２×６ｒ＝ １ ２×６×８，解得ｒ＝２． 故选Ａ． 跟踪训练８：如图１２，点Ｉ是△ＡＢＣ的内心． 若∠ＩＡＢ＝３４°，∠ＩＢＣ＝３６°，则∠ＩＣＡ的度数是 °． 考点６：正多边形与圆 例９　如图１３，正六边形 ＡＢＣＤＥＦ内接于 ⊙Ｏ，⊙Ｏ的半径为６，则这个正六边形的边心距 ＯＭ的长为 （　　） Ａ．３ Ｂ．槡３３２ 槡 槡                                                               Ｃ．２３ Ｄ．３３ ! " # $ % & ! ! # % & ! "# ! %'& ( ) " # ! "" & # * % ! "$ ! $ # % ! % ! "& & " ) ' % # ! + , & # % - ! ! ' + ' ) !! . !" 书 解：连接 ＯＢ，ＯＣ，由题意可知 ＯＢ＝ＯＣ＝ ６，因为多边形 ＡＢＣＤＥＦ是正六边形，所以 ∠ＢＯＣ＝３６０°６ ＝６０°． 因为ＯＭ⊥ ＢＣ，所以 ∠ＢＯＭ ＝∠ＣＯＭ ＝ １ ２∠ＢＯＣ＝３０°，∠ＯＭＢ＝∠ＯＭＣ＝９０°，所以 ＢＭ ＝１２ＯＢ＝３，所以 ＯＭ ＝ ＯＢ ２－ＢＭ槡 ２ ＝ 槡３３． 故选Ｄ． 跟踪训练９：如图１４，ＡＢ是⊙Ｏ的内接正ｎ 边形的一边，点Ｃ在⊙Ｏ上，若∠ＡＣＢ＝１８°，则 ｎ＝ ． 考点７：弧长与扇形面积的计算 例１０　如图１５，在４×４的正方形网格中， 若将△ＡＢＣ绕着点Ａ逆时针旋转得到△ＡＢ′Ｃ′， 则 ) ＢＢ′的长为 （　　） Ａ．π Ｂ．π２ Ｃ． ３π ２ Ｄ．２π 解：由旋转的性质，得∠ＢＡＢ′＝∠Ｃ′ＡＢ′＝ １ ２∠ＢＡＣ′＝４５°，所以 ) ＢＢ′的长 ＝４５π×４１８０ ＝π． 故选Ａ． 跟踪训练１０：Ａ，Ｂ是⊙Ｏ上的两点，ＯＡ＝１， 劣弧 ) ＡＢ的长是１３π，则∠ＡＯＢ＝ ． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１１ 如图 １６，△ＡＢＣ 内接于 ⊙Ｏ，若 ∠Ａ＝４５°， ⊙Ｏ的半径为４，则阴影部分 的面积为 （　　） Ａ．４ 　　Ｂ．２ Ｃ．４π－８ 　　Ｄ．４π－１６ 解：因为∠Ａ＝４５°，所以∠ＢＯＣ＝２∠Ａ＝ ９０°，所以Ｓ阴影部分 ＝Ｓ扇形ＢＯＣ－Ｓ△ＢＯＣ ＝ ９０π×４２ ３６０ － １ ２ＯＢ×ＯＣ＝４π－８． 故选Ｃ． 跟踪训练１１：（１）如图１７，圆锥体的高ｈ＝ 槡２２ｃｍ，底面圆半径ｒ＝１ｃｍ，则该圆锥体的侧 面积是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．６πｃｍ２ Ｂ．３２πｃｍ ２ Ｃ．３πｃｍ２ Ｄ．２πｃｍ２ （２）如图１８，边长为１的正六边形ＡＢＣＤＥＦ 内接于⊙Ｏ，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）． 考点８：圆中的综合题 例１２　如图１９，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，以 ＡＢ为直径作⊙Ｏ，⊙Ｏ交ＢＣ于点Ｄ． （１）ＢＤ与ＣＤ的大小关系如何？为什么？ （２）过点Ｄ作ＤＥ⊥ＡＣ于点Ｅ，求证：ＤＥ是 ⊙Ｏ的切线． 解：（１）ＢＤ＝ＣＤ，理由 如下： 如图１９，连接 ＡＤ，因为 ＡＢ为 ⊙Ｏ的直径，所以 ∠ＡＤＢ＝９０°，即ＡＤ⊥ＢＣ． 在Ｒｔ△ＡＢＤ和Ｒｔ△ＡＣＤ中， ＡＢ＝ＡＣ， ＡＤ＝ＡＤ{ ， 所以Ｒｔ△ＡＢＤ≌Ｒｔ△ＡＣＤ，所以ＢＤ＝ＣＤ． （２）证明：如图１９，连接ＯＤ，因为ＤＥ⊥ＡＣ， 所以∠ＤＡＥ＋∠ＡＤＥ＝９０°， 由（１）可知，∠ＤＡＥ＝∠ＤＡＢ， 因为ＯＡ＝ＯＤ，所以∠ＯＡＤ＝∠ＯＤＡ，所以 ∠ＯＤＡ＝∠ＤＡＥ                                                               ， ! " # $ ! !" " % & ! $ # ! !# ! # " $ ! !$ # $ " "! #! ! %& ! %' " & % ' $ # ( ) ! %( " ! !" 书 所以∠ＯＤＡ＋∠ＡＤＥ＝∠ＯＤＥ＝９０°， 所以ＯＤ⊥ＤＥ． 因为ＯＤ为⊙Ｏ的半径，所以ＤＥ是⊙Ｏ的 切线． 跟踪训练１２：如图２０，⊙Ｏ是△ＡＢＣ的外接 圆，直径ＡＤ＝４，ＡＤ⊥ＢＣ于点Ｅ． （１）求证：∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ； （２）连接ＢＯ并延长，交 ＡＣ于点 Ｆ，交 ⊙Ｏ 于点Ｇ，连接ＧＣ，ＯＥ＝１，若点Ｆ恰为ＡＣ中点， 补全图形并求ＧＣ的长． 每讲一测 １．已知ＡＢ是半径为５的圆上的一条弦，那 么ＡＢ的长不可能是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１ Ｂ．５ Ｃ．３ Ｄ．１１ ２．如图１，在 ⊙Ｏ中， ) ) ＡＢ＝ＣＤ，若 ∠１＝ ４５°，则∠２的度数为 （　　） Ａ．６０° Ｂ．３０° Ｃ．４５° Ｄ．４０° ３．如图２，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，∠ＡＢＣ＝３０°， 则∠ＢＡＣ等于 （　　） Ａ．９０° Ｂ．６０° Ｃ．４５° Ｄ．３０° ４．设⊙Ｏ的半径为ｒ，圆心Ｏ到直线ｌ的距离 为ｄ，若直线ｌ与⊙Ｏ有交点，则ｄ与ｒ的关系为 （　　） Ａ．ｄ＝ｒ Ｂ．ｄ＜ｒ Ｃ．ｄ＞ｒ Ｄ．ｄ≤ｒ ５．如图３，正五边形 ＡＢＣＤＥ内接于 ⊙Ｏ，则 ∠ＣＢＤ的度数是 （　　） Ａ．３０° Ｂ．３６° Ｃ．６０° Ｄ．７２° ６．如图４，分别以正三角形的３个顶点为圆 心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱 洛三角形．若 △ＡＢＣ的边长为１０ｃｍ，则该莱洛 三角形的周长为 ｃｍ（结果保留π）． ７．如图５，ＰＡ，ＰＢ是 ⊙Ｏ的两条切线，切点 分别是Ａ，Ｂ，ＰＡ＝１０，ＣＤ是⊙Ｏ的切线，交 ＰＡ 于点 Ｃ，交 ＰＢ于点 Ｄ，则 △ＰＣＤ的周长是 ． ８．如图６，四边形ＡＢＣＤ是⊙Ｏ的内接四边 形，∠Ｄ＝９０°，若ＡＤ＝ＣＤ＝ 槡２２，ＡＢ＝２，则弦 ＢＣ的长为 ． ９．如图７，点Ｏ是△ＡＢＣ外接圆的圆心，点Ｉ 是△ＡＢＣ的内心，连接ＯＢ，ＩＡ．若∠ＣＡＩ＝３７°， 则∠ＯＢＣ的度数为                                                               ． ! " # ! " $ % ! " ! $ # % ! ! $ % # ! " & ! # # $ % ! $ ! % # $ " ! % ! ' " $ # % ! & ! # " & $ % ! !' !" 书 １０．如图８，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，以 点Ａ为圆心，ＡＣ的长为半径画弧，交ＡＢ于点Ｄ， 以点Ｂ为圆心，ＡＣ的长为半径画弧，交 ＡＢ于点 Ｅ，交ＢＣ于点Ｆ．通过测量知道ＡＣ＝２，ＢＣ＝４， 则阴影部分的面积为 ． １１．张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原 貌（如图９），他在该轮片上画了三个点 Ａ，Ｂ，Ｃ． 请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心Ｏ（尺规 作图，不写作法，保留作图痕迹）． １２．如图１０，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°， ∠ＡＣＤ＝∠ＡＣＢ，过点Ａ作ＡＤ⊥ＣＤ于点Ｄ，ＡＤ 的反向延长线交 ＣＢ的延长线于点 Ｅ，⊙Ｏ为 △ＡＢＣ的外接圆（以ＢＣ为直径）． （１）求证：ＤＥ是⊙Ｏ的切线； （２）若ＣＤ＝９，ＤＥ＝１２，求ＯＣ的长． １３．已知⊙Ｏ的半径为１３ｃｍ，弦ＡＢ∥ＣＤ， ＡＢ＝２４ｃｍ，ＣＤ＝１０ｃｍ，求 ＡＢ，ＣＤ之间的距 离． １４．如图１１，点Ｐ为⊙Ｏ外一点，直线ＰＡ交 ⊙Ｏ于Ａ，Ｂ两点，ＰＣ切⊙Ｏ于点Ｃ，ＯＤ⊥ＡＢ于 点Ｈ，交⊙Ｏ于点Ｄ，连接ＣＤ交ＰＢ于点Ｅ． （１）求证：ＰＣ＝ＰＥ； （２）连接ＢＣ，ＢＤ，点Ｆ为ＣＤ上一点，且ＤＦ ＝ＢＤ．求证：ＢＦ平分∠                                                              ＣＢＰ． ! " # $ % & ! !" ! " ' $ % & ( ) * ! !! + % $ ! # + $ ) ' & % ! $ ! + , $ % ! % !" !" !# !$ %& %' ( & $ ) " " ) $ & ( %( %& %$ %) %" ! " # $ % & * & ' ! ' " ' 图１９ （２）如图２０，Ａ，Ｂ，Ｃ关于原点的对称点分别为Ａ２（０，－１）， Ｂ２（－２，０），Ｃ２（－４，－３），然后将这三点首尾相连，△Ａ２Ｂ２Ｃ２ 即为所求． !" !# !$ %& %' ( & $ ) " " ) $ & ( %( %& %$ %) %" ! " # $ % * " & % & ! & & 图２０ （３）Ｓ△ＡＢＣ ＝３×４－ １ ２×２×４－ １ ２×１×２－ １ ２×２×３ ＝４． １０．（１）成立．证明如下： 将Ｒｔ△ＡＢＥ绕点Ｂ顺时针旋转１２０°，如图２１， 因为ＡＢ＝ＢＣ，∠ＡＢＣ＝１２０°， 所以点Ａ与点Ｃ重合， 所以ＢＧ＝ＢＥ，ＦＧ＝ＣＧ＋ＣＦ＝ＡＥ＋ＣＦ． 因为∠ＡＢＣ＝１２０°，∠ＭＢＮ＝６０°， 所以∠ＧＢＦ＝６０°． 因为ＢＦ＝ＢＦ，所以△ＧＢＦ≌△ＥＢＦ， 所以ＦＧ＝ＥＦ，所以ＥＦ＝ＡＥ＋ＣＦ． ! " # $ % & ' ( ) ! " * $ % & ' ( ) 图２１ 图２２ （２）不成立，新结论为ＥＦ＝ＡＥ－ＣＦ．证明如下： 将Ｒｔ△ＡＢＥ绕点Ｂ顺时针旋转１２０°，如图２２， 因为ＡＢ＝ＢＣ，∠ＡＢＣ＝１２０°， 所以点Ａ与点Ｃ重合，∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＧ， 所以ＢＧ＝ＢＥ，ＦＧ＝ＣＧ－ＣＦ＝ＡＥ－ＣＦ． 因为∠ＡＢＣ＝∠ＡＢＥ＋∠ＣＢＥ＝１２０°， 所以∠ＣＢＧ＋∠ＣＢＥ＝∠ＧＢＥ＝１２０°． 因为∠ＭＢＮ＝６０°，所以∠ＧＢＦ＝６０°． 因为ＢＦ＝ＢＦ，所以△ＧＢＦ≌△ＥＢＦ， 所以ＦＧ＝ＥＦ，所以ＥＦ＝ＡＥ－ＣＦ． 第十六讲　圆 知识梳理 轴对称　任何一条直径所在的直线　无数　中心对称 　圆心 平分　两条弧　垂直于　两条弧 相等　一半 相等 ｄ＞ｒ　ｄ＝ｒ　ｄ＜ｒ ｄ＜ｒ　ｄ＝ｒ　ｄ＞ｒ 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 圆的切线垂直于过切点的半径 ｌ＝ｎπＲ１８０ Ｓ扇形 ＝ ｎπＲ２ ３６０ ＝ １ ２ｌＲ 考点演练 １．Ｄ． ２．由题意可得ＣＤ＝８ｃｍ，ＡＢ⊥ＯＣ，ＡＢ＝２４ｃｍ， 所以ＡＤ＝ＢＤ＝ １２ＡＢ＝１２ｃｍ． 设圆的半径为ｘｃｍ，则ＯＤ＝（ｘ－８）ｃｍ，ＡＯ＝ｘｃｍ， 在Ｒｔ△ＡＤＯ中，由勾股定理，得ＡＯ２ ＝ＡＤ２＋ＯＤ２， 所以ｘ２ ＝（ｘ－８）２＋１２２， 解得ｘ＝１３， 所以圆柱形管道横截面的直径为１３×２＝２６（ｃｍ）． ３．（１）５１°，　（２）Ｄ； ４．ｄ＞５； ５．（１）Ａ． （２）证明：过点Ｄ作ＤＦ⊥ＡＣ于点Ｆ， 因为在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，所以ＡＢ⊥ＢＣ． 因为ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＤＦ⊥ＡＣ， 所以                                                                      ＢＤ＝ＤＦ． —４１— 初中数学·中考（ＹＮ）　第２７～３６期 因为ＤＢ为⊙Ｏ的半径， 所以ＤＦ也为⊙Ｏ的半径， 所以ＡＣ与⊙Ｄ相切． ６．Ｃ；　７．Ｃ；　８．２０；　９．１０；　１０．６０°； １１．（１）Ｃ，　（２）π６． １２．（１）证明：因为在⊙Ｏ中，ＡＤ是直径，ＡＤ⊥ＢＣ， 所以ＢＥ＝ＣＥ， ) ) ＢＤ＝ＣＤ， 所以∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ． ! " # $ % & ' ( 图２３ （２）根据题意作图如图２３， 因为⊙Ｏ是△ＡＢＣ的外接圆，直径 ＡＤ＝４，ＯＥ＝１， 所以ＯＡ＝ＯＢ＝ １２ＡＤ＝２． 在Ｒｔ△ＢＯＥ中，因为ＯＢ＝２ＯＥ， 所以∠ＯＢＥ＝３０°． 由作图知，ＢＧ是⊙Ｏ的直径，所以ＢＧ＝ＡＤ＝４， 所以∠ＢＣＧ＝９０°，且∠ＯＢＥ＝３０°， 所以ＣＧ＝ １２ＧＢ＝２， 故ＣＧ的长为２． 每讲一测 １．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ｂ；　４．Ｄ；　５．Ｂ； ６．１０π；　７．２０；　８．槡２３；　９．１６°；　１０．４－π． ! " # $ % & ' ( 图２４ １１．如图２４所示，分别以点 Ａ，Ｂ为圆 心，以大于 １ ２ＡＢ长为半径画弧交于点 Ｍ， Ｎ，连接ＭＮ； 再分别以点 Ｂ，Ｃ为圆心，以大于 １ ２ＢＣ长为半径画弧交于点 Ｐ，Ｑ，连接 ＰＱ， 则线段ＭＮ，ＰＱ交于点Ｏ，点Ｏ即为所求圆心． １２．（１）证明：连接ＯＡ， 因为ＯＡ＝ＯＣ，所以∠ＯＡＣ＝∠ＡＣＢ． 因为∠ＡＣＤ＝∠ＡＣＢ， 所以∠ＯＡＣ＝∠ＡＣＤ，所以ＯＡ∥ＣＤ． 因为ＣＤ⊥ＤＥ，所以ＯＡ⊥ＤＥ． 因为ＯＡ是⊙Ｏ的半径， 所以ＤＥ是⊙Ｏ的切线． （２）因为ＣＤ＝９，ＤＥ＝１２，ＡＤ⊥ＣＤ， 所以ＣＥ＝ ＣＤ２＋ＤＥ槡 ２ ＝１５． 因为ＯＡ∥ＣＤ，所以△ＡＥＯ∽△ＤＥＣ， 所以 ＥＯ ＥＣ＝ ＯＡ ＣＤ，所以 １５－ＯＣ １５ ＝ ＯＣ ９， 所以ＯＣ＝４５８． １３．如图２５，当弦ＡＢ和ＣＤ在圆心同侧时，作ＯＦ⊥ＣＤ于 点Ｆ，交ＡＢ于点Ｅ，连接ＯＡ，ＯＣ， 因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＯＥ⊥ＡＢ． 因为ＡＢ＝２４ｃｍ，ＣＤ＝１０ｃｍ， 所以ＡＥ＝ １２ＡＢ＝１２ｃｍ，ＣＦ＝ １ ２ＣＤ＝５ｃｍ． 因为⊙Ｏ的半径为１３ｃｍ， 所以ＯＡ＝ＯＣ＝１３ｃｍ， 所以ＥＯ＝ ＡＯ２－ＡＥ槡 ２ ＝５ｃｍ，ＦＯ＝ ＣＯ２－ＣＦ槡 ２ ＝ １２ｃｍ， 所以ＥＦ＝ＯＦ－ＯＥ＝７ｃｍ； ! " # $ % & ' ! $ " % ( & ' 图２５ 图２６ 如图２６，当弦ＡＢ和ＣＤ在圆心异侧时，作ＯＦ⊥ＣＤ于点Ｆ， 延长ＦＤ交ＡＢ于点Ｅ，连接ＯＡ，ＯＣ， 因为ＣＤ∥ＡＢ，所以ＯＥ⊥ＡＢ． 因为ＡＢ＝２４ｃｍ，ＣＤ＝１０ｃｍ， 所以ＡＥ＝ １２ＡＢ＝１２ｃｍ，ＣＦ＝ １ ２ＣＤ＝５ｃｍ． 因为⊙Ｏ的半径为１３ｃｍ，所以ＯＡ＝ＯＣ＝１３ｃｍ， 所以ＥＯ＝ ＡＯ２－ＡＥ槡 ２ ＝５ｃｍ，ＦＯ＝ ＣＯ２－ＣＦ槡 ２ ＝ １２ｃｍ， 所以ＥＦ＝ＯＦ＋ＯＥ＝１７ｃｍ． 综上所述，ＡＢ，ＣＤ之间的距离为７ｃｍ或１７ｃｍ． １４．证明：（１）连接ＯＣ， 因为ＰＣ切⊙Ｏ于点Ｃ， 所以∠ＰＣＤ＋∠ＯＣＤ＝９０°． 因为ＯＤ⊥ＡＢ， 所以∠ＯＤＥ＋∠ＨＥＤ＝∠ＯＤＥ＋∠ＣＥＰ＝９０°． 因为ＯＣ＝ＯＤ，所以∠ＯＣＤ＝∠ＯＤＥ， 所以∠ＰＣＤ＝∠ＣＥＰ，所以ＰＣ＝ＰＥ． （２）因为ＯＤ⊥ＡＢ， 所以 ) ) ＡＤ＝ＢＤ，所以∠ＢＣＤ＝∠                                                                      ＡＢＤ． —５１— 初中数学·中考（ＹＮ）　第２７～３６期 因为ＤＦ＝ＢＤ，所以∠ＤＦＢ＝∠ＤＢＦ， 所以∠ＤＣＢ＋∠ＣＢＦ＝∠ＦＢＰ＋∠ＡＢＤ， 所以∠ＣＢＦ＝∠ＰＢＦ，所以ＢＦ平分∠ＣＢＰ． 第十七讲　统计 知识梳理 百分比　百分比　圆心角　圆心角　百分比 具体数目 变化情况 要调查的全部对象　组成总体的每一个对象　被抽取调 查的部分对象　一个样本中包含的个体的数目 全面调查 全部考察对象　部分对象 次数 总次数　 次数 总次数 ｘ１＋ｘ２＋… ＋ｘｎ ｎ ｘ１ｋ１＋ｘ２ｋ２＋… ＋ｘｎｋｎ ｎ 最多 中间位置　中间两个数据 最大值　最小值 平方　 １ｎ［（ｘ１－ｘ） ２＋（ｘ２－ｘ） ２＋… ＋（ｘｎ－ｘ） ２］ 最大值　最小值　组距　组数　频数分布　频数分布 直方图 考点演练 １．（１）Ｂ，　（２）Ｄ； ２．（１）甲，　（２）Ａ． ３．（１）调查的总人数为８÷４０％ ＝２０（人），２０－２－６－８ ＝４（人），６÷２０×３６０°＝１０８°． 故填４，１０８． （２） 由 统 计 图 可 得 平 均 数 为 ７×２＋８×６＋９×８＋１０×４ ２０ ＝８．７（本）， 所以被调查同学阅读量的平均数为８．７本， 该部分学生阅读量从小到大排序后第１０个和第１１个均为 ９本， 所以阅读量的中位数为 ９＋９ ２ ＝９（本）． （３）因为原来阅读量的众数为９本， 所以ｍ＋４＜８，解得ｍ＜４， 因为ｍ为正整数，所以ｍ的最大值为３． 每讲一测 １．Ｂ；　２．Ｄ；　３．Ｄ；　４．Ａ；　５．乙；　６．１４０；　７．６．８． ８．（１）调查的总人数为８÷１０％ ＝８０（人）． 故填８０． !" #$ "% &' (% )* +, (- ./ !" !" ! # $ # 01 %" %" ! 图２７ （２）由扇形统计图可 知，骑自行车的人数为８０× （１－２５％ －１０％ －４５％） ＝１６（人）， 补全条形统计图如图 ２７所示． （３）原骑自行车的人数所占百分比为（１－２５％ －１０％ － ４５％）＝２０％， 调查后开私家车的人上下班全部改为骑自行车， 则现在骑自行车的人数约为１０００×（２５％ ＋２０％）＝ ４５０（人）． 故填４５０． ９．（１）由表格数据，得ａ＝３０－２－６－７－３＝１２， 因为一共有３０人，所以成绩的中位数是第１５，１６个数的平 均数， 因为Ａ，Ｂ组一共有２＋６＝８（人），Ａ，Ｂ，Ｃ组一共有２＋６ ＋１２＝２０（人）， 所以第１５，１６个数在Ｃ组，即中位数落在Ｃ组． 故填１２，Ｃ（或８≤ｘ＜９）． （２）平均成绩为 １３０×（２×６．６＋６×７．５＋１２×８．２＋７× ９３＋３×１０．１）＝８４（米）． 答：所抽取的这３０名男生投掷铅球的平均成绩是８．４米． （３）６００×７＋３３０ ＝２００（人）． 答：估计该校男生投掷铅球成绩不小于 ９米的学生有 ２００人． 第十八讲　概率 知识梳理 必然事件　１ 不可能事件　０                                                                      随机事件 —６１— 初中数学·中考（ＹＮ）　第２７～３６期