第十讲 三角形-【数理报】2025年中考数学高效复习（云南专版）

书 三 角 形 　　 基本 概念、 性质 　　 由 的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 三角形三边关系定理：三角形任意两边之和 第三边，任意两边之差 第 三边． 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 ． 推论１：三角形的一个外角等于 ； 推论２：三角形的一个外角大于 ． 三角形的特性：三角形具有 性． 三角 形的 重要 线段 　　 三角形的中线、角平分线、高． 三角形的中位线定理： ． 　　　 　　 　 　　　 等腰 三角 形 　　　 性质：１．等腰三角形的 相等，简称 ． ２．等腰三角形顶角的 、 、 互相重合．（简称 “三线合一”） ３．等腰三角形是 图形． 判定：１． 的三角形是等腰三角形．（定义） ２． 的三角形是等腰三角形．（等角对等边） 等边 三角 形 　　　 性质：１．等边三角形的 相等， 相等． ２．等边三角形的每个内角都等于 度． ３．等边三角形是 图形． 判定：１． 的三角形是等边三角形．（定义） ２．有一个角是 的等腰三角形是等边三角形． ３． 的三角形是等边三角形． 直角 三角 形 　　　 １．直角三角形的两锐角 ． ２．勾股定理： ；勾股定理的逆定理： ． ３．在直角三角形中，３０°角所对的直角边等于斜边的 ． ４．直角三角形斜边上的中线等于斜边的 ． 全等 三角 形 　　　 性质：全等三角形的 相等， 相等． 判定：１． ．２． ． ３． ．４． ． !" #$ % &'()!*+,-#$%./0123456/7849:2;!<=!!!!!!!!!! >?#$%!"" +,2@2ABCD'E(!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" 7";6F#$%!"0&''EG(!#HIJ/ !!!!06F#$%!"K"6I IJ$ !!!!06F#$%!"K#6HIJ/ !!!!L !!!!06F#$%!"! MN()!;!"#$%O:0CP- !!!!=!"Q/%O:0CP- !!!!K )";!"#$%RS0CP- !!!!=!"Q/%RS0CP- !!!!K )#;!"#$%IJT0CUIJV20CUIJ$+@20CWP- !!!!" XY #$ % !" 书 考点演练 考点１：三角形的基本性质 例１　 已知一个三角形的两边长分别是 ８ｃｍ和５ｃｍ，则其第三边的长可以是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１ｃｍ Ｂ．２ｃｍ Ｃ．３ｃｍ Ｄ．４ｃｍ 解：根据三角形的三边关系可得，第三边的 长度需要满足大于８－５＝３（ｃｍ），小于８＋５＝ １３（ｃｍ），观察选项，只有Ｄ选项符合题意． 故选Ｄ． 跟踪训练１：（１）下列各组数分别表示３条 线段的长，其中能组成一个三角形的是 （　　） Ａ．１ｃｍ，２ｃｍ，３ｃｍ Ｂ．２ｃｍ，２ｃｍ，５ｃｍ Ｃ．３ｃｍ，５ｃｍ，９ｃｍ Ｄ．４ｃｍ，５ｃｍ，２ｃｍ （２）若等腰三角形的两边长分别是４和９， 则它的周长为 （　　） Ａ．１７ Ｂ．２２ Ｃ．１７或２２ Ｄ．１３ （３）如图１所示，工 人师傅通常用木条 ＢＤ 固定长方形门框 ＡＢＣＤ 使其不变形，这样做的 数学依据是 （　　） Ａ．两点之间，线段最短 Ｂ．垂线段最短 Ｃ．对顶角相等 Ｄ．三角形具有稳定性 例２　 在 △ＡＢＣ中，若 ∠Ａ＝８０°，∠Ｃ＝ ５０°，则∠Ｂ的度数为 ． 解：根据三角形的内角和为１８０°，得 ∠Ｂ＝ １８０°－∠Ａ－∠Ｃ＝５０°． 故填５０°． 跟踪训练 ２：如图 ２，∠Ａ＝４３°，∠ＢＣＤ是 △ＡＢＣ的外角，若∠Ｂ＝５７°，则∠ＢＣＤ的大小 是 （　　） Ａ．１２０° Ｂ．１００° Ｃ．９０° Ｄ．１１４° 考点２：三角形中的线段 例３　如图３，ＣＤ，ＣＥ，ＣＦ分别是△ＡＢＣ的高、 角平分线、中线，则下列结论错误的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　Ａ．Ｓ△ＡＣＦ ＝Ｓ△ＢＣＦ Ｂ．∠ＡＣＥ＝１２∠ＡＣＢ Ｃ．ＡＢ＝２ＢＥ Ｄ．ＣＤ⊥ＢＥ 解：因为 ＣＦ是 △ＡＢＣ的中线，所以 ＡＦ＝ ＢＦ，所以 Ｓ△ＡＦＣ ＝ １ ２ＡＦ·ＣＤ＝ １ ２ＢＦ·ＣＤ＝ Ｓ△ＢＦＣ，故Ａ选项正确，不符合题意； 因为ＣＥ是△ＡＢＣ的角平分线，所以∠ＡＣＥ ＝１２∠ＡＣＢ，故Ｂ选项正确，不符合题意； 因为 ＣＦ是 △ＡＢＣ的中线，ＡＢ＝２ＢＦ≠ ２ＢＥ，故Ｃ选项错误，符合题意； 因为ＣＤ是△ＡＢＣ的高，所以ＣＤ⊥ＢＥ，故Ｄ 选项正确，不符合题意． 故选Ｃ． 跟踪训练３：如图４，ＡＤ是 △ＡＢＣ的中线， ＤＥ是△ＡＢＤ的中线．若Ｓ△ＤＥＢ ＝３，则Ｓ△ＡＢＣ的值 为 　　　　　　　　　　　　　　　 例４　如图５，△ＡＢＣ中，点Ｄ，Ｅ分别是ＡＢ， ＢＣ的中点，若△ＢＤＥ的周长是４，则△ＡＢＣ的周 长为                                                               ． !" # $ ! ! # ! " $ ! " ! # % $ " ! # ! $ # % & " ! $ ! % " # $ ! % !" 书 解：因为点Ｄ，Ｅ分别是ＡＢ，ＢＣ的中点，所以 ＤＥ是△ＡＢＣ的中位线，ＡＢ＝２ＢＤ，ＢＣ＝２ＢＥ， 所以ＡＣ＝２ＤＥ． 又因为ＢＤ＋ＢＥ＋ＤＥ＝４，所以△ＡＢＣ的周 长 ＝ＡＢ＋ＢＣ＋ＡＣ＝２（ＢＤ＋ＢＥ＋ＤＥ）＝８． 故填８． 跟踪训练４：某次研学过程中，老师让同学 们利用所学知识测量被池塘隔开的 Ａ，Ｂ两点之 间的距离．如图６所示，小明同学想到可以在不 远处选择Ｃ点，测量ＡＣ，ＢＣ的中点Ｍ，Ｎ的距离． 若测得ＭＮ＝３米，则ＡＢ的距离为 米． 考点３：等腰（边）三角形 例５　如图７，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ为 ∠ＢＡＣ的平分线，若 ＢＣ ＝８，则 ＣＤ的长为 ． 解：因为在 △ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ ＡＣ，ＡＤ为 ∠ＢＡＣ的平分线，所以ＡＤ也是△ＡＢＣ的中线． 因为ＢＣ＝８，所以ＢＤ＝ＤＣ＝１２ＢＣ＝４． 故填４． 跟踪训练 ５：如 图８是一个跷跷板的 示意图，立柱ＯＣ与地 面垂直（ＯＣ⊥ ＡＣ于 点Ｃ），跷跷板的一头Ａ着地时∠ＯＡＣ＝２７°，点 Ａ，Ｃ，Ｂ′在同一水平线上，∠ＯＢ′Ｃ＝∠ＯＡＣ，若 ＯＡ＝１ｍ，则ＡＢ的长度为 （　　） Ａ．１．５ｍ Ｂ．２ｍ Ｃ．２．５ｍ Ｄ．３ｍ 例６　在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝∠Ｂ＝６０°，ＡＢ＝ ３，则ＢＣ等于 ． 解：因为△ＡＢＣ中，∠Ａ＝∠Ｂ＝６０°，所以 ∠Ｃ＝６０°，所以△ＡＢＣ是等边三角形． 又因为ＡＢ＝３，所以ＢＣ＝３． 故填３． 跟踪训练６：如图９，在矩形ＡＢＣＤ中，点Ｅ在 ＡＤ上，当 △ＥＢＣ是等边三角形时，∠ＡＥＢ的度 数为 （　　） Ａ．３０° Ｂ．４５° Ｃ．６０° Ｄ．１２０° 考点４：直角三角形的性质 例７　如图１０，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°， 点Ｄ是斜边ＡＢ的中点，若ＡＢ＝１０，则ＣＤ的长 为 （　　） Ａ．８ Ｂ．７ Ｃ．６ Ｄ．５ 解：因为∠ＡＣＢ＝９０°，点Ｄ是斜边ＡＢ的中 点，ＡＢ＝１０，所以ＣＤ＝１２ＡＢ＝５． 故选Ｄ． 跟踪训练７：如图１１， 公路ＡＣ，ＢＣ互相垂直，公 路ＡＢ的中点Ｍ与点 Ｃ被 湖隔开．若测得ＡＢ的长为 １．５ｋｍ，则 Ｍ，Ｃ两点间的 距离为 ｋｍ． 例８　在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝３０°，斜边 ＡＣ 的长为１０ｃｍ，则ＡＢ的长为 （　　） Ａ．２ｃｍ Ｂ．５ｃｍ Ｃ．７ｃｍ Ｄ．１０ｃｍ 解：因为在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝３０°，斜边ＡＣ 的长为１０ｃｍ，所以ＡＢ＝１２ＡＣ＝５ｃｍ． 故选Ｂ． 跟踪训练８：如图１２，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝ ９０°，∠Ｃ＝３０°，ＡＤ是高，ＢＤ＝１，则ＣＤ                                                              的长度 !! ! " # $! $ ! ! " % & $ ! ! " ! % " $ ! #$ ! ' $ " ! ## ! $ ( ' " ! % " % $ ! ! & !" 书 为 （　　） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ 考点５：勾股定理 例９　如图１３，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°， 分别以边ＡＢ，ＡＣ，ＢＣ向外作正方形，图中数字或 字母表示该正方形的面积，则字母Ｓ所代表的正 方形的面积是 （　　） Ａ．１８ Ｂ．３９ Ｃ．１９４ Ｄ．１４４ 解：因为∠ＢＡＣ＝９０°，所以ＡＢ２ ＝２５，ＢＣ２ ＝１６９，所以Ｓ＝ＡＣ２ ＝ＢＣ２－ＡＢ２ ＝１４４． 故选Ｄ． 跟踪训练９：如图１４，为 修建铁路凿通隧道 ＡＣ，量得 ∠Ａ＝５３°，∠Ｂ＝３７°，ＡＢ＝ ５ｋｍ，ＢＣ＝４ｋｍ，则隧道 ＡＣ 的长度为多少？ 考点６：全等三角形的判定与性质 例１０　如图１５， 在 △ＡＢＣ和 △ＤＥＦ 中，点Ｂ，Ｆ，Ｃ，Ｅ在同 一 直 线 上，∠Ａ ＝ ∠Ｄ，ＡＢ＝ＤＥ，只添加一个条件，不能判定 △ＡＢＣ≌△ＤＥＦ的是 （　　） Ａ．ＢＦ＝ＥＣ Ｂ．ＡＣ＝ＤＦ Ｃ．∠ＡＣＢ＝∠ＤＦＥ Ｄ．∠Ｂ＝∠Ｅ 解：Ａ．当 ＢＦ＝ＥＣ时，不能证明 △ＡＢＣ≌ △ＤＥＦ，故该选项符合题意； Ｂ．当 ＡＣ ＝ＤＦ时，可利用“ＳＡＳ”证明 △ＡＢＣ≌△ＤＥＦ，故该选项不符合题意； Ｃ．当∠ＡＣＢ＝∠ＤＦＥ时，可利用“ＡＡＳ”证 明△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ，故该选项不符合题意； Ｄ．当 ∠Ｂ＝∠Ｅ时，可利用“ＡＳＡ”证明 △ＡＢＣ≌△ＤＥＦ，故该选项不符合题意． 故选Ａ． 跟踪训练１０：如图１６，点Ｅ，Ｆ在ＢＣ上，ＢＥ ＝ＣＦ，ＡＢ＝ＤＣ，∠Ｂ＝∠Ｃ．求证：∠ＤＥＣ＝ ∠ＡＦＢ． 考点７：相似三角形的判定与性质 例１１　如图１７，下 列条 件 中 不 能 判 定 △ＡＣＤ∽△ＡＢＣ的是 （　　） Ａ．∠ＡＤＣ＝∠ＡＣＢ Ｂ．ＡＢＢＣ＝ ＡＣ ＣＤ Ｃ．∠ＡＣＤ＝∠                                                               Ｂ !" # $ ! !" ! % $ # !#$ "% ! !& # ! $ ! !' & " !' $ # ! !% ! ' & # " $ ! !# ! $ " # ! !( !" 书 Ｄ．ＡＣ２ ＝ＡＤ·ＡＢ 解：由图可知 ∠Ａ＝∠Ａ，若 ∠ＡＤＣ ＝ ∠ＡＣＢ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，则根据“如果两个三角 形的两对对应角分别相等，则这两个三角形相 似”可判定△ＡＣＤ∽△ＡＢＣ，故Ａ，Ｃ正确，不符 合题意； 若ＡＣ２＝ＡＤ·ＡＢ，即ＡＣ∶ＡＢ＝ＡＤ∶ＡＣ，则 根据“如果两个三角形的两边对应成比例，并且 这两边的夹角相等，则这两个三角形相似”可判 定△ＡＣＤ∽△ＡＢＣ，故Ｄ正确，不符合题意； 若 ＡＢ ＢＣ＝ ＡＣ ＣＤ，不可判定△ＡＣＤ∽△ＡＢＣ，故 Ｂ错误，符合题意． 故选Ｂ． 跟踪训练１１：如图１８，Ｄ，Ｅ分别是△ＡＢＣ的 边ＡＢ，ＡＣ上的点，若∠ＡＥＤ＝∠Ｂ，ＡＤ＝３，ＡＢ ＝８，ＡＥ＝４，求ＡＣ的长度． 例１２　如图１９，已知 △ＡＢＣ∽△ＤＢＥ，ＡＢ＝２， ＤＢ ＝ ３， 则 Ｓ△ＡＢＣ Ｓ△ＤＢＥ ＝ ． 解：因为ＡＢ＝２，ＤＢ＝３，△ＡＢＣ∽△ＤＢＥ， 所以△ＡＢＣ与△ＤＢＥ的相似比为２∶３， 所以 Ｓ△ＡＢＣ Ｓ△ＤＢＥ ＝２ ２ ３２ ＝４９． 故填 ４ ９． 跟踪训练１２：若两个相似三角形的面积之 比为４∶９，则它们的对应中线之比为 ． 考点８：位似 例１３　 如图 ２０， △ＡＯＢ和△ＣＯＤ是以 点 Ｏ为位似中心的位 似图形，若点Ａ的坐标 为（１，２），点 Ｂ的坐标 为（３，０），相似比为１∶２，则点Ｃ的坐标为 （　　） Ａ．（２，３） Ｂ．（２，４） Ｃ．（３，３） Ｄ．（３，４） 分析：本题考查的是位似变换的性质，根据 若△ＡＢＣ和△Ａ′Ｂ′Ｃ′是以原点为位似中心的位 似图形，相似比是ｋ，△ＡＢＣ上一点的坐标是（ｘ， ｙ），则在△Ａ′Ｂ′Ｃ′中，它的对应点的坐标是（ｋｘ， ｋｙ）或（－ｋｘ，－ｋｙ）求解即可． 解：因为△ＡＯＢ和△ＣＯＤ是以点Ｏ为位似 中心的位似图形，相似比为１∶２，点Ａ的坐标为 （１，２），点Ａ与点Ｃ是对应点， 所以点Ｃ的坐标为（１×２，２×２），即（２，４）． 故选Ｂ． 跟踪训练 １３： 如图 ２１，在平面直 角坐标系中，每个小 方格的边长均为１， △ＡＯＢ与 △Ａ′ＯＢ′ 是以原点 Ｏ为位似 中心的位似图形，且 相似比为２∶１，点Ａ，Ｂ都在格点上，则点Ｂ′的坐 标是                                                               ． ! " # $ % & ' ! !" % ( $ " # ! #$ " ( $ # % ! #% &'&(&)&!&# # ! ) ( ' ' ( ) ! # &# &! &) &( &' # $ ' ! !# ! & !" 书 １．已知△ＡＢＣ∽△Ａ１Ｂ１Ｃ１，相似比是２∶１， 则边ＢＣ的高与边Ｂ１Ｃ１的高的比值是 （　　） Ａ．１∶２ Ｂ．４∶１ Ｃ．２∶１ Ｄ．２∶４ ２．已知三角形两边长分别为４和９，第三边 长为奇数，则该三角形第三边的长可能是 （　　） Ａ．５ Ｂ．１０ Ｃ．１１ Ｄ．１２ ３．如图１，小明把一块三角形的玻璃打碎成 了四块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的 玻璃，那么最省事的办法是 （　　） Ａ．选①去 Ｂ．选②去 Ｃ．选③去 Ｄ．选④去 ４．如图２，在△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ边的中点，Ｅ 在ＡＣ边上，且ＢＥ⊥ＡＣ．若ＤＥ＝５，则ＡＢ的长 度是 （　　） Ａ．７．５ Ｂ．８ Ｃ．１０ Ｄ．１２ ５．在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝１６，ＢＣ＝８，ＡＣ＝１０， 若点 Ｄ，Ｅ，Ｆ分别为边 ＡＢ，ＡＣ，ＢＣ的中点，则 △ＤＥＦ的周长为 （　　） Ａ．２０ Ｂ．１８ Ｃ．１７ Ｄ．１５ ６．如图３，在△ＡＢＣ中，ＤＥ∥ＣＢ，ＤＥ分别与 ＡＣ，ＡＢ相交于点 Ｄ，Ｅ，若 ＡＤ＝４，ＤＣ＝８，则 ＡＥ∶ＥＢ的值为 ． ７．在 △ＡＢＣ中，∠Ａ ＝７０°，∠Ｂ ＝６０°， ∠ＡＣＤ是△ＡＢＣ的一个外角，则 ∠ＡＣＤ的度数 为 ． ８．如图４是某商场一部手扶电梯的示意图， 若∠ＡＢＣ＝１５０°，ＢＣ长为８米，则乘电梯从点Ｂ 到点Ｃ上升的高度ｈ为 米． ９．若等腰三角形的一个内角为３６°，则它的 顶角的度数为 ． １０．如图５，一个圆柱的底面 周长为１６ｃｍ，高为６ｃｍ，则蚂蚁 从Ａ点爬到 Ｂ点的最短路程为 ｃｍ． １１．如图６，△ＡＢＣ的高 ＡＤ， ＣＥ相交于点Ｏ，ＡＤ＝ＣＥ，∠ＡＣＤ ＝６５°，求∠ＥＡＣ的度数． １２．如图７，在平面直角坐标系中，△ＡＢＣ是 格点三角形（顶点均在格点上），且三个顶点的 坐标分别为Ａ（－２，１），Ｂ（－３，－２），Ｃ（１，－２）， 请根据条件解决下列问题： （１）以点Ｂ为位似中心，请在网格图中画出 △ＡＢＣ的位似图形 △Ａ１ＢＣ１，使 △Ａ１ＢＣ１ 与 △ＡＢＣ的相似比为２∶１，并写出点Ａ１和点Ｃ１的 坐标                                                              ； ! ! ! " " ! " # $ ! % & " " " # ! " # $ & # " % ! " $ ! # & % " " % ' % & ! " &!'! " ( !" 书 （２）在ｙ轴上找一点Ｐ，使△ＡＡ１Ｐ是以ＡＡ１ 为底边的等腰三角形，则 Ｐ点的坐标为 ； （３）请仅用无刻度的直尺作出 △ＡＢＣ中与 ＢＣ边平行的中位线ＤＥ（不写作法，保留作图痕 迹）． １３．如图８，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝ １２０°，ＡＤ是ＢＣ边上的中线，且ＢＤ＝ＢＥ，ＣＤ的 垂直平分线ＭＦ交ＡＣ于点Ｆ，交ＢＣ于点Ｍ． （１）求∠ＢＤＥ的度数； （２）求证：△ＡＤＦ是等边三角形． １４．如图９，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，点 Ｄ在ＢＣ上，连接ＡＤ，作ＢＦ⊥ＡＤ分别交ＡＤ于点 Ｅ，交ＡＣ于点Ｆ． （１）如图９－①，若ＢＤ＝ＢＡ，求证：△ＡＢＥ ≌△ＤＢＥ； （２）如图９－②，若ＢＤ＝４ＤＣ，取ＡＢ的中点 Ｇ，连接ＣＧ交ＡＤ于点Ｍ，求证：ＧＭ ＝２                                                              ＭＣ． ! " # $ % & ! ! ! ' ( $ ) * " ! " ! ) ( $ " ! ) ' * ( $ + " ! " ! # * !" ＝－３０ｘ２＋７８０ｘ－３６００， 所以销售利润与销售单价之间的函数关系式为 ｗ＝ －３０ｘ２＋７８０ｘ－３６００． （２）由题意，得（－３０ｘ＋６００）×６≤１０８０，解得ｘ≥１４， 因为ｗ＝－３０ｘ２＋７８０ｘ－３６００＝－３０（ｘ－１３）２＋１４７０， －３０＜０， 所以当ｘ＞１３时，ｗ随着ｘ的增大而减小， 所以当ｘ＝１４时，ｗ取得最大值，最大值为 －３０（１４－１３）２ ＋１４７０＝１４４０（元）． 故当销售单价为１４元，能获得最大利润，最大利润为１４４０元． １３．（１）将 Ａ（４，０），Ｂ（０，８）代入 ｙ＝－ｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ，得 －１６＋４ｂ＋ｃ＝０， ｃ＝８{ ， 　解得 ｂ＝２， ｃ＝８{ ， 则抛物线的解析式为ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋８＝－（ｘ－１）２＋９； 其对称轴为直线ｘ＝１． （２）①由函数图象知，当ｘ＝１时，ｙ有最大值，ｙ最大 ＝９； 又因为 －２离对称轴直线ｘ＝１最远， 所以当ｘ＝－２时，ｙ有最小值，ｙ最小 ＝０， 所以当 －２＜ｍ＜３时，点Ｐ的纵坐标ｙ的取值范围为０＜ ｙ≤９． 故填０＜ｙ≤９． ②设直线ＡＢ的解析式为ｙ＝ａｘ＋ｋ， 把Ａ（４，０），Ｂ（０，８）代入，得 ４ａ＋ｋ＝０， ｋ＝８{ ， 解得 ａ＝－２， ｋ＝８{ ， 所以直线ＡＢ的解析式为ｙ＝－２ｘ＋８． 设点Ｐ的坐标为（ｍ，－ｍ２＋２ｍ＋８）， 所以点Ｑ的坐标为（ｍ，－２ｍ＋８）， 所以ＰＱ＝｜－ｍ２＋２ｍ＋８－（－２ｍ＋８）｜＝｜－ｍ２＋４ｍ｜ ＝５， 当 －ｍ２＋４ｍ＝５时，方程无解； 当 －ｍ２＋４ｍ＝－５时， 解得ｍ１ ＝－１，ｍ２ ＝５． 综上所述，ｍ的值为 －１或５． 第九讲　图形的初步认识 知识梳理 棱柱　圆柱　棱锥　圆锥 ２ｎ　３ｎ　（ｎ＋２） １１　 一　一　一 线段　线段 这条线段两个端点　线段两个端点 角平分线 相等　角平分线上 余角　补角 一 垂线段　垂线段　 一　互相平行 同位角相等　内错角相等　同旁内角互补　　 同位角相等　内错角相等　同旁内角互补 考点演练 １．Ｂ；　２．科；　３．８０°；　４．１２×１０７；　５．７；　６．３０°； ７．４０°． 每讲一测 １．Ｄ；　２．Ｂ；　３．Ｂ；　４．Ｃ； ５．１４５°；　６．５；　７．１００°． ８．（１）如图４，延长ＢＰ交ＣＤ于点Ｅ， 因为ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｂ＝５５°， 所以∠Ｂ＝∠ＢＥＤ＝５５°． 因为∠Ｄ＝４０°， 所以∠ＢＰＤ＝∠Ｄ＋∠ＢＥＤ＝９５°． ! " # $ % & ! # " ' % $ & 图４ 图５ （２）∠ＢＰＤ＝∠Ｂ＋∠Ｄ＋∠ＢＱＤ． 证明：如图５，连接ＱＰ并延长至点Ｅ， 因为∠ＢＰＥ＝∠Ｂ＋∠ＢＱＥ，∠ＤＰＥ＝∠Ｄ＋∠ＤＱＥ， 所以∠ＢＰＥ＋∠ＤＰＥ＝∠Ｂ＋∠ＢＱＥ＋∠Ｄ＋∠ＤＱＥ， 所以∠ＢＰＤ＝∠Ｂ＋∠Ｄ＋∠ＢＱＤ． 第十讲　三角形 知识梳理 不在同一条直线上 大于　小于 １８０° 与它不相邻的两个内角的和　任何一个与它不相邻的内 角 稳定 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 两个底角　等边对等角 角平分线　底边上的中线　底边上的高 轴对称                                                                      有两条边相等 —７— 初中数学·中考（ＹＮ）　第２７～３６期 有两个角相等 三条边　三个内角 ６０ 轴对称 三条边都相等 ６０° 三个内角都相等 互余 如果直角三角形的两条直角边长分别为ａ，ｂ，斜边长为ｃ， 那么ａ２＋ｂ２＝ｃ２　如果三角形的三边长ａ，ｂ，ｃ满足ａ２＋ｂ２＝ ｃ２，那么这个三角形是直角三角形 一半 一半 对应边　对应角 三边分别相等的两个三角形全等（ＳＳＳ） 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（ＳＡＳ） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（ＡＳＡ） 两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等 （ＡＡＳ） 所构成的三角形 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 成比例　相等　成比例　夹角相等 相似比　相似比 相似比的平方　相似比的平方 相似比 考点演练 １．（１）Ｄ，　（２）Ｂ，　（３）Ｄ； ２．Ｂ；　３．１２；　４．６；　５．Ｂ；　６．Ｃ；　７．０７５；　８．Ｂ． ９．因为∠Ａ＝５３°，∠Ｂ＝３７°， 所以∠Ｃ＝１８０°－∠Ａ－∠Ｂ＝９０°． 又因为ＡＢ＝５ｋｍ，ＢＣ＝４ｋｍ， 所以ＡＣ＝ ＡＢ２－ＢＣ槡 ２ ＝３ｋｍ． 答：隧道ＡＣ的长度为３ｋｍ． １０．证明：因为ＢＥ＝ＣＦ， 所以ＢＥ＋ＥＦ＝ＣＦ＋ＥＦ，即ＢＦ＝ＣＥ． 在△ＡＢＦ和△ＤＣＥ中， ＡＢ＝ＤＣ， ∠Ｂ＝∠Ｃ， ＢＦ＝ＣＥ { ， 所以△ＡＢＦ≌△ＤＣＥ（ＳＡＳ）， 所以∠ＤＥＣ＝∠ＡＦＢ． １１．因为∠ＡＥＤ＝∠Ｂ，∠ＥＡＤ＝∠ＢＡＣ， 所以△ＡＢＣ∽△ＡＥＤ，所以ＡＤＡＣ＝ ＡＥ ＡＢ． 因为ＡＤ＝３，ＡＢ＝８，ＡＥ＝４， 所以 ３ ＡＣ＝ ４ ８，解得ＡＣ＝６． 故ＡＣ的长度为６． １２．２∶３；　１３．（２，－２）或（－２，２）． 每讲一测 １．Ｃ；　２．Ｃ；　３．Ｄ；　４．Ｃ；　５．Ｃ； ６．１∶２；　７．１３０°；　８．４；　９．３６°或１０８°；　１０．１０． １１．因为ＡＤ，ＣＥ为△ＡＢＣ的两条高， 所以ＡＤ⊥ＢＣ，ＣＥ⊥ＡＢ， 所以∠ＡＤＣ＝９０°，∠ＡＥＣ＝９０°． 在Ｒｔ△ＣＤＡ和Ｒｔ△ＡＥＣ中， 因为ＡＣ＝ＣＡ，ＡＤ＝ＣＥ， 所以Ｒｔ△ＣＤＡ≌Ｒｔ△ＡＥＣ， 所以∠ＡＣＤ＝∠ＥＡＣ． 因为∠ＡＣＤ＝６５°， 所以∠ＥＡＣ＝６５°． ! ! ! " # $ % & & ! ' ( 图６ １２．（１）如图 ６，△Ａ１ＢＣ１即为所 求．Ａ１（－１，４），Ｃ１（５，－２）． （２）（０，２）． （３）如图６，ＤＥ即为所求． １３．（１）因为在 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ ＡＣ，∠ＢＡＣ＝１２０°， 所以∠Ｂ＝∠Ｃ＝１２×（１８０°－∠ＢＡＣ）＝ １ ２×（１８０°－ １２０°）＝３０°． 因为在△ＢＤＥ中，ＢＤ＝ＢＥ，所以∠ＢＤＥ＝∠ＢＥＤ＝ １２ ×（１８０°－∠Ｂ）＝ １２×（１８０°－３０°）＝７５°． （２）证明：因为ＣＤ的垂直平分线ＭＦ交ＡＣ于点Ｆ，交ＢＣ 于点Ｍ， 所以ＤＦ＝ＣＦ，∠ＦＭＣ＝９０°， 所以∠ＦＤＣ＝∠Ｃ＝３０°， 所以∠ＡＦＤ＝∠ＦＤＣ＋∠Ｃ＝６０°． 因为在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝１２０°，ＡＤ是ＢＣ边上 的中线， 所以∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ＝ １２∠ＢＡＣ＝ １ ２×１２０°＝６０°， 所以∠ＣＡＤ＝∠ＡＦＤ＝６０°， 所以△ＡＤＦ是等边三角形                                                                      ． —８— 初中数学·中考（ＹＮ）　第２７～３６期 １４．证明：（１）因为ＢＦ⊥ＡＤ， 所以∠ＢＥＡ＝∠ＢＥＤ＝９０°． 在Ｒｔ△ＡＢＥ和Ｒｔ△ＤＢＥ中， ＢＡ＝ＢＤ， ＢＥ＝ＢＥ{ ， 所以Ｒｔ△ＡＢＥ≌Ｒｔ△ＤＢＥ，即△ＡＢＥ≌△ＤＢＥ． ! " # $ % & ' ( ) 图７ （２）如图７，过点Ｇ作ＧＨ∥ ＡＤ交ＢＣ于点Ｈ， 因为ＧＨ∥ ＡＤ，所以 △ＢＧＨ ∽△ＢＡＤ， 所以 ＢＧ ＢＡ＝ ＢＨ ＢＤ，所以 ＢＧ ＡＧ ＝ ＢＨ ＤＨ． 因为ＡＧ＝ＢＧ，所以ＢＨ＝ＤＨ． 因为ＢＤ＝４ＤＣ，所以ＢＨ＝ＤＨ＝２ＤＣ． 因为ＧＨ∥ＡＤ，所以△ＣＭＤ∽△ＣＧＨ， 所以 ＣＭ ＣＧ＝ ＣＤ ＣＨ， 所以 ＧＭ ＭＣ＝ ＨＤ ＤＣ＝ ２ １，所以ＧＭ ＝２ＭＣ． 第十一讲　四边形与多边形 知识梳理 ３６０° 平行且相等　相等　互补　互相平分　中心对称 分别平行　分别相等　平行且相等　分别相等　互相 平分 直角　相等 直角　直角　相等 相等　垂直　平分 相等　垂直　相等 相等　直角　矩形　菱形　垂直且相等 相等　相等 ｎ（ｎ－３） ２ （ｎ－２）×１８０°　３６０° 考点演练 １．（１）２１５°，　（２）５４；　２．Ｂ． ３．证明：因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， 所以∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ，ＡＤ∥ＢＣ． 因为ＡＥ，ＣＦ分别是∠ＢＡＤ，∠ＢＣＤ的平分线， 所以 ∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＥ＝ １２∠ＢＡＤ，∠ＢＣＦ＝∠ＤＣＦ＝ １ ２∠ＢＣＤ， 所以∠ＤＡＥ＝∠ＢＣＦ． 因为ＡＤ∥ＢＣ，所以∠ＤＦＣ＝∠ＢＣＦ， 所以∠ＤＡＥ＝∠ＤＦＣ，所以ＡＥ∥ＦＣ， 所以四边形ＡＥＣＦ是平行四边形． ４．Ｃ；　５．Ａ． ６．证明：因为四边形ＡＢＣＤ是菱形， 所以ＡＤ＝ＣＤ，∠Ａ＝∠Ｃ． 因为ＤＥ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＢＣ， 所以∠ＡＥＤ＝∠ＣＦＤ＝９０°． 在△ＡＥＤ和△ＣＦＤ中， ∠ＡＥＤ＝∠ＣＦＤ， ∠Ａ＝∠Ｃ， ＡＤ＝ＣＤ { ， 所以△ＡＥＤ≌△ＣＦＤ，所以ＤＥ＝ＤＦ． ７．证明：由折叠的性质，得ＤＦ＝ＥＦ，∠ＤＦＡ＝∠ＥＦＡ， 因为ＥＧ∥ＣＤ，所以∠ＥＧＦ＝∠ＤＦＡ，ＥＧ∥ＤＦ， 所以∠ＥＧＦ＝∠ＥＦＡ，所以ＥＧ＝ＥＦ＝ＤＦ， 所以四边形ＥＦＤＧ是平行四边形， 所以平行四边形ＥＦＤＧ是菱形． ８．证明：因为四边形ＡＢＣＤ是正方形， 所以ＡＢ＝ＡＤ，∠ＡＢＥ＝∠ＡＤＣ＝∠ＡＤＦ＝９０°． 在△ＡＢＥ和△ＡＤＦ中， ＡＢ＝ＡＤ， ∠ＡＢＥ＝∠ＡＤＦ， ＢＥ＝ＤＦ { ， 所以△ＡＢＥ≌△ＡＤＦ， 所以ＡＥ＝ＡＦ，所以∠ＡＥＦ＝∠ＡＦＥ． ９．证明：因为在 Ｒｔ△ＡＣＢ中，Ｄ是 ＡＢ的中点，∠ＡＣＢ＝ ９０°， 所以ＡＤ＝ＣＤ＝ＢＤ． 又因为ＡＣ＝ＣＢ，所以ＣＤ⊥ＡＢ． 因为∠ＡＣＢ＝∠ＥＣＤ＝９０°， 所以∠ＥＣＡ＝∠ＤＣＢ． 又因为ＥＣ＝ＣＤ，ＣＡ＝ＣＢ， 所以△ＡＣＥ≌△ＢＣＤ，所以ＡＥ＝ＢＤ， 所以ＣＤ＝ＡＤ＝ＢＤ＝ＡＥ＝ＥＣ， 所以四边形ＡＥＣＤ是菱形． 又因为ＣＤ⊥ＡＢ，所以四边形ＡＥＣＤ是正方形． 每讲一测 １．Ｃ；　２．Ａ；　３．Ｃ；　４．Ｃ；　５．Ａ； ６．（槡２３，－２）；　７．７０°；　８．５２；　９．４． １０．证明：因为四边形ＡＢＣＤ是矩形， 所以ＡＤ∥ＢＣ，                                                                      ＡＤ＝ＢＣ． —９— 初中数学·中考（ＹＮ）　第２７～３６期