第十二讲 命题与尺规作图-【数理报】2025年中考数学高效复习（云南专版）

书 考点演练 考点１：尺规作图与计算 例１　 如图１，在平 行四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ ＝５，ＢＣ＝８，以点 Ｄ为 圆心，任意长为半径画 弧，交ＡＤ于点Ｐ，交ＣＤ于点Ｑ，分别以Ｐ，Ｑ为圆 心，大于 １ ２ＰＱ的长为半径画弧，两弧交于点 Ｍ， 连接ＤＭ并延长，交ＢＣ于点Ｅ，连接ＡＥ，恰好有 ＡＥ⊥ＢＣ，则ＡＥ的长为 ． 解：由作法得 ＤＥ平分 ∠ＡＤＣ，所以 ∠ＡＤＥ ＝∠ＣＤＥ．因为四边形 ＡＢＣＤ为平行四边形，所 以 ＣＤ ＝ＡＢ ＝５，ＡＤ∥ ＢＣ，所以 ∠ＡＤＥ ＝ ∠ＣＥＤ，所以∠ＣＥＤ＝∠ＣＤＥ，所以ＣＥ＝ＣＤ＝ ５，所以ＢＥ＝３．因为 ＡＥ⊥ ＢＣ，所以 ∠ＡＥＢ＝ ９０°，所以ＡＥ＝４．故填４． 跟踪训练１：如图２， 在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中，∠Ｃ ＝ ９０°，以点 Ｂ为圆心，适当 长为半径作弧，分别交 ＢＣ，ＢＡ于点 Ｄ，Ｅ，再分别 以点Ｄ，Ｅ为圆心，大于１２ＤＥ的长为半径作弧， 两弧在∠ＡＢＣ的内部相交于点Ｐ，作射线ＢＰ交 ＡＣ于点Ｆ．已知ＣＦ＝３，ＡＦ＝５，则 ＢＦ的长为 ． 考点２：尺规作图与证 明 例２　如图３，线段ＡＢ 和射线ＢＭ交于点                          Ｂ． ! " !" !!!!!!!!!!!!!!!!#$%&'!""()*!"+, !!!!!-./*!"+, !!!!!" 01231 45678!"*()9:;<=>?@A6BCDE*-FGHI,JKLM!"NO*PQR S-TU*N!"&' !!!!!"VWXYZJK,()*!"&' !!!!!" [\!"2 [\31 =]^!"6-_`a^!"*"bcde:fa^!"* !!!!!c !!!!!-ghT]^!"+,[ \!"-L6a^!"+,fa^!"* !!!!!"_`a^31*\!"ijWX:N!"-ghH k: !!!!!-T]^31+,[\31"L6a^31&'fa^31* !!!!!" lWZ mOb!"*de !!!!-njo1pDqr-sqrJ3tIOb !!!!-uvpwP!"xy-Tz WX*YZ{lWZ" lWZ*|}~mbde*l€: !!!!-‚ƒj„…o1-oD† !!!!2!!!!2!!!! ‡ˆ‰Š‹ Œqr-XOb !!!!-uvpwPde !!!!" 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" # $ % & ' ( ! ) ) % * $ + , - ! & ( ) & ! $ !" 书 （１）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕 迹（不写作法）：①射线ＢＭ上作一点Ｃ，使ＡＣ＝ ＡＢ，连接ＡＣ；②作∠ＡＢＭ的角平分线交ＡＣ于Ｄ 点；③在射线ＣＭ上作一点Ｅ，使ＣＥ＝ＣＤ，连接 ＤＥ． （２）在（１）所作的图形中，猜想线段 ＢＤ与 ＤＥ的数量关系，并证明． 解：（１）如图４所示． （２）ＢＤ＝ＤＥ． 证明：因为 ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ，所以 ∠ＤＢＣ ＝ １ ２∠ＡＢＣ．因为ＡＣ＝ＡＢ， 所以∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ，所以∠ＤＢＣ＝１２∠ＡＣＢ． 因为ＣＥ＝ＣＤ，所以∠ＣＤＥ＝∠ＣＥＤ．因为 ∠ＡＣＢ ＝∠ＣＤＥ＋∠ＣＥＤ，所以 ∠ＣＥＤ ＝ １ ２∠ＡＣＢ，所以 ∠ＤＢＣ＝∠ＣＥＤ，所以 ＢＤ ＝ ＤＥ． 跟踪训练２：如图５，分别以点Ｂ和点Ｃ为圆 心，大于 １ ２ＢＣ的长为半径作弧，两弧相交于Ａ，Ｍ 两点；作直线ＡＭ；连接ＡＢ，ＡＣ．在 △ＡＢＣ中，ＣＥ 是∠ＡＣＢ的平分线，ＢＦ是 ∠ＡＢＣ的平分线．求 证：ＢＦ＝ＣＥ． 考点３：判断命题的真假 例３　下列命题是真命题的是 （　　） Ａ．角是轴对称图形，对称轴是角平分线 Ｂ．两条直线被第三条直线所截，内错角相 等 Ｃ．若甲、乙两组数据的平均数都是３，ｓ２甲 ＝ ０．８，ｓ２乙 ＝１．４，则乙组数据较稳定 Ｄ．数轴上的每一个点都表示一个实数 解：Ａ．角是轴对称图形，对称轴是角平分线 所在的直线，故原选项是假命题；Ｂ．两条平行线 被第三条直线所截，内错角相等，故原选项是假 命题；Ｃ．若甲、乙两组数据的平均数都是３，ｓ２甲 ＝ ０．８，ｓ２乙 ＝１．４，则甲组数据较稳定，故原选项是 假命题；Ｄ．数轴上的每一个点都表示一个实数， 故原选项是真命题．故选Ｄ． 跟踪训练３：下列命题中，正确的是 （　　） Ａ．两点之间，线段最短 Ｂ．菱形的对角线相等 Ｃ．正五边形的外角和为７２０° Ｄ．直角三角形是轴对称图形 考点４：构造命题 例４　如图６，已知点Ｄ为 △ＡＢＣ的边 ＢＣ上一点，ＤＥ⊥ ＡＣ，ＤＦ⊥ ＡＢ，垂足分别为点 Ｅ，Ｆ，且ＢＦ＝ＣＥ．①Ｄ是ＢＣ的 中点；②∠Ｂ＝∠Ｃ；③ＡＤ平分 ∠ＢＡＣ． 请你选择一个作为条件，其它两个作为结 论，构造一个真命题． （１）请写出所有的真命题； （２）请你任选一个真命题进行证明． 解：（１）所有符合条件的真命题有： ①②③；②①③；③①②． （２）选①②③． 证明：因为点Ｄ是 △ＡＢＣ的边 ＢＣ的中点， 所以ＢＤ＝ＣＤ．因为 ＤＥ⊥ ＡＣ，ＤＦ⊥ ＡＢ，所以 ∠ＢＦＤ＝∠ＣＥＤ＝９０°．又因为ＢＦ＝ＣＥ，所以 Ｒｔ△ＢＤＦ≌Ｒｔ△ＣＤＥ，所以∠Ｂ＝∠Ｃ，所以ＡＢ ＝ＡＣ．因为ＢＤ＝ＤＣ，所以ＡＤ平分∠ＢＡＣ． 跟踪训练４：如图７，有三个论断：①∠１＝ ∠２；②∠Ｂ＝∠Ｃ；③ＡＢ∥ＣＤ． （１）请你从中任选两个作为题设，                                                              另一个作 ! " # $ % & ! ! ! # ' ( % " & ! " ) " % ' ( & ! # !" 书 为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真 命题还是假命题； （２）选择（１）中的一个真命题加以证明． １．观察图１中尺规作 图的痕迹，可得线段 ＢＤ 一定是△ＡＢＣ的 （　　） Ａ．角平分线 Ｂ．高线 Ｃ．中位线 Ｄ．中线 ２．用反证法证明“等腰三角形的底角小于 ９０°”时，第一步应假设 （　　） Ａ．底角大于９０° Ｂ．底角等于９０° Ｃ．底角小于９０° Ｄ．底角大于等于９０° ３．下列命题中是真命题的是 （　　） Ａ．一组对边相等，另一组对边平行的四边 形是平行四边形 Ｂ．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 Ｃ．有一个角是直角且对角线相等的四边形 是矩形 Ｄ．有一个角为９０°且一组邻边相等的四边 形是正方形 ４．如图 ２，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ ＝ ９０°，以顶点 Ａ为圆 心，以适当长为半径 画弧，分别交 ＡＣ，ＡＢ 于点Ｍ，Ｎ，再分别以点 Ｍ，Ｎ为圆心，以大于 １ ２ＭＮ的长为半径画弧，两弧交于点 Ｐ，作射线 ＡＰ交边ＢＣ于点Ｄ，若ＣＤ＝３，ＡＢ＝８，则△ＡＢＤ 的面积为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１０ Ｂ．１２ Ｃ．１４ Ｄ．１５ ５．命题“如果∠α＋∠β＝１８０°，那么∠α与 ∠β互为补角”的逆命题为 ． ６．如图 ３，在 △ＡＢＣ 中，∠ＡＣＢ＝９０°，分别以 点Ａ和点 Ｃ为圆心，大于 １ ２ＡＣ的长为半径作弧，两 弧相交于 Ｍ，Ｎ两点，作直 线ＭＮ，直线ＭＮ与ＡＢ相交于点Ｄ，连接ＣＤ，若 ＡＢ＝３，则ＣＤ的长是 ． ７．已知锐角∠ＡＯＢ，如图 ４，在射线 ＯＡ上取一点 Ｃ，以 点Ｏ为圆心，ＯＣ长为半径作 ) ＰＱ，交射线 ＯＢ于点 Ｄ，连接 ＣＤ；分别以点 Ｃ，Ｄ为圆心， ＣＤ长为半径作弧，交 ) ＰＱ于点 Ｍ，Ｎ；连接ＯＭ，ＭＮ，ＯＮ．根据以上作图过程及所 作图 形，若 ∠ＡＯＢ ＝ ２０°，则 ∠ＭＯＮ ＝ ． ８．如图５，点Ｐ是∠ＢＡＣ边ＡＢ上一点． （１）尺规作图：在 ＡＢ的左侧作 ∠ＡＰＤ＝ ∠ＢＡＣ（不写作法，保留作图痕迹）； （２）根据上面所作的图形，你认为ＰＤ和ＡＣ 一定平行吗？请说明理由                                                               ． ! " # $ % ! ! $ ! & " ' % ! " " ! % ( $ ! # $ % ") * $ # + ! % ! & , & $ " % ! ' ( - ! ' $ ( " ! & ' % ! $ !" 因为ＣＥ＝ＢＣ，所以ＡＤ＝ＣＥ． 又因为ＡＤ∥ＣＥ，所以四边形ＡＣＥＤ是平行四边形． １１．证明：因为ＤＥ∥ＡＢ，ＤＦ∥ＡＣ， 所以四边形ＡＦＤＥ为平行四边形． 因为∠ＢＡＣ＝９０°，所以四边形ＡＦＤＥ为矩形， 所以ＤＦ⊥ＡＢ，ＤＥ⊥ＡＣ． 因为ＡＤ平分∠ＢＡＣ，所以ＤＥ＝ＤＦ， 所以四边形ＡＦＤＥ为正方形． １２．（１）证明：因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， 所以ＡＤ∥ＢＣ，所以∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＢ． 因为ＡＣ平分∠ＢＡＤ， 所以∠ＤＡＣ＝∠ＢＡＣ， 所以∠ＢＡＣ＝∠ＡＣＢ，所以ＡＢ＝ＢＣ， 所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． （２）因为在菱形ＡＢＣＤ中，ＡＣ＝１２，ＢＤ＝１６， 所以ＡＣ⊥ＢＤ，ＯＤ＝ １２ＢＤ＝８，ＯＣ＝ １ ２ＡＣ＝６， 所以ＣＤ＝ ＯＤ２＋ＯＣ槡 ２ ＝１０． 因为ＤＰ∥ＡＣ，ＣＰ∥ＢＤ， 所以四边形ＯＣＰＤ是平行四边形． 因为ＡＣ⊥ＢＤ，所以平行四边形ＯＣＰＤ是矩形， 所以ＯＰ＝ＣＤ＝１０． ! " # $ % & ' ( 图８ １３．（１）证明：如图８，连接ＢＤ， 因为Ｅ，Ｆ分别为ＡＤ，ＡＢ的中点， 所以ＥＦ是△ＡＢＤ的中位线， 所以ＥＦ＝ １２ＢＤ，ＥＦ∥ＢＤ． 同理，ＧＨ＝ １２ＢＤ，ＧＨ∥ＢＤ， 所以四边形ＥＦＧＨ为平行四边形． ! " # $ % & ' ( 图９ （２）如图９，连接ＥＧ，ＨＦ， 因为四边形ＡＢＣＤ是矩形， 所以ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ，∠Ａ ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０°． 因为 Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ 是 四 边 形 ＡＢＣＤ各边的中点， 所以ＤＨ＝ＡＦ＝ＣＨ＝ＢＦ， 所以四边形ＡＦＨＤ和四边形ＨＦＢＣ都是矩形， 所以ＡＤ＝ＨＦ＝ＢＣ，ＤＣ＝ＥＧ＝ＡＢ， 所以Ｓ四边形ＥＦＧＨ ＝ １ ２ＥＧ·ＨＦ＝ １ ２ＡＢ·ＢＣ． 因为四边形ＡＢＣＤ的面积是７ｃｍ２， 所以ＡＢ·ＢＣ＝７ｃｍ２， 所以四边形ＥＦＧＨ的面积是３．５ｃｍ２． 故填３．５． １４．（１）四边形ＡＦＣＤ是平行四边形．理由如下： 因为ＡＦ∥ＢＣ，所以∠ＡＦＥ＝∠ＤＢＥ． 在△ＡＦＥ与△ＤＢＥ中， ∠ＡＦＥ＝∠ＤＢＥ， ∠ＡＥＦ＝∠ＤＥＢ， ＡＥ＝ＤＥ { ， 所以△ＡＦＥ≌△ＤＢＥ，所以ＡＦ＝ＢＤ． 又因为ＢＤ＝ＣＤ，所以ＡＦ＝ＣＤ． 又因为ＡＦ∥ＣＤ， 所以四边形ＡＦＣＤ是平行四边形． （２）①因为ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ是ＢＣ边上的中线， 所以ＡＤ⊥ＢＣ，且四边形ＡＦＣＤ是平行四边形， 所以四边形ＡＦＣＤ是矩形． 故填矩． ②当△ＡＢＣ满足ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝９０°时，四边形ＡＦＣＤ 是正方形．理由如下： 因为ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＤ是ＢＣ边上的中线， 所以ＡＤ＝ＣＤ＝ＢＤ，ＡＤ⊥ＢＣ． 因为四边形ＡＦＣＤ是平行四边形， 所以四边形ＡＦＣＤ是矩形． 又因为ＡＤ＝ＣＤ， 所以四边形ＡＦＣＤ是正方形． 故填ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝９０°． 第十二讲　命题与尺规作图 知识梳理 判断一件事情　真命题　假命题 公理　定理 结论　条件　逆命题　定理　逆定理 不成立　不正确 正确的　定义　公理　定理　错误　正确 无刻度 已知 考点演练 １．槡３５． ２．证明：根据作图，可得ＡＭ是ＢＣ的垂直平分线，所以ＡＢ ＝ＡＣ                                                                      ， —０１— 初中数学·中考（ＹＮ）　第２７～３６期 所以△ＡＢＣ是等腰三角形，所以∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ． 又因为ＣＥ是∠ＡＣＢ的平分线，ＢＦ是∠ＡＢＣ的平分线， 所以∠ＦＢＣ＝ １２∠ＡＢＣ，∠ＥＣＢ＝ １ ２∠ＡＣＢ， 所以∠ＦＢＣ＝∠ＥＣＢ． 又因为ＢＣ＝ＢＣ， 所以△ＢＣＦ≌△ＣＢＥ，所以ＢＦ＝ＣＥ． ３．Ａ． ４．（１）选择①②为题设，③为结论， 命题为：若∠１＝∠２，∠Ｂ＝∠Ｃ，则ＡＢ∥ＣＤ， 该命题是真命题； 选择①③为题设，②为结论， 命题为：若∠１＝∠２，ＡＢ∥ＣＤ，则∠Ｂ＝∠Ｃ， 该命题是真命题； 选择②③为题设，①为结论， 命题为：若∠Ｂ＝∠Ｃ，ＡＢ∥ＣＤ，则∠１＝∠２， 该命题是真命题． （２）证明：选择①②为题设，③为结论， 因为∠１＝∠２，∠１＝∠ＣＧＤ， 所以∠２＝∠ＣＧＤ，所以ＣＥ∥ＢＦ， 所以∠Ｃ＝∠ＢＦＤ． 因为∠Ｂ＝∠Ｃ，所以∠Ｂ＝∠ＢＦＤ， 所以ＡＢ∥ＣＤ； 选择①③为题设，②为结论， 因为∠１＝∠２，∠１＝∠ＣＧＤ， 所以∠２＝∠ＣＧＤ，所以ＣＥ∥ＢＦ， 所以∠Ｃ＝∠ＢＦＤ． 因为ＡＢ∥ＣＤ，所以∠Ｂ＝∠ＢＦＤ， 所以∠Ｂ＝∠Ｃ； 选择②③为题设，①为结论， 因为ＡＢ∥ＣＤ，所以∠Ｂ＝∠ＢＦＤ． 因为∠Ｂ＝∠Ｃ，所以∠Ｃ＝∠ＢＦＤ， 所以ＣＥ∥ＢＦ，所以∠２＝∠ＣＧＤ． 又因为∠１＝∠ＣＧＤ，所以∠１＝∠２． 每讲一测 １．Ｂ；　２．Ｄ；　３．Ｂ；　４．Ｂ； ５．如果∠α与∠β互为补角，那么∠α＋∠β＝１８０°； ! ! " # $ % 图１０ ６．１．５；　７．６０°． ８．（１）如图１０所示，∠ＡＰＤ即为 所求． （２）ＰＤ∥ＡＣ，理由如下： 因为∠ＡＰＤ＝∠ＢＡＣ，所以ＰＤ∥ＡＣ． 第十三讲　投影与视图 知识梳理 平行 比例 中心　投影中心 一条直线上　变化 主　长　高　俯　长　宽　左　宽　高 俯　左　长　高　宽　实　虚 考点演练 １．Ｂ；　２．圆柱． ３．（１）圆锥． ! " # 图１１ （２）如图１１，由三视图可得，母 线长为 （ ６ ２） ２＋４槡 ２ ＝５（ｍｍ）， 由题易得底面圆周长为６πｍｍ， 所以侧面积为 １ ２ ×６π×５＝ １５π（ｍｍ２），底面积为π×（６２） ２ ＝９π（ｍｍ２）， 所以表面积为１５π＋９π＝２４π（ｍｍ２）． 故这个圆锥的表面积为２４πｍｍ２． ４．Ｃ；　５．Ａ． 每讲一测 １．Ｂ；　２．Ｄ；　３．Ｂ； 槡４．３６３；　５．０．３；　６．５． ７．如图１２，三视图即为所作． !"# $%& '"& ! "# $ % & ' ( 图１２ 图１３ ８．（１）点Ｆ的位置如图１３所示． （２）由题意，得ＣＤ∥ＥＦ， 所以∠ＡＣＤ＝∠ＡＥＦ，∠ＡＤＣ＝∠ＡＦＥ， 所以△ＡＣＤ∽△ＡＥＦ， 所以 ＡＣ ＡＥ＝ ＣＤ ＥＦ＝ １．８ ３．２４＝ ５ ９，所以 ＡＥ ＣＥ＝ ９ ４                                                                      ． —１１— 初中数学·中考（ＹＮ）　第２７～３６期