第十八讲 概率-【数理报】2025年中考数学高效复习（云南专版）

书 考点演练 考点１：事件的确定 例１　在下列事件中，必然事件是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．掷一次骰子，向上一面的点数是８ Ｂ．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 Ｃ．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 Ｄ．任意画一个三角形，其内角和是１８０° 分析：本题考查了事件的分类，解决本题需 要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的 概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事 件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生 的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条 件下，可能发生也可能不发生的事件．必然事件 和不可能事件统称为确定事件． 解：Ａ．掷一次骰子，向上一面的点数是８，是 不可能事件，不符合题意； Ｂ．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中， 是随机事件，不符合题意； Ｃ．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是 随机事件，不符合题意； Ｄ．任意画一个三角形，其内角和是１８０°，是 必然事件，符合题意． 故选Ｄ． 跟踪训练１：下列成语描述的事件为随机事 件的是 （　　） Ａ．水中捞月 Ｂ．守株待兔 Ｃ．水涨船高 Ｄ．画饼充饥 考点２：简单随机事件的概率 例２　从３６７，３１４１５９２６，３３ · ，槡４，槡５，－ ３ 槡８， ３ 槡９中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是 （　　） Ａ．２７ Ｂ． ３ ７ Ｃ． ４ ７ Ｄ． ５ ７ 解：因为槡４＝２，－ ３ 槡８＝－２， 所以 ３６ ７，３．１４１５９２６，３３ · ，槡４，槡５，－ ３ 槡８， ３ 槡９ 中无理数有槡５， ３ 槡９，共２个，所以从 ３６ ７，３１４１５９２６， ３３ · ，槡４，槡５，－ ３ 槡８， ３ 槡９中随机抽取一个数，此数是 无理数的概率是 ２ ７． 故选Ａ． 跟踪训练２：若关于ｘ的方程ｘ２－３ｘ＋ｍ＝ ０有两个不相等的实数根，且ｍ≥－３，则从满足 条件的所有整数 ｍ中随机选取一个，恰好是负 数的概率是 ． 考点３：用列举法求概率 例３　为使学生更加了解云南，热爱家乡， 热爱祖国，体验“有一种叫云南的生活”．                                       某校七 !"#$ #%&'"(")*+,#-./ !!!!!!!012+,3&4/ !!!!!!!" #%&'5(56)2+,#-./ !!!!!!!71*+,3&4/ !!!!!!!" #%89'5):)*+,#-./:!5#-0;./ !!!!!!!" <=(>#-*+,3&4?@,ABCD#-,EF" 1GHIJ/K!L#-*+M#!!!!!!!" NEF,O9PQ!!!!9R!!!!9S !!!!9" TUVWAX?Y0#-2+,ZF[5\ !!!!!!!0]3^_`aGb(#-*+,EF" :!"#- EF cdG,ef E F !" 书 年级年级组准备从博物馆ａ、植物园 ｂ两个研学 基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被 选到的可能性相等；八年级年级组准备从博物 馆ａ、植物园ｂ、科技馆ｃ三个研学基地中，随机选 择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性 相等．记选择博物馆ａ为ａ，选择植物园ｂ为ｂ，选 择科技馆ｃ为ｃ，记七年级年级组的选择为 ｘ，八 年级年级组的选择为ｙ． （１）请用列表法或画树状图法中的一种方 法，求（ｘ，ｙ）所有可能出现的结果总数； （２）求该校七年级年级组、八年级年级组选 择的研学基地互不相同的概率． 解：（１）由题意可列表如下： ｙ　ｘ ａ ｂ ａ （ａ，ａ） （ｂ，ａ） ｂ （ａ，ｂ） （ｂ，ｂ） ｃ （ａ，ｃ） （ｂ，ｃ） 由表格可知，（ｘ，ｙ）所有可能出现的结果总 数为以上６种． （２）由表格可知，该校七年级年级组、八年 级年级组选择的研学基地互不相同的情况有 ４种，所以Ｐ（七年级年级组、八年级年级组选择 的研学基地互不相同）＝４６ ＝ ２ ３． 跟踪训练３：（１）物理变化和化学变化的区 别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延 时课上制作了如图１所示 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四张卡片， 四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放 置于暗箱中摇匀． Ⅰ．小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中 Ｃ卡片的概率是 ； Ⅱ．小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列 表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均 为化学变化的概率． （２）为了落实国家“双减”政策，某中学在 课后服务时间里，开展了音乐、体操、诵读、书法 四项社团活动．为了了解七年级学生对社团活 动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机 抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活 动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动 （且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成如图 ２两幅统计图． 请根据统计图中的信息，解答下列问题： Ⅰ．参加本次问卷调查的学生共有 人； Ⅱ．在扇形统计图中，Ａ组所占的百分比是 ，并补全条形统计图； Ⅲ．端午节前夕，学校计划进行课后服务成 果展示，准备从这４个社团中随机抽取２个社团 汇报展示．请用树状图法或列表法，求选中的 ２个社团恰好是Ｂ和Ｃ的概率                                                               ． ! " # $ !"# # " ! $ !" $! $" !" % %" !& !" $& $" & #$'# #%&'() "%*+() !%,-() $%./() 0 ! 1234 5678 9:;< =>?@ # " ! $ 0 $ !! 书 考点４：用频率估计概率 例４　围棋起源于中国，棋子分黑白两色． 一个不透明的盒子中装有黑白两色棋子共 １０枚，每枚棋子除颜色外都相同．将盒子中的棋 子搅拌均匀，从中随机摸出一枚棋子，记下它的 颜色后再放回盒子中．不断重复这一过程，共摸 了１００次，发现有７１次摸到白色棋子，则盒子中 黑色棋子可能有 （　　） Ａ．２．９枚 Ｂ．３枚 Ｃ．７枚 Ｄ．７．１枚 解：因为不断重复这一过程，共摸了１００次， 发现有７１次摸到白色棋子，所以摸到白棋的频 率为 ７１ １００＝０７１，所以Ｐ（摸到白棋）≈０７１，所 以盒子中白色棋子约为１０×０７１≈７（枚），所 以盒子中黑色棋子可能有１０－７＝３（枚）． 故选Ｂ． 跟踪训练４：【综合实践】 如图３，学校劳动基地有一个 不规则的封闭菜地 ＡＢＣ，为 求得它的面积，学习小组设 计了如下的一个方案： ①在此封闭图形内画出一个半径为１米的圆； ②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内 掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如 下： 掷小石子落在不规则图 形内的总次数（含外沿） １００ ２００ ５００ １０００ … 小石子落在圆内（含圆上） 的次数ｍ ３２ ６３ １５３ ３０５ … 小石子落在圆外的阴影 部分（含外沿）的次数ｎ ６８ １３７ ３４７ ６９５ … 小石子落在圆内 （含圆上）的频率 ０．３２００．３１５０．３０６ ｘ … 【数学发现】（１）若以小石子所落的有效区 域为总数（即 ｍ＋ｎ），则表格中的数据 ｘ＝ ；随着投掷次数增大，小石子落在圆内 （含圆上）的频率值稳定在 附近（结果 精确到０１）； 【结论应用】（２）请你利用（１）中所得的频 率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米 （结果保留π）？ 每讲一测 １．“彩民李大叔购买１张彩票就中奖”这个 事件是 （　　） Ａ．必然事件 Ｂ．确定性事件 Ｃ．不可能事件 Ｄ．随机事件 ２．长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育 出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等 区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一 种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概 率是 （　　） Ａ．１４ Ｂ． １ ３ Ｃ． １ ２ Ｄ． ３ ４ ３．县林业部门考察银杏树苗在一定条件下 移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的 相关数据如下表所示： 移植的棵数ａ １００ ３００ ６００ １０００７０００１５０００ 成活的棵数ｂ ８４ ２７９ ５０５ ８９０ ６３３７１３５８１ 成活的频率 ０．８４ ０．９３ ０．８４２ ０．８９ ０．９０５０．９０５ 根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条 件下移植成活的概率为（精确到０．１） （　　） Ａ．０．９０５ Ｂ．０．８９ Ｃ．０．９ Ｄ．０．８ ４．某校即将举行田径运动会，“体育达人” 小明从“跳高”“跳远”“１００米”“４００米”四个项 目中，随机选择两项，则他选择“１００米”与 “４００米”两个项目的概率是 （　　） Ａ．１２ Ｂ． １ ４ Ｃ． １ ６ Ｄ． １ １２ ５．如图１，将一枚飞镖 任意投掷到正方形镖盘 ＡＢＣＤ内，若飞镖落在镖盘 内各点的机会相等，则飞镖 落在阴影区域的概率为 （　　                                                               ） ! ! ! ! " # " ! " $ ! # " " !" 书 Ａ．３４ Ｂ． ２ ３ Ｃ．１２ Ｄ． 槡２ ２ ６．现有分别画有等边三角形、正方形、平行 四边形、圆的四张相同的卡片，从中任选１张，选 出的卡片上的图形恰好为中心对称图形的概率 是 ． ７．一个不透明的盒子中装有若干个红球和 ５个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球 试验后发现，摸到黑球的频率稳定在０２５左右， 则盒子中红球的个数约为 ． ８．如图 ２，电路图上有四 个开关 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ和一个小灯 泡，任意闭合Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ中的两 个开关，如果能将灯泡与电源 形成一个闭合电路，则小灯泡 发光，请问“任意闭合两个开关使小灯泡发光” 的概率为 ． ９．在一个盲盒中放有６个白球，７个黄球和 若干个红球，这些球除颜色外完全相同，每次把 球充分搅匀后，任意摸出一个球，记下颜色再放 回盲盒中，经过大量重复试验后，发现摸到白球 的频率稳定在０３左右． （１）估计盲盒中大约有 个红球； （２）从盲盒中取出２个白球，２个黄球，１个 红球放入到一个不透明的袋子中，从中同时随 机摸出两个球，请用列表法或树状图法求摸到 两个球颜色相同的概率． １０．为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、 羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机 抽取了 ｍ名学生进行问卷调查，每名学生只选 择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成 如图３所示的统计图，请你根据图中所提供的信 息解答下列问题． （１）ｍ＝ ，并补全条形统计图； （２）若该校共有１２００名学生，请估计喜欢 乒乓球运动的学生有多少名？ （３）学校羽毛球队计划从甲、乙、丙、丁四名 同学中挑选两名同学加入球队．请用画树状图 或列表的方法计算恰好选中甲、乙两名同学的 概率                                                              ． !" #" $%" &'" () !" #" $% &% '" (% )" *+ ,% % -- ,& (( *+ ,-./"012*+ 34567 " 8" **. &'" $% " # ,-./" 012*+ 94567 7 / 7 * ! " # $ !" 因为ＤＦ＝ＢＤ，所以∠ＤＦＢ＝∠ＤＢＦ， 所以∠ＤＣＢ＋∠ＣＢＦ＝∠ＦＢＰ＋∠ＡＢＤ， 所以∠ＣＢＦ＝∠ＰＢＦ，所以ＢＦ平分∠ＣＢＰ． 第十七讲　统计 知识梳理 百分比　百分比　圆心角　圆心角　百分比 具体数目 变化情况 要调查的全部对象　组成总体的每一个对象　被抽取调 查的部分对象　一个样本中包含的个体的数目 全面调查 全部考察对象　部分对象 次数 总次数　 次数 总次数 ｘ１＋ｘ２＋… ＋ｘｎ ｎ ｘ１ｋ１＋ｘ２ｋ２＋… ＋ｘｎｋｎ ｎ 最多 中间位置　中间两个数据 最大值　最小值 平方　 １ｎ［（ｘ１－ｘ） ２＋（ｘ２－ｘ） ２＋… ＋（ｘｎ－ｘ） ２］ 最大值　最小值　组距　组数　频数分布　频数分布 直方图 考点演练 １．（１）Ｂ，　（２）Ｄ； ２．（１）甲，　（２）Ａ． ３．（１）调查的总人数为８÷４０％ ＝２０（人），２０－２－６－８ ＝４（人），６÷２０×３６０°＝１０８°． 故填４，１０８． （２） 由 统 计 图 可 得 平 均 数 为 ７×２＋８×６＋９×８＋１０×４ ２０ ＝８．７（本）， 所以被调查同学阅读量的平均数为８．７本， 该部分学生阅读量从小到大排序后第１０个和第１１个均为 ９本， 所以阅读量的中位数为 ９＋９ ２ ＝９（本）． （３）因为原来阅读量的众数为９本， 所以ｍ＋４＜８，解得ｍ＜４， 因为ｍ为正整数，所以ｍ的最大值为３． 每讲一测 １．Ｂ；　２．Ｄ；　３．Ｄ；　４．Ａ；　５．乙；　６．１４０；　７．６．８． ８．（１）调查的总人数为８÷１０％ ＝８０（人）． 故填８０． !" #$ "% &' (% )* +, (- ./ !" !" ! # $ # 01 %" %" ! 图２７ （２）由扇形统计图可 知，骑自行车的人数为８０× （１－２５％ －１０％ －４５％） ＝１６（人）， 补全条形统计图如图 ２７所示． （３）原骑自行车的人数所占百分比为（１－２５％ －１０％ － ４５％）＝２０％， 调查后开私家车的人上下班全部改为骑自行车， 则现在骑自行车的人数约为１０００×（２５％ ＋２０％）＝ ４５０（人）． 故填４５０． ９．（１）由表格数据，得ａ＝３０－２－６－７－３＝１２， 因为一共有３０人，所以成绩的中位数是第１５，１６个数的平 均数， 因为Ａ，Ｂ组一共有２＋６＝８（人），Ａ，Ｂ，Ｃ组一共有２＋６ ＋１２＝２０（人）， 所以第１５，１６个数在Ｃ组，即中位数落在Ｃ组． 故填１２，Ｃ（或８≤ｘ＜９）． （２）平均成绩为 １３０×（２×６．６＋６×７．５＋１２×８．２＋７× ９３＋３×１０．１）＝８４（米）． 答：所抽取的这３０名男生投掷铅球的平均成绩是８．４米． （３）６００×７＋３３０ ＝２００（人）． 答：估计该校男生投掷铅球成绩不小于 ９米的学生有 ２００人． 第十八讲　概率 知识梳理 必然事件　１ 不可能事件　０                                                                      随机事件 —６１— 初中数学·中考（ＹＮ）　第２７～３６期 ｍ ｎ 列举　画树状图　列表 概率附近 考点演练 １．Ｂ；　２．１２． ３．（１）Ⅰ．小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中Ｃ卡片的 概率是 １ ４． 故填 １ ４． Ⅱ．根据题意可列表格如下， Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ （Ａ，Ｂ） （Ａ，Ｃ） （Ａ，Ｄ） Ｂ （Ｂ，Ａ） （Ｂ，Ｃ） （Ｂ，Ｄ） Ｃ （Ｃ，Ａ） （Ｃ，Ｂ） （Ｃ，Ｄ） Ｄ （Ｄ，Ａ） （Ｄ，Ｂ） （Ｄ，Ｃ） 根据表格可知共有１２种等可能的结果，其中抽取两张卡 片内容均为化学变化的结果有２种， 所以抽取两张卡片内容均为化学变化的概率 Ｐ＝ ２１２＝ １ ６． （２）Ⅰ．参加本次问卷调查的学生共有 １２÷２０％ ＝ ６０（人）． 故填６０． Ⅱ．Ａ组人数为６０－２０－１０－１２＝１８（人），所以Ａ组所占 的百分比为 １８ ６０×１００％ ＝３０％． 故填３０％． 补全条形统计图如图２８所示． ! " # $ !" !" !# "# # $# "% "# !% !# % #$&# !%&'() "%*+() #%,-() $%./() !' 图２８ Ⅲ．画树状图如图２９， ! " # ! $ " # ! $ " # " $ ! " # 图２９ 由树状图可以看出共有１２种结果，它们出现的可能性相 等，选中的２个社团恰好是Ｂ和Ｃ的情况有两种， 所以Ｐ（选中的２个社团恰好是Ｂ和Ｃ）＝ ２１２＝ １ ６． ４．（１）ｘ＝ ３０５１０００＝０３０５， 随着投掷次数增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值 稳定在０．３附近． 故填０．３０５，０．３． （２）因为圆的面积 ＝１２×π＝π（平方米）， 所以整个封闭图形的面积 ＝π÷０３＝１０π３（平方米）． 答：估计整个封闭图形的面积是 １０π ３ 平方米． 每讲一测 １．Ｄ；　２．Ａ；　３．Ｃ；　４．Ｃ；　５．Ｃ； ６．３４；　７．１５个；　８． １ ３． ９．（１）因为经过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳 定在０３左右， 所以估计摸到白球的概率为０３， 所以盒中球的总个数约为６÷０３＝２０（个）， 所以估计盲盒中红球大约有２０－６－７＝７（个）． 故填７． （２）分别用Ａ，Ｂ表示两个白球，Ｃ，Ｄ表示两个黄球，Ｅ表示 红球，列表如下： Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ａ （Ｂ，Ａ） （Ｃ，Ａ） （Ｄ，Ａ） （Ｅ，Ａ） Ｂ （Ａ，Ｂ） （Ｃ，Ｂ） （Ｄ，Ｂ） （Ｅ，Ｂ） Ｃ （Ａ，Ｃ） （Ｂ，Ｃ） （Ｄ，Ｃ） （Ｅ，Ｃ） Ｄ （Ａ，Ｄ） （Ｂ，Ｄ） （Ｃ，Ｄ） （Ｅ，Ｄ） Ｅ （Ａ，Ｅ） （Ｂ，Ｅ） （Ｃ，Ｅ） （Ｄ，Ｅ） 由表知，共有２０种等可能结果，其中摸到两个球颜色相同 的有４种结果， 所以摸到两个球颜色相同的概率为 ４ ２０＝ １ ５． １０．（１）ｍ＝４４÷２２％ ＝２００． 故填２００． 喜欢乒乓球的人数为２００－４４－１６－８８＝５２（名                                                                      ）， —７１— 初中数学·中考（ＹＮ）　第２７～３６期 补全条形统计图如图３０． !" #" $%" &'" () !" #" $% &% '" (% )" *+ ,% % -- ,& (( *+ ,-./"012*+ 34567 .* 图３０ （２）１２００×５２２００＝３１２（名）． 答：估计喜欢乒乓球运动的学生有３１２名． （３）画树状图如图３１， ! " # $ " ! % & % ! " & & ! " % 图３１ 由树状图知一共有１２种等可能的结果，符合条件的结果 有２种， 所以恰好选中甲、乙两名同学的概率为 ２ １２＝ １ ６                     ． —８１— 初中数学·中考（ＹＮ）　第２７～３６期