第三讲 方程与方程组-【数理报】2025年中考数学高效复习（云南专版）

当ａ＝ １２，ｂ＝２时， 原式＝２×槡 １ ２ － 槡３２ ＝２×槡２２－ 槡３２ ＝槡２－ 槡３２ ＝－ 槡２２． 每讲一测 １．Ｃ；　２．Ｂ；　３．Ｃ；　４．Ｃ；　５．Ｂ； ６．－１；　７．－４０；　８．ｘ≤ １２． ９．原式＝－３ａ２ｂ－５ａｂ２＋ａ２ｂ＋４ａｂ２－２ａ２ｂ ＝－４ａ２ｂ－ａｂ２． 当ａ＝－２，ｂ＝ １３时， 原式＝－４×（－２）２×１３－（－２）×（ １ ３） ２ ＝－４×４×１３＋２× １ ９ ＝－１６３＋ ２ ９ ＝－４６９． １０．（１）已知长方形的长为ａ米，宽为ｂ米，则长方形面积 为ａｂ平方米，且方案一中有３个半径为ｒ米的圆形花坛， 所以方案一中的空地面积是（ａｂ－３πｒ２）平方米． 又因为方案二中有４个半径为Ｒ米的半圆形花坛， 所以方案二中的空地面积是（ａｂ－２πＲ２）平方米． （２）由题意得６ｒ＝４Ｒ，所以Ｒ＝ ３２ｒ， 所以ａｂ－３πｒ２－（ａｂ－２πＲ２）＝２πＲ２－３πｒ２ ＝２π× （ ３ ２ｒ） ２－３πｒ２ ＝ ９２πｒ ２－３πｒ２ ＝ ３２πｒ ２， 所以方案一中的空地面积比方案二中的空地面积大 ３ ２πｒ ２平方米． 第三讲　方程与方程组 知识梳理 等式两边加（或减）同一个数，结果仍相等　等式两边乘 同一个数，或除以同一个不为０的数，结果仍相等 一　１　ａｘ＋ｂ＝０（ａ≠０） 去括号　合并同类项 一　２　ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０） 直接开平方法　配方法　公式法　因式分解法 ｘ＝－ｂ± ｂ ２－４槡 ａｃ ２ａ 　Δ＝ｂ ２－４ａｃ　Δ＞０　Δ＝０　Δ ＜０ 分母 转化　整式方程　去分母　增根 两　１ 消元　“一元”　一元一次方程　加减消元法　代入消 元法 考点演练 １．Ｄ；　２．－６；　３．３． ４．（１）设甲池的排水速度为ｘｍ３／ｈ， 由题意得３６－３ｘ＝２（３６－８×３）， 解得ｘ＝４． 答：甲池的排水速度为４ｍ３／ｈ． （２）设排水ａ小时，则３６×２－（４＋８）ａ≥２４， 解得ａ≤４． 答：最多可以排水４小时． ５．设甲有钱币ｘ枚，乙有钱币ｙ枚， 由题意，得 ｘ＋１０＝６（ｙ－１０）， ｘ－１０＝ｙ＋１０{ ， 解得 ｘ＝３８， ｙ＝１８{ ． 答：甲、乙原来各有３８枚、１８枚钱币． ６． ｘｘ＋１－１＝ ２ｘ ３ｘ＋３， 去分母，得３ｘ－（３ｘ＋３）＝２ｘ， 去括号，得３ｘ－３ｘ－３＝２ｘ， 解得ｘ＝－３２， 检验，当ｘ＝－３２时，３ｘ＋３≠０， 所以原分式方程的解为ｘ＝－３２． ７．设该市谷时电价为ｘ元／度，则峰时电价为（ｘ＋０．２）元／度， 根据题意得， ５０ ｘ＋０．２＝ ３０ ｘ， 解得ｘ＝０．３， 经检验ｘ＝０．３是原方程的解． 答：该市谷时电价为０．３元 ／度． ８．因为２ｘ（ｘ－３）＝ｘ－３， 所以２ｘ（ｘ－３）－（ｘ－３）＝０， 所以（２ｘ－１）（ｘ－３）＝０， 所以２ｘ－１＝０或ｘ－３＝０                                                                      ， —２— 初中数学·中考（ＹＮ）　第２７～３６期 解得ｘ１ ＝ １ ２，ｘ２ ＝３． ９．Ｂ． １０．设该城区绿化面积的年平均增长率为ｘ， 根据题意可得１０（１＋ｘ）２ ＝１４．４， 解得ｘ１ ＝０．２＝２０％，ｘ２ ＝－２．２（舍去）． 答：该城区绿化面积的年平均增长率为２０％． 每讲一测 １．Ｂ；　２．Ｃ；　３．Ａ；　４．Ｄ；　５．Ｄ； ６．－２；　７．３ｘ＋（２０－ｘ－６）＝３２；　８．ｍ≠－２． ９．（１） ｘ＋２ｙ＝３，① ｘ－２ｙ＝１，{ ② ① ＋②，得２ｘ＝４，解得ｘ＝２， 把ｘ＝２代入①，得ｙ＝ １２， 所以方程组的解为 ｘ＝２， ｙ＝ １２ { ． （２）去分母，得２ｘ２－８＝ｘ２－２ｘ， 所以ｘ２＋２ｘ－８＝０， 所以（ｘ－２）（ｘ＋４）＝０， 解得ｘ＝２或ｘ＝－４， 经检验ｘ＝２是增根，ｘ＝－４是原方程的解， 所以分式方程的解为ｘ＝－４． １０．（１）根据题意得，ｙ＝６０－２（ｘ－５０）＝－２ｘ＋１６０， 故ｙ与ｘ的函数关系式为ｙ＝－２ｘ＋１６０（３０≤ｘ≤６５）． （２）根据题意得（ｘ－３０）（－２ｘ＋１６０）＝８００， 解得ｘ１ ＝４０，ｘ２ ＝７０（舍去）． 答：销售单价应定为４０元． 第四讲　不等式与不等式组 知识梳理 用符号“＞”或“＜”表示大小关系的式子 使不等式成立的未知数的值 含有未知数的不等式的所有的解 不变　不变　改变 把两个一元一次不等式合起来 不等式组中两个不等式解集的公共部分 ｘ≥ｂ　ｘ≤ａ　ａ≤ｘ≤ｂ　无解 考点演练 １．Ｂ；　２．ｍ≤２． ３． ３ｘ－２＞１，① ２ｘ－１ ３ ＞ｘ－２， { ② 解不等式①得ｘ＞１， 解不等式②得ｘ＜５， 所以不等式组的解集为１＜ｘ＜５． 将解集表示在数轴上如图１． !" !" !# !$ % & ' & $ ( " ) 图１４．（１）１７． （２）Ⅰ．租用甲种型号的客车ｘ辆，则租用乙种型号的客车 （７－ｘ）辆， 所以ｙ＝１５００ｘ＋１２００（７－ｘ）＝３００ｘ＋８４００． Ⅱ．因为租车总费用不超过１０２００元，师生共有２７５人， 所以 ３００ｘ＋８４００≤１０２００， ４５ｘ＋３３（７－ｘ）≥２７５{ ， 解得 １１ ３≤ｘ≤６． 在ｙ＝３００ｘ＋８４００中，因为３００＞０，所以ｙ随ｘ的增大而 增大． 又因为 １１ ３≤ｘ≤６，且ｘ为整数， 所以当ｘ＝４时，ｙ取最小值，最小值为３００×４＋８４００＝ ９６００（元）． 答：租用甲种型号客车４辆，乙种型号客车３辆最省钱，此 时总费用是９６００元． 每讲一测 １．Ｄ；　２．Ａ；　３．Ａ；　４．Ｃ；　５．Ｂ； ６．４ｘ＋７≥６；　７．１４；　８．１１＜ｘ≤３２． ９．解不等式ｘ＋２≥１，得ｘ≥－１， 解不等式２（ｘ＋３）－３＞３ｘ，得ｘ＜３， 将解集表示在数轴上如图２． !" !# !$ %& ' & $ ( " 图２ 所以不等式组的解集为 －１≤ｘ＜３． １０．（１）设甲种花卉每株的价格为ｘ元，则乙种花卉每株的 价格为１．２ｘ元， 由题意得 ２７００－１２００ １．２ｘ － １２００ ｘ ＝２，解得ｘ＝２５， 经检验，ｘ＝２５是原方程的解，且符合题意， 所以１．２ｘ＝１．２×２５＝３０． 答：甲种花卉每株的价格为２５元，乙种花卉每株的价格为 ３０元． （２）设该部门需购买甲种花卉 ｍ株，则需购买乙种花卉 （１２０－ｍ）株                                                                      ， —３— 初中数学·中考（ＹＮ）　第２７～３６期 书 考点１：等式的基本性质 　　　　　　　　　　　　　　　例１ 根据等式的性质，下列各式变形正确 的是 （　　） Ａ．若ａ＝ｂ，则ａｃ＝ ｂ ｃ Ｂ．若ａ＝ｂ，则ａｃ＝ｂｃ Ｃ．若ａ２ ＝ｂ２，则ａ＝ｂ Ｄ．若 －１３ｘ＝９，则ｘ＝－３ 解：Ａ．若ａ＝ｂ，当ｃ≠０时，ａｃ＝ ｂ ｃ；当ｃ＝ ０时，等式无意义，该选项错误，不合题意； Ｂ．若ａ＝ｂ，则ａｃ＝ｂｃ，该选项正确，符合题 意； Ｃ．若ａ２＝ｂ２，则ａ＝ｂ或ａ＝－ｂ，该选项错 误，不合题意； Ｄ．若 －１３ｘ＝９，则ｘ＝－２７，该选项错误， 不合题意． 故选Ｂ． 跟踪训练１：若ａ＝ｂ，则下列等式不成立的 是 （　　） Ａ．ａ＋２＝ｂ＋２ Ｂ．５ａ＝５ｂ Ｃ．ａ３ ＝ ｂ ３ Ｄ．ａ＋１＝ｂ－１ 考点２：解一元一次方程和二元一次方程组 例２　解方程：ｘ＋１２ ＋２＝１－ ２－ｘ ４ ． 解：去分母，得２（ｘ＋１）＋８＝４－（２－ｘ）， 去括号，得２ｘ＋２＋８＝４－２＋ｘ， 移项，得２ｘ－ｘ＝４－２－２－８， 解得ｘ＝－８． 跟踪训练２：已知ｘ＝３是关于ｘ的方程２ｘ＋ ａ＝０的一个解，则ａ的值是                             ． 书 方 程 与 方 程 组 　　 整 式 方 程 　　 （１）等式的基本性质：① ；② ． （２）一元一次方程：只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程． 其一般形式为 ． （３）解一元一次方程的步骤：去分母、 、移项、 、系数化为１． （１）一元二次方程：只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程． 其一般形式为 ． （２）一元二次方程的解法有 、 、 、 ． （３）一元二次方程的求根公式是 ；一元二次方程根的判别式是 ；当 时，一元二次方程有两个不相等的实数根，当 时， 一元二次方程有两个相等的实数根，当 时，一元二次方程没有实数根． 分 式 方 程 　　 （１）分式方程： 中含有未知数的方程叫做分式方程． （２）解分式方程的基本思想是 ，即将分式方程转化为 ，而转化的关键 是 ．将分式方程转化为整式方程后，所得整式方程的根有可能使原分式方程 的分母为０，这时的根就是原分式方程的 ，因此求得的根必须检验． 二元 一次 方程 （组） 　　 （１）二元一次方程：含有 个未知数，并且未知数的最高次数为 的整式方程叫二 元一次方程． （２）含有相同未知数的两个二元一次方程合在一起组成了二元一次方程组． （３）解二元一次方程组的基本思想是 ，即化“二元”为 ，达到将二元 一次方程组转化为 的目的，消元的基本方法有 和 ． ! 书 例 ３　 若 二 元 一 次 方 程 组 ７ｘ＋ｍｙ＝１６， ５ｘ－ｙ＝{ ９ 的解是方程２ｘ＋３ｙ＝７的一个 解，则ｍ的值为 ． 解：因为方程组 ７ｘ＋ｍｙ＝１６， ５ｘ－ｙ＝{ ９ 的解是方程 ２ｘ＋３ｙ＝７的一个解， 所以方程组 ７ｘ＋ｍｙ＝１６， ５ｘ－ｙ＝{ ９ 的解满足 ｘ＝ ７－３ｙ ２ ． 将ｘ＝７－３ｙ２ 代入５ｘ－ｙ＝９中，得５× ７－３ｙ ２ －ｙ＝９，解得ｙ＝１，ｘ＝２， 所以１４＋ｍ＝１６，解得ｍ＝２． 故填２． 跟踪 训 练 ３： 已 知 ｘ，ｙ满 足 方 程 组 ｘ＋２ｙ＝２， ２ｘ＋ｙ＝７{ ，则ｘ＋ｙ的值为 ． 考点３：一元一次方程和二元一次方程组的 应用 例４　云南蒙自石榴是全国特色水果之一， 是全国农产品地理标志．小红到水果批发市场 购买石榴，店里标注石榴每千克２０元，她与老板 经过议价，老板同意在购买很多的情况下，按原 价打九折卖给小红．称完质量后，老板告诉小 红：“你比上一位顾客多买了５千克，打折后你比 他按原价购买还少花１０元．”则小红购买石榴 的质量是 （　　） Ａ．４５千克 Ｂ．５０千克 Ｃ．５５千克 Ｄ．６０千克 解：设小红购买石榴的质量是 ｘ千克，则上 一位顾客购买石榴的质量是（ｘ－５）千克， 根据题意得２０×０．９ｘ＋１０＝２０（ｘ－５）， 解得ｘ＝５５． 故选Ｃ． 跟踪训练４：甲、乙两个水池注满水，蓄水量 均为３６ｍ３，工作期间需同时排水，乙池的排水速 度是８ｍ３／ｈ．若排水３ｈ，则甲池剩余水量是乙池 剩余水量的２倍． （１）求甲池的排水速度； （２）工作期间，如果这两个水池剩余水量的 和不少于２４ｍ３，那么最多可以排水几小时？ 例５　Ａ，Ｂ两种型号的吉祥物具有吉祥如 意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．某超 市销售Ａ，Ｂ两种型号的吉祥物，有关信息见下 表： 成本 （单位：元 ／个） 销售价格 （单位：元 ／个） Ａ型号 ３５ ａ Ｂ型号 ４２ ｂ 若顾客在该超市购买８个 Ａ种型号吉祥物 和７个Ｂ种型号吉祥物，则一共需要６７０元；购买 ４个Ａ种型号吉祥物和５个Ｂ种型号吉祥物，则 一共需要４１０元． （１）求ａ，ｂ的值； （２）若某公司计划从该超市购买 Ａ，Ｂ两种 型号的吉祥物共９０个，且购买 Ａ种型号吉祥物 的数量ｘ（单位：个）不少于Ｂ种型号吉祥物数量 的 ４ ３，又不超过 Ｂ种型号吉祥物数量的２倍．设 该超市销售这９０个吉祥物获得的总利润为ｙ元， 求ｙ的最大值（注：该超市销售每个吉祥物获得 的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥 物的成本的差）                                                              ． !" 书 解：（１）由题知， ８ａ＋７ｂ＝６７０， ４ａ＋５ｂ＝４１０{ ， 解得 ａ＝４０， ｂ＝５０{ ． （２）因为购买Ａ种型号吉祥物的数量ｘ个， 则购买Ｂ种型号吉祥物的数量（９０－ｘ）个， 根据题意得 ｘ≥ ４３（９０－ｘ）， ｘ≤２（９０－ｘ { ）， 解得 ３６０ ７ ≤ｘ≤６０． 由题知，ｙ＝（４０－３５）ｘ＋（５０－４２）（９０－ ｘ），整理得ｙ＝－３ｘ＋７２０， 因为ｙ随ｘ的增大而减小，所以当ｘ＝５２时， ｙ有最大值，为 －３×５２＋７２０＝５６４． 跟踪训练５：中国古代数学著作《张邱建算 经》中有一道问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其 数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适 等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人 各有钱币若干枚．若乙给甲１０枚钱，此时甲的钱 币数比乙的钱币数多出５倍，即甲的钱币数是乙 钱币数的６倍；若甲给乙１０枚钱，此时两人的钱 币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用 二元一次方程组解答上述问题． 考点４：解分式方程 例６　若关于ｘ的分式方程 ３ｘｘ－２＝ ｍ ２－ｘ＋ ５的解为非负数，则ｍ的取值范围为 （　　） Ａ．ｍ＜－１０ Ｂ．ｍ≤－１０ Ｃ．ｍ＞－１０且ｍ≠－６ Ｄ．ｍ≥－１０且ｍ≠－６ 解：根据题意解分式方程 ３ｘ ｘ－２＝ ｍ ２－ｘ＋５， 得ｘ＝１０＋ｍ２ ． 因为ｘ－２≠０，所以ｘ≠２，即１０＋ｍ２ ≠２， 解得ｍ≠－６． 因为ｘ≥０，所以１０＋ｍ２ ≥０，解得ｍ≥－１０． 综上，ｍ的取值范围是ｍ≥－１０且ｍ≠－６． 故选Ｄ． 跟踪训练６：解方程： ｘｘ＋１－１＝ ２ｘ ３ｘ＋３． 考点５：分式方程的应用 例７　某旅行社组织游客从Ａ地到Ｂ地的航 天科技馆参观，已知Ａ地到Ｂ地的路程为３００千 米，乘坐Ｃ型车比乘坐Ｄ型车少用２小时，Ｃ型车 的平均速度是Ｄ型车的平均速度的３倍，求Ｄ型 车的平均速度． 解：设Ｄ型车的平均速度为ｘｋｍ／ｈ，则Ｃ型 车的平均速度是３ｘｋｍ／ｈ， 根据题意可得， ３００ ｘ － ３００ ３ｘ＝２， 解得ｘ＝１００， 经检验ｘ＝１００是该方程的解． 答：Ｄ型车的平均速度为１００ｋｍ／ｈ． 跟踪训练７：为了健全分时电价机制，引导 电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷 分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：７：００ ～２３：００，用电低谷时段（简称谷时）：２３：００～ 次日７：００，峰时电价比谷时电价高０．２元 ／度． 市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，                                                              某月 !! 书 的峰时电费为５０元，谷时电费为３０元，并且峰 时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价． 考点６：解一元二次方程 例８　用配方法解方程ｘ２＋４ｘ＋１＝０，变 形后的结果正确的是 （　　） Ａ．（ｘ＋２）２ ＝５ Ｂ．（ｘ＋４）２ ＝３ Ｃ．（ｘ＋２）２ ＝３ Ｄ．（ｘ＋４）２ ＝５ 解：由题意知，ｘ２＋４ｘ＋１＝０可变形为ｘ２＋ ４ｘ＋４＝３，即（ｘ＋２）２ ＝３． 故选Ｃ． 跟踪训练８：解方程：２ｘ（ｘ－３）＝ｘ－３． 考点７：一元二次方程根的判别式 例９　若关于ｘ的一元二次方程（ｍ－１）ｘ２ ＋ｘ＋１＝０有实数根，则ｍ的取值范围是 （　　） Ａ．ｍ≤ ５４ Ｂ．ｍ≤ ５ ４且ｍ≠１ Ｃ．ｍ≥ ５４ Ｄ．ｍ＞ ５ ４ 解：因为关于ｘ的一元二次方程（ｍ－１）ｘ２＋ ｘ＋１＝０有实数根， 所以ｍ－１≠０且Δ＝１２－４（ｍ－１）×１≥０， 解得ｍ≤ ５４且ｍ≠１． 故选Ｂ． 跟踪训练９：若关于ｘ的方程ｘ２－ｘ－ｍ＝０ 有两个不相等的实数根，则实数 ｍ的取值范围 是 （　　） Ａ．ｍ＜－１４ Ｂ．ｍ＞－ １ ４ Ｃ．ｍ＜－４ Ｄ．ｍ＞－４ 考点８：一元二次方程的应用 例１０　 如图，某小 区要在长为１６ｍ，宽为 １２ｍ的矩形空地上建造 一个花坛，使花坛四周 小路的宽度相等，且花 坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 ｍ． 解：设小路的宽为 ｘｍ，则矩形花坛的长为 （１６－２ｘ）ｍ，宽为（１２－２ｘ）ｍ， 由题意得，（１６－２ｘ）（１２－２ｘ）＝１２×１６× １２，解得ｘ＝２或ｘ＝１２（舍去），所以小路的宽 为２ｍ． 故填２． 跟踪训练１０：美化城市、改善人们的居住环 境已成为城市建设的一项重要内容．我市近几 年来，通过拆迁旧房植草、栽树、修公园等措施， 使城区绿化面积不断增加．我市某城区２０２３年 底时绿化面积约为１０万亩，计划到２０２５年底时 绿化面积达到１４．４万亩．若绿化面积每年的年 平均增长率相同，求该城区绿化面积的年平均 增长率                                                              ． !" # !$ # !" !" 书 每讲一测 １．一元二次方程２ｘ２－３ｘ－１＝０的一次项 系数是 （　　） Ａ．２ Ｂ．－３ Ｃ．－１ Ｄ．０ ２．若代数式ｘ＋１的值为３，则ｘ等于 （　　） Ａ．４ Ｂ．－４ Ｃ．２ Ｄ．－２ ３．我国明代数学家程大位编撰的《算法统 宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条 索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿 子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根 竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长５尺；若 将绳对折后再去量竿，则绳比竿短５尺，问绳和 竿各有多长？”设绳长ｘ尺，竿长ｙ尺，根据题意 得（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，１托 ＝ ５尺） （　　） Ａ． ｘ－ｙ＝５， ｙ－１２ｘ＝ { ５ Ｂ． ｘ－ｙ＝５， １ ２ｘ－ｙ＝ { ５ Ｃ． ｘ－ｙ＝５， ２ｘ＝ｙ＋{ ５ Ｄ． ｘ－ｙ＝５， ｙ－２ｘ＝{ ５ ４．关于ｘ的一元二次方程ｘ２＋ｋｘ－１＝０的 根的情况是 （　　） Ａ．无实数根 Ｂ．有一个实数根 Ｃ．有两个相等的实数根 Ｄ．有两个不相等的实数根 ５．下列进行的变形中，运用“等式的基本性 质１”的是 （　　） Ａ．由４ｘ－ｘ＝－２－４，得３ｘ＝－６ Ｂ．由６ｘ＝３，得ｘ＝１２ Ｃ．由２ｘ５＋１＝ ｘ ２，得４ｘ＋１０＝５ｘ Ｄ．由２ｘ－３＝７ｘ＋４，得２ｘ－７ｘ＝４＋３ ６．若关于ｘ的一元二次方程ｘ２－ｘ＋ｍ＝０ 有一个根为ｘ＝２，则ｍ的值为 ． ７．足球比赛的记分规则为：胜一场得３分， 平一场得１分，负一场得０分，一个队打了２０场 比赛，负了６场，共积３２分，那么该队胜多少场？ 若设该队胜ｘ场，则可列方程为 ． ８．关于ｘ的分式方程ｍ＋ｘ２－ｘ－３＝０有解，则 实数ｍ应满足的条件是 ． ９．解方程（组）： （１） ｘ＋２ｙ＝３， ｘ－２ｙ＝１{ ； （２） ２ｘｘ－２－ ８ ｘ２－２ｘ ＝１． １０．某商品每件进价为３０元，当销售单价为 ５０元时，每天可以销售６０件．市场调查发现：销 售单价每提高１元，日销售量将会减少２件，物 价部门规定该商品销售单价不能高于６５元，设 该商品的销售单价为 ｘ（元），日销售量为 ｙ（件）． （１）求ｙ与ｘ之间的函数关系式； （２）要使日销售利润为８００元，销售单价应 定为多少元                                                              ？ !"