第七讲 反比例函数-【数理报】2025年中考数学高效复习（云南专版）

书 考点１：反比例函数的表达式 例１　若点Ａ（１，３）是反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ ≠０）图象上一点，则常数ｋ的值为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．３ Ｂ．－３ Ｃ．３２ Ｄ．－ ３ ２ 解：因为点Ａ（１，３）是反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ ≠０）图象上一点， 所以ｋ＝１×３＝３． 故选Ａ． 跟踪训练１：已知反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０） 的图象经过点（－２，３），那么该反比例函数图象 也一定经过点 （　　） Ａ．（２，３） Ｂ．（１，６） Ｃ．（－３，－２） Ｄ．（－６，１） 考点２：反比例函数的图象与性质 例２　对于反比例函数ｙ＝４ｘ，下列说法中 错误的是 （　　） Ａ．ｙ随ｘ的增大而减小 Ｂ．图象经过点（－２，－２） Ｃ．图象与坐标轴无交点 Ｄ．图象分布在第一、三象限 解：对于反比例函数ｙ＝４ｘ， Ａ．ｙ随ｘ的增大而减小，错误，应注意其ｘ≠ ０，增减性应给定自变量范围，符合题意； Ｂ．图象经过点（－２，－２），正确，不符合题 意； Ｃ．图象与坐标轴无交点，正确，不符合题 意； Ｄ．图象分布在第一、三象限，正确，不符合 题意． 故选Ａ． 跟踪训练２：（１）函数ｙ＝ｍｘ与ｙ＝ｍ（ｘ－ １）（ｍ≠０）在同一平面直角坐标系中的图象可 能是 （　　） （２）已知点 Ａ（－４，ｙ１），Ｂ（－２，ｙ２），Ｃ（３， ｙ３）都在反比例函数ｙ＝ －３ ｘ的图象上，则ｙ１，ｙ２， ｙ３的大小关系可能是 （　　                                        ） 书 反比例函数 　　 概念 　　 形如 的函数叫做反比例函数． 图象 　　 反比例函数的图象是 ，它们分别位于 或 象限， 且沿坐标轴的方向无限延伸，逐渐接近坐标轴，但与坐标轴永不 ． 反比例函数的图象既是 图形，又是 图形，对称中心是 ， 对称轴是 ． 性质 　　 当ｋ＞０时，函数图象在每一象限内，ｙ随ｘ的增大而 ；当ｋ＜０时，函 数图象在每一象限内，ｙ随ｘ的增大而 ． ｋ的几 何意义 　　 由反比例函数图象上任意一点Ａ向两个坐标轴作垂线，垂足分别为 Ｂ，Ｃ，则Ｓ四边形ＯＢＡＣ＝ ． ! " # $ ! " # ! " # " # ! ! " # !" 书 Ａ．ｙ３ ＜ｙ２ ＜ｙ１ Ｂ．ｙ１ ＜ｙ３ ＜ｙ２ Ｃ．ｙ３ ＜ｙ１ ＜ｙ２ Ｄ．ｙ２ ＜ｙ３ ＜ｙ１ 考点３：ｋ的几何意义 例３　双曲线ｙ１ ＝－ ２ ｘ 和ｙ２在第二象限内的图象如 图１所示，过ｙ１上任意一点Ａ 作ｙ轴的平行线交ｙ２于点Ｂ． 若Ｓ△ＯＡＢ ＝２，则ｙ２的解析式 是 （　　） Ａ．ｙ２ ＝－ ３ ｘ Ｂ．ｙ２ ＝－ ４ ｘ Ｃ．ｙ２ ＝－ ５ ｘ Ｄ．ｙ２ ＝－ ６ ｘ 解：如图２所示，延长ＢＡ 交ｘ轴于点Ｃ， 因为ＡＢ∥ｙ轴，所以ＢＣ ⊥ｘ轴． 设ｙ２的解析式为 ｙ２ ＝ ｋ ｘ，因为点 Ｂ在双曲线 ｙ２ ＝ ｋ ｘ上，所以Ｓ△ＢＯＣ ＝ ｜ｋ｜ ２ ＝－ ｋ ２． 因为点Ａ在双曲线ｙ１ ＝－ ２ ｘ上，所以Ｓ△ＡＯＣ ＝｜－２｜２ ＝１． 因为Ｓ△ＯＡＢ ＝２，所以Ｓ△ＢＯＣ－Ｓ△ＡＯＣ ＝Ｓ△ＯＡＢ ＝２，所以 －ｋ２－１＝２，所以ｋ＝－６， 所以ｙ２的解析式是ｙ２ ＝－ ６ ｘ． 故选Ｄ． 跟踪训练 ３：如图 ３， Ａ，Ｂ是双曲线ｙ＝ｋｘ（ｘ＞ ０）上的两点，连接 ＯＡ， ＯＢ．过点Ａ作ＡＣ⊥ｘ轴于 点 Ｃ，交ＯＢ于点Ｄ．若Ｄ为ＡＣ的中点，△ＡＯＤ的 面积为 ３，点 Ｂ的坐标为（ｍ，２），则 ｍ的值为 ． 考点４：反比例函数的应用 例４　云南某山区冬季经常缺水，政府在山 顶修建了一大型蓄水池．据统计，按每天用水 ０６立方米计算，蓄水池的水一个月（３０天）刚 好用完．如果每天的用水量为 ｘ立方米，那么这 个蓄水池的水能维持ｙ天． （１）写出ｙ与ｘ之间的函数表达式； （２）如果每天用水０．５立方米，那么蓄水池 的水能维持多少天？ 解：（１）０．６×３０＝１８（立方米）， 所以ｙ与ｘ之间的函数表达式为ｙ＝１８ｘ． （２）当ｘ＝０．５时，ｙ＝１８０．５＝３６（天）． 答：蓄水池的水能维持３６天． 跟踪训练 ４：在 特定的温度下，某容 器充满一定量的气 体，该容器内气体的 压强 ｐ（ｋＰａ）是气体 体积 Ｖ（ｍ３）的反比 例函数，其图象如图４所示． （１）求ｐ与Ｖ的函数表达式； （２）若该容器内气体的压强不得超过 ４００ｋＰａ，求该容器内气体体积的取值范围                                                               ． ! " # $ ! $ " % $ ! " ! & ' % # " $ ! # ! " # $ ! $ " % $ ! ! & "$ !$ #$ %$ &$ '$ ( ( ( ( ( ( %$$ #$$ !$$ "$$ ) ) ) ) (*+ # )*,-. " ! % !" 书 考点５：反比例函数与一次函数综合 例５　如图５，直线ｙ＝ ａｘ＋ｂ与ｘ轴交于点Ａ（４，０）， 与ｙ轴交于点Ｂ（０，－２），与 反比例函数 ｙ＝ ｋｘ（ｘ＞０） 的图象交于点Ｃ（６，ｍ）． （１）求直线和反比例函数的表达式； （２）连接ＯＣ，在ｘ轴上找一点Ｐ，使Ｓ△ＰＯＣ ＝ ２Ｓ△ＡＯＣ，请求出点Ｐ的坐标． 解：（１）将Ａ（４，０），Ｂ（０，－２）代入ｙ＝ａｘ＋ ｂ得 ０＝４ａ＋ｂ， －２＝ｂ{ ， 解得 ａ＝１２， ｂ＝－２ { ， 所以直线的表达式为ｙ＝１２ｘ－２． 因为点Ｃ（６，ｍ）在直线上，所以ｍ＝１２×６ －２＝１， 所以ｋ＝６ｍ＝６， 所以反比例函数的表达式为ｙ＝６ｘ． （２）设Ｐ点坐标为（ｐ，０）， 因为Ｓ△ＡＯＣ ＝ １ ２ＯＡ·ｙＣ ＝ １ ２×４×１＝２， 又因为Ｓ△ＰＯＣ ＝２Ｓ△ＡＯＣ， 所以 １ ２ＯＰ·ｙＣ ＝ １ ２｜ｐ｜×１＝４， 所以｜ｐ｜＝８，所以 Ｐ点坐标为（８，０）或 （－８，０）． 跟踪训练５：如图６，直线 ｙ１ ＝ａｘ＋ｂ与反比例函数ｙ２ ＝ｋｘ的图象交于 Ａ，Ｂ两点， 与ｘ轴交于点Ｃ，点Ａ的纵坐 标为６，点 Ｂ的坐标为（－３， －２）． （１）求直线和反比例函数的解析式； （２）求点Ｃ的坐标，并结合图象直接写出ｙ１ ＜ｙ２时ｘ的取值范围． 每讲一测 １．下列函数中，属于反比例函数的是 （　　） Ａ．ｙ＝ｘ５ Ｂ．ｙ＝ １ ５ｘ Ｃ．ｙ＝６＋２ｘ Ｄ．ｙ＝ｘ２＋４ ２．点（２，■）在反比例函数 ｙ＝２ｘ的图象 上，则“■”的值为 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ３．如果反比例函数ｙ＝ｍ＋７ｘ 的图象满足当 ｘ＞０时，ｙ随ｘ的增大而减小，那么ｍ的取值范 围是 （　　） Ａ．ｍ＜０ Ｂ．ｍ＞０ Ｃ．ｍ＜－７ Ｄ．ｍ＞－７ ４．如图１，点Ｐ在反比例 函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的图象 上，ＰＡ⊥ ｘ轴于点 Ａ，△ＰＡＯ 的面积为１，则ｋ的值为 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ５．函数ｙ＝ｋｘ与ｙ＝ｋｘ＋３ｋ在同一坐标系 内的图象大致是 （　　                                                               ） ! " # $ % & ! ! ! % " & ' $ ! " !" ( % & ! # $ % & ' ! % & ! % & ! % & !% & !" 书 ６．已知点Ａ（２，ｙ１），Ｂ（１，ｙ２）都在反比例函 数 ｙ＝－２ｘ的图象上，则 ｙ１ ｙ２（填 “＞”“＝”或“＜”）． ７．收音机刻度盘上的频率 ｆ（ｋＨｚ）是波长 λ（ｍ）的反比例函数，其函数图象如图２所示，当 λ＝１０００ｍ时，该频道的频率为 ｋＨｚ． ８．如图３，在平面直角坐标系中，点 Ｏ是坐 标原点，平行四边形ＡＢＣＤ的顶点Ａ，Ｂ在ｘ轴的 正半轴上，顶点Ｃ在第一象限内，顶点Ｄ在 ｙ轴 的正半轴上，对角线ＡＣ和ＢＤ相交于点Ｅ且ＡＣ ⊥ＡＢ，函数ｙ＝ｋｘ（ｋ＞０，ｘ＞０）的图象经过点 Ｅ．若平行四边形ＡＢＣＤ的面积为８，则ｋ的值为 ． ９．诗词是指以古体诗、近体诗和格律词为 代表的中国汉族传统诗歌，亦是汉字文化圈的 特色之一．一本《中华诗词集锦》，每天看的页数 和需要的天数如下表： 每天看的页数 ／页 １２ １５ ２０ ３０ 需要的天数 ／天 ２５ ２０ １５ １０ （１）每天看的页数与需要的天数之间成反 比例关系吗？为什么？ （２）如果要６天看完这本《中华诗词集锦》， 平均每天要看多少页？ １０．如图４，一次函数ｙ１ ＝－ｘ＋５的图象与 反比例函数ｙ２ ＝ ｋ ｘ（ｋ≠０，ｘ＞０）的图象交于 Ａ（１，ａ），Ｂ两点． （１）求反比例函数的表达式和点Ｂ的坐标； （２）根据图象，直接写出 －ｘ＋５－ｋｘ＜０时 ｘ的取值范围； （３）过线段ＡＢ上的动点Ｐ作ｘ轴的垂线，垂 足为点Ｍ，其交反比例函数ｙ２ ＝ ｋ ｘ（ｋ≠０，ｘ＞ ０）的图象于点 Ｑ，连接 ＯＰ，若ＰＱＱＭ ＝ ９ １６，求 △ＰＭＯ的面积                                                               ． ! " # $ % & ' ( ! ! ! #& ) * + ( ' ! " #$$ %$$ &$$$ # $$$ & %$$ & #$$ '$$ !$$ "#() $#$$%& *$$& '((+,- ! # ( !" 所以ｙ＝７５ｘ－６０． （２）由图可知，服务区在ＤＢ段， 令ｙ＝１８０，则１８０＝７５ｘ－６０， 解得ｘ＝３．２． 答：赵叔叔出发３．２ｈ到达服务区． 每讲一测 １．Ｂ；　２．Ａ；　３．Ａ；　４．Ａ；　５．Ａ； ６． ｘ＝－２， ｙ＝－３{ ；　７．ｙ＝２ｘ－２；　８．（２，－１）． ９．（１）因为一次函数 ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象过点 Ａ（－１，２）， Ｄ（０，１）， 所以 －ｋ＋ｂ＝２， ｂ＝１{ ， 解得 ｋ＝－１， ｂ＝１{ ， 所以一次函数的表达式是ｙ＝－ｘ＋１． （２）由（１）知ｙ＝－ｘ＋１， 所以当ｙ＝０时，ｘ＝１， 所以点Ｃ的坐标为（１，０），所以ＯＣ＝１． 又因为点Ｂ坐标为（－１，０），所以ＢＣ＝２， 所以△ＡＢＣ的面积 ＝ＡＢ·ＢＣ２ ＝ ２×２ ２ ＝２． １０．（１）设ｌ１解析式为ｓ１ ＝ｋ１ｔ＋ｂ１， 根据题意ｌ１经过点（１，０），（３，８０）， 所以 ｋ１＋ｂ１ ＝０， ３ｋ１＋ｂ１ ＝８０ { ， 解得 ｋ１ ＝４０， ｂ１ ＝－４０ { ， 所以ｌ１解析式为ｓ１ ＝４０ｔ－４０． 设ｌ２解析式为ｓ２ ＝ｋ２ｔ， 根据题意ｌ２经过点（３，４０）， 所以４０＝３ｋ２，解得ｋ２ ＝ ４０ ３， 所以ｌ２解析式为ｓ２ ＝ ４０ ３ｔ． （２）依题意，得４０３ｔ－（４０ｔ－４０）＝１０或（４０ｔ－４０）－ ４０ ３ｔ ＝１０， 解得ｔ＝ ９８或ｔ＝ １５ ８， 所以 ９ ８ｈ或 １５ ８ｈ后，甲、乙两人相距１０ｋｍ． 第七讲　反比例函数 知识梳理 ｙ＝ ｋｘ（ｋ为常数，ｋ≠０） 两支曲线　第一、三　第二、四　相交 轴对称　中心对称　原点　直线ｙ＝ｘ 减小　增大 ｜ｋ｜ 考点演练 １．Ｄ；　２．（１）Ｃ，　（２）Ｃ；　３．６． ４．（１）设ｐ＝ ｋＶ， 由题意知３００＝ ｋ２０， 所以ｋ＝６０００，即ｐ＝６０００Ｖ ． （２）当ｐ＝４００ｋＰａ时，Ｖ＝６０００４００ ＝１５． 因为在第一象限内，ｐ随Ｖ的增大而减小， 所以当ｐ≤４００ｋＰａ时，Ｖ≥１５ｍ３， 所以为了安全起见，气体的体积应不小于１５ｍ３． 答：气体的体积应不小于１５ｍ３． ５．（１）因为点Ｂ（－３，－２）在反比例函数ｙ２ ＝ ｋ ｘ的图象 上， 所以 ｋ －３＝－２，解得ｋ＝６， 所以反比例函数的解析式为ｙ２ ＝ ６ ｘ． 因为点Ａ的纵坐标为６， 将ｙ＝６代入ｙ２ ＝ ６ ｘ，得ｘ＝１， 所以点Ａ的坐标为（１，６）． 因为直线ｙ１ ＝ａｘ＋ｂ经过点Ａ（１，６），Ｂ（－３，－２）， 所以 ａ＋ｂ＝６， －３ａ＋ｂ＝－２{ ，解得 ａ＝２， ｂ＝４{ ， 所以直线的解析式为ｙ１ ＝２ｘ＋４． （２）因为点Ｃ在ｘ轴上， 所以由ｙ１ ＝０，得ｘ＝－２， 所以点Ｃ的坐标为（－２，０）． 由图象可知，当ｙ１ ＜ｙ２时，ｘ的取值范围是０＜ｘ＜１或ｘ ＜－３． 每讲一测 １．Ｂ；　２．Ａ；　３．Ｄ；　４．Ｂ；　５．Ｂ； ６．＞；　７．３００；　８．４． ９．设每天看ｘ页，需要ｙ天看完， （１）因为１２×２５＝１５×２０＝２０×１５＝３０×１０＝３００， 所以ｙ＝３００ｘ，ｙ与ｘ成反比例关系， 即每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系． （２）当ｙ＝６时，ｘ＝３００６ ＝５０                                                                      ． —５— 初中数学·中考（ＹＮ）　第２７～３６期 答：平均每天应看５０页． １０．（１）因为一次函数ｙ１＝－ｘ＋５的图象与反比例函数ｙ２ ＝ ｋｘ（ｋ≠０，ｘ＞０）的图象交于Ａ（１，ａ），Ｂ两点， 所以ａ＝－１＋５＝４， 所以Ａ（１，４）， 所以ｋ＝１×４＝４， 所以反比例函数的表达式为ｙ２ ＝ ４ ｘ（ｘ＞０）． 联立 ｙ＝－ｘ＋５， ｙ＝ ４ｘ { ， 解得 ｘ＝４， ｙ＝{ １或 ｘ＝１， ｙ＝４{ ， 所以Ｂ（４，１）． （２）观察图象得，－ｘ＋５－ｋｘ＜０时ｘ的取值范围为０＜ ｘ＜１或ｘ＞４． （３）设Ｐ（ａ，－ａ＋５）， 因为ＰＭ⊥ｘ轴，所以Ｍ（ａ，０），Ｑ（ａ，４ａ）． 因为 ＰＱ ＱＭ ＝ ９ １６，所以 －ａ＋５－４ａ ４ ａ ＝ ９１６， 解得ａ１ ＝ａ２ ＝ ５ ２，所以Ｐ（ ５ ２， ５ ２）， 所以Ｓ△ＰＭＯ ＝ １ ２ＯＭ·ＰＭ ＝ １ ２× ５ ２× ５ ２ ＝ ２５ ８． 第八讲　二次函数 知识梳理 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０） ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）　ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ　ｙ＝ａ（ｘ－ ｘ１）（ｘ－ｘ２） 抛物线　轴对称 向上　向下 －ｂ２ａ －ｂ２ａ　 ４ａｃ－ｂ２ ４ａ ＞　４ａｃ－ｂ ２ ４ａ 　 ＜　 ４ａｃ－ｂ２ ４ａ 减小　增大　增大　 减小 上加下减　左加右减 横坐标　根 考点演练 １．Ｄ；　２．Ｄ； ３．（１）Ｄ，　（２）Ｄ，　（３）Ｃ，　（４）１； ４．Ｂ；　５．Ｃ；　６．（１）Ｄ，　（２）０； ７．（１）Ｄ． （２）设每天获得的利润为Ｗ元，销售价格为ｘ元， 则Ｗ ＝（ｘ－１２）［１００－１０（ｘ－１６）］＝（ｘ－１２）（－１０ｘ＋ ２６０）＝－１０ｘ２＋３８０ｘ－３１２０＝－１０（ｘ－１９）２＋４９０， 因为 －１０＜０，所以Ｗ有最大值，最大值为４９０， 所以售价为１９元时，每天获得的利润最大，最大利润是 ４９０元． ８．（１）因为点Ｃ（０，－３）与点Ｄ（－２，－３）在抛物线上， 所以抛物线的对称轴为直线ｘ＝－１． 设此二次函数的解析式为ｙ＝ａ（ｘ＋１）２－４， 将点Ｃ（０，－３）代入，得 －３＝ａ（０＋１）２－４， 解得ａ＝１， 所以此二次函数的解析式为ｙ＝（ｘ＋１）２－４，即ｙ＝ｘ２＋ ２ｘ－３． （２）对于ｙ＝ｘ２＋２ｘ－３， 当ｙ＝０时，即ｘ２＋２ｘ－３＝０， 解得ｘ１ ＝－３，ｘ２ ＝１， 所以Ａ（１，０），Ｂ（－３，０）， 所以ＡＢ＝４． 设Ｐ（ｍ，ｎ），因为△ＡＢＰ的面积为２４， 所以 １ ２ＡＢ·｜ｎ｜＝２４，解得ｎ＝±１２． 当ｎ＝１２时，ｍ２＋２ｍ－３＝１２， 解得ｍ＝－５或３， 所以点Ｐ的坐标为（－５，１２）或（３，１２）； 当ｎ＝－１２时，ｍ２＋２ｍ－３＝－１２，此时方程无解，舍去． 综上所述，点Ｐ的坐标为（－５，１２）或（３，１２）． 每讲一测 １．Ｃ；　２．Ｃ；　３．Ｃ；　４．Ｂ；　５．Ｄ； ６．ｍ＜１；　７．－１＜ｘ＜２；　８．１．２＜ｘ＜１．３； ９．２０；　１０．２０２５． １１．（１）因为ｙ＝－ｍｘ２＋４ｍｘ－５＝－ｍ（ｘ２－４ｘ）－５＝ －ｍ（ｘ－２）２－５＋４ｍ， 所以二次函数的对称轴是直线ｘ＝２． （２）①将点Ａ（－１，０）代入ｙ＝－ｍｘ２＋４ｍｘ－５， 得 －ｍ－４ｍ－５＝０，解得ｍ＝－１， 所以此时二次函数的表达式为ｙ＝ｘ２－４ｘ－５． ②因为ｙ＝ｘ２－４ｘ－５＝（ｘ－２）２－９， 所以顶点坐标为（２，－９）． １２．（１）由题意，得ｗ＝（ｘ－６）ｙ＝（ｘ－６）（－３０ｘ＋６００                                                                      ） —６— 初中数学·中考（ＹＮ）　第２７～３６期