第六讲 一次函数-【数理报】2025年中考数学高效复习（云南专版）

由题意得， ２５×０．８ｍ＋３０×０．８（１２０－ｍ）≤２７００， ２５×０．８ｍ≤１０００{ ， 解得４５≤ｍ≤５０． 因为ｍ为正整数，所以ｍ＝４５，４６，４７，４８，４９，５０， 所以购买这两种花卉有６种方案， 设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为ｙ元， 由题意得ｙ＝２５×０．８ｍ＋３０×０．８（１２０－ｍ）＝－４ｍ＋ ２８８０， 因为 －４＜０，所以ｙ随ｍ的增大而减小， 所以当ｍ＝５０时，ｙ有最小值，最小值为 ｙ＝－４×５０＋ ２８８０＝２６８０． 答：购买这两种花卉有 ６种方案，所需费用的最小值为 ２６８０元． １１．（１）关于ｘ的组合 ｘ－５ ３ ＝２－ ３－ｘ ２ ， ｘ＋３ ２ －１＜ ３－ｘ{ ４ 是“友好组合”， 理由如下： 由 ｘ－５ ３ ＝２－ ３－ｘ ２ ，得ｘ＝－１３， 由 ｘ＋３ ２ －１＜ ３－ｘ ４ ，得ｘ＜ １ ３． 因为ｘ＝－１３在ｘ＜１３范围内，所以组合是“友好组合”． （２）解方程５ａ－ｘ２ －３＝２ｘ－３ａ，得ｘ＝ １１ａ－６ ５ ， 解不等式 ｘ－ａ ２ ＋１≤ｘ＋ａ，得ｘ≥－３ａ＋２． 因为关于ｘ的组合 ５ａ－ｘ ２ －３＝２ｘ－３ａ， ｘ－ａ ２ ＋１≤ { ｘ＋ａ 是“非友好组合”， 所以 １１ａ－６ ５ ＜－３ａ＋２，解得ａ＜ ８ １３． 第五讲　坐标系与函数的初步认识 知识梳理 垂直　重合　ｘ　横　右　ｙ　竖　上 横　纵 横　纵 ＋　 ＋　 －　 ＋　 －　 －　 ＋　 － 纵　横 每一个确定的值　惟一确定的值　自变量　函数 图象法　解析式法　表格法 考点演练 １．４；　２．（０，－１）；　３．Ｄ；　４．Ａ． 每讲一测 １．Ｂ；　２．Ｃ；　３．Ｄ； ４．（－２，１）；　５．（３，－５）；　６．（５１２，５１２）． ７．（１）如图３所示． ! " # $ % ! " " ! & ' ( 图３ （２）由图可知，景观Ｃ的坐标为（－１，２）． （３）Ｄ，Ｅ的位置如图３所示． 由图可知，ＡＣ∥ＤＥ． ８．（１）由图象可知，摩托车从出发到最后停止共经过了 １００分钟，离家最远的距离是４０千米． （２）根据图象，可知当０＜ｔ≤２０时，ｓ＝１０千米，速度为 １０ ２０＝０５（千米 ／分钟）； 当２０＜ｔ≤５０时，ｓ＝４０－１０＝３０（千米），速度为 ３０５０－２０ ＝１（千米 ／分钟）； 当５０＜ｔ≤１００时，ｓ＝４０千米，速度为 ４０１００－５０＝０８（千 米 ／分钟）． 所以摩托车在２０～５０分钟这一时间段内速度最快，最快 速度为１千米 ／分钟． 第六讲　一次函数 知识梳理 ｋｘ＋ｂ　≠０　 ＝０　ｋｘ　≠０ ｂ　 －ｂｋ　直线 增大　减小 相同　不同 考点演练 １．（１）Ｂ，　（２）Ｄ；　２．Ｂ；　３．Ｃ． ４．（１）设ＤＢ段的函数关系式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ， 由图可知，Ｄ（２，９０），Ｂ（４，２４０）， 将Ｄ（２，９０），Ｂ（４，２４０）代入ｙ＝ｋｘ＋ｂ， 得 ９０＝２ｋ＋ｂ， ２４０＝４ｋ＋ｂ{ ，解得 ｋ＝７５， ｂ＝－６０{                                                                      ， —４— 初中数学·中考（ＹＮ）　第２７～３６期 所以ｙ＝７５ｘ－６０． （２）由图可知，服务区在ＤＢ段， 令ｙ＝１８０，则１８０＝７５ｘ－６０， 解得ｘ＝３．２． 答：赵叔叔出发３．２ｈ到达服务区． 每讲一测 １．Ｂ；　２．Ａ；　３．Ａ；　４．Ａ；　５．Ａ； ６． ｘ＝－２， ｙ＝－３{ ；　７．ｙ＝２ｘ－２；　８．（２，－１）． ９．（１）因为一次函数 ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象过点 Ａ（－１，２）， Ｄ（０，１）， 所以 －ｋ＋ｂ＝２， ｂ＝１{ ， 解得 ｋ＝－１， ｂ＝１{ ， 所以一次函数的表达式是ｙ＝－ｘ＋１． （２）由（１）知ｙ＝－ｘ＋１， 所以当ｙ＝０时，ｘ＝１， 所以点Ｃ的坐标为（１，０），所以ＯＣ＝１． 又因为点Ｂ坐标为（－１，０），所以ＢＣ＝２， 所以△ＡＢＣ的面积 ＝ＡＢ·ＢＣ２ ＝ ２×２ ２ ＝２． １０．（１）设ｌ１解析式为ｓ１ ＝ｋ１ｔ＋ｂ１， 根据题意ｌ１经过点（１，０），（３，８０）， 所以 ｋ１＋ｂ１ ＝０， ３ｋ１＋ｂ１ ＝８０ { ， 解得 ｋ１ ＝４０， ｂ１ ＝－４０ { ， 所以ｌ１解析式为ｓ１ ＝４０ｔ－４０． 设ｌ２解析式为ｓ２ ＝ｋ２ｔ， 根据题意ｌ２经过点（３，４０）， 所以４０＝３ｋ２，解得ｋ２ ＝ ４０ ３， 所以ｌ２解析式为ｓ２ ＝ ４０ ３ｔ． （２）依题意，得４０３ｔ－（４０ｔ－４０）＝１０或（４０ｔ－４０）－ ４０ ３ｔ ＝１０， 解得ｔ＝ ９８或ｔ＝ １５ ８， 所以 ９ ８ｈ或 １５ ８ｈ后，甲、乙两人相距１０ｋｍ． 第七讲　反比例函数 知识梳理 ｙ＝ ｋｘ（ｋ为常数，ｋ≠０） 两支曲线　第一、三　第二、四　相交 轴对称　中心对称　原点　直线ｙ＝ｘ 减小　增大 ｜ｋ｜ 考点演练 １．Ｄ；　２．（１）Ｃ，　（２）Ｃ；　３．６． ４．（１）设ｐ＝ ｋＶ， 由题意知３００＝ ｋ２０， 所以ｋ＝６０００，即ｐ＝６０００Ｖ ． （２）当ｐ＝４００ｋＰａ时，Ｖ＝６０００４００ ＝１５． 因为在第一象限内，ｐ随Ｖ的增大而减小， 所以当ｐ≤４００ｋＰａ时，Ｖ≥１５ｍ３， 所以为了安全起见，气体的体积应不小于１５ｍ３． 答：气体的体积应不小于１５ｍ３． ５．（１）因为点Ｂ（－３，－２）在反比例函数ｙ２ ＝ ｋ ｘ的图象 上， 所以 ｋ －３＝－２，解得ｋ＝６， 所以反比例函数的解析式为ｙ２ ＝ ６ ｘ． 因为点Ａ的纵坐标为６， 将ｙ＝６代入ｙ２ ＝ ６ ｘ，得ｘ＝１， 所以点Ａ的坐标为（１，６）． 因为直线ｙ１ ＝ａｘ＋ｂ经过点Ａ（１，６），Ｂ（－３，－２）， 所以 ａ＋ｂ＝６， －３ａ＋ｂ＝－２{ ，解得 ａ＝２， ｂ＝４{ ， 所以直线的解析式为ｙ１ ＝２ｘ＋４． （２）因为点Ｃ在ｘ轴上， 所以由ｙ１ ＝０，得ｘ＝－２， 所以点Ｃ的坐标为（－２，０）． 由图象可知，当ｙ１ ＜ｙ２时，ｘ的取值范围是０＜ｘ＜１或ｘ ＜－３． 每讲一测 １．Ｂ；　２．Ａ；　３．Ｄ；　４．Ｂ；　５．Ｂ； ６．＞；　７．３００；　８．４． ９．设每天看ｘ页，需要ｙ天看完， （１）因为１２×２５＝１５×２０＝２０×１５＝３０×１０＝３００， 所以ｙ＝３００ｘ，ｙ与ｘ成反比例关系， 即每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系． （２）当ｙ＝６时，ｘ＝３００６ ＝５０                                                                      ． —５— 初中数学·中考（ＹＮ）　第２７～３６期 书 考点演练 考点１：正比例函数的图象与性质 例１　已知ｙ＝ｋｘ的图象经过点（－２０２５， ２０２５），则ｋ的值为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．－１ Ｂ．±１ Ｃ．１ Ｄ．１２ 解：把点（－２０２５，２０２５）代入 ｙ＝ｋｘ，得 ２０２５＝－２０２５ｋ，所以ｋ＝－１． 故选Ａ． 跟踪训练１：（１）关于正比例函数ｙ＝２ｘ的 图象，下列叙述错误的是 （　　） Ａ．点（１，２）在这个图象上 Ｂ．函数值ｙ随自变量ｘ的增大而减小 Ｃ．图象关于原点对称 Ｄ．图象经过一、三象限 （２）二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｃ的图象 如图１所示，则反比例函数ｙ＝ｃｘ与 正比例函数ｙ＝ａｘ在同一坐标系内的图象大致 是 （　　） 考点２：一次函数的图象与性质 例２　对于一次函数ｙ＝－２ｘ＋３与正比例 函数ｙ＝－２ｘ，下列说法正确的是 （　　） Ａ．ｙ＝－２ｘ＋３的图象向下平移３个单位长 度可得到ｙ＝－２ｘ的图象 Ｂ．ｙ＝－２ｘ＋３的图象经过第一、二、三象限 Ｃ．两个函数中，ｙ的值均随着ｘ值的增大而 增大 Ｄ．ｙ＝－２ｘ＋３的图象经过点（－２，３） 解：Ａ．ｙ＝－２ｘ＋３的图象向下平移３个单 位长度可得到ｙ＝－２ｘ＋３－３，即ｙ＝－２ｘ的图 象，故此选项符合题意； Ｂ．对于一次函数ｙ＝－２ｘ＋３，因为－２＜０， ３＞０，所以ｙ＝－２ｘ＋３的图象经过第一、二、四 象限，故此选项不符合题意； Ｃ．对于一次函数ｙ＝－２ｘ＋３与正比例函数 ｙ＝－２ｘ，因为 －２＜０，所以两个函数中，ｙ的值 均随着 ｘ值的增大而减小，故此选项不符合题 意； Ｄ．对于一次函数ｙ＝－２ｘ＋３，当ｘ＝－２时， ｙ＝－２×（－２）＋３＝７，所以ｙ＝－２ｘ＋３的图 象不经过点（－２，３），故此选项不符合题意． 故选Ａ． 跟踪训练２：一次函数ｙ＝ｋｘ－ｂ与正比例 函数ｙ＝ｋｂｘ（ｋ，ｂ为常数，且ｋｂ≠０）在同一直角 坐标系内的大致图象不可能的是 （　　                                               ） ! " # ! " # $ ! " # ! " # ! " # 书 一次 函数 　　 定义：形如ｙ＝ （ｋ，ｂ为常数，ｋ ）的函数叫做一次函数．当ｂ 时，函数ｙ＝ （ｋ ）叫做正比例函数． 图象：经过点（０， ）、（ ，０）的一条 ． 性质：当ｋ＞０时，ｙ随ｘ的增大而 ；当ｋ＜０时，ｙ随ｘ的增大而 ． 互相平行的两条直线的一次项系数 ，常数项 ． ! " # " # ! ! " # ! " # ! " # $ ! " # ! % !" 书 考点３：一次函数与方程、不等式 例３　如图２，直线ｙ ＝ｘ＋１与直线ｙ＝ｍｘ－ ｎ相交于点Ｍ（１，ｂ），则方 程组 ｙ＝ｘ＋１，{ｙ＝ｍｘ－ｎ的解是 ． 解：因为直线ｙ＝ｘ＋１和直线ｙ＝ｍｘ－ｎ相 交于点Ｍ（１，ｂ）， 所以ｂ＝２， 所以方程组 ｙ＝ｘ＋１，{ｙ＝ｍｘ－ｎ的解是 ｘ＝１， ｙ＝２{ ． 故填 ｘ＝１， ｙ＝２{ ． 跟踪训练 ３：如图 ３， 直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ交坐标轴 于 Ａ（－３，０），Ｂ（０，１）两 点，则不等式 －ｋｘ－ｂ＞０ 的解集为 （　　） Ａ．ｘ＞－３ Ｂ．ｘ＞３ Ｃ．ｘ＜－３ Ｄ．ｘ＜３ 考点４：一次函数的应用 例４　食糖是关系 国计民生的重要农产 品，是我国蔗糖产业发 展的基本国策．某地的 甘蔗出苗率 ｙ（单位： ％）与播种后２０天累计 降雨量ｘ（单位：毫米）的关系如图４所示．该地 某种植园购买了一批甘蔗种子共计２０００颗，购 买费用为８００元，有如下两种种植方案： 方案一：在室外种植，只靠降雨提供水分； 方案二：在室内种植，人工可提供水分，使 得出苗率达到最高，但成本需要５００元． 已知成功出苗的甘蔗每株可售卖２元． （１）求ｙ与ｘ之间的函数解析式； （２）甘蔗种子种植后２０天累计降雨量不少 于１００毫米但不超过１５０毫米，若要使该种植园 的收益Ｗ最大，应该选择哪种方案？ 解：（１）当０≤ｘ＜１５０时， 设ｙ＝ｋｘ＋ｂ，将（０，５０），（１５０，８０）代入得， ｂ＝５０， １５０ｋ＋ｂ＝８０{ ，解得 ｂ＝５０， ｋ＝１５ { ， 所以ｙ＝１５ｘ＋５０； 当１５０≤ｘ≤２００时，ｙ＝８０． 所以 ｙ与 ｘ之间的函数解析式为 ｙ＝ １ ５ｘ＋５０（０≤ｘ＜１５０）， ８０（１５０≤ｘ≤２００） { ． （２）选择方案一：当ｘ＝１００时，ｙ＝１５×１００ ＋５０＝７０， 因为甘蔗种子种植后２０天累计降雨量不少 于１００毫米但不超过１５０毫米， 所以出苗率为７０≤ｙ≤８０， 所以最小的收益Ｗ＝２０００×７０％×２－８００ ＝２０００（元）； 选择方案二：出苗率为８０％， 所以Ｗ ＝２０００×８０％ ×２－８００－５００＝ １９００（元）． 因为２０００＞１９００， 所以方案一的收益最大，故选方案一． 跟踪训练４：周末， 赵叔叔开车从西安 （Ａ）出发去２４０ｋｍ远 的安康（Ｂ）游玩，当汽 车行驶１．５ｈ到达柞水 县（Ｃ）时，汽车发生故 障，需停车检修，修好后又继续向前行驶，其行 驶路程ｙ（ｋｍ）与时间ｘ（ｈ）之间的关系如图５所 示． （１）求汽车修好后（ＤＢ段）ｙ与 ｘ之间的函 数关系式； （２）在距离西安（Ａ）１８０ｋｍ的地方有一个 服务区，求赵叔叔出发后多长时间到达服务区                                                               ？ ! ! " #$!"! % #$&!'( # ) ! # !) * + # ! $ !%& ' !() # + ,- * ) #%*+ #', -, ! ) -, ., /, 0, ), ', $, #, !, !%"# ),!,,!),#,, #%1 ! ' ) !! 书 １．下列各式中是一次函数的是 （　　） Ａ．ｙ＝８ｘ２ Ｂ．ｙ＝ｘ＋１ Ｃ．ｙ＝８ｘ Ｄ．ｙ ２ ＝２ｘ＋３ ２．如果ｙ＝ｘ＋４ａ－１是关于ｘ的正比例函 数，则ａ的值是 （　　） Ａ．１４ Ｂ．０ Ｃ．－ １ ４ Ｄ．－４ ３．点（１，ｍ），（２，ｎ）在函数ｙ＝－ｘ－１的图 象上，则ｍ，ｎ的大小关系是 （　　） Ａ．ｍ＞ｎ Ｂ．ｍ＜ｎ Ｃ．ｍ＝ｎ Ｄ．ｍ≤ｎ ４．下列各点一定在函数ｙ＝２ｘ－１的图象上 的是 （　　） Ａ．（１，１） Ｂ．（－１，－１） Ｃ．（－１，１） Ｄ．（０，２） ５．一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象 如图１所示，则一次函数ｙ＝ｂｘ＋ｋ 的图象可能是 （　　） ６．已知直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）与直线ｙ＝ ｍｘ＋ｎ（ｍ≠０）相交于点Ａ（－２，－３），则关于ｘ， ｙ的二元一次方程组 ｋｘ－ｙ＋ｂ＝０， ｍｘ－ｙ＋ｎ＝{ ０的解为 ． ７．将一次函数 ｙ＝２ｘ－５的图象向上平移 ３个单位长度后得到的函数图象的解析式为 ． ８．已知ｙ是ｘ的函数，若函数图象上存在一 点Ｍ（ｍ，ｎ），满足ｍ＋ｎ＝１，则称点Ｍ为函数图 象上的“姐妹点”．例如：直线ｙ＝ｘ－５上存在的 “姐妹点”为Ｍ（３，－２），则直线ｙ＝ｘ２－２上的 “姐妹点”是 ． ９．如图２，一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象过点 Ａ（－１，２），Ｄ（０，１），与ｘ轴相交于点Ｃ．过点Ａ作 ＡＢ⊥ｘ轴，垂足为点Ｂ． （１）求一次函数的表达式； （２）求△ＡＢＣ的面积． １０．Ａ，Ｂ两地相距８０ｋｍ，甲、乙两人沿同一 条路从Ａ地到Ｂ地，如图３，ｌ１，ｌ２分别表示甲、乙 两人离开Ａ地的距离ｓ（ｋｍ）与时间ｔ（ｈ）之间的 关系． （１）求ｌ１，ｌ２的函数解析式； （２）几小时后，甲、乙两人相距１０ｋｍ                                                              ？ ! 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