第九讲 图形的初步认识-【数理报】2025年中考数学高效复习（云南专版）

书 考点演练 考点１：识别立体图形 例１　将下列平面图形绕轴旋转一周，可得 到图１中所示的立体图形的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　 解：逐个观察选项可得Ｄ选项符合题意． 故选Ｄ． 跟踪训练１：下面几何体中，是圆柱的是 （　　） 考点２：几何体的展开与折叠 例２　如图２是一个几何体的平面展开图， 则这个几何体是 （　　） 解：由题图知，该平面展开图是由一个扇形 和一个圆组成，由圆锥的侧面展开图是扇形，底 面是一个圆，可知该几何体是圆锥． 故选Ａ． 跟踪训练２：将“科”“技”“自”“立”“自”“强                          ” 书 ! " # $ % & ' 　　 ()!" 　　 *+#,-). ： /) ， 0 、 1 ； 2) ， 0 、 1 ； 3) ． 45/#678 ｎ 9": ， ;<8 ｎ 5/ ， 0=>) ， ?>)@AB5/ ． CDE ，ｎ 5/. FGH ， I5 ， F7 ． =>)#J7KL!. M ． NO 、 PO 、 OQ 　　 　 RSTH. INO ， UVW. INO ． XTHYZ INO ． TH#[.\O] ， ^_ ．̀ abc ： THde ， ^_ ． OQfNghOi#Hj #klm1 ； j klm1#HnoIOQ#fNgh Oi ． p 　 　　　 qCFp#GHrs ， toFphcm1#TFp#POuvoFp# ． pghOi#HjpT9#kl ； jpT9klm1#HnoFp# ． wTFp#x1y ９０°， zoTFp{8 ； wTFp#x1y １８０°， zoTFp{8 ． m | O 　　　　 }~p{~ ， Gpm1 ． SCH.VW. INO€‚NOfN ． \ƒNO„CH€NOi…H#[.OQ] ， ^_ ，̀ abc ： ^_ ． g † O 　　　　 RSNO„CH ， .VW. INO€oINOg† ； 0‡TINO@€ˆ‰INOg† ， Š‹ oTINOŒ ． g†O#Z ： Ž Ž ， TNOg† ． g†O# ： TNOg† ， 、 、 ． ! ! " # $ % " # $ % ! & " # $ % !" 书 六个字分别写在某正方体的表 面上，如图３是它的一种表面展 开图，在原正方体中，与“强”字 所在 面 相 对 面 上 的 汉 字 是 ． 考点３：线段和角的有关计算 例３　如图４，直线 ＡＢ， ＣＤ相交于点 Ｏ，射线 ＯＭ平 分 ∠ＡＯＣ，ＯＮ ⊥ ＯＭ， 若 ∠ＡＯＭ ＝３５°，则 ∠ＣＯＮ的 度数为 ． 解：因为射线 ＯＭ平分 ∠ＡＯＣ，∠ＡＯＭ ＝ ３５°，所以∠ＭＯＣ＝３５°．又因为ＯＮ⊥ＯＭ，所以 ∠ＣＯＮ＝９０°－３５°＝５５°． 故填５５°． 跟踪训练３：如图５，直 线ＡＢ，ＣＤ相交于点 Ｏ．若 ∠１＝４０°，∠２＝１２０°，则 ∠ＣＯＭ的度数为 ． 例４　点Ｃ是线段ＡＢ 的中点，点Ｄ是直线 ＡＢ上的一点，点 Ｅ是线段 ＡＤ的中点，若ＡＢ＝１６，ＡＤ＝６，则线段ＣＥ的长 为 ． 解：①当点Ｄ在点Ａ左边时，如图６所示， 因为点Ｃ是线段ＡＢ的中点，点Ｅ是线段ＡＤ 的中点，所以ＡＣ＝１２ＡＢ＝８，ＡＥ＝ １ ２ＡＤ＝３， 所以ＣＥ＝ＡＣ－ＡＥ＝５； ②当点Ｄ在点Ａ右边时，如图７所示， 因为点Ｃ是线段ＡＢ的中点，点Ｅ是线段ＡＤ 的中点，所以ＡＣ＝１２ＡＢ＝８，ＡＥ＝ １ ２ＡＤ＝３， 所以ＣＥ＝ＡＣ＋ＡＥ＝１１． 故填５或１１． 跟踪训练４：如图８，Ｃ地在Ａ，Ｂ两地的中点 处，若Ａ，Ｃ两地之间的距离为６×１０６ｍ，则Ａ，Ｂ 两地之间的距离为 ｍ． 考点４：线段的垂直平分线和角的平分线 例５　如图９，在△ＡＢＣ 中，分别以点Ｂ，Ｃ为圆心，大 于 １ ２ＢＣ的长为半径作弧，两 弧相交于点Ｍ，Ｎ，直线ＭＮ交 ＡＣ于点Ｄ，连接ＢＤ，若ＡＣ＝ ５５，ＡＤ＝１５，则ＢＤ的长为 ． 解：根据作图可知ＭＮ为ＢＣ的垂直平分线， 所以ＢＤ＝ＣＤ．因为ＡＣ＝５５，ＡＤ＝１５，所以ＢＤ ＝ＣＤ＝４０． 故填４０． 跟踪训练５：如图１０，在 △ＡＢＣ中，分别以 Ａ，Ｂ为圆 心，大于线段 ＡＢ长度一半的 长为半径作弧，相交于点 Ｄ， Ｅ，连接ＤＥ，交ＢＣ于点Ｐ．若 ＡＣ＝３，△ＡＣＰ的周长为１０， 则ＢＣ的长为 ． 例６　已知ＡＦ是等腰△ＡＢＣ底边ＢＣ上的 高，若点Ｆ到直线ＡＢ的距离为３，则点Ｆ到直线 ＡＣ的距离为 ． 解：因为ＡＦ是等腰△ＡＢＣ底边ＢＣ上的高， 所以ＡＦ平分∠ＢＡＣ，所以点Ｆ到直线ＡＢ，ＡＣ的 距离相等．因为点Ｆ到直线ＡＢ的距离为３，所以 点Ｆ到直线ＡＣ的距离为３． 故填３． 跟踪训练６：如图１１， ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ平分∠ＢＡＣ， ∠１ ＝ ３０°， 则 ∠２ ＝                                                               ． ! " #$ %$ & ! ! " # $ % & ' & " " ( ' # $ % $ & & % &)"$* & & + ) " ,* & ' & , * & ( # , ' " & * & ) , & - ) * " & #* " , * & # + & #! !" 书 考点５：相交线与平行线 例７　 如图１２，直线 ｃ 与直线ａ，ｂ都相交．若 ａ∥ ｂ，∠１ ＝ ３５°，则 ∠２ ＝ ． 解：因为ａ∥ｂ，∠１＝∠３＝３５°，所以∠２ ＝∠３＝３５°． 故填３５°． 跟踪训练７：如图１３，已 知直线ｌ１∥ｌ２，ＡＢ⊥ＣＤ于点 Ｄ，若∠１＝５０°，则∠２的度 数是 ． 每讲一测 １．下列图形中为三棱柱的是 （　　） ２．如图１，一条公路的两侧铺设了ＡＢ，ＣＤ两 条平行管道，并由纵向管道 ＡＣ连通．若 ∠１＝ １２０°，则∠２的度数是 （　　） Ａ．５０° Ｂ．６０° Ｃ．７０° Ｄ．８０° ３．如图２，直线ＡＢ和ＣＤ 相交于点 Ｏ，ＯＥ⊥ ＯＣ，若 ∠ＡＯＣ＝５８°，则∠ＥＯＢ的大 小为 （　　） Ａ．２９° Ｂ．３２° Ｃ．４５° Ｄ．５８° ４．如图 ３，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠Ａ＝ ４２°，分别以点Ａ和点 Ｂ为圆心，大于１２ＡＢ的长 为半径作圆弧，两弧相交于点 Ｍ和点 Ｎ，作直线 ＭＮ，交ＡＣ于点Ｄ，连接ＢＤ，则∠ＤＢＣ的度数为 （　　） Ａ．２３° Ｂ．２５° Ｃ．２７° Ｄ．２９° ５．若∠Ａ＝３５°，则∠Ａ的补角为 ． ６．如图４是一个正方体的展开图，如果相对 面上的两个式子表示的数相等，则 ｘ＋ｙ的值为 ． ７．如图５，在△ＡＢＣ 中，∠Ｂ ＝ ６０°，∠ＡＤＣ ＝１１０°，ＡＤ是△ＡＢＣ的 角平分线，则 ∠ＢＡＣ的 度数是 ． ８．平面内的两条直线有相交和平行两种位 置关系． （１）如图６－①，ＡＢ∥ＣＤ，点Ｐ在ＡＢ，ＣＤ内 部，∠Ｂ＝５５°，∠Ｄ＝４０°，求∠ＢＰＤ的大小； （２）如图６－②，∠ＢＰＤ，∠Ｂ，∠Ｄ，∠ＢＱＤ 之间的数量关系为 ，请证明                                                              ． ! " ! " ! " " # $ % ! "! # $ % & " ! % $ & ! ! " % $ ' ( ! & ! # ) ! % & $ * ! ! +,- ./- ' ! " ! ! $ ! % & $ ! % % $ 0 1 ! & ! & % 0 $ & ! ! " !( " 2 - ! "' 3 !" ＝－３０ｘ２＋７８０ｘ－３６００， 所以销售利润与销售单价之间的函数关系式为 ｗ＝ －３０ｘ２＋７８０ｘ－３６００． （２）由题意，得（－３０ｘ＋６００）×６≤１０８０，解得ｘ≥１４， 因为ｗ＝－３０ｘ２＋７８０ｘ－３６００＝－３０（ｘ－１３）２＋１４７０， －３０＜０， 所以当ｘ＞１３时，ｗ随着ｘ的增大而减小， 所以当ｘ＝１４时，ｗ取得最大值，最大值为 －３０（１４－１３）２ ＋１４７０＝１４４０（元）． 故当销售单价为１４元，能获得最大利润，最大利润为１４４０元． １３．（１）将 Ａ（４，０），Ｂ（０，８）代入 ｙ＝－ｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ，得 －１６＋４ｂ＋ｃ＝０， ｃ＝８{ ， 　解得 ｂ＝２， ｃ＝８{ ， 则抛物线的解析式为ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋８＝－（ｘ－１）２＋９； 其对称轴为直线ｘ＝１． （２）①由函数图象知，当ｘ＝１时，ｙ有最大值，ｙ最大 ＝９； 又因为 －２离对称轴直线ｘ＝１最远， 所以当ｘ＝－２时，ｙ有最小值，ｙ最小 ＝０， 所以当 －２＜ｍ＜３时，点Ｐ的纵坐标ｙ的取值范围为０＜ ｙ≤９． 故填０＜ｙ≤９． ②设直线ＡＢ的解析式为ｙ＝ａｘ＋ｋ， 把Ａ（４，０），Ｂ（０，８）代入，得 ４ａ＋ｋ＝０， ｋ＝８{ ， 解得 ａ＝－２， ｋ＝８{ ， 所以直线ＡＢ的解析式为ｙ＝－２ｘ＋８． 设点Ｐ的坐标为（ｍ，－ｍ２＋２ｍ＋８）， 所以点Ｑ的坐标为（ｍ，－２ｍ＋８）， 所以ＰＱ＝｜－ｍ２＋２ｍ＋８－（－２ｍ＋８）｜＝｜－ｍ２＋４ｍ｜ ＝５， 当 －ｍ２＋４ｍ＝５时，方程无解； 当 －ｍ２＋４ｍ＝－５时， 解得ｍ１ ＝－１，ｍ２ ＝５． 综上所述，ｍ的值为 －１或５． 第九讲　图形的初步认识 知识梳理 棱柱　圆柱　棱锥　圆锥 ２ｎ　３ｎ　（ｎ＋２） １１　 一　一　一 线段　线段 这条线段两个端点　线段两个端点 角平分线 相等　角平分线上 余角　补角 一 垂线段　垂线段　 一　互相平行 同位角相等　内错角相等　同旁内角互补　　 同位角相等　内错角相等　同旁内角互补 考点演练 １．Ｂ；　２．科；　３．８０°；　４．１２×１０７；　５．７；　６．３０°； ７．４０°． 每讲一测 １．Ｄ；　２．Ｂ；　３．Ｂ；　４．Ｃ； ５．１４５°；　６．５；　７．１００°． ８．（１）如图４，延长ＢＰ交ＣＤ于点Ｅ， 因为ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｂ＝５５°， 所以∠Ｂ＝∠ＢＥＤ＝５５°． 因为∠Ｄ＝４０°， 所以∠ＢＰＤ＝∠Ｄ＋∠ＢＥＤ＝９５°． ! " # $ % & ! # " ' % $ & 图４ 图５ （２）∠ＢＰＤ＝∠Ｂ＋∠Ｄ＋∠ＢＱＤ． 证明：如图５，连接ＱＰ并延长至点Ｅ， 因为∠ＢＰＥ＝∠Ｂ＋∠ＢＱＥ，∠ＤＰＥ＝∠Ｄ＋∠ＤＱＥ， 所以∠ＢＰＥ＋∠ＤＰＥ＝∠Ｂ＋∠ＢＱＥ＋∠Ｄ＋∠ＤＱＥ， 所以∠ＢＰＤ＝∠Ｂ＋∠Ｄ＋∠ＢＱＤ． 第十讲　三角形 知识梳理 不在同一条直线上 大于　小于 １８０° 与它不相邻的两个内角的和　任何一个与它不相邻的内 角 稳定 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 两个底角　等边对等角 角平分线　底边上的中线　底边上的高 轴对称                                                                      有两条边相等 —７— 初中数学·中考（ＹＮ）　第２７～３６期