第二讲 代数式-【数理报】2025年中考数学高效复习（云南专版）

书 考点１：列代数式 例１　某地居民生活用水收费标准：每月用 水量不超过２０立方米，每立方米ａ元；超过部分 每立方米ｂ元．若该地区某家庭上月用水量为 ２５立方米，则应缴水费 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．２５ａ元 Ｂ．（２０ａ＋５ｂ）元 Ｃ．（２５ａ＋ｂ）元 Ｄ．（５ａ＋２０ｂ）元 解：该地区某家庭上月用水量为２５立方米， 则应缴水费为［２０ａ＋（２５－２０）ｂ］元， 即（２０ａ＋５ｂ）元． 故选Ｂ． 跟踪训练 １：如图，要围一个矩形菜园 ＡＢＣＤ，其中一边 ＡＤ是墙，其余的三边 ＡＢ，ＢＣ， ＣＤ用篱笆围成，且这三边的和为５０米．若设ＢＣ 的长为ａ米，则ＡＢ的长度可以表示为 （　　） Ａ．（５０－ａ）米 Ｂ．（５０－２ａ）米 Ｃ．（５０－ａ２ ）米 Ｄ．（２０－ａ）米 考点２：同类项 例２　下列单项式中，与３ａ２ｂ３是同类项的 是 （　　） Ａ．ａｂ Ｂ．ａ２ｂ３ Ｃ．ａ３ｂ２ Ｄ．ａ２ｂ２ 解：因为３ａ２ｂ３中ａ的指数为２，ｂ的指数为３， 而Ｂ选项ａ２ｂ３中ａ的指数为２，ｂ的指数为 ３，与３ａ２ｂ３是同类项                             ． 书 代数式 　　 整式 　　 单项式： ；多项式： ． 和 统称为整式．同类项： ． 单项式乘以多项式：ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ）＝ ；多项式乘以多项式：（ａ＋ｂ）（ｍ＋ｎ）＝ ．平方差公式：（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ ；完全平方公式：（ａ±ｂ）２＝ ． 幂的运算：ａｍ·ａｎ＝ ；（ａｍ）ｎ＝ ；（ａｂ）ｎ＝ ；ａｍ÷ａｎ＝ （ａ≠０）． 因式分解的方法：①提公因式法：ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ ；②公式法：ａ２－ｂ２＝ ，ａ２± ２ａｂ＋ｂ２＝ ． 分式 　　 设Ａ，Ｂ表示两个整式，如果Ｂ中含有 ，那么式子 ＡＢ（Ｂ≠０）叫做分式． 分式有意义的条件是 ；分式值为零的条件是 ． 分式的基本性质：分式的分子与分母 ，分式的值 ． 分式运算的公式： ａ ｂ· ｃ ｄ＝ ， ａ ｂ÷ ｃ ｄ＝ ，（ ａ ｂ） ｎ＝ ，ａｃ± ｂ ｃ＝ ， ａ ｂ± ｃ ｄ＝ ． 二次根式 　　 形如 （ａ≥０）的式子，叫做二次根式． 二次根式的运算：（槡ａ）２＝ （ａ≥０）； ａ槡 ２ ＝ ；槡ａｂ＝ （ａ≥０，ｂ≥０）； ａ 槡ｂ＝ （ａ≥０，ｂ＞０）；槡ａ·槡ｂ＝ （ａ≥０，ｂ≥０）； 槡 槡 ａ ｂ ＝ （ａ≥０，ｂ＞０）． ! " !" # $ ! 书 故选Ｂ． 跟踪训练２：如果２ｘ２ｍｙ６与 －３ｘ８ｙ２ｎ是同类 项，那么ｍ－ｎ的值为 （　　） Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ．７ Ｄ．－７ 考点３：因式分解 例３　已知ｘｙ＝－２，ｘ＋ｙ＝４，则ｘ２ｙ＋ｘｙ２ 的值是 （　　） Ａ．２ Ｂ．－２ Ｃ．８ Ｄ．－８ 分析：本题考查了因式分解的应用，求代数 式的值，将式子变形为ｘｙ（ｘ＋ｙ），整体代入计算 即可得解． 解：因为ｘｙ＝－２，ｘ＋ｙ＝４， 所以ｘ２ｙ＋ｘｙ２＝ｘｙ（ｘ＋ｙ）＝－２×４＝－８． 故选Ｄ． 跟踪训练３：把多项式１２ａｂ２ｃ＋３ａｂ３分解因 式，应提的公因式是 （　　） Ａ．３ａｂ Ｂ．３ａｂ２ Ｃ．１２ａｂ３ｃ Ｄ．１２ａ２ｂ５ｃ 例４　若ｘ２－２ｍｘ＋４是完全平方式，则ｍ 的值等于 （　　） Ａ．２或 －２ Ｂ．２ Ｃ．４ Ｄ．４或 －４ 分析：本题主要考查了完全平方式，熟记两 数的平方和，再加上或减去它们积的２倍，就构 成了一个完全平方式是解题的关键．先根据两 平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式 的乘积二倍项即可确定ｍ的值． 解：因为（ｘ±２）２ ＝ｘ２±４ｘ＋４， 所以 －２ｍ＝±４， 所以ｍ＝±２． 故选Ａ． 跟踪训练４：运用乘法公式计算（４＋ｘ）（ｘ－ ４）的结果是 （　　） Ａ．ｘ２－１６ Ｂ．ｘ２＋１６ Ｃ．１６－ｘ２ Ｄ．－ｘ２－１６ 考点４：分式有意义的条件 例５　如果分式 ３ｘｘ＋２有意义，那么ｘ的取值 范围是 （　　） Ａ．ｘ≠３ Ｂ．ｘ≠２ Ｃ．ｘ≠－２ Ｄ．ｘ≠０ 分析：本题主要考查了分式有意义的条件， 分式有意义的条件是分母不为 ０，据此求解即 可． 解：因为分式 ３ｘ ｘ＋２有意义， 所以ｘ＋２≠０， 所以ｘ≠－２． 故选Ｃ． 跟踪训练５：要使分式 ５ｘ＋６有意义，则 ｘ的 取值应满足 （　　） Ａ．ｘ＞６ Ｂ．ｘ＜６ Ｃ．ｘ≠－６ Ｄ．ｘ≠６ 考点５：二次根式的有关概念 例６　下列二次根式中，是最简二次根式的 是 （　　） 槡Ａ．７ Ｂ．槡 １ ２ 槡 槡Ｃ． １８ Ｄ． ２５ 分析：本题考查了最简二次根式，利用最简 二次根式的定义对各选项进行判断，熟知：（１） 被开方数不含分母；（２）被开方数中不含能开得 尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二 次根式叫做最简二次根式，是解题的关键． 解： 槡Ａ．７为最简二次根式，所以Ａ选项符合 题意； Ｂ． 槡 １ ２ ＝ 槡２ ２，所以Ｂ选项不符合题意； 槡Ｃ． １８＝ 槡３２，所以Ｃ选项不符合题意； 槡Ｄ． ２５＝５，所以Ｄ选项不符合题意                                                               ． ! 书 故选Ａ． 跟踪训练６：若代数式 ｘ－槡 １ｘ－３ 有意义，则实 数ｘ的取值范围是 （　　） Ａ．ｘ≥１且ｘ≠３ Ｂ．ｘ≠１ Ｃ．ｘ＞１且ｘ≠３ Ｄ．ｘ≥０ 考点６：代数式的运算 例７　下列计算正确的是 （　　） Ａ．ａ＋２ａ２ ＝３ａ３ Ｂ．ａ８÷ａ２ ＝ａ４ Ｃ．ａ３·ａ２ ＝ａ６ Ｄ．（ａ３）２ ＝ａ６ 分析：本题考查了整式的加法、同底数幂的 乘法、同底数幂的除法、幂的乘方，根据相关法 则逐项分析判断即可． 解：Ａ．ａ与２ａ２不是同类项，所以不能合并， 故该选项错误； Ｂ．ａ８÷ａ２ ＝ａ６，故该选项错误； Ｃ．ａ３·ａ２ ＝ａ５，故该选项错误； Ｄ．（ａ３）２ ＝ａ６，故该选项正确． 故选Ｄ． 跟踪训练 ７：计算：（ｙ＋１－ ３ｙ－１）÷ ｙ２－４ｙ＋４ ｙ－１ ． 例８　 计算：槡４８÷槡３－槡 １ ２ ×槡１２＋ 槡２４． 解：原式＝槡１６－槡６＋ 槡２６ ＝４＋槡６． 跟踪训练８：计算：（３＋槡５）（３－槡５）－（槡６ －１）２． 考点７：代数式的化简求值 例９　先化简，再求值：－ａ２ｂ＋（－８ａｂ２－ ａ２ｂ）－２（５ａｂ２－ａ２ｂ），其中ａ＝－１，ｂ＝１６． 解：原式＝－ａ２ｂ－８ａｂ２－ａ２ｂ－１０ａｂ２＋２ａ２ｂ ＝－１８ａｂ２， 当ａ＝－１，ｂ＝１６时， 原式＝－１８×（－１）×（１６） ２ ＝１８×１３６ ＝１２． 跟踪训练９：先化简，再求值：２（２ａ２－ａｂ）－ ４（ａ２＋ｂ２），其中ａ＝－２，ｂ＝１． 例１０　已知ｘ２－ｘ－３＝０，则 ｘｘ－１－ ｘ＋１ ｘ 的值是 ． 解：因为ｘ２－ｘ－３＝０，所以ｘ２－ｘ＝３，所 以 ｘ ｘ－１－ ｘ＋１ ｘ ＝ ｘ２－（ｘ２－１） ｘ（ｘ－１） ＝ １ ｘ２－ｘ ＝１３． 故填 １ ３                                                               ． ! 书 跟踪训练 １０：先化简，再求值： ａ－ｂ 槡 槡ａ＋ ｂ ＋ ａ－４槡ａｂ＋４ｂ 槡ａ－２槡ｂ ，其中ａ＝１２，ｂ＝２． 每讲一测 １．在下列单项式中，与２ｘ２ｙ是同类项的是 （　　） Ａ．２ｘ２ｙ２ Ｂ．ｘｙ２ Ｃ．３ｘ２ｙ Ｄ．４ｘ２ｙ２ ２．当ｘ＝－３时，代数式２３ｘ＋ｘ ２的值为 （　　） Ａ．－７ Ｂ．７ Ｃ．－１１ Ｄ．１１ ３．计算３ｘ２·２ｘ３的结果是 （　　） Ａ．２ｘ２ Ｂ．３ｘ３ Ｃ．６ｘ５ Ｄ．６ｘ６ ４．一种文具成本价是ａ元，销售价比成本价 增加２０％，则销售价应是 （　　） Ａ．（１－２０％）ａ元 Ｂ．２０％ａ元 Ｃ．（１＋２０％）ａ元 Ｄ．（１＋２０％ａ）元 ５．若ｘ２＋ｍｘ＋４９是完全平方式，则ｍ的值 为 （　　） Ａ．７ Ｂ．±１４ Ｃ．±７ Ｄ．－１４ ６．若分式 ｘ－１ｘ＋１无意义，则 ｘ的值为 ． ７．若ａ－ｂ＝８，ａ＋ｂ＝－５，那么ａ２－ｂ２＝ ． ８．已知 （２ｘ－１）槡 ２ ＝１－２ｘ，则ｘ的取值范 围是 ． ９．先化简，再求值：－３ａ２ｂ－（５ａｂ２－ａ２ｂ）＋ ２（２ａｂ２－ａ２ｂ），其中ａ＝－２，ｂ＝１３． １０．某中学新校区有一块长为 ａ米，宽为 ｂ米的长方形活动区域需要放置花坛，向全校同 学征集花坛设计方案．如图是最终选出的两种 方案（阴影部分为花坛），方案一中有３个半径为 ｒ米的圆形花坛，方案二中有４个半径为 Ｒ米的 半圆形花坛，且Ｒ＞ｒ． （１）请分别求出这两种方案中空地的面积； （２）方案一中的空地面积比方案二中的空 地面积大多少平方米                                                               ？ !! " ! !! " ! "#$ "#% ! 书 答案详解 　　　　 　　２０２４～２０２５学年　初中数学·中考（ＹＮ）　（高效复习）第２７～３６期　　　 　　　 第一讲　实数 知识梳理 可以写成分数形式的数　无限不循环小数 　 有理数 　 无理数 只有符号不同的两个数　乘积是１的两个数 原点　正方向　单位长度 它本身　它的相反数　０　反而小　 把一个大于１０的数表示成ａ×１０ｎ的形式（其中ａ大于或 等于１，且ａ小于１０，ｎ是正整数） 互为相反数　算术平方根　０ 正数　负数　０ １　 １ ａｎ 考点演练 １．Ｄ；　２．Ｂ；　３．Ｂ；　４．Ｄ． ５．原式＝－１－１＋４－［１２×（－２）］ ２０２５×（－２） ＝－２＋４－２ ＝０． 每讲一测 １．Ｄ；　２．Ｄ；　３．Ａ；　４．Ｂ；　５．Ｃ； ６．１℃；　７．２４；　８．２５６． ９．原式 ＝２＋１－３＋２＝２． １０．（１）设正方形的边长为ｘ，则ｘ２＝４，解得ｘ＝２（负值舍 去），所以每个小正方形的边长都是１， 所以正方形 ＡＢＣＤ的边长为 １２＋１槡 ２ ＝槡２，所以 Ｓ正方形ＡＢＣＤ ＝（槡２） ２ ＝２． （２）因为正方形ＡＢＣＤ的边长为槡２，点Ａ与 －１重合， 所以点Ｄ在数轴上表示的数为 －１－槡２． 故填 －１－槡２． 第二讲　代数式 知识梳理 数或字母的积组成的代数式　几个单项式的和　单项式 多项式　所含字母相同，并且相同字母的指数也相同 ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ　ａｍ＋ａｎ＋ｂｍ＋ｂｍ　ａ２－ｂ２　ａ２±２ａｂ＋ｂ２ ａｍ＋ｎ　ａｍｎ　ａｎｂｎ　ａｍ－ｎ ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ）　（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）　（ａ±ｂ）２ 字母 分母不为０　分子为０且分母不为０ 乘（或除以）同一个不等于０的整式　不变 ａｃ ｂｄ　 ａｄ ｂｃ　 ａｎ ｂｎ 　ａ±ｂｃ 　 ａｄ±ｂｃ ｂｄ 槡ａ ａ　 ±ａ　槡ａ·槡ｂ　槡 槡 ａ ｂ 　 槡ａｂ　 ａ 槡ｂ 考点演练 １．Ｃ；　２．Ａ；　３．Ｂ；　４．Ａ；　５．Ｃ；　６．Ａ． ７．原式＝（ｙ ２－１ ｙ－１－ ３ ｙ－１）÷ ｙ２－４ｙ＋４ ｙ－１ ＝ｙ ２－４ ｙ－１÷ ｙ２－４ｙ＋４ ｙ－１ ＝（ｙ＋２）（ｙ－２）ｙ－１ · ｙ－１ （ｙ－２）２ ＝ｙ＋２ｙ－２． ８．原式＝３２－（槡５） ２－（６－ 槡２６＋１） ＝９－５－６＋ 槡２６－１ ＝－３＋ 槡２６． ９．原式＝４ａ２－２ａｂ－４ａ２－４ｂ２ ＝－２ａｂ－４ｂ２． 当ａ＝－２，ｂ＝１时， 原式＝－２×（－２）×１－４×１ ＝４－４ ＝０． １０．原式＝（槡 槡ａ＋ ｂ）（槡 槡ａ－ ｂ） 槡 槡ａ＋ ｂ ＋（槡ａ－２槡ｂ） ２ 槡ａ－２槡ｂ 槡 槡 槡＝ ａ－ ｂ＋ ａ－２槡ｂ ＝２槡ａ－３槡                                                        ｂ． —１— 初中数学·中考（ＹＮ）　第２７～３６期 当ａ＝ １２，ｂ＝２时， 原式＝２×槡 １ ２ － 槡３２ ＝２×槡２２－ 槡３２ ＝槡２－ 槡３２ ＝－ 槡２２． 每讲一测 １．Ｃ；　２．Ｂ；　３．Ｃ；　４．Ｃ；　５．Ｂ； ６．－１；　７．－４０；　８．ｘ≤ １２． ９．原式＝－３ａ２ｂ－５ａｂ２＋ａ２ｂ＋４ａｂ２－２ａ２ｂ ＝－４ａ２ｂ－ａｂ２． 当ａ＝－２，ｂ＝ １３时， 原式＝－４×（－２）２×１３－（－２）×（ １ ３） ２ ＝－４×４×１３＋２× １ ９ ＝－１６３＋ ２ ９ ＝－４６９． １０．（１）已知长方形的长为ａ米，宽为ｂ米，则长方形面积 为ａｂ平方米，且方案一中有３个半径为ｒ米的圆形花坛， 所以方案一中的空地面积是（ａｂ－３πｒ２）平方米． 又因为方案二中有４个半径为Ｒ米的半圆形花坛， 所以方案二中的空地面积是（ａｂ－２πＲ２）平方米． （２）由题意得６ｒ＝４Ｒ，所以Ｒ＝ ３２ｒ， 所以ａｂ－３πｒ２－（ａｂ－２πＲ２）＝２πＲ２－３πｒ２ ＝２π× （ ３ ２ｒ） ２－３πｒ２ ＝ ９２πｒ ２－３πｒ２ ＝ ３２πｒ ２， 所以方案一中的空地面积比方案二中的空地面积大 ３ ２πｒ ２平方米． 第三讲　方程与方程组 知识梳理 等式两边加（或减）同一个数，结果仍相等　等式两边乘 同一个数，或除以同一个不为０的数，结果仍相等 一　１　ａｘ＋ｂ＝０（ａ≠０） 去括号　合并同类项 一　２　ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０） 直接开平方法　配方法　公式法　因式分解法 ｘ＝－ｂ± ｂ ２－４槡 ａｃ ２ａ 　Δ＝ｂ ２－４ａｃ　Δ＞０　Δ＝０　Δ ＜０ 分母 转化　整式方程　去分母　增根 两　１ 消元　“一元”　一元一次方程　加减消元法　代入消 元法 考点演练 １．Ｄ；　２．－６；　３．３． ４．（１）设甲池的排水速度为ｘｍ３／ｈ， 由题意得３６－３ｘ＝２（３６－８×３）， 解得ｘ＝４． 答：甲池的排水速度为４ｍ３／ｈ． （２）设排水ａ小时，则３６×２－（４＋８）ａ≥２４， 解得ａ≤４． 答：最多可以排水４小时． ５．设甲有钱币ｘ枚，乙有钱币ｙ枚， 由题意，得 ｘ＋１０＝６（ｙ－１０）， ｘ－１０＝ｙ＋１０{ ， 解得 ｘ＝３８， ｙ＝１８{ ． 答：甲、乙原来各有３８枚、１８枚钱币． ６． ｘｘ＋１－１＝ ２ｘ ３ｘ＋３， 去分母，得３ｘ－（３ｘ＋３）＝２ｘ， 去括号，得３ｘ－３ｘ－３＝２ｘ， 解得ｘ＝－３２， 检验，当ｘ＝－３２时，３ｘ＋３≠０， 所以原分式方程的解为ｘ＝－３２． ７．设该市谷时电价为ｘ元／度，则峰时电价为（ｘ＋０．２）元／度， 根据题意得， ５０ ｘ＋０．２＝ ３０ ｘ， 解得ｘ＝０．３， 经检验ｘ＝０．３是原方程的解． 答：该市谷时电价为０．３元 ／度． ８．因为２ｘ（ｘ－３）＝ｘ－３， 所以２ｘ（ｘ－３）－（ｘ－３）＝０， 所以（２ｘ－１）（ｘ－３）＝０， 所以２ｘ－１＝０或ｘ－３＝０                                                                      ， —２— 初中数学·中考（ＹＮ）　第２７～３６期