第八讲 二次函数-【数理报】2025年中考数学高效复习（云南专版）

书 考点演练 考点１：二次函数的定义 例１　若关于ｘ的函数ｙ＝２ｘｍ－１＋ｘ－３是 二次函数，则ｍ的值为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ 解：由题意，得ｍ－１＝２，所以ｍ＝３． 故选Ｄ． 跟踪训练１：已知ｙ＝（ａ＋２）ｘ２－５ｘ是关于 ｘ的二次函数，则ａ的取值范围是 （　　） Ａ．ａ≥－２ Ｂ．ａ≠２ Ｃ．ａ≥２ Ｄ．ａ≠－２ 考点２：二次函数的平移 例２　把二次函数ｙ＝３ｘ２先向右平移３个 单位长度，再向上平移２个单位长度，所得二次 函数的解析式是 （　　） Ａ．ｙ＝３（ｘ＋３）２－２ Ｂ．ｙ＝３（ｘ＋３）２＋２ Ｃ．ｙ＝３（ｘ－３）２－２ Ｄ．ｙ＝３（ｘ－３）２＋２ 解：把二次函数ｙ＝３ｘ２先向右平移３个单 位长度，再向上平移２个单位长度，所得二次函 数的解析式是ｙ＝３（ｘ－３）２＋２． 故选Ｄ． 跟踪训练２：如果将抛物线ｙ＝ｘ２－２平移， 使平移后的抛物线与抛物线ｙ＝（ｘ－４）２－７重 合，那么它平移的过程可以是 （　　） Ａ．向右平移４个单位长度，向上平移１１个 单位长度 Ｂ．向左平移４个单位长度，向上平移１１                          个 书 二次 函数 　　 定　义 　　 一般地，形如 的函数叫做二次函数． 关系式 　　 （１）一般式： ； （２）顶点式： ［ａ≠０，（ｈ，ｋ）是抛物线的顶点坐标］； （３）交点式： （ａ≠０，ｘ１，ｘ２是抛物线与ｘ轴交点的横坐标）． 图　象 及性质 　　 图象：二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的图象是 ，它是 图形． 性质：（１）抛物线的开口方向由ａ确定，当ａ＞０时，开口 ；当ａ＜０时，开口 ． （２）抛物线的对称轴是直线ｘ＝ ． （３）抛物线的顶点坐标是（ ， ）． （４）若ａ ０，当ｘ＝－ｂ２ａ时，ｙ有最小值，为 ；若ａ ０，当ｘ＝－ ｂ ２ａ时， ｙ有最大值，为 ． （５）当ａ＞０时，在对称轴左侧，ｙ随 ｘ的增大而 ，在对称轴右侧，ｙ随 ｘ的增大而 ；当ａ＜０时，在对称轴左侧，ｙ随ｘ的增大而 ，在对称轴右侧，ｙ随 ｘ的增大 而 ． 图象的 平移 　　 确定平移后抛物线关系式的最好方法是选用顶点式，根据“ ”的口诀进行计算． 与一元二次 方程的联系 　　 对于二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０），当给定ｙ的值时，二次函数可转化为一元二次 方程．当ｙ＝０时，ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０，此时方程的解就是抛物线与ｘ轴交点的 ， 由此我们可利用二次函数的图象求一元二次方程的 或根的范围． !" 书 单位长度 Ｃ．向左平移４个单位长度，向上平移５个单 位长度 Ｄ．向右平移４个单位长度，向下平移５个单 位长度 考点３：二次函数的图象与性质 例３　关于二次函数ｙ＝－２ｘ２＋１２ｘ－１３的 图象，下列说法错误的是 （　　） Ａ．开口向下 Ｂ．对称轴为直线ｘ＝３ Ｃ．顶点坐标为（－３，５） Ｄ．当ｘ＞３时，ｙ随ｘ的增大而减小 解：因为ｙ＝－２ｘ２＋１２ｘ－１３＝－２（ｘ－３）２ ＋５，ａ＝－２＜０， 所以抛物线开口向下，对称轴为直线ｘ＝３， 顶点坐标为（３，５），当ｘ＞３时，ｙ随ｘ的增大而减 小， 所以Ａ，Ｂ，Ｄ选项正确，Ｃ选项错误． 故选Ｃ． 跟踪训练３：（１）二次函数ｙ＝ｘ２＋４ｘ＋ａ的 最小值是３，则ａ的值是 （　　） Ａ．３ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７ （２）已知二次函数 ｙ＝（ａ－１）ｘ２，当 ｘ＜ －１时，ｙ随ｘ增大而减小，则实数ａ的取值范围 是 （　　） Ａ．ａ＞０ Ｂ．ａ＜１ Ｃ．ａ≠１ Ｄ．ａ＞１ （３）已知点Ａ（ｍ－ｎ，ｙ１），Ｂ（ｍ＋ｎ，ｙ２）是抛 物线ｙ＝－ｘ２＋２ｍｘ＋５ｍ－１上的两个点，则ｙ１， ｙ２的大小关系是 （　　） Ａ．ｙ１ ＞ｙ２ Ｂ．ｙ１ ＜ｙ２ Ｃ．ｙ１ ＝ｙ２ Ｄ．与ｍ，ｎ的值有关 （４）二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－１（ａ≠０）的图 象经过点（１，１），则ａ＋ｂ－１的值是 ． 考点４：二次函数的图象与系数的关系 例４　二次函数ｙ＝ａｘ２＋４ｘ＋１和一次函 数ｙ＝ａｘ－ａ（ａ是常数，且ａ≠０）在同一平面直 角坐标系的图象可能是 （　　） 解：Ａ．根据二次函数图象开口向上，可得 ａ ＞０，此时一次函数ｙ＝ａｘ－ａ的图象应经过一、 三、四象限，图中的一次函数图象经过一、二、四 象限，故此选项不合题意； Ｂ．根据二次函数图象开口向上，可得 ａ＞ ０，所以图象对称轴为直线ｘ＝－４２ａ＝－ ２ ａ＜０， 应在ｙ轴的左侧，故此选项不合题意； Ｃ．根据二次函数图象开口向上，可得 ａ＞ ０，所以图象对称轴为直线ｘ＝－４２ａ＝－ ２ ａ＜０， 应在ｙ轴的左侧，图象符合要求，此时一次函数ｙ ＝ａｘ－ａ的图象经过一、三、四象限，图象符合要 求，故此选项符合题意； Ｄ．根据二次函数图象开口向下，可得 ａ＜ ０，当ａ＜０时，一次函数ｙ＝ａｘ－ａ的图象经过 一、二、四象限，图中的一次函数图象经过一、 三、四象限，故此选项不符合题意． 故选Ｃ． 跟踪训练４：函数ｙ＝ｋｘ与ｙ＝－ｋｘ ２＋ｋ（ｋ 为常数且ｋ≠０）在同一平面直角坐标系中的大 致图象是 （　　） 例５　 如图 １，二次函 数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象与 ｘ轴交于Ａ（－４，０）和原点， 且顶点在第二象限．下列说 法正确的是 （　　                                                               ） ! " # ! " # ! " # ! " # ! " # $ ! " # ! " # ! " # ! " # ! " # $ ! " # $ ! % !" 书 Ａ．ａ＞０ Ｂ．当ｘ＞－１时，ｙ的值随ｘ值的增大而减小 Ｃ．ｂ２－４ａｃ＜０ Ｄ．函数有最小值４ａ－２ｂ＋ｃ 解：由图象可得抛物线的开口向下， 所以ａ＜０，故Ａ选项错误； 因为二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象与ｘ轴 交于Ａ（－４，０）和原点，且顶点在第二象限， 所以对称轴为直线ｘ＝－４＋０２ ＝－２， 所以当ｘ＞－１时，ｙ的值随ｘ值的增大而减 小，故Ｂ选项正确； 因为ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象与ｘ轴有两个 交点， 所以ｂ２－４ａｃ＞０，故Ｃ选项不正确； 因为ａ＜０，对称轴为直线ｘ＝－２， 所以当ｘ＝－２时，函数有最大值，为ｙ＝４ａ －２ｂ＋ｃ，故Ｄ选项不正确． 故选Ｂ． 跟踪训练５：已知二次函数 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象如图２所 示，对称轴是直线ｘ＝１．下列结 论：①ａｂｃ＞０；②２ａ＋ｂ＝０； ③４ａ＋２ｂ＋ｃ＞０．其中正确的是 （　　） Ａ．①③ Ｂ．只有② Ｃ．②③ Ｄ．只有③ 考点５：二次函数与一元二次方程 例６　 如图３，抛物线 ｙ＝ ａｘ２与直线ｙ＝ｂｘ＋ｃ的两个交 点为Ａ（－３，４），Ｂ（１，１），则关于 ｘ的方程 ａｘ２ ＝ｂｘ＋ｃ的解为 ． 解：因为抛物线ｙ＝ａｘ２与直线ｙ＝ｂｘ＋ｃ的 两个交点为Ａ（－３，４），Ｂ（１，１）， 所以关于ｘ的方程ａｘ２＝ｂｘ＋ｃ的解为ｘ１＝ １，ｘ２ ＝－３． 故填ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝－３． 跟踪训练６：（１）已知二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ ＋ｃ中，函数ｙ与自变量ｘ的部分对应值如下表， 则方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的一个解的取值范围是 （　　） ｘ ６．１５ ６．１６ ６．１７ ６．１８ ｙ －０．０３ －０．０１ ０．０２ ０．０４ Ａ．－０．０１＜ｘ＜０．０２ Ｂ．６．１７＜ｘ＜６．１８ Ｃ．－０．０３＜ｘ＜０．０２ Ｄ．６．１６＜ｘ＜６．１７ （２）已知关于ｘ的一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ ｃ＝０没有实数根，则二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ 的图象与ｘ轴的交点个数是 ． 考点６：二次函数的应用 例７　 如图４，用 ２０米长的篱笆围成一 个一边靠墙的矩形花 圃（墙足够长），设垂直于墙的一边长为 ｘ米，矩 形花圃的面积为ｙ平方米． （１）写出ｙ关于ｘ的函数解析式； （２）当ｘ为多少时，矩形花圃的面积最大？ 解：（１）由题意可知，平行于墙的一边的长 为（２０－２ｘ）米， 所以ｙ＝ｘ（２０－２ｘ）＝－２ｘ２＋２０ｘ． 因为２０－２ｘ＞０，所以０＜ｘ＜１０， 所以ｙ关于ｘ的函数解析式为 ｙ＝－２ｘ２＋ ２０ｘ（０＜ｘ＜１０）． （２）因为ｙ＝－２ｘ２＋２０ｘ＝－２（ｘ－５）２＋ ５０（０＜ｘ＜１０）， 所以当ｘ＝５时，ｙ取得最大值，最大值为 ５０， 即当ｘ＝５时，矩形花圃的面积最大，                                                               最大 ! " !!" # ! # ! $ ! # $ " % ! " ! % !" 书 值是５０平方米． 跟踪训练７：（１）某同 学在体育训练中掷出的实 心球的运动路线呈如图５ 所示的抛物线形，若该抛物 线的解析式为ｙ＝－１６（ｘ－４） ２＋６，其中ｙ是实心 球飞行的高度，ｘ是实心球飞行的水平距离，则该同 学此次掷球的成绩（即ＯＡ的长度）是 （　　） Ａ．４ｍ Ｂ．６ｍ Ｃ．８ｍ Ｄ．１０ｍ （２）某商店销售某种特产商品，以每千克 １２元购进，按每千克１６元销售时，每天可售出 １００千克．经市场调查发现，单价每涨１元，每天 的销售量就减少１０千克．通过计算说明，每千克 特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产 商品获利最大，最大利润是多少元？ 考点７：二次函数的综合 例８　如图６，抛物线ｙ＝ａｘ２－４ａｘ＋３（ａ≠ ０）的图象交直线ｌ：ｙ＝１２ｘ＋１于Ａ（ｍ，０），Ｂ两 点，与ｘ轴的另一个交点为Ｃ，与ｙ轴交于点Ｄ． （１）求 ! 物线的解析式； （２）连接ＡＤ，ＢＤ，求△ＡＤＢ的面积； （３）抛物线的对称轴上是否存在一动点Ｅ， 使ＥＡ＋ＥＤ的值最小？若不存在，请说明理由；若 存在，请求出点Ｅ的坐标． 解：（１）把点Ａ（ｍ，０） 代入ｙ＝１２ｘ＋１，解得 ｍ ＝－２，所以点Ａ（－２，０）． 把点Ａ（－２，０）代入ｙ ＝ａｘ２－４ａｘ＋３（ａ≠０），解得ａ＝－１４， 所以抛物线的解析式为ｙ＝－１４ｘ ２＋ｘ＋３． （２）设直线ｙ＝１２ｘ＋１与ｙ轴交于点Ｈ， 对于ｙ＝１２ｘ＋１，当ｘ＝０时，ｙ＝１，所以点 Ｈ（０，１）． 联立 ｙ＝－１４ｘ ２＋ｘ＋３， ｙ＝１２ｘ＋１ { ， 解得 ｘ＝－２，ｙ＝{ ０ 或 ｘ＝４， ｙ＝３{ ，所以点Ｂ（４，３）． 对于ｙ＝－１４ｘ ２＋ｘ＋３，当ｘ＝０时，ｙ＝３， 所以点Ｄ（０，３），所以ＤＨ＝２． 因为Ａ（－２，０）， 所以Ｓ△ＡＤＢ ＝Ｓ△ＢＤＨ ＋Ｓ△ＡＤＨ ＝ １ ２×４×２＋ １ ２×２×２＝６． （３）存在．由函数的对称性知，点 Ｂ，Ｄ关于 抛物线的对称轴对称， 设直线ＡＢ交抛物线对称轴于点 Ｅ，则点 Ｅ 为所求点，此时ＥＡ＋ＥＤ的值最小． 因为ｙ＝－１４ｘ ２＋ｘ＋３＝－１４（ｘ－２） ２＋４， 所以抛物线的对称轴为直线ｘ＝２， 所以点Ｅ的横坐标为２                                                              ， !!" "!" # ! # $ ! % & # ' " $ ! $ ( !" 书 把ｘ＝２代入直线ｌ：ｙ＝１２ｘ＋１，得ｙ＝２， 所以点Ｅ的坐标为（２，２）． 跟踪训练８：如图７，已知抛物线过点 Ｃ（０， －３）与点Ｄ（－２，－３），且有最小值－４． （１）求此二次函数的解析式； （２）抛物线与ｘ轴交于点Ａ，Ｂ，若在抛物线 上存在一点Ｐ使△ＡＢＰ的面积为２４，求点Ｐ的 坐标． 每讲一测 １．抛物线ｙ＝（ｘ－２）２＋３的顶点坐标是 （　　） Ａ．（２，－３） Ｂ．（－２，３） Ｃ．（２，３） Ｄ．（－２，－３） ２．将抛物线ｙ＝ｘ２＋１向上平移１个单位长 度，所得到的新抛物线的解析式是 （　　） Ａ．ｙ＝（ｘ－１）２＋１ Ｂ．ｙ＝（ｘ＋１）２＋１ Ｃ．ｙ＝ｘ２＋２ Ｄ．ｙ＝ｘ２ ３．下列函数中，ｙ一定是ｘ的二次函数的是 （　　） Ａ．ｙ＝２ａｘ２ Ｂ．ｙ＝２ｘ＋ｍ２ Ｃ．ｙ＝１２ｘ ２－７ Ｄ．ｙ＝ｘ２－１ｘ ４．已知抛物线 ｙ＝（ｘ－１）２ －２经过点 Ｐ（－１，ｙ１），Ｒ（１，ｙ２）和Ｑ（５，ｙ３），则ｙ１，ｙ２，ｙ３的 大小关系是 （　　） Ａ．ｙ３ ＜ｙ１ ＜ｙ２ Ｂ．ｙ２ ＜ｙ１ ＜ｙ３ Ｃ．ｙ１ ＜ｙ３ ＜ｙ２ Ｄ．ｙ１ ＜ｙ２ ＜ｙ３ ５．已知二次函数ｙ＝ａｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的部分图象 如图１所示，图象经过点（０， ２），其对称轴为直线ｘ＝－１． 下列结论中正确的是（　　） Ａ．３ａ＋ｃ＞０ Ｂ．若点（－４，ｙ１），（３，ｙ２）均在二次函数图 象上，则ｙ１ ＜ｙ２ Ｃ．关于ｘ的一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝－１ 有两个相等的实数根 Ｄ．满足ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＞２的ｘ的取值范围为 －２＜ｘ＜０ ６．已知抛物线ｙ＝（ｍ－１）ｘ２＋３的图象开 口向下，则ｍ的取值范围是 ． ７．如图２，函数ｙ１ ＝ａｘ ２＋ ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）和ｙ２＝ｋｘ＋ｔ的 图象交于点Ａ（－１，１）和Ｂ（２， ４），当ｙ１＜ｙ２时，ｘ的取值范围 是 ． ８．已知二次函数ｙ＝ａｘ２＋ ｂｘ＋ｃ中，函数ｙ与自变量ｘ的部分对应值如下 表，则方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的一个解ｘ的取值范 围是 ． ｘ … １．１ １．２ １．３ １．４ １．５ … ｙ … －１ －０．４９０．０４０．５９１．１６ … ９．飞机着陆后滑行的距离 ｓ（单位：ｍ）与滑 行的时间ｔ（单位：ｓ）的函数解析式是 ｓ＝６０ｔ－ １．５ｔ２，那么飞机着陆后滑行 ｓ才能停下 来． １０．已知抛物线ｙ＝ｘ２－ｘ－１与ｘ轴的一个 交点坐标为（ｍ，０），则代数式２０２４＋ｍ２－ｍ的 值为                                                              ． ! " # $ % & ! ! # "# $ % " & ! $ $ %& %$ %# # # & $ #'%# ! # $ !" 书 １１．二次函数ｙ＝－ｍｘ２＋４ｍｘ－５（ｍ≠０） 的图象经过点Ａ． （１）求二次函数的对称轴； （２）当Ａ（－１，０）时． ①求此时二次函数的表达式； ②把ｙ＝－ｍｘ２＋４ｍｘ－５化为ｙ＝ａ（ｘ－ ｈ）２的形式，并写出顶点坐标． １２．某校部分团员参加社会公益活动，准备购 进一批玩具进行销售，并将所得利润捐给慈善机 构．根据市场调查，这种玩具一段时间内的销售量 ｙ（个）与销售单价ｘ（元 ／个）之间的关系为ｙ＝ －３０ｘ＋６００，这种玩具的进价为６元 ／个． （１）按照上述市场调查的销售规律，求销售 利润ｗ（元）与销售单价ｘ（元 ／个）之间的函数 关系式； （２）若这种玩具的进货成 本 不 超 过 １０８０元，要想获得最大的利润，试确定这种玩 具的销售单价，并求出此时的最大利润． １３．如图３，在平面直角坐标系中，二次函数 ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象经过Ａ（４，０），Ｂ（０，８）两 点． （１）求二次函数的解析式及它的对称轴； （２）设点Ｐ是抛物线上的一个动点，横坐标 为ｍ， ①当 －２＜ｍ＜３时，点Ｐ的纵坐标ｙ的取 值范围是 ； ② 过点Ｐ作ＰＱ∥ｙ轴，交直线ＡＢ于点Ｑ， 当线段ＰＱ＝５时，请求出ｍ的值                                                               ． ! " # $ % ! ! !! 答：平均每天应看５０页． １０．（１）因为一次函数ｙ１＝－ｘ＋５的图象与反比例函数ｙ２ ＝ ｋｘ（ｋ≠０，ｘ＞０）的图象交于Ａ（１，ａ），Ｂ两点， 所以ａ＝－１＋５＝４， 所以Ａ（１，４）， 所以ｋ＝１×４＝４， 所以反比例函数的表达式为ｙ２ ＝ ４ ｘ（ｘ＞０）． 联立 ｙ＝－ｘ＋５， ｙ＝ ４ｘ { ， 解得 ｘ＝４， ｙ＝{ １或 ｘ＝１， ｙ＝４{ ， 所以Ｂ（４，１）． （２）观察图象得，－ｘ＋５－ｋｘ＜０时ｘ的取值范围为０＜ ｘ＜１或ｘ＞４． （３）设Ｐ（ａ，－ａ＋５）， 因为ＰＭ⊥ｘ轴，所以Ｍ（ａ，０），Ｑ（ａ，４ａ）． 因为 ＰＱ ＱＭ ＝ ９ １６，所以 －ａ＋５－４ａ ４ ａ ＝ ９１６， 解得ａ１ ＝ａ２ ＝ ５ ２，所以Ｐ（ ５ ２， ５ ２）， 所以Ｓ△ＰＭＯ ＝ １ ２ＯＭ·ＰＭ ＝ １ ２× ５ ２× ５ ２ ＝ ２５ ８． 第八讲　二次函数 知识梳理 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０） ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）　ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ　ｙ＝ａ（ｘ－ ｘ１）（ｘ－ｘ２） 抛物线　轴对称 向上　向下 －ｂ２ａ －ｂ２ａ　 ４ａｃ－ｂ２ ４ａ ＞　４ａｃ－ｂ ２ ４ａ 　 ＜　 ４ａｃ－ｂ２ ４ａ 减小　增大　增大　 减小 上加下减　左加右减 横坐标　根 考点演练 １．Ｄ；　２．Ｄ； ３．（１）Ｄ，　（２）Ｄ，　（３）Ｃ，　（４）１； ４．Ｂ；　５．Ｃ；　６．（１）Ｄ，　（２）０； ７．（１）Ｄ． （２）设每天获得的利润为Ｗ元，销售价格为ｘ元， 则Ｗ ＝（ｘ－１２）［１００－１０（ｘ－１６）］＝（ｘ－１２）（－１０ｘ＋ ２６０）＝－１０ｘ２＋３８０ｘ－３１２０＝－１０（ｘ－１９）２＋４９０， 因为 －１０＜０，所以Ｗ有最大值，最大值为４９０， 所以售价为１９元时，每天获得的利润最大，最大利润是 ４９０元． ８．（１）因为点Ｃ（０，－３）与点Ｄ（－２，－３）在抛物线上， 所以抛物线的对称轴为直线ｘ＝－１． 设此二次函数的解析式为ｙ＝ａ（ｘ＋１）２－４， 将点Ｃ（０，－３）代入，得 －３＝ａ（０＋１）２－４， 解得ａ＝１， 所以此二次函数的解析式为ｙ＝（ｘ＋１）２－４，即ｙ＝ｘ２＋ ２ｘ－３． （２）对于ｙ＝ｘ２＋２ｘ－３， 当ｙ＝０时，即ｘ２＋２ｘ－３＝０， 解得ｘ１ ＝－３，ｘ２ ＝１， 所以Ａ（１，０），Ｂ（－３，０）， 所以ＡＢ＝４． 设Ｐ（ｍ，ｎ），因为△ＡＢＰ的面积为２４， 所以 １ ２ＡＢ·｜ｎ｜＝２４，解得ｎ＝±１２． 当ｎ＝１２时，ｍ２＋２ｍ－３＝１２， 解得ｍ＝－５或３， 所以点Ｐ的坐标为（－５，１２）或（３，１２）； 当ｎ＝－１２时，ｍ２＋２ｍ－３＝－１２，此时方程无解，舍去． 综上所述，点Ｐ的坐标为（－５，１２）或（３，１２）． 每讲一测 １．Ｃ；　２．Ｃ；　３．Ｃ；　４．Ｂ；　５．Ｄ； ６．ｍ＜１；　７．－１＜ｘ＜２；　８．１．２＜ｘ＜１．３； ９．２０；　１０．２０２５． １１．（１）因为ｙ＝－ｍｘ２＋４ｍｘ－５＝－ｍ（ｘ２－４ｘ）－５＝ －ｍ（ｘ－２）２－５＋４ｍ， 所以二次函数的对称轴是直线ｘ＝２． （２）①将点Ａ（－１，０）代入ｙ＝－ｍｘ２＋４ｍｘ－５， 得 －ｍ－４ｍ－５＝０，解得ｍ＝－１， 所以此时二次函数的表达式为ｙ＝ｘ２－４ｘ－５． ②因为ｙ＝ｘ２－４ｘ－５＝（ｘ－２）２－９， 所以顶点坐标为（２，－９）． １２．（１）由题意，得ｗ＝（ｘ－６）ｙ＝（ｘ－６）（－３０ｘ＋６００                                                                      ） —６— 初中数学·中考（ＹＮ）　第２７～３６期 ＝－３０ｘ２＋７８０ｘ－３６００， 所以销售利润与销售单价之间的函数关系式为 ｗ＝ －３０ｘ２＋７８０ｘ－３６００． （２）由题意，得（－３０ｘ＋６００）×６≤１０８０，解得ｘ≥１４， 因为ｗ＝－３０ｘ２＋７８０ｘ－３６００＝－３０（ｘ－１３）２＋１４７０， －３０＜０， 所以当ｘ＞１３时，ｗ随着ｘ的增大而减小， 所以当ｘ＝１４时，ｗ取得最大值，最大值为 －３０（１４－１３）２ ＋１４７０＝１４４０（元）． 故当销售单价为１４元，能获得最大利润，最大利润为１４４０元． １３．（１）将 Ａ（４，０），Ｂ（０，８）代入 ｙ＝－ｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ，得 －１６＋４ｂ＋ｃ＝０， ｃ＝８{ ， 　解得 ｂ＝２， ｃ＝８{ ， 则抛物线的解析式为ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋８＝－（ｘ－１）２＋９； 其对称轴为直线ｘ＝１． （２）①由函数图象知，当ｘ＝１时，ｙ有最大值，ｙ最大 ＝９； 又因为 －２离对称轴直线ｘ＝１最远， 所以当ｘ＝－２时，ｙ有最小值，ｙ最小 ＝０， 所以当 －２＜ｍ＜３时，点Ｐ的纵坐标ｙ的取值范围为０＜ ｙ≤９． 故填０＜ｙ≤９． ②设直线ＡＢ的解析式为ｙ＝ａｘ＋ｋ， 把Ａ（４，０），Ｂ（０，８）代入，得 ４ａ＋ｋ＝０， ｋ＝８{ ， 解得 ａ＝－２， ｋ＝８{ ， 所以直线ＡＢ的解析式为ｙ＝－２ｘ＋８． 设点Ｐ的坐标为（ｍ，－ｍ２＋２ｍ＋８）， 所以点Ｑ的坐标为（ｍ，－２ｍ＋８）， 所以ＰＱ＝｜－ｍ２＋２ｍ＋８－（－２ｍ＋８）｜＝｜－ｍ２＋４ｍ｜ ＝５， 当 －ｍ２＋４ｍ＝５时，方程无解； 当 －ｍ２＋４ｍ＝－５时， 解得ｍ１ ＝－１，ｍ２ ＝５． 综上所述，ｍ的值为 －１或５． 第九讲　图形的初步认识 知识梳理 棱柱　圆柱　棱锥　圆锥 ２ｎ　３ｎ　（ｎ＋２） １１　 一　一　一 线段　线段 这条线段两个端点　线段两个端点 角平分线 相等　角平分线上 余角　补角 一 垂线段　垂线段　 一　互相平行 同位角相等　内错角相等　同旁内角互补　　 同位角相等　内错角相等　同旁内角互补 考点演练 １．Ｂ；　２．科；　３．８０°；　４．１２×１０７；　５．７；　６．３０°； ７．４０°． 每讲一测 １．Ｄ；　２．Ｂ；　３．Ｂ；　４．Ｃ； ５．１４５°；　６．５；　７．１００°． ８．（１）如图４，延长ＢＰ交ＣＤ于点Ｅ， 因为ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｂ＝５５°， 所以∠Ｂ＝∠ＢＥＤ＝５５°． 因为∠Ｄ＝４０°， 所以∠ＢＰＤ＝∠Ｄ＋∠ＢＥＤ＝９５°． ! " # $ % & ! # " ' % $ & 图４ 图５ （２）∠ＢＰＤ＝∠Ｂ＋∠Ｄ＋∠ＢＱＤ． 证明：如图５，连接ＱＰ并延长至点Ｅ， 因为∠ＢＰＥ＝∠Ｂ＋∠ＢＱＥ，∠ＤＰＥ＝∠Ｄ＋∠ＤＱＥ， 所以∠ＢＰＥ＋∠ＤＰＥ＝∠Ｂ＋∠ＢＱＥ＋∠Ｄ＋∠ＤＱＥ， 所以∠ＢＰＤ＝∠Ｂ＋∠Ｄ＋∠ＢＱＤ． 第十讲　三角形 知识梳理 不在同一条直线上 大于　小于 １８０° 与它不相邻的两个内角的和　任何一个与它不相邻的内 角 稳定 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 两个底角　等边对等角 角平分线　底边上的中线　底边上的高 轴对称                                                                      有两条边相等 —７— 初中数学·中考（ＹＮ）　第２７～３６期