《方程（组）与不等式（组）》综合测评卷-【数理报】2025年中考数学高效复习（云南专版）

书 《方程（组）与不等式（组）》综合测评卷 （全卷三个大题，共２７个小题；满分１００分，考试用时１２０分钟） 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共１５小题，每小题只有一个正确选项，每小题２分，共３０分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ １３ １４ １５ 答案 １．关于ｘ的一元二次方程３ｘ２＋５ｘ－４＝０，常数项是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．３ Ｂ．５ Ｃ．－５ Ｄ．－４ ２．若代数式５－ｘ的值为４，则ｘ的值是 （　　） Ａ．－５ Ｂ．－１ Ｃ．１ Ｄ．９ ３．ｘ与５的和不大于 －１，用不等式表示为 （　　） Ａ．ｘ＋５≥－１　　　 Ｂ．ｘ＋５＜－１ Ｃ．ｘ＋５＞－１　　　 Ｄ．ｘ＋５≤－１ ４．解方程组 ７ｘ－３ｙ＝９， ４ｘ＋３ｙ＝－２０{ ，较简便的方法是 （　　） Ａ．代入消元法 Ｂ．加减消元法 Ｃ．试验法 Ｄ．以上都不对 ５．若方程（ａ＋２）ｘ｜ａ｜＋ｘ－８＝０是关于ｘ的一元二次方程，则ａ的值为 （　　） Ａ．２ Ｂ．－２ Ｃ．±２ Ｄ．无法确定 ６．把不等式ｘ＋２＞４的解集表示在数轴上，正确的是 （　　） ７．甲、乙两个植树队参加植树造林活动，已知甲队每小时比乙队少种３棵树，甲队种６０棵树 与乙队种６６棵树所用的时间相同．若设甲队每小时种ｘ棵树，则根据题意可列方程为 （　　） Ａ．６０ｘ＋３＝ ６６ ｘ Ｂ． ６０ ｘ－３＝ ６６ ｘ Ｃ．６０ｘ＝ ６６ ｘ＋３ Ｄ． ６０ ｘ＝ ６６ ｘ－３ 书 ｍ－ｎ＝５， ｍ＋２ｎ＝３ａ－{ １的解满足２ｍ＋ｎ＞１１，则所有满足条件的整数ａ的值之和为 ． 三、解答题（本大题共８小题，共６２分） ２０．（本小题满分７分）解方程（组）： （１）ｘ２－２ｘ－１＝０；　 （２） ３ｍ＋２ｎ＝４， ６ｍ－ｎ＝３{ ． ２１．（本小题满分６分）以下是小贤解不等式组 ｘ－２＜３，① －ｘ＋２ ３ ≥１ { ②的解答过程． 解：由①得ｘ＜３＋２， 第一步!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 所以ｘ＜５， 第二步 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 由②得 －ｘ＋２≥３， 第三步!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 所以ｘ≥－１， 第四步!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 故原不等式组的解集是 －１≤ｘ＜５． 第五步!!!!!!!!!!!!! 请判断小贤的解答过程从哪一步开始出现错误？并写出正确的解答过程． 书 ８．关于ｘ的一元二次方程ｘ２－５ｘ＋２＝０根的情况是 （　　） Ａ．有两个不相等的实数根 Ｂ．有两个相等的实数根 Ｃ．没有实数根 Ｄ．只有一个实数根 ９．方程 ｘ ２ ｘ－１＝ １ ｘ－１的增根为 （　　） Ａ．ｘ＝０　　　 Ｂ．ｘ＝－１　　　 Ｃ．ｘ＝１　　 Ｄ．ｘ＝±１ １０．已知ｘ１，ｘ２是方程ｘ ２－２ｘ－１＝０的两根，则ｘ１＋ｘ２－ｘ１ｘ２的值为 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ １１．已知一个角的２倍与这个角的余角相等，则这个角是 （　　） Ａ．９０°　　 Ｂ．６０°　　 Ｃ．４５°　　 Ｄ．３０° １２．已知ｍ是关于ｘ的方程ｘ２－２ｘ－４＝０的一个根，则２ｍ２－４ｍ＋２的值为 （　　） Ａ．５ Ｂ．１０ Ｃ．－１０ Ｄ．６ １３．解分式方程 ２ｘ－１－ ｘ １－ｘ＝３时，去分母变形为 （　　） Ａ．２＋ｘ＝３（１－ｘ） Ｂ．２＋ｘ＝３（ｘ－１） Ｃ．２＋ｘ＝３ｘ－１ Ｄ．２－ｘ＝３（ｘ－１） １４．下列由等式的性质进行的变形，不正确的是 （　　） Ａ．如果ｘ＝ｙ，那么ｘ＋ａ＝ｙ＋ａ Ｂ．如果ｘａ＝ ｙ ａ，那么ｘ＝ｙ Ｃ．如果ｘ＝ｙ，那么 ｘ ａ２＋１ ＝ ｙ ａ２＋１ Ｄ．如果ａｘ＋ｂ＝ａｙ＋ｂ，那么ｘ＝ｙ １５．若关于ｘ，ｙ的方程组 ｘ＋ｙ＝２ｋ， ３ｘ＋２ｙ＝５ｋ－{ ３的解满足３ｙ－２ｘ－１７＝０，则ｋ的值为 （　　） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．－２ Ｄ．５ 二、填空题（本大题共４小题，每小题２分，共８分） １６．已知ｘ４ｍ－３＋１２ ＝３是关于ｘ的一元一次方程，那么ｍ＝ ． １７．已知ａ＜ｂ，那么 －２ａ －２ｂ（填“＞”“＜”或“＝”）． １８．如果关于ｘ的方程ａｘ２＋ｘ－１＝０没有实数根，则ａ的取值范围是 ． １９．若关于 ｘ的不等式组 ｘ＋ａ ３ ≤１， ｘ－２≥３ｘ＋ { ４ 的解集为 ｘ≤－３，且关于 ｍ，ｎ的方程组 ! ! ! ! !" # " $% & ! ! ! ! %" & " $ ! ! ! ! %" & " $ ! ! ! ! %" & " $ ' ( ) * ! " # ! $ % & ' ( ) * + , - . ! $ / & ' ( ) * + - 0 1 2 3 4 5 6 7 ! 8 9 : ; < = > ? @ A ( ) + " , ! & - & - . B / C ! > ? & ' ( D E F G ! G H I J K L ! M N O A I $ " % " 0 - ! " # ! ! ! " # " $ " % ! " $ # $ % & " ' $ # ( ! !!!!!!!!!!!!!!! ! ! " """"""""""""""" " " # ############### # # $ $$$$$$$$$$$$$$$ $ $ !!!!!!!!!!!!!!!! ! ! """""""""""""""" " " ################ # # 1111111111111111 1 1 ++++++++++++++++ + + $$$$$$$$$$$$$$$$ $ $ 书 ２６．（本小题满分８分）某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利１００元，销售一段时间后 开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利８１元，平均每天可售出２０件． （１）求平均每次降价盈利减少的百分率； （２）为尽快减少库存，商场决定再次降价．每件上衣每降价１元，每天可多售出２件．若商场 每天要盈利２９４０元，每件应降价多少元？ ２７．（本小题满分１２分）某文具店购进Ａ，Ｂ两种文具进行销售．若每个Ａ种文具的进价比每 个Ｂ种文具的进价少２元，且用９００元正好可以购进５０个Ａ种文具和５０个Ｂ种文具． （１）求每个Ａ种文具和Ｂ种文具的进价分别为多少元？ （２）若该文具店购进Ａ种文具的数量比购进Ｂ种文具的数量的３倍还少５个，购进两种文 具的总数量不超过９５个，每个Ａ种文具的销售价格为１２元，每个Ｂ种文具的销售价格为１５元， 则将购进的Ａ，Ｂ两种文具全部售出后，可使总利润超过３７１元，通过计算求出该文具店购进Ａ，Ｂ 两种文具有哪几种方案？ （３）在（２）的条件下，请说明哪种方案该文具店所获利润最大，最大利润是多少？ 书 ２２．（本小题满分７分）小明的爸爸在工业区办了一个工厂，投产后核算，产品的成本分两部 分，一部分是直接生产成本，每个需８元，另一部分是管理、宣传、营销等与产品数量无关的费 用，全部需２４００００元．如果此产品的定价为１６元，那么要使利润达到营业额的２５％，至少要生 产多少个产品？ ２３．（本小题满分６分）为落实“双减政策”，某学校购进“红色教育”和“传统文化”两种经 典读本，花费分别是１２０００元和５０００元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化” 经典读本的订购单价的１２倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读 本的数量多５００本．求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元？ 书 ２４．（本小题满分８分）已知关于ｘ的一元二次方程ｘ２－（ｍ＋１）ｘ＋２ｍ－２＝０（ｍ为常数）． （１）若方程的一个根为１，求ｍ的值及方程的另一个根； （２）求证：不论ｍ为何值时，方程总有两个实数根． ２５．（本小题满分８分）某市政府计划对该市博物馆进行改造，现安排甲、乙两个工程队完 成，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的１．５倍，甲队单独完成该改造计划比乙队单独完成 该计划少用４天． （１）甲、乙两队单独完成该计划分别需要多少天？ （２）若甲队工作一天需付费用８万元，乙队工作一天需付费用６万元，由于项目原因，甲队 先做了几天后，由乙队接着将改造计划完成，最后改造费用不超过６７万元，则甲队至少做了多 少天？ ! " # ! $ % & ' ( ) * + ! , - . / 0 ! & ' 1 2 3 ( ! " # $ % # & ' $ & # ( ! 4 5 6 # 7 ) " # $ ! # & ' $ & ( * ! 8 5 9 : ( ; < = > ? @ A B C D E F & ) & G H I - 5 J K L M 5 N & ' 1 ! O P & Q ( ) " ) ) ) ( ! 8 5 R ; < S : T U V W X Y Z > ? @ [ \ ] C ^ _ à b T cd ! 85edf Zghijklmnopijqr 书 答案详解 　　　　　　２０２４～２０２５学年　初中数学·中考（ＹＮ）　（综合测评卷）第３７～４４期　　　　　　 《数与式》综合测评卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０１１１２１３１４１５ 答案 Ｃ Ｃ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ Ｄ Ａ Ｂ Ｂ Ｃ Ｂ Ａ Ｄ Ｃ 二、１６．ａ２ｂ２（２ａ－３）；　１７．ｘ≠１； １８．２；　１９．ｎ（－ａ）ｎ＋１． 三、２０．原式＝４＋２－槡２－ 槡３２＋１ ＝７－ 槡４２． ２１．原式＝２ｂ３＋２ａｂ２－２ａ２ｂ－２ａｂ２－２ｂ３ ＝－２ａ２ｂ， 当ａ＝－１，ｂ＝ １３时， 原式＝－２×（－１）２×１３ ＝－２×１×１３ ＝－２３． ２２．（１）①． （２）原式＝ ｘ－１ （ｘ＋１）（ｘ－１）＋ ２ （ｘ＋１）（ｘ－１） ＝ ｘ－１＋２ （ｘ＋１）（ｘ－１） ＝ ｘ＋１ （ｘ＋１）（ｘ－１） ＝ １ｘ－１， 当ｘ＝槡３＋１时， 原式 ＝ １ 槡３＋１－１ ＝槡３３． ２３．因为１＜槡２＜２，ｘ是槡２的小数部分， 所以ｘ＝槡２－１， 所以ｙ＝２＋槡２－１＝槡２＋１， 所以原式＝（ｘ＋ｙ）２－ｘｙ ＝（槡２－１＋槡２＋１） ２－（槡２－１）（槡２＋１） ＝８－（２－１） ＝７． ２４．（１）广场的空地面积为（ａｂ－πｒ２）ｍ２． （２）由题意，知ａ＝６０，ｂ＝５０，ｒ＝５， 所以广场空地的面积 ＝ａｂ－πｒ２＝６０×５０－２５π＝（３０００ －２５π）ｍ２． 答：广场空地的面积为（３０００－２５π）ｍ２． ２５．（１）由数轴可得，ｂ＜－２，０＜ａ＜２， 所以ｂ＋２＜０， 所以Ｍ ＝－（ａ－２）＋（ｂ＋２）－ａ ＝－２ａ＋ｂ＋４． （２）当ａ＝槡３－１，ｂ＝－槡３－１时， Ｍ ＝－２×（槡３－１）＋（－槡３－１）＋４ ＝－ 槡２３＋２－槡３－１＋４ ＝－ 槡３３＋５． ２６．（１）根据表格信息可得，路程最多的一天为 ＋３３ｋｍ， 路程最少的一天为 －１６ｋｍ， 所以路程最多的一天比最少的一天多走３３－（－１６）＝ ４９（ｋｍ）． 故填４９． （２）由表格，得５０×７＋（－８）＋（－１２）＋（－１６）＋０＋ ２２＋３１＋３３＝４００（ｋｍ）． 答：亮亮家的新能源汽车这７天一共行驶了４００千米． （３）由（２）可知这七天一共行驶了４００ｋｍ                                                        ， —１— 初中数学·中考（ＹＮ）　第３７～４４期 所以油费为 ４００ １００×６５×８２＝２１３２（元）， 电费为 ４００ １００×１５×０５６＝３３６（元）， 因为２１３２－３３６＝１７９６（元）， 所以这７天的行驶费用比原来节省了大约１７９６元． ２７．（１）由材料得，ｍ２－４ｍ－５＝（ｍ２－４ｍ＋４）－９＝（ｍ －２）２－９． 故填（ｍ２－４ｍ＋４）－９，（ｍ－２）２－９． （２）证明：原式＝ｘ２－６ｘｙ＋９ｙ２＋ｙ２－４ｙ＋６ ＝（ｘ２－６ｘｙ＋９ｙ２）＋（ｙ２－４ｙ＋４）＋２ ＝（ｘ－３ｙ）２＋（ｙ－２）２＋２， 因为（ｘ－３ｙ）２≥０，（ｙ－２）２≥０， 所以（ｘ－３ｙ）２＋（ｙ－２）２＋２≥２， 所以对于任意实数ｘ，ｙ，多项式ｘ２－６ｘｙ＋１０ｙ２－４ｙ＋６的 值总为正数． 《方程（组）与不等式（组）》综合测评卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０１１１２１３１４１５ 答案 Ｄ Ｃ Ｄ Ｂ Ａ Ａ Ｃ Ａ Ｃ Ｃ Ｄ Ｂ Ｂ Ｄ Ａ 二、１６．１；　１７．＞；　１８．ａ＜－１４；　１９．１８． 三、２０．（１）因为ｘ２－２ｘ＝１， 所以ｘ２－２ｘ＋１＝２， 所以（ｘ－１）２ ＝２， 所以ｘ－１＝±槡２， 所以ｘ１ ＝１＋槡２，ｘ２ ＝１－槡２． （２） ３ｍ＋２ｎ＝４，① ６ｍ－ｎ＝３，{ ② 由② ×２，得１２ｍ－２ｎ＝６，③ 由① ＋③，得１５ｍ＝１０，解得ｍ＝ ２３， 把ｍ＝ ２３代入②，得４－ｎ＝３，解得ｎ＝１， 所以方程组的解为 ｍ＝ ２３， ｎ＝１ { ． ２１．小贤的解答过程从第四步开始出现错误． 正确的解答过程如下： 由①得ｘ＜３＋２，所以ｘ＜５， 由②得 －ｘ＋２≥３，所以 －ｘ≥１， 所以ｘ≤－１， 故原不等式组的解集是ｘ≤－１． ２２．设至少要生产ｘ个产品， 由题意可得１６ｘ－（２４００００＋８ｘ）＝１６ｘ×２５％， 整理，得８ｘ－２４００００＝４ｘ，解得ｘ＝６００００． 答：至少要生产６００００个产品． ２３．设“传统文化”经典读本的单价是ｘ元，则“红色教育” 经典读本的单价是１．２ｘ元， 由题意，得 １２０００ １．２ｘ－ ５０００ ｘ ＝５００， 解得ｘ＝１０， 经检验，ｘ＝１０是原分式方程的解， 所以１．２ｘ＝１２． 答：“红色教育”经典读本的单价是１２元，“传统文化”经 典读本的单价是１０元． ２４．（１）把ｘ＝１代入方程可得１－（ｍ＋１）＋２ｍ－２＝０， 解得ｍ＝２， 当ｍ＝２时，原方程为ｘ２－３ｘ＋２＝０， 解得ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝２，即方程的另一根为２． 综上，ｍ的值为２，方程的另一根为２． （２）证明：因为ａ＝１，ｂ＝－（ｍ＋１），ｃ＝２ｍ－２， 所以Δ＝［（－（ｍ＋１）］２－４×１×（２ｍ－２）＝ｍ２－６ｍ ＋９＝（ｍ－３）２≥０， 所以不论ｍ为何值时，方程总有两个实数根． ２５．（１）设乙队单独完成该计划需要ｘ天，则甲队单独完成 该计划需要（ｘ－４）天， 根据题意，得 １ ｘ×１．５＝ １ ｘ－４，解得ｘ＝１２， 经检验，ｘ＝１２是原方程的解，且符合题意， 此时ｘ－４＝８． 答：甲队单独完成该计划需要８天，乙队单独完成该计划 需要１２天                                                                      ． —２— 初中数学·中考（ＹＮ）　第３７～４４期 （２）设甲队至少做了 ｍ天，则乙队做了 １－ｍ８ １ １２ ＝（１２－ １５ｍ）天， 根据题意，得８ｍ＋６（１２－１．５ｍ）≤６７，解得ｍ≥５． 答：甲队至少做了５天． ２６．（１）设平均每次降价盈利减少的百分率为ｘ， 依题意，得１００（１－ｘ）２ ＝８１， 解得ｘ１ ＝０１＝１０％，ｘ２ ＝１９（不合题意，舍去）． 答：平均每次降价盈利减少的百分率为１０％． （２）设每件应降价ｙ元，则每天可售出（２０＋２ｙ）件， 依题意，得（８１－ｙ）（２０＋２ｙ）＝２９４０， 解得ｙ１ ＝６０，ｙ２ ＝１１． 因为要尽快减少库存，所以ｙ＝６０． 答：每件应降价６０元． ２７．（１）设每个Ａ种文具的进价为ｘ元，每个Ｂ种文具的进 价为ｙ元， 依题意，得 ｙ－ｘ＝２， ５０ｘ＋５０ｙ＝９００{ ，解得 ｘ＝８， ｙ＝１０{ ． 答：每个Ａ种文具的进价为８元，每个 Ｂ种文具的进价为 １０元． （２）设购进Ｂ种文具ｍ个，则购进Ａ种文具（３ｍ－５）个， 依题意，得 ｍ＋３ｍ－５≤９５， （１２－８）（３ｍ－５）＋（１５－１０）ｍ＞３７１{ ， 解得２３＜ｍ≤２５． 因为ｍ为整数， 所以ｍ＝２４或２５，３ｍ－５＝６７或７０， 所以该文具店有两种进货方案： ①购进Ａ种文具６７个，Ｂ种文具２４个； ②购进Ａ种文具７０个，Ｂ种文具２５个． 答：该文具店有两种进货方案：① 购进 Ａ种文具 ６７个， Ｂ种文具２４个；②购进Ａ种文具７０个，Ｂ种文具２５个． （３）当选择方案①：购进Ａ种文具６７个，Ｂ种文具２４个时， 该文具店可获利（１２－８）×６７＋（１５－１０）×２４＝３８８（元）； 当选择方案②：购进Ａ种文具７０个，Ｂ种文具２５个时，该 文具店可获利（１２－８）×７０＋（１５－１０）×２５＝４０５（元）， 因为４０５＞３８８，所以应选择方案②． 答：该文具店选择方案 ②：购进 Ａ种文具７０个，Ｂ种文具 ２５个所获利润最大，最大利润为４０５元． 《函数》综合测评卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０１１１２１３１４１５ 答案 Ｄ Ｄ Ｄ Ｄ Ｃ Ｂ Ｄ Ｃ Ｃ Ａ Ｂ Ａ Ａ Ｃ Ｄ 二、１６．－３；　１７．０；　１８．ｍ≤－２；　１９．１． 三、２０．（１）１６０． （２）因为心率控制在１２０次 ／分 ～１７５次 ／分之间能达到 最佳的运动效果， 所以由图象可得，当运动１０分钟后时，心率达到１２０次 ／ 分及以上， 当运动５０分钟后时，心率低于１２０次 ／分， 所以５０－１０＝４０（分钟）， 所以本次运动中达到最佳运动效果的时间约持续４０分 钟． ２１．（１）由表格数据可知，当放水时间为１分钟时，水池中 剩余水量为４８立方米，当放水时间为２分钟时，水池中剩余水 量为４６立方米， 设ｙ＝ｋｔ＋ｂ，根据题意得 ４８＝ｋ＋ｂ， ４６＝２ｋ＋ｂ{ ， 解得 ｋ＝－２， ｂ＝５０{ ，　所以ｙ＝５０－２ｔ． （２）根据题意，得５０－２ｔ＝０， 解得ｔ＝２５． 答：当放水２５分钟时，水池的水恰好全部放完． ２２．（１）由二次函数的图象可知，二次函数的图象经过点 （－２，０），（４，０），（０，４）， 设ｙ＝ｋ（ｘ＋２）（ｘ－４）， 代入（０，４）得４＝－８ｋ， 解得ｋ＝－１２， 所以ｙ＝－１２（ｘ＋２）（ｘ－４）＝－ １ ２ｘ ２＋ｘ＋４                                                                      ． —３— 初中数学·中考（ＹＮ）　第３７～４４期 所以二次函数的解析式为ｙ＝－１２ｘ ２＋ｘ＋４． （２）由图象可知图象与ｘ轴的交点为（－２，０），（４，０）， 所以不等式ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＞０的解集为 －２＜ｘ＜４． ２３．（１）因为正比例函数ｙ＝２ｘ的图象与一次函数ｙ＝ｋｘ ＋ｂ的图象交于点Ａ（ｍ，４）， 所以有４＝２ｍ，解得ｍ＝２， 所以Ａ点的坐标为（２，４）． （２）因为一次函数 ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象过点 Ａ（２，４）和点 Ｂ（－４，－２）， 则有 ４＝２ｋ＋ｂ， －２＝－４ｋ＋ｂ{ ，　解得 ｋ＝１， ｂ＝２{ ， 所以一次函数的解析式为ｙ＝ｘ＋２． ２４．（１）因为ＭＮ∥ｘ轴， 所以Ｍ，Ｎ点的纵坐标相等． 因为点Ｍ（ｍ－１，２ｍ＋３），点Ｎ（５，４）， 所以２ｍ＋３＝４，所以ｍ＝ １２， 所以ｍ－１＝－１２，所以Ｍ（－ １ ２，４）， 所以线段ＭＮ的长度 ＝５－（－１２）＝ １１ ２． （２）因为点Ｍ到ｙ轴的距离为１， 所以｜ｍ－１｜＝１， 所以ｍ－１＝１或ｍ－１＝－１， 所以ｍ＝２或０， 所以２ｍ＋３＝７或３， 所以Ｍ（１，７）或（－１，３）． ２５．（１）由题意知，抛物线的顶点Ｅ（０，３）， 因为ＡＢ＝ＣＤ＝２米，棚宽ＢＤ＝１２米， 所以ＯＢ＝ＯＤ＝６米， 所以可设抛物线的表达式为 ｙ＝ａｘ２＋３，且抛物线过点 Ｃ（６，２）， 所以２＝３６ａ＋３， 解得ａ＝－１３６， 所以ｙ＝－１３６ｘ ２＋３． （２）因为两根立柱间的距离为６米，且关于ｙ轴对称， 所以单根立柱到ｙ轴的距离为３米， 当ｘ＝３时，ｙ＝－１３６×３ ２＋３＝１１４， 所以单根立柱的长度为 １１ ４－２＝ ３ ４（米）， 所以需要的立柱总长度为 ３ ４×２＝ ３ ２（米）． ２６．（１）将点Ａ（３，４）代入ｙ２ ＝ ｍ ｘ（ｍ≠０），得ｍ＝３×４ ＝１２， 所以反比例函数的表达式为ｙ２ ＝ １２ ｘ． 将点Ｂ（ａ，－２）代入ｙ２ ＝ １２ ｘ，可得ａ＝－６，所以Ｂ（－６， －２）． 把点Ａ（３，４），Ｂ（－６，－２）代入ｙ１ ＝ｋｘ＋ｂ， 得 ３ｋ＋ｂ＝４， －６ｋ＋ｂ＝－２{ ，　解得 ｋ＝ ２３， ｂ＝２ { ， 所以一次函数的表达式为ｙ１ ＝ ２ ３ｘ＋２． （２）由（１）知一次函数的表达式为ｙ１ ＝ ２ ３ｘ＋２， 令ｙ＝０，则 ２３ｘ＋２＝０，解得ｘ＝－３， 所以点Ｃ坐标为（－３，０）． 因为点Ｐ在反比例函数ｙ２ ＝ １２ ｘ的图象上， 所以设点Ｐ坐标为（ｎ，１２ｎ）， 因为Ｓ△ＰＯＣ ＝１８， 所以 １ ２×｜－３｜×｜ １２ ｎ｜＝１８， 解得ｎ＝－１或ｎ＝１． 又因为点Ｐ在第三象限， 所以ｎ＝－１，所以１２ｎ ＝－１２， 所以点Ｐ坐标为（－１，－１２）． ２７．（１）因为Ｂ（４，０），且ＯＢ＝ＯＣ， 所以Ｃ（０，－４）或（０，４）                                                                      ． —４— 初中数学·中考（ＹＮ）　第３７～４４期 又因为二次函数的图象开口向上， 所以Ｃ（０，－４）． （２）因为二次函数的图象经过Ａ（－１，０），Ｂ（４，０）， 所以设二次函数的解析式为ｙ＝ａ（ｘ＋１）（ｘ－４）． 由（１）得点Ｃ（０，－４）， 所以 －４＝－４ａ，解得ａ＝１． 所以二次函数的解析式为ｙ＝（ｘ＋１）（ｘ－４）＝ｘ２－３ｘ－４． （３）因为点Ｐ在抛物线上， 所以可设Ｐ（ｔ，ｔ２－３ｔ－４）． 过点Ｐ作ＰＥ⊥ｘ轴于点Ｅ，交直线ＢＣ于点Ｆ，如图１， ! " # $ % & ' ( ) 图１ 因为Ｂ（４，０），Ｃ（０，－４）， 所以直线ＢＣ的解析式为ｙ＝ｘ－４，Ｓ△ＢＯＣ ＝ １ ２ＯＢ·ＯＣ＝ １ ２×４×４＝８， 所以设Ｆ（ｔ，ｔ－４）． 当Ｓ△ＰＢＣ最大时，四边形ＰＢＯＣ的面积最大， 因为ＰＦ＝（ｔ－４）－（ｔ２－３ｔ－４）＝－ｔ２＋４ｔ， 所以Ｓ△ＰＢＣ ＝Ｓ△ＰＦＣ ＋Ｓ△ＰＦＢ ＝ １２ＰＦ·ＯＥ＋ １ ２ＰＦ·ＢＥ ＝ １２ＰＦ·（ＯＥ＋ＢＥ） ＝ １２ＰＦ·ＯＢ ＝ １２（－ｔ ２＋４ｔ）×４ ＝－２（ｔ－２）２＋８， 所以当ｔ＝２时，Ｓ△ＰＢＣ最大值为８， 此时ｔ２－３ｔ－４＝－６， 所以当Ｐ点坐标为（２，－６）时，Ｓ△ＰＢＣ ＝８，此时四边形 ＰＢＯＣ的面积最大，最大面积为Ｓ△ＢＯＣ ＋Ｓ△ＰＢＣ ＝８＋８＝１６． 《几何图形》综合测评卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０１１１２１３１４１５ 答案 Ｃ Ｂ Ｃ Ｄ Ｂ Ｄ Ｃ Ｃ Ｄ Ａ Ａ Ａ Ｂ Ｂ Ａ 二、１６．３；　１７．月；　１８．（３，９）；　１９．７５°． 三、２０．证明：因为ＡＥ＝ＣＦ， 所以ＡＥ＋ＣＥ＝ＣＦ＋ＣＥ，即ＡＣ＝ＥＦ． 在△ＡＢＣ和△ＥＤＦ中， ∠Ａ＝∠ＤＥＦ， ＡＣ＝ＥＦ， ∠ＡＣＢ＝∠Ｆ { ， 所以△ＡＢＣ≌△ＥＤＦ． ２１．因为ＤＥ∥ＢＣ，所以△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ． 因为ＡＣ＝５，ＥＣ＝１， 所以ＡＥ＝ＡＣ－ＥＣ＝４， 所以 ＤＥ ＢＣ＝ ＡＥ ＡＣ，所以 ３ ＢＣ＝ ４ ５， 所以ＢＣ＝１５４． ２２．（１）证明：因为四边形ＡＢＣＤ是矩形， 所以ＡＢ∥ＣＤ，ＡＣ＝ＢＤ，所以ＢＥ∥ＣＤ． 因为ＢＤ∥ＣＥ，所以四边形ＢＤＣＥ是平行四边形， 所以ＢＤ＝ＣＥ，所以ＡＣ＝ＣＥ． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形， 所以ＯＡ＝ＯＢ，∠ＡＢＣ＝９０°． 因为∠ＢＯＣ＝１２０°， 所以∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＡ＝６０°， 所以∠ＡＣＢ＝３０°． 因为ＣＥ＝４，所以ＡＣ＝ＣＥ＝４， 所以ＡＢ＝２． ２３．（１）因为ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｄ＝１１６°， 所以∠ＤＣＢ＝１８０°－∠Ｄ＝１８０°－１１６°＝６４°． 因为ＡＣ平分∠ＢＣＤ， 所以∠ＡＣＢ＝ １２∠ＤＣＢ＝ １ ２×６４°＝３２°． 又因为ＡＤ∥ＢＣ， 所以∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＢ＝３２                                                                      °． —５— 初中数学·中考（ＹＮ）　第３７～４４期 （２）因为ＥＦ∥ＡＣ，所以∠ＢＡＣ＝∠ＢＦＥ＝３∠Ｂ． 在△ＡＢＣ中，因为∠ＢＡＣ＋∠Ｂ＝１８０°－３２°＝１４８°， 所以３∠Ｂ＋∠Ｂ＝１４８°，解得∠Ｂ＝３７°， 所以∠ＢＡＣ＝３∠Ｂ＝１１１°． ２４．证明：（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， 所以ＤＣ＝ＡＢ，ＤＣ∥ＡＢ． 因为在△ＡＢＤ和△ＣＤＢ中，ＤＥ，ＢＦ分别是边ＡＢ，ＣＤ的中 线， 所以点Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＣＤ的中点， 所以ＤＦ∥ＢＥ，ＤＦ＝ＢＥ， 所以四边形ＤＥＢＦ为平行四边形． 因为ＥＦ⊥ＢＤ，所以四边形ＤＥＢＦ是菱形． （２）因为四边形ＤＥＢＦ是菱形， 所以ＤＦ＝ＥＢ，ＤＦ∥ＥＢ． 因为点Ｅ是ＡＢ的中点，所以ＥＢ＝ＡＥ， 所以ＤＦ＝ＡＥ，ＤＦ∥ＡＥ， 所以四边形ＤＡＥＦ是平行四边形，所以ＥＦ∥ＡＤ． 因为ＥＦ⊥ＢＤ，所以ＡＤ⊥ＢＤ， 所以△ＡＢＤ是直角三角形． ２５．（１）证明：因为∠ＢＡＤ＝∠ＥＡＣ， 所以 ∠ＢＡＤ＋∠ＣＡＤ＝∠ＥＡＣ＋∠ＣＡＤ，即 ∠ＢＡＣ＝ ∠ＤＡＥ． 在△ＡＢＣ和△ＡＤＥ中， ∠ＡＣＢ＝∠ＡＥＤ， ＡＣ＝ＡＥ， ∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ { ， 所以△ＡＢＣ≌△ＡＤＥ，所以ＡＢ＝ＡＤ． （２）因为ＡＣ平分∠ＤＡＥ， 所以∠ＣＡＤ＝∠ＥＡＣ． 又因为∠ＢＡＤ＝∠ＥＡＣ， 所以∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ＝∠ＥＡＣ． 因为∠ＢＡＤ＋∠ＣＡＤ＋∠ＥＡＣ＝１８０°， 所以３∠ＢＡＤ＝１８０°，所以∠ＢＡＤ＝６０°． 因为ＡＢ＝ＡＤ，所以△ＡＢＤ是等边三角形， 所以ＢＤ＝ＡＢ＝２． ２６．（１）因为ＡＥ⊥ＢＣ，所以∠ＡＥＢ＝９０°． 在Ｒｔ△ＡＢＥ中，因为ＡＢ＝１５ｍ，ＡＥ＝１２ｍ， 所以ＢＥ＝ ＡＢ２－ＡＥ槡 ２ ＝ １５２－１２槡 ２ ＝９（ｍ）． 因为Ｅ是ＢＣ的中点， 所以ＢＣ＝２ＢＥ＝１８ｍ． （２）因为ＡＥ⊥ＢＣ，Ｅ是ＢＣ的中点， 所以ＡＣ＝ＡＢ＝１５ｍ． 因为ＡＤ＝１７ｍ，ＣＤ＝８ｍ， 所以ＣＤ２＋ＡＣ２ ＝ＡＤ２， 所以∠ＡＣＤ＝９０°，所以△ＡＤＣ是直角三角形． （３）由（２）可知，△ＡＤＣ是直角三角形，ＡＣ＝１５ｍ， 所以Ｓ△ＡＣＤ ＝ １ ２ＡＣ·ＣＤ＝ １ ２×１５×８＝６０（ｍ ２）． 由（１）可知，ＢＣ＝１８ｍ， 所以Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＢＣ·ＡＥ＝ １ ２×１８×１２＝１０８（ｍ ２）， 所以这块空地的面积为 Ｓ△ＡＢＣ ＋Ｓ△ＡＤＣ ＝１０８＋６０＝ １６８（ｍ２）． ２７．（１）证明：因为四边形ＡＢＣＤ是正方形， 所以ＡＣ⊥ＢＤ，∠ＡＤＦ＝９０°， 所以∠ＡＥＧ＝∠ＡＤＦ＝９０°． 因为ＡＦ平分∠ＤＡＣ， 所以∠ＤＡＦ＝∠ＥＡＧ， 所以△ＡＥＧ∽△ＡＤＦ． （２）结论：△ＤＦＧ是等腰三角形． 理由：因为四边形ＡＢＣＤ是正方形， 所以∠ＡＤＢ＝∠ＤＡＥ＝４５°，∠ＡＤＦ＝９０°． 因为ＡＦ平分∠ＤＡＣ， 所以∠ＤＡＧ＝ １２∠ＤＡＣ＝２２５°， 所以∠ＤＧＦ＝∠ＡＤＧ＋∠ＤＡＧ＝４５°＋２２５°＝６７５°， ∠ＤＦＧ＝９０°－∠ＤＡＦ＝９０°－２２５°＝６７５°， 所以∠ＤＧＦ＝∠ＤＦＧ，所以ＤＧ＝ＤＦ， 所以△ＤＦＧ是等腰三角形． （３）因为四边形ＡＢＣＤ是正方形， 所以ＡＣ⊥ＢＤ，ＥＡ＝ＥＤ， 所以△ＡＥＤ是等腰直角三角形                                                                      ， —６— 初中数学·中考（ＹＮ）　第３７～４４期 所以ＡＤ＝槡２ＡＥ． 由（１）知△ＡＥＧ∽△ＡＤＦ， 所以 ＡＦ ＡＧ＝ ＡＤ ＡＥ＝槡２． 因为ＡＧ＝１，所以ＡＦ＝槡２， 所以ＧＦ＝ＡＦ－ＡＧ＝槡２－１． 《图形的变换》综合测评卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０１１１２１３１４１５ 答案 Ｂ Ｂ Ｂ Ｂ Ａ Ｂ Ｄ Ｄ Ｂ Ｂ Ｂ Ａ Ｃ Ｄ Ａ 二、１６．（－３，４）；　１７．答案不惟一，如 －２；　１８．１４； １９．１３． 三、２０．（１）如图２所示，△Ａ１Ｂ１Ｃ１即为所求． （２）如图２所示，△Ａ２Ｂ２Ｃ２即为所求． ! ! " ! # ! ! " # " " ! " # " $ % & ' ( ) ! # " 图２ 图３ ２１．（１）如图３所示，ＥＦ即为所求． （２）由题意，可得ＡＢＢＣ＝ ＤＥ ＥＦ， 因为ＡＢ＝４ｍ，ＢＣ＝２ｍ，ＥＦ＝３ｍ， 所以 ４ ２ ＝ ＤＥ ３，解得ＤＥ＝６ｍ． 答：ＤＥ的长为６ｍ． ２２．由题意，得ＡＣ＝５０ｍ，∠ＡＣＢ＝１５°， 在Ｒｔ△ＡＣＢ中，因为ｓｉｎ∠ＡＣＢ＝ＡＢＡＣ， 所以ＡＢ＝ＡＣ·ｓｉｎ∠ＡＣＢ＝５０·ｓｉｎ１５°≈１３（ｍ）． 因为１３＞１０，所以水泵站不能建在Ａ处． ２３．（１）Ａ，∠ＤＡＢ，∠ＣＡＥ． （２）由旋转的性质，得 ∠ＣＡＥ＝２６°，ＡＥ＝ＡＣ，∠ＡＥＤ＝ ∠Ｃ， 所以∠ＡＥＣ＝∠Ｃ＝ １２×（１８０°－２６°）＝７７°， 所以∠ＡＥＤ＝∠Ｃ＝７７°． ! " # $ % & ' 图４ ２４．（１）如图４，ＥＦ即为所求． （２）因为ＥＦ⊥ ＡＣ，Ｏ是对角线 ＡＣ的中点， 所以ＥＦ垂直平分ＡＣ， 所以ＡＦ＝ＣＦ． 因为四边形ＡＢＣＤ是矩形， 所以∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝ＣＤ＝６． 设ＡＦ＝ＣＦ＝ｘ，则ＤＦ＝６－ｘ， 所以在Ｒｔ△ＡＤＦ中，由勾股定理，得ＡＦ２ ＝ＡＤ２＋ＤＦ２， 即ｘ２ ＝４２＋（６－ｘ）２，解得ｘ＝１３３， 所以ＤＦ＝６－１３３ ＝ ５ ３， 所以ｔａｎ∠ＤＡＦ＝ＤＦＡＤ＝ ５ ３ ４ ＝ ５ １２． ２５．（１）连接ＣＥ，由平移的性质得 ＡＤ＝ＣＥ＝ＢＣ，ＡＤ∥ ＣＥ， 所以∠ＢＣＥ＝∠ＡＢＣ＝６０°， 所以△ＢＣＥ为等边三角形， 所以∠ＣＢＥ＝６０°． （２）证明：因为∠ＤＢＦ＝６０°，ＢＦ＝ＢＤ， 所以△ＢＤＦ为等边三角形， 所以ＤＦ＝ＢＤ，∠ＢＤＦ＝６０°， 所以∠ＡＤＦ＝１８０°－∠ＢＤＦ＝１２０°． 由（１）知△ＢＣＥ为等边三角形， 所以ＢＥ＝ＢＣ＝ＡＤ，∠ＣＢＥ＝６０°， 所以∠ＥＢＤ＝∠ＣＢＥ＋∠ＤＢＦ＝１２０°， 所以∠ＡＤＦ＝∠ＥＢＤ． 在△ＡＤＦ和△ＥＢＤ中， ＡＤ＝ＥＢ， ∠ＡＤＦ＝∠ＥＢＤ， ＤＦ＝ＢＤ { ， 所以△ＡＤＦ≌△ＥＢＤ，所以ＡＦ＝ＤＥ． ２６．（１）由题意得，在 △ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ ＝９０°，ＡＢ ＝ ２．７米，∠ＡＣＢ＝３３°                                                                      ， —７— 初中数学·中考（ＹＮ）　第３７～４４期 所以ＢＣ＝ ＡＢｓｉｎ∠ＡＣＢ≈ ２．７ ０．５４＝５（米）． 因为ＣＥ＝２．２米， 所以ＢＥ＝ＢＣ－ＣＥ＝５－２．２＝２．８（米）． 因为ＤＥ⊥ＢＣ，所以∠ＢＥＤ＝９０°． 在Ｒｔ△ＢＤＥ中，因为∠ＤＢＥ＝６６°， 所以ＢＤ＝ ＢＥｃｏｓ∠ＤＢＥ≈ ２．８ ０．４１≈６８（米）． 答：该支架的边ＢＤ的长为６８米． （２）如图５，过点Ｄ作ＤＨ⊥ＡＭ，垂足为Ｈ，过点Ｂ作ＢＧ⊥ ＤＨ，垂足为Ｇ，则∠ＤＧＢ＝∠ＤＨＡ＝９０°． ! " # $% & ' ( 图５ 因为∠Ａ＝９０°，所以四边形ＧＨＡＢ是矩形． 因为ＢＧ∥ＡＭ，所以∠ＧＢＣ＝∠ＡＣＢ＝３３°． 因为∠ＤＢＥ＝６６°，所以∠ＤＢＧ＝３３°， 所以ＤＧ＝ＢＤ·ｓｉｎ∠ＤＢＧ≈６８×０．５４≈３７（米）． 因为ＧＨ＝ＡＢ＝２．７米， 所以ＤＨ＝ＤＧ＋ＧＨ＝３．７８＋２．７＝６．４（米）． 答：支架的边ＢＤ的顶端Ｄ到地面ＡＭ的距离为６．４米． ２７．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＡＢＣ＝９０°． 由折叠的性质，得∠ＡＢＥ＝∠ＥＢＧ＝１２∠ＡＢＧ，∠ＣＢＦ＝ ∠ＦＢＧ＝ １２∠ＣＢＧ， 所以∠ＥＢＦ＝∠ＥＢＧ＋∠ＦＢＧ＝１２（∠ＡＢＧ＋∠ＣＢＧ）＝ １ ２∠ＡＢＣ＝ １ ２×９０°＝４５°， 故∠ＥＢＦ的度数为４５°． （２）证明：由（１）知∠ＥＢＦ＝４５°， 因为ＰＨ垂直平分ＢＦ，所以ＰＦ＝ＰＢ， 所以∠ＰＦＢ＝∠ＰＢＦ＝４５°， 所以∠ＢＰＦ＝∠ＥＰＦ＝９０°， 所以△ＢＦＰ是等腰直角三角形， 所以在Ｒｔ△ＢＦＰ中，由勾股定理，得ＢＦ２ ＝２ＰＦ２， 在Ｒｔ△ＥＦＰ中，由勾股定理，得ＰＥ２＋ＰＦ２ ＝ＥＦ２， 所以２ＰＥ２＋２ＰＦ２ ＝２ＥＦ２，所以２ＰＥ２＋ＢＦ２ ＝２ＥＦ２． （３）如图６，过点Ｐ作ＢＣ的平行线分别交ＡＢ，ＣＤ于点Ｍ， Ｎ，则ＭＮ⊥ＡＢ，ＭＮ⊥ＣＤ， ! " # $ % & ' ( ) * 图６ 所以∠ＰＭＢ＝∠ＦＮＰ＝９０°， 所以∠ＭＢＰ＋∠ＭＰＢ＝９０°． 因为∠ＢＰＦ＝９０°， 所以∠ＮＰＦ＋∠ＭＰＢ＝９０°，所以∠ＭＢＰ＝∠ＮＰＦ． 因为ＰＢ＝ＰＦ， 所以△ＢＰＭ≌△ＰＦＮ，所以ＢＭ ＝ＰＮ． 在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＣＤ，ＢＣ∥ＭＮ， 所以四边形ＭＢＣＮ是平行四边形，∠ＡＥＰ＝∠ＰＢＨ， 所以ＭＮ＝ＢＣ＝ＡＤ， 所以ＭＮ－ＮＰ＝ＡＢ－ＭＢ，即ＭＰ＝ＡＭ． 因为 ∠ＡＭＰ＝９０°，所以 △ＡＰＭ是等腰直角三角形， ∠ＰＡＭ ＝４５°， 所以∠ＥＡＰ＝∠ＢＡＤ－∠ＰＡＭ ＝９０°－４５°＝４５°， 所以∠ＰＡＭ ＝∠ＥＡＰ，所以ＡＰ平分∠ＢＡＥ． 《圆》综合测评卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０１１１２１３１４１５ 答案 Ｃ Ｂ Ｄ Ｂ Ａ Ｃ Ｂ Ｃ Ｂ Ａ Ａ Ｂ Ｄ Ｄ Ｃ 二、１６．６；　１７．５；　１８．２；　１９．１６－４π． 三、２０．证明：由圆周角定理，得∠Ｃ＝∠Ｂ， 在△ＡＥＣ和△ＤＥＢ中， ∠Ｃ＝∠Ｂ， ∠ＡＥＣ＝∠ＤＥＢ， ＡＥ＝ＤＥ {                                                                      ， —８— 初中数学·中考（ＹＮ）　第３７～４４期 所以△ＡＥＣ≌△ＤＥＢ， 所以ＥＣ＝ＥＢ， 所以ＡＥ＋ＢＥ＝ＤＥ＋ＥＣ，即ＡＢ＝ＣＤ． ２１．（１）△ＡＢＣ是等腰直角三角形，证明如下： 因为ＡＣ是⊙Ｏ的直径， 所以∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ＝９０°． 因为∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＢ， 所以ＡＢ＝ＣＢ， 所以△ＡＢＣ是等腰直角三角形． （２）因为△ＡＢＣ是等腰直角三角形， 所以ＢＣ＝ＡＢ＝槡２， 所以ＡＣ＝ ＡＢ２＋ＢＣ槡 ２ ＝ （槡２） ２＋（槡２）槡 ２ ＝２． 在Ｒｔ△ＡＤＣ中，∠ＡＤＣ＝９０°，ＡＤ＝１， 所以ＣＤ＝ ＡＣ２－ＡＤ槡 ２ ＝ ２２－１槡 ２ ＝槡３． ２２．（１）因为ＡＥ⊥ＣＤ于点Ｅ， 所以∠ＡＥＣ＝９０°， 所以∠ＡＣＤ＝∠ＡＥＣ＋∠ＥＡＣ＝９０°＋２５°＝１１５°． （２）因为ＣＤ是⊙Ｏ的切线，ＯＣ是⊙Ｏ的半径， 所以∠ＯＣＤ＝９０°． 在Ｒｔ△ＯＣＤ中，因为ＯＣ＝ＯＢ＝２，ＢＤ＝１， 所以ＯＤ＝ＯＢ＋ＢＤ＝２＋１＝３， 所以ＣＤ＝ ＯＤ２－ＯＣ槡 ２ ＝ ３２－２槡 ２ ＝槡５． 因为∠ＯＣＤ＝∠ＡＥＣ＝９０°，所以ＯＣ∥ＡＥ， 所以 ＣＤ ＣＥ＝ ＯＤ ＯＡ，即 槡５ ＣＥ＝ ３ ２， 所以ＣＥ＝ 槡２５３． ２３．（１）证明：因为∠１＝∠Ｃ， 所以 ) ) ＢＤ＝ＣＭ，所以∠Ｍ ＝∠Ｄ． （２）如图７，连接ＡＣ，则∠ＡＣＢ＝９０°， ! " # $ % & ! ' 图７ 因为ＣＤ⊥ＡＢ，所以 ) ) ＢＣ＝ＢＤ， 所以∠ＣＡＢ＝∠Ｍ． 因为ｓｉｎＭ ＝ ２３，所以ｓｉｎ∠ＣＡＢ＝ ＢＣ ＡＢ＝ ２ ３． 因为ＢＣ＝４，所以ＡＢ＝６，即⊙Ｏ的直径为６． ２４．（１）证明：如图８所示，连接ＡＣ， ! " # $ % & 图８ 因为ＡＢ为直径，所以∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＥ＝９０°． 又因为点Ｃ是 ) ＢＤ的中点， 所以∠ＣＡＥ＝∠ＣＡＢ，ＣＤ＝ＣＢ． 在△ＡＣＥ和△ＡＣＢ中， ∠ＡＣＥ＝∠ＡＣＢ， ＡＣ＝ＡＣ， ∠ＣＡＥ＝∠ＣＡＢ { ， 所以△ＡＣＥ≌△ＡＣＢ， 所以ＣＥ＝ＣＢ，所以ＣＥ＝ＣＤ． （２）因为△ＡＣＥ≌△ＡＣＢ，ＡＢ＝３， 所以ＡＥ＝ＡＢ＝３，ＣＥ＝ＣＢ＝ＣＤ＝槡３，所以ＢＥ＝ 槡２３． 又因为四边形ＡＢＣＤ内接于圆Ｏ， 所以∠ＡＤＣ＋∠ＡＢＣ＝１８０°． 又因为∠ＡＤＣ＋∠ＣＤＥ＝１８０°， 所以∠ＣＤＥ＝∠ＡＢＥ． 又因为∠Ｅ＝∠Ｅ，所以△ＥＤＣ∽△ＥＢＡ， 所以 ＤＥ ＢＥ＝ ＣＤ ＡＢ，即 ＤＥ 槡２３ ＝槡３３， 解得ＤＥ＝２，所以ＡＤ＝ＡＥ－ＤＥ＝３－２＝１． ２５．（１）如图９所示，连接ＰＯ，设射线ＯＮ的反向延长线与 ⊙Ｏ的另一交点为Ｄ， ! " # $ % & ' ( 图９                                                                      —９— 初中数学·中考（ＹＮ）　第３７～４４期 因为ＡＰ与⊙Ｏ相切，所以ＯＰ⊥ＰＡ， 所以∠ＰＡＯ＋∠ＡＯＰ＝９０°． 因为ＯＭ⊥ＯＮ，所以∠ＰＯＤ＋∠ＡＯＰ＝９０°，所以∠ＰＡＯ ＝∠ＰＯＤ． 因为 ∠ＰＯＤ ＝２∠ＰＢＯ，∠ＰＢＯ ＝１０°，所以 ∠ＰＡＯ ＝ ∠ＰＯＤ＝２０°． （２）设⊙Ｏ的半径为ｒ，则ＯＡ＝３＋ｒ， 在Ｒｔ△ＡＯＰ中，由勾股定理，得ＯＡ２ ＝ＡＰ２＋ＯＰ２， 所以（ｒ＋３）２ ＝ｒ２＋５２， 解得ｒ＝ ８３，即⊙Ｏ的半径为 ８ ３． ２６．（１）直线ＡＤ与圆Ｏ相切，理由如下： 如图１０，连接ＯＡ， ! " # $ % & 图１０ 因为ＡＤ∥ＢＣ，所以∠Ｄ＝∠ＤＢＣ． 因为ＡＢ＝ＡＤ，所以∠Ｄ＝∠ＡＢＤ，所以∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＤ． 因为∠ＡＢＣ＝６０°，所以∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠Ｄ＝３０°， 所以∠ＢＡＤ＝１２０°． 因为ＯＡ＝ＯＢ，所以∠ＢＡＯ＝∠ＡＢＤ＝３０°， 所以∠ＯＡＤ＝９０°，所以ＯＡ⊥ＡＤ． 因为ＯＡ是圆Ｏ的半径，所以直线ＡＤ与圆Ｏ相切． （２）如图１０，连接ＯＣ，过点Ｏ作ＯＨ⊥ＢＣ于点Ｈ， 因为ＯＢ＝ＯＣ＝６，所以∠ＯＣＢ＝∠ＯＢＣ＝３０°， 所以∠ＢＯＣ＝１２０°，所以ＯＨ＝ １２ＯＢ＝ １ ２×６＝３， 所以ＢＨ＝ ＢＯ２－ＯＨ槡 ２ ＝ ６２－３槡 ２ ＝ 槡３３， 所以ＢＣ＝２ＢＨ＝２× 槡３３＝ 槡６３， 所以扇形 ＢＯＣ的面积为１２０×６ ２×π ３６０ ＝１２π，Ｓ△ＯＢＣ ＝ １ ２ＢＣ·ＯＨ＝ １ ２× 槡６３×３＝ 槡９３， 所以阴影部分的面积为Ｓ扇形ＢＯＣ －Ｓ△ＢＯＣ ＝１２π－ 槡９３． ２７．（１）证明：因为ＡＢ是半圆Ｏ的直径，所以ＡＣ⊥ＢＣ． 又因为ＢＣ＝ＣＤ，所以ＡＣ垂直平分ＢＤ， 所以ＡＤ＝ＡＢ＝１０． 因为点Ｅ与点Ｏ重合，所以ＡＥ＝ＢＥ． 因为ＤＥ⊥ＡＢ，所以ＡＤ＝ＢＤ， 所以ＡＤ＝ＡＢ＝ＤＢ， 所以△ＡＢＤ是等边三角形． （２）证明：因为点Ｃ是ＢＤ的中点，点Ｏ是ＡＢ的中点， 所以ＯＣ是△ＡＢＤ的中位线，所以ＯＣ∥ＡＤ． 又因为ＰＣ与半圆Ｏ相切， 所以ＰＣ⊥ＯＣ，所以ＰＣ⊥ＡＤ． （３）因为ＡＢ＝１０，所以ＡＯ＝ＢＯ＝５． ①如图１１，当点Ｅ在点Ｏ左边时，ＡＥ＝ＡＯ－ＯＥ＝５－１ ＝４，ＢＥ＝ＢＯ＋ＯＥ＝５＋１＝６． ! " # $ % & % ! " # $ & 图１１ 图１２ 因为ＡＤ＝１０，ＤＥ⊥ＡＯ， 所以在 Ｒｔ△ＡＤＥ和 Ｒｔ△ＢＤＥ中，由勾股定理，得 ＤＥ２ ＝ ＡＤ２－ＡＥ２ ＝ＢＤ２－ＢＥ２，即１０２－４２ ＝ＢＤ２－６２， 解得ＢＤ＝ 槡２ ３０， 所以ＢＣ＝ １２ＢＤ＝ １ ２ × 槡２ ３０＝槡３０． ②如图１２，当点Ｅ在点Ｏ右边时，同理可得１０２－６２＝ＢＤ２ －４２， 解得ＢＤ＝ 槡４５，所以ＢＣ＝ 槡２５． 综上所述，ＢＣ的长为槡３０或 槡２５． 《统计与概率》综合测评卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０１１１２１３１４１５ 答案 Ｂ Ａ Ｂ Ｃ Ｃ Ｄ Ｃ Ｃ Ａ Ｃ Ｂ Ｄ Ａ Ｂ Ｃ 二、１６．５０；　１７．１９；　１８．１０；　１９．０．５                                                                      ． —０１— 初中数学·中考（ＹＮ）　第３７～４４期 三、２０．（１）ａ＝２０×０．７＝１４；ｂ＝８８１６０＝０．５５． 故ａ的值为１４，ｂ的值为０５５． （２）估计落地反弹后“帅”字面朝上的概率是０．５５． ２１．画树状图如图１３所示， ! " # " # ! # ! " 图１３ 由树状图知，共有６种等可能的结果， 其中选到“Ａ．虾饺”和“Ｃ．艇仔粥”的结果有２种， 所以Ｐ（李强选到“Ａ．虾饺”和“Ｃ．艇仔粥”）＝２６ ＝ １ ３． ２２．（１）ａ＝ １１０×（５＋６＋６＋６＋６＋６＋７＋７＋９＋１０） ＝６．８， 把这１０个数从小到大排序第５个和第６个数都是６，所以 ｂ＝６＋６２ ＝６， 在３，６，６，６，７，７，８，８，９，９十个数中６出现的次数最多，为 ３次，所以ｃ＝６． 故填６．８，６，６． （２）因为６＜７，所以小明是甲组的学生． 故填甲． ２３．（１）此次被调查的学生人数为２０÷２０％ ＝１００（名）． 答：此次被调查的学生人数为１００名． （２）Ｄ类的人数为１００－１０－２０－４０－５＝２５（名），补全 条形统计图如图１４． !" #$ #% &$ &% '$ (% $ % !"#$%&'()*+,-./0& () ! " # $ % +,123 图１４ （３）在扇形统计图中，Ａ．艺术类所对应的圆心角度数为 ３６０°×１０１００＝３６°． 故填３６°． （４）１２００×４０１００＝４８０（名）． 答：估计该校１２００名学生中，大约有４８０名学生最喜爱Ｃ． 科普类图书． ２４．（１）调查总户数为２÷５％ ＝４０（户），则 ａ＝１２４０× １００％ ＝３０％． 故填３０％，４０． （２）ｍ＝４０×１０％ ＝４，ｎ＝４０×２０％ ＝８，则补全频数直 方图如图１５． !" !# !$ % & " # $ '( )" ( ! " # $ % !" #$%&$' ()*+,-.$/01 " % 图１５ （３）由居民用电情况频数直方图可以得出，在７２小时内， 居民用电在１５度以上的户数较多，所以用电较多的人群占比 较大，说明大家用电较为浪费． 建议：①平时不使用的电器及时拔掉插销； ②只在有人长待的房间开灯，其他房间随用随关（答案不 惟一）． ２５．（１）转动转盘Ａ一次，可能出现的结果有４种，其中红 色的有２种， 所以Ｐ（转到红色）＝ ２４ ＝ １ ２， 故转动转盘Ａ一次，转到红色的概率为 １２． （２）不公平．理由如下： 用列表法将所有可能出现的结果表示如下表， 　　Ａ Ｂ　　 红 蓝 黄 红 红 （红，红） （蓝，红） （黄，红） （红，红） 蓝 （红，蓝） （蓝，蓝） （黄，蓝） （红，蓝） 黄 （红，黄） （蓝，黄） （黄，黄） （红，黄） 由上表知，共有１２种等可能的情况，其中有３                                                                      种情况可能 —１１— 初中数学·中考（ＹＮ）　第３７～４４期 得到紫色， 故配成紫色的概率是 ３ １２＝ １ ４，即小芳获胜的概率是 １ ４； 其中有２种情况可能得到绿色，故配成绿色的概率是 ２１２＝ １ ６，即小明获胜的概率是 １ ６． 因为 １ ４ ＞ １ ６，所以小芳获胜的可能性大， 故这个游戏规则对双方是不公平的． ２６．（１）将调查的数据从小到大排列，位于第２０和２１的数 据都是６， 调查的数据中，引体向上次数为５次的人数最多， 所以ａ＝６，ｂ＝５； 引体向上为８次的人数为４０×１０％ ＝４（人）． 补全统计图如图１６所示．故填６，５． ! " # $ % &' &( % # ! ' ( ! # )( *' !" #$%&'() % 图１６ （２）４００×１０＋８＋４４０ ＝２２０（人）． 故填２２０． （３）从平均数来看，估计该校八年级男生引体向上的平均 次数是５．８次； 从中位数来看，估计该校八年级至少有一半男生引体向上 次数不少于６次； 从众数来看，估计该校八年级男生引体向上次数为５次的 人数最多． ２７．（１）因为７２°３６０°＝０．２， 所以该班的学生共有 ８ ０．２＝４０（人）， 所以Ａ类所对的扇形圆心角的度数为１６４０×３６０°＝１４４°． 故填４０，１４４°． （２）Ｂ类人数有４０－１６－８－１０＝６（人），补全条形统计图 如图１７所示． !" !# !$ %& ' " ( $ & ! " # $ !" %& ' %" #$%&' " 图１７ （３）１６４０×１２００＝４８０（人）． 答：估计全校１２００名学生中，对垃圾分类不了解的学生人 数为４８０人． （４）设善于语言表达的２人分别用Ｙ１，Ｙ２表示，善于动作 表演的３人分别用Ｄ１，Ｄ２，Ｄ３表示，画树状图如图１８， ! ! " " " ! " # ! " ! " " " " ! " # ! ! ! " ! ! " ! " # " " ! " ! ! " " " # " ! ! " ! ! " " " ! " # 图１８ 由树状图知，从这５人中随机抽取２人，共有２０种等可能 的结果，其中所选２人中恰好１人善于语言表达，１人善于动作 表演的有１２种结果， 所以所选２人中恰好１人善于语言表达，１人善于动作表 演的概率为 １２ ２０＝ ３ ５． 答：所选２人中恰好１人善于语言表达，１人善于动作表演 的概率为 ３ ５． 适应性综合测评卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０１１１２１３１４１５ 答案 Ｂ Ｃ Ａ Ｃ Ｂ Ｂ Ｄ Ｄ Ａ Ｂ Ｄ Ａ Ｂ Ｂ Ｃ 二、１６．－１００℃；　１７．５４０；　１８．７６８；　１９．１∶４． 三、２０．原式 ＝ 槡２２－４×槡 ２ ２＋１ ＝ 槡２２－ 槡２２＋１ ＝１． ２１．证明：因为点Ｅ为边ＡＣ的中点，所以ＡＥ＝ＥＣ． 在△ＡＤＥ和△ＣＦＥ中， ＡＥ＝ＥＣ， ＥＦ＝ＤＥ， ∠ＡＥＤ＝∠ＣＥＦ {                                                                      ， —２１— 初中数学·中考（ＹＮ）　第３７～４４期 所以△ＡＤＥ≌△ＣＦＥ， 所以∠ＤＡＥ＝∠ＦＣＥ，所以ＣＦ∥ＡＢ． ２２．设参加活动的同学人数为ｘ人， 根据题意，得 ｘ ４５＝ ｘ＋１５ ６０ ＋１，解得ｘ＝２２５． 答：参加活动的同学人数为２２５人． ２３．（１）列表如下， ２ ３ ４ １ （１，２） （１，３） （１，４） ２ （２，２） （２，３） （２，４） ３ （３，２） （３，３） （３，４） （２）解ｘ２－５ｘ＋６＝０，得ｘ１ ＝２，ｘ２ ＝３， 所以 ｍ，ｎ可 能 的 值 为 ｍ＝２， ｎ＝２{ ， ｍ＝３， ｎ＝３{ ， ｍ＝２， ｎ＝{ ３ 或 ｍ＝３， ｎ＝２{ ，共４种， 由（１）可得，转盘可能出现的结果共有９种，所以ｍ，ｎ是方 程ｘ２－５ｘ＋６＝０的解的概率为 ４９． ２４．（１）四边形ＡＤＣＥ是矩形，理由如下： 因为ＥＦ⊥ＡＣ，所以∠ＡＦＥ＝∠ＥＦＣ＝９０°． 因为△ＡＢＤ∽△ＥＡＦ， 所以∠ＢＤＡ＝∠ＡＦＥ＝９０°，∠ＤＢＡ＝∠ＦＡＥ，所以ＡＤ⊥ ＢＣ． 因为ＢＤ＝ＣＤ，ＢＤ＝ＡＥ， 所以ＣＤ＝ＡＥ，ＡＢ＝ＡＣ， 所以∠ＤＣＡ＝∠ＤＢＡ＝∠ＦＡＥ，所以ＡＥ∥ＣＤ， 所以四边形ＡＤＣＥ是平行四边形． 因为∠ＡＤＣ＝１８０°－∠ＢＤＡ＝９０°， 所以四边形ＡＤＣＥ是矩形． （２）由（１）得四边形ＡＤＣＥ是矩形，ＢＤ＝ＣＤ＝ＡＥ， 所以∠ＡＤＢ＝９０°，ＡＥ＝ＣＤ＝ＢＤ＝１２ＢＣ＝２，ＡＤ＝ＣＥ ＝３， 所以ＡＢ＝ ＡＤ２＋ＢＤ槡 ２ ＝ ３２＋２槡 ２ ＝槡１３． 因为△ＡＢＤ∽△ＥＡＦ，所以ＡＢＡＥ＝ ＡＤ ＥＦ，即 槡１３ ２ ＝ ３ ＥＦ，所以 ＥＦ＝ 槡６ １３１３ ． ２５．（１）设购买五子棋的单价是ｘ元，则购买象棋的单价是 （ｘ＋８）元， 根据题意，得 １０００ ｘ ＝ １２００ ｘ＋８， 解得ｘ＝４０， 经检验ｘ＝４０是所列分式方程的解，且符合题意， 所以ｘ＋８＝４８． 答：五子棋的单价是４０元，象棋的单价是４８元． （２）设购买两种棋的费用为ｗ元，购买五子棋 ｍ副，则购 买象棋（３０－ｍ）副， 根据题意，得ｗ＝４０ｍ＋４８（３０－ｍ）＝－８ｍ＋１４４０， 因为 －８＜０，所以ｗ随ｍ的增大而减小． 因为ｍ≤３（３０－ｍ），解得ｍ≤２２１２， 而ｍ为正整数，所以当ｍ＝２２时，ｗ有最小值，最小值为 －８×２２＋１４４０＝１２６４（元）， 则３０－２２＝８（副）． 答：购买五子棋２２副，象棋８副时，费用最低，最低费用是 １２６４元． ２６．（１）当ｃ＝２时，ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋２，所以当ｘ＝０时，ｙ＝ ２， 所以抛物线与ｙ轴交点的坐标为（０，２）． 因为ｍ＝ｎ，所以点（１，ｍ）（３，ｎ）关于对称轴直线ｘ＝ｔ对 称，所以ｔ＝１＋３２ ＝２． （２）当ｘ＝０时，ｙ＝ｃ，所以抛物线与ｙ轴交点坐标为（０， ｃ）， 所以抛物线与ｙ轴交点关于对称轴直线ｘ＝ｔ的对称点坐 标为（２ｔ，ｃ）． 因为ａ＞０，所以当ｘ≤ｔ时，ｙ随ｘ的增大而减小，当ｘ＞ｔ 时，ｙ随ｘ的增大而增大． 当点（１，ｍ），（３，ｎ），（２ｔ，ｃ）均在对称轴的右侧时，ｔ＜１， 因为ｍ＜ｎ＜ｃ，１＜３，所以２ｔ＞３，即ｔ＞３２（不合题意， 舍去）                                                                      ． —３１— 初中数学·中考（ＹＮ）　第３７～４４期 当点（１，ｍ）在对称轴的左侧，点（３，ｎ），（２ｔ，ｃ）均在对称 轴的右侧时，点（ｘ０，ｍ）在对称轴的右侧，１＜ｔ＜３， 此时点（３，ｎ）到对称轴直线ｘ＝ｔ的距离大于点（１，ｍ）到 对称轴直线ｘ＝ｔ的距离， 所以ｔ－１＜３－ｔ，解得ｔ＜２． 因为ｍ＜ｎ＜ｃ，１＜３，所以２ｔ＞３，即ｔ＞３２，所以 ３ ２ ＜ ｔ＜２． 因为（ｘ０，ｍ），（１，ｍ），对称轴为直线ｘ＝ｔ，所以ｔ＝ ｘ０＋１ ２ ， 所以 ３ ２ ＜ ｘ０＋１ ２ ＜２，解得２＜ｘ０ ＜３． 综上所述，ｔ的取值范围为 ３２ ＜ｔ＜２，ｘ０的取值范围为２ ＜ｘ０ ＜３． ２７．（１）如图１９－①，连接ＯＰ，设∠ＢＯＰ的度数为ｎ°． 因为ＡＢ＝６， ) ＢＰ的长为π，所以ｎ·π·３１８０ ＝π， 所以ｎ＝６０，即∠ＢＯＰ＝６０°，所以∠ＢＡＰ＝１２∠ＢＯＰ＝ ３０°． 因为直线ｌ是⊙Ｏ的切线，所以∠ＡＢＣ＝９０°， 所以ＢＣ＝槡３３ＡＢ＝ 槡２３． ! " # $ % & ' ( ! # $ % ( & ' " ! " # $ % & ' ) ( ! " # 图１９ （２）如图１９－②，连接ＢＱ，过点Ｃ作ＣＦ⊥ＡＤ于点Ｆ， 因为ＡＢ为直径，所以∠ＢＱＡ＝９０°，所以ｃｏｓ∠ＢＡＱ＝ＡＱＡＢ ＝ ３４． 因为 ) ) ＢＰ＝ＰＱ，所以∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ． 因为ＣＦ⊥ＡＤ，ＡＢ⊥ＢＣ，所以ＣＦ＝ＣＢ． 因为∠ＢＡＱ＋∠ＡＤＢ＝９０°，∠ＦＣＤ＋∠ＡＤＢ＝９０°， 所以 ∠ＦＣＤ ＝∠ＢＡＱ，所以ＢＣＣＤ ＝ ＦＣ ＣＤ ＝ｃｏｓ∠ＦＣＤ ＝ ｃｏｓ∠ＢＡＱ＝ ３４． （３）ＰＱＢＰ的值为 槡１０ ４ ，理由如下： 如图１９－③，连接ＢＱ，因为ＡＢ⊥ＢＣ，ＢＱ⊥ＡＤ， 所以∠ＡＢＱ＋∠ＢＡＤ＝９０°，∠ＡＤＢ＋∠ＢＡＤ＝９０°，所以 ∠ＡＢＱ＝∠ＡＤＣ． 因为∠ＡＢＱ＝∠ＡＰＱ，所以∠ＡＰＱ＝∠ＡＤＣ． 因为∠ＰＡＱ＝∠ＣＡＤ，所以△ＡＰＱ∽△ＡＤＣ， 所以 ＰＱ ＣＤ＝ ＡＰ ＡＤ．① 因为∠ＢＡＰ＝∠ＢＡＣ，∠ＡＢＣ＝∠ＡＰＢ＝９０°， 所以△ＡＰＢ∽△ＡＢＣ， 所以 ＢＰ ＢＣ＝ ＡＰ ＡＢ．② 因为ＢＣ＝ＣＤ，① ÷②，得ＰＱＢＰ＝ ＡＢ ＡＤ＝ｃｏｓ∠ＢＡＱ． 因为ｓｉｎ∠ＢＡＱ＝槡６４，所以ｃｏｓ∠ＢＡＱ＝ 槡１０ ４ ， 所以 ＰＱ ＢＰ的值为 槡１０ ４                                                      ． —４１— 初中数学·中考（ＹＮ）　第３７～４４期