第27期 17.1 勾股定理 17.2 勾股定理的逆定理-【数理报】2024-2025学年八年级下册数学学案（人教版 广东专版）

书 ２５期２版 １６．１二次根式 １６．１．１二次根式的定义 基础训练　１．Ａ；　２．Ａ；　３．Ｄ． ４．（１）ｘ≤ １２；　（２）ｘ＞－１； （３）７３≤ｘ≤５． １６．１．２二次根式的性质 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｂ；　３．＞． ４．（１）小亮； （２）错误的原因是运用二次根式的性质错 误，忘记了二次根式的非负性． １６．２二次根式的乘除 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｂ； 槡　３．２． ４．（１）槡３０；　（２）２；　（３）２４． ５．这个长方体的体积是８． １６．３二次根式的加减 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ；　３．２． ４．（１）槡７；　（２） 槡１２２；　（３）槡２３． ５．（１）横断面的面积是 槡３６ｍ ２． （２）若用３００ｍ３的土，可修 槡５０６３ ｍ长的拦 河坝． ２５期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｂ Ｃ Ｂ Ｄ Ｃ Ｂ Ａ 二、９．ｘ≥４；　１０．１；　１１．ｘ＝ 槡２３； １２．ａ２ｂ；　１３．槡４３；　１４．槡５． 三、１５．（１）３２；　（２）５；　（３） 槡１０２． １６．（１）①； （２）一，计算（槡２５） ２时，没有将“２”平方； （３）原式 ＝２１－ 槡７５２． １７．（１）这个长方体盒子的体积为 槡１８２ｃｍ ３． （２）这个长方体盒子的侧面积为２４ｃｍ２． １８．（１）原式 ＝４－槡１５． （２）ａ＞ｂ． （３）原式 ＝ 槡３ １５－３． 附加题　１．ａ２＋ｂ２ ＝２４－ 槡４ ３０． ２．（１） ３６－３６ 槡 ７ ＝ ６ 槡 ６ ７；第 ｎ个等式 为： ｎ２－ ｎ ２ ｎ＋槡 １ ＝ｎ ｎｎ＋槡 １ ． （２） 槡３８０ ３８． （３）ａ＋ｂ的值为３０或２． ２６期评估卷 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９１０ 答案 Ａ Ｄ Ｂ Ａ Ｄ Ａ Ｄ Ｃ Ｂ Ａ 二、１１．槡７；　１２．１；　１３．②；　１４．＜； １５．槡７＋２． 书 三、１６．（１）槡３３ －１；　（２）槡４２． １７．原式 ＝４－ ａ＋ｂ． １８．该物体运动 速度为 槡１０２米 ／秒． 四、１９．ｍ ＝ － 槡３６，ｎ＝ 槡３６． ２０．原长方形木 板的面积为４５ｄｍ２． ２１．（１）ａ２ ＋ｂ２ －ａｂ＝２３． （２）ｍ ＋ ｎ ＝ 槡２ １１－６． 五、２２．（１）ｘ２＋ ４ｘ－１０＝－９． （２）因为 ｘ＝ 槡５－１ ２ ，所以２ｘ＋１ ＝槡５．所以（２ｘ＋ １）２ ＝５，即４ｘ２＋４ｘ ＋１＝５．所以ｘ２＋ｘ ＝１．所以ｘ３＋ｘ２＋１ ＝ｘ（ｘ２＋ｘ）＋１＝ｘ ＋１＝槡５－１２ ＋１＝ 槡５＋１ ２ ． ２３．（１）槡５－１２ － ２ 槡５－１ ＝－１； 槡８－２ ２ － ２ 槡８－２ ＝－２； 槡１３－３ ２ － ２ 槡１３－３ ＝－３． （２）槡２９－５２ － ２ 槡２９－５ ＝－５． （３） ｎ２＋槡 ４－ｎ ２ － ２ ｎ２＋槡 ４－ｎ ＝－ｎ． 证明略． 书 在实际问题中，有一些题目并不具备勾股 定理的模型，要想顺利地解答题目，首先需构造 直角三角形，现举例分析如下，供同学们参考． 例１　《九章算术》是中 国传统数学的重要著作之 一，奠定了中国传统数学的 基本框架．如图１是其中记载 的一道“折竹”问题：“今有 竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几 何？”题意是：一根竹子原高１丈（１丈 ＝１０尺）， 中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根３尺，试 问折断处离地面多高？答：折断处离地面 尺高． 分析：本题考查了勾股定理的应用，解题的 关键是根据实际问题抽象出数学图形．竹子折 断后刚好构造出一个直角三角形，利用勾股定 理即可求解． 解：设折断处离地面ｘ尺高．根据题意，得ｘ２ ＋３２ ＝（１０－ｘ）２．解得ｘ＝４．５５． 故填４．５５． 例２　 如图２是高空 秋千的示意图，小明从起 始位置点Ａ处绕着点 Ｏ经 过最低点Ｂ，最终荡到最高 点Ｃ处．若∠ＡＯＣ＝９０°，点Ａ与点Ｂ的高度差 ＡＤ＝１米，水平距离ＢＤ＝４米，则点Ｃ与点Ｂ 的高度差ＣＥ为 米． 分析：如图２，过点Ａ作ＡＦ⊥ＢＯ于点Ｆ，过 点 Ｃ作 ＣＧ⊥ ＢＯ于点 Ｇ．根据“ＡＡＳ”可证 △ＡＯＦ≌△ＯＣＧ，再根据全等三角形的性质可 得ＯＧ＝４米．在Ｒｔ△ＡＦＯ中，根据勾股定理可 求ＡＯ和 ＢＯ，最后根据线段的数量关系即可求 出点Ｃ与点Ｂ的高度差ＣＥ． 解：如图２，过点Ａ作ＡＦ⊥ＢＯ于点Ｆ，过点 Ｃ作ＣＧ⊥ＢＯ于点Ｇ．所以∠ＡＦＯ＝∠ＯＧＣ＝ ９０°．因为 ∠ＡＯＣ＝∠ＡＯＦ＋∠ＣＯＧ ＝９０°， ∠ＡＯＦ＋∠ＯＡＦ＝９０°，所以∠ＣＯＧ＝∠ＯＡＦ． 在△ＡＯＦ和△ＯＣＧ中， ∠ＡＦＯ＝∠ＯＧＣ， ∠ＯＡＦ＝∠ＣＯＧ， ＡＯ＝ＯＣ { ， 所以 △ＡＯＦ≌△ＯＣＧ（ＡＡＳ）．所以ＯＧ＝ＡＦ＝ＢＤ＝ ４米．设 ＡＯ ＝ｘ米，则 ＯＦ＝（ｘ－１）米．在 Ｒｔ△ＡＦＯ中，由勾股定理，得ＡＦ２＋ＯＦ２ ＝ＡＯ２， 即４２＋（ｘ－１）２＝ｘ２．解得ｘ＝８．５．所以ＣＥ＝ ＧＢ＝ＯＢ－ＯＧ＝４．５米． 故填４．５． 书 勾股定理的验证方法有数百种，有的方法 十分精彩，有的方法十分简洁，下面就让我们一 起领略三种验证方法的风采吧！ 一、“赵爽弦图”验证法 三国时期的数学家赵爽，利 用图１验证了勾股定理，这个图形 被称为“弦图”．在边长为ｃ的正方 形中有四个斜边长为 ｃ的全等直 角三角形，已知它们的直角边长分别为 ａ，ｂ．请 利用这个图形验证勾股定理． 验证：大正方形中的小正方形的边长为ａ－ ｂ．所以Ｓ大正方形 ＝ １ ２ａｂ×４＋（ａ－ｂ） ２．同时也有 Ｓ大正方形 ＝ｃ ２．所以１２ａｂ×４＋（ａ－ｂ） ２ ＝ｃ２．整 理，得ａ２＋ｂ２ ＝ｃ２． 二、火柴盒推倒验证法 一个直立的火柴盒在 桌面倒下，启迪人们发现了 勾股定理的一种新的验证 方法．如图２，火柴盒的一个 侧面ＡＢＣＤ倒下到 ＡＢ′Ｃ′Ｄ′ 的位置，连接ＡＣ，ＡＣ′，ＣＣ′．设ＡＢ＝ａ，ＢＣ＝ｂ， ＡＣ＝ｃ，请利用四边形ＢＣＣ′Ｄ′的面积验证勾股 定理． 验证：因为四边形 ＢＣＣ′Ｄ′为直角梯形，所 以 Ｓ梯形ＢＣＣ′Ｄ′ ＝ １ ２（ＢＣ ＋ Ｃ′Ｄ′）· ＢＤ′ ＝ （ａ＋ｂ）２ ２ ．因为 Ｒｔ△ＡＢＣ≌ Ｒｔ△ＡＢ′Ｃ′，所以 ∠ＢＡＣ＝∠Ｂ′ＡＣ′．所以 ∠ＣＡＣ′＝∠ＣＡＢ′＋ ∠Ｂ′ＡＣ′＝∠ＣＡＢ′＋∠ＢＡＣ＝∠ＢＡＤ＝９０°．所 以Ｓ梯形ＢＣＣ′Ｄ′＝Ｓ△ＡＢＣ＋Ｓ△ＣＡＣ′＋Ｓ△Ｄ′ＡＣ′＝ １ ２ａｂ＋ １ ２ｃ ２ ＋ １２ａｂ ＝ ｃ２＋２ａｂ ２ ．所以 （ａ＋ｂ）２ ２ ＝ ｃ２＋２ａｂ ２ ．整理，得ａ ２＋ｂ２ ＝ｃ２． 三、等面积验证法 如图３，已知Ｓ正方形ＣＤＥＦ ＝ Ｓ正方形ＭＮＯＰ，Ｉ表示边长分别为 ａ，ｂ，ｃ的直角三角形．请利用 这个图形来验证勾股定理． 验证：因为 Ｓ正方形ＣＤＥＦ ＝ Ｓ正方形ＭＮＯＰ，而Ｓ正方形ＣＤＥＦ ＝ｃ ２＋４×１２ａｂ，Ｓ正方形ＭＮＯＰ ＝ａ２＋ｂ２＋４×１２ａｂ，所以ｃ ２＋４×１２ａｂ＝ａ ２＋ ｂ２＋４×１２ａｂ．整理，得ａ ２＋ｂ２ ＝ｃ２． 书 如果一个三角形的三边长 ａ，ｂ，ｃ满足 ａ２＋ ｂ２ ＝ｃ２，那么这个三角形是直角三角形．根据这 个条件，我们可以判别直角三角形．判别直角三 角形的基本思路是：①确定最长边 ｃ；② 分别计 算ｃ２和ａ２＋ｂ２的值；③若ａ２＋ｂ２＝ｃ２，则△ＡＢＣ 是直角三角形；若ａ２＋ｂ２≠ｃ２，则△ＡＢＣ不是直 角三角形． 方法一、已知具体线段长度判别直角三角形 例１　小华想用老师提供的三条线段首尾 相连围成一个直角三角形，则他应该选择的三 条线段长度是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．２，３，４ Ｂ．３，４，５ Ｃ．４，５，６ Ｄ．５，６，７ 解：Ａ．２２＋３２≠４２，不能构成直角三角形，故 不符合题意；Ｂ．３２＋４２ ＝５２，能构成直角三角形， 故符合题意；Ｃ．４２＋５２≠６２，不能构成直角三角 形，故不符合题意；Ｄ．５２＋６２≠７２，不能构成直角 三角形，故不符合题意．故选Ｂ． 方法二、已知三角形的对应比判别直角三 角形 例２　满足下列条件的三角形中，不是直角 三角形的是 （　　） Ａ．三内角的度数之比为１∶２∶３ Ｂ．三边长的平方之比为１∶２∶３ Ｃ．三边长之比为９∶４０∶４１ Ｄ．三内角的度数之比为３∶４∶５ 解：Ａ．根据三角形内角和公式可求得各角 分别为３０°，６０°，９０°，所以此三角形是直角三角 形；Ｂ．设三边长的平方分别为ｘ，２ｘ，３ｘ（ｘ≠０）， 因为ｘ＋２ｘ＝３ｘ，符合勾股定理的逆定理，所以 此三角形是直角三角形；Ｃ．设三边长分别为９ｘ， ４０ｘ，４１ｘ（ｘ≠ ０），因为 （９ｘ）２ ＋（４０ｘ）２ ＝ （４１ｘ）２，符合勾股定理的逆定理，所以此三角形 是直角三角形；Ｄ．根据三角形内角和公式可求 得各角分别为４５°，６０°，７５°，所以此三角形不是 直角三角形．故选Ｄ． 方法三、已知三角形三边长满足的关系式 判别直角三角形 例３　若三角形的三边长ａ，ｂ，ｃ满足｜ｃ２－ ａ２－ｂ２｜＋（ａ－ｂ）２ ＝０，则此三角形的形状是 ． 解：因为｜ｃ２－ａ２－ｂ２｜＋（ａ－ｂ）２ ＝０，所 以ｃ２－ａ２－ｂ２＝０，ａ－ｂ＝０．所以ｃ２＝ａ２＋ｂ２， ａ＝ｂ．所以此三角形是等腰直角三角形．故填等 腰直角三角形． 四、已知网格信息判别直角三角形 例４　如图，在４×４的 正方形网格中，每个小正方 形的边长均为１，点Ａ，Ｂ，Ｃ都 在格 点 上， 则 ∠ＢＡＣ ＝ °． 解：根据勾股定理，得 ＡＣ２ ＝１２＋２２ ＝５，ＡＢ２ ＝２２＋４２ ＝２０，ＢＣ２ ＝ ３２＋４２＝２５．所以ＡＣ２＋ＡＢ２＝ＢＣ２．所以△ＡＢＣ 是直角三角形，且∠ＢＡＣ＝９０°．故填９０． 书 在学习了勾股定理后，我们经常会遇到求 最短路径的问题，现针对该类问题选取三例分 析如下，供同学们参考． 一、圆柱体中的最短路径 例１　如图１，圆柱体玻璃容器高１２ｃｍ，底 面周长为２４ｃｍ，在容器外侧距下底１ｃｍ的点Ａ 处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面外侧距容器上底 ２ｃｍ的点Ｂ处有一滴蜂蜜，则蚂蚁吃到蜂蜜所 爬行的最短距离为 ｃｍ． 解：如图 ２，将圆柱体玻璃杯的侧面展开， ＥＣ为底面周长的一半，过点Ａ作ＡＦ⊥ＣＤ于点 Ｆ，此时 ＡＢ的长度即为蚂蚁吃到蜂蜜所爬行的 最短距离．由题意，得ＡＦ＝ＥＣ＝１２ｃｍ，ＣＦ＝ ＡＥ＝１ｃｍ，ＢＤ＝２ｃｍ，ＣＤ＝１２ｃｍ．所以ＢＦ＝ ＣＤ－ＢＤ－ＣＦ＝９ｃｍ．在Ｒｔ△ＡＢＦ中，由勾股定 理，得 ＡＢ ＝ ＡＦ２＋ＢＦ槡 ２ ＝ １２２＋９槡 ２ ＝ １５（ｃｍ）．故填１５． 二、正方体中的最短路径 例２　如图３是一个棱长为１的正方体纸 盒．若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶 点Ａ爬到顶点Ｂ去觅食，则需要爬行的最短路程 的平方是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．９ 解：如图４，将正方体的侧面展开，线段 ＡＢ 的长即为蚂蚁需要爬行的最短路程．由题意，得 ＢＣ＝１，ＡＣ＝２．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理，得 ＡＢ２ ＝ＢＣ２＋ＡＣ２ ＝１２＋２２ ＝５．所以需要爬行 的最短路程的平方是５．故选Ｃ． 三、长方体中的最短路径 例３　 如图５，已知长方 体的三条棱 ＡＢ，ＢＣ，ＢＤ的长 分别为４，５，２，蚂蚁从点 Ａ出 发沿长方体的表面爬行到点 Ｍ的最短路程的平方是 ． 解：①如图６，将长方体展开，前面与上面所 在的平面形成长方形 ＡＢＭＮ．由题意，得 ＡＢ＝ ４，ＢＤ＝２，ＤＭ＝ＢＣ＝５．所以ＢＭ＝ＢＤ＋ＤＭ ＝７．在Ｒｔ△ＡＢＭ中，由勾股定理，得ＡＭ２＝ＡＢ２ ＋ＢＭ２ ＝４２＋７２ ＝６５； ②如图７，将长方体展开，前面与右面所在 的平面形成长方形 ＡＣＭＥ．由题意，得 ＡＢ＝４， ＢＣ＝５，ＣＭ ＝ＢＤ＝２．所以ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＣ＝ ９．在Ｒｔ△ＡＣＭ中，由勾股定理，得ＡＭ２ ＝ＡＣ２＋ ＣＭ２ ＝９２＋２２ ＝８５； ③如图 ８，将长方体展 开，右面与下面所在的平面 形成长方形 ＡＦＭＤ．由题意， 得ＡＦ＝ＢＣ＝５，ＣＦ＝ＡＢ＝ ４，ＣＭ＝ＢＤ＝２．所以ＭＦ＝ ＣＭ＋ＣＦ＝６．在 Ｒｔ△ＡＦＭ 中，由勾股定理，得ＡＭ２ ＝ＡＦ２＋ＭＦ２＝５２＋６２ ＝６１． 因为６１＜６５＜８５，所以蚂蚁从点Ａ出发沿 长方体的表面爬行到点Ｍ的最短路程的平方是 ６１．故填６１． !"#$ % & !"#$!"#% &' !!!"( #$%& " ') !&*+,(- ' ( !" $ !"#$% ./01234567 892:;<=>?@4 !"#$%#&'$&() 89AB;<=>?@4 *"#$+#&'$!"# <=‘KR’“ <=Kt”•–—˜™š’› MN9O453* Oœ/žŸ e ¡¢£¤3*¥H/!"#$%&'()(*Z+… S¦§H/,-.-/0 .',. ¨©-N Rª«¬/!"#$%&'()*+,- ./0%&12345678! ­®¯°±.,9:;<=)*#0%&, &,->./0%&12?@AB78, .',&¨©-N²³-N Rª«¬/., !"CDEDFGHIJ K+,-LMNOG>., &,P1QR8SQ%&GTU, ! ´µ ¶·¸ ! " ! . ! " # ! 0 " ! ! " ! ( ! " $ % & ' & 0 # ' % & " 0 ! # & # ! ' ! " % # & ( ! & ' # & # ( " 0 & ! ! ) ! # ! " % & # ( $ ' " ! # ! ¹= º»¼ """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! ½¾ ¿eŸ % # ) * " & ! ( ! & ! $ ! ÀÁ  à + , ! $ - " ! # & #! !! &! ! & - , + " ! # & % ( $ ' * . . . . . . + , - / ! " . """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ZÄÅ % *ÆÇÈɅ ZÊË -Ì% *Qͅ 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　 　　　　　 　　　　　１．如图１，直角三角形的三边上分别有一个正 方形，其中两个正方形的面积分别是２５和１６９，则 字母Ｂ所代表的正方形的面积是 （　　） Ａ．１４４ Ｂ．１９４ Ｃ．１２ Ｄ．１３ ２．在一个直角三角形中，如果斜边长是２６，一 条直角边长是１０，那么另一条直角边长是 （　　） Ａ．１２ Ｂ．１６ Ｃ．２０ Ｄ．２４ ３．如图２，Ｏ为原点，点Ａ在数轴上表示的数为 ５，过点Ａ作直线ｌ⊥ＯＡ，点Ｂ在直线ｌ上，ＡＢ＝２， 以点Ｏ为圆心，ＯＢ长为半径画弧，与ＯＡ的延长线 交于点Ｃ，则点Ｃ表示的数的平方是 （　　） Ａ．７ Ｂ．２１ Ｃ．２９ Ｄ．３１ ４．如图３，长为８．５ｍ的竹竿靠在墙上，竹竿的 底端离墙脚线的距离为４ｍ，则竹竿顶端的高度 ｈ 是 （　　） Ａ．４．５ｍ Ｂ．７．５ｍ Ｃ．５．５ｍ Ｄ．６．５ｍ ５．下列线段能构成直角三角形的是 （　　） Ａ．２，３，５ Ｂ．５，８，１０ Ｃ．２，６，９ Ｄ．３２，２， ５ ２ ６．若直角三角形的两边长分别为 ａ，ｂ，且满足 （ａ－７）２＋｜ｂ－５｜＝０，则该直角三角形的第三边 长的平方为 （　　） Ａ．７４ Ｂ．２４ Ｃ．７４或２５ Ｄ．７４或２４ ７．如图４－①是我国古代著名的“赵爽弦图” 的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的． 若ＡＣ＝１２，ＢＣ＝７，将四个直角三角形中边长为 １２的直角边分别向外延长一倍，得到如图４－②的 “数学风车”，则这个风车的外围周长是 （　　） Ａ．１４８ Ｂ．１００ Ｃ．１９６ Ｄ．１４４ ８．如图 ５，正方形 ＡＢＣＤ的边长为２，面积 标记为Ｓ１；以ＣＤ为斜边 作等腰直角三角形，以 该等腰直角三角形的一 条直角边为边向外作正 方形，其面积标记为Ｓ２；…，按照此规律继续下去， 则Ｓ２４的值为 （　　） Ａ．１ ２２１ Ｂ．１ ２２２ Ｃ．１ ２２３ Ｄ．１ ２２４ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．写一组勾股数： ． １０．命题“如果ａ＝０，ｂ＝０，那么ａ２＋ｂ２＝０” 的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． １１．如图６，在高为３ｍ，斜坡长为５ｍ的楼梯 台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要 ｍ． １２．“赵爽弦图”巧妙地利用“出入相补”的方 法证明了勾股定理．小明受此启发，探究后发现， 若将４个直角边长分别为 ａ，ｂ，斜边长为 ｃ的直角 三角形拼成如图７所示的五边形，用等积法也可以 证明勾股定理，则小明用两种方法表示五边形的 面积分别是Ｓ１ ＝ ，Ｓ２ ＝ （用含 有ａ，ｂ，ｃ的式子表示）． １３．如图 ８，一个无盖的圆柱体盒子的高为 ８ｃｍ，底面圆的周长为 ２４ｃｍ，点 Ａ距离下底面 ３ｃｍ．一只位于圆柱体盒子外表面点Ａ处的蚂蚁想 爬到盒子内表面对侧中点Ｂ处吃东西，则蚂蚁需要 爬行的最短路径长为 ｃｍ． １４．如图９，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＢ＝ １０ｃｍ，ＡＣ＝６ｃｍ，动点Ｐ从点Ｂ出发，沿射线ＢＣ 以４ｃｍ／ｓ的速度运动，设运动时间为ｔｓ，连接ＰＡ， 当△ＡＢＰ为等腰三角形时，ｔ的值为 ． 三、耐心解一解（共４４分） １５．（８分）计算图１０中四边形ＡＢＣＤ的面积． １６．（１０分）如图１１，甲、乙两船同时从Ａ港出 发，甲船沿北偏东３５°的方向航行，航速是１２海里 ／时，乙船沿南偏东５５°的方向航行，２小时后，两 船同时到达目的地 Ｂ，Ｃ岛．若 Ｂ，Ｃ两岛的距离为 ３０海里，问乙船的航速是多少？ １７．（１２分）如图１２，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝ ５，ＢＣ＝６，点Ｍ为ＢＣ的中点，ＭＮ⊥ＡＣ于点Ｎ，求 ＭＮ的长． １８．（１４分）如图１３，在△ＡＢＣ中，过点Ａ作ＡＤ ⊥ＢＣ于点Ｄ，点Ｅ在线段ＢＤ上，且ＡＥ＝ＢＥ．已知 ＢＤ＝１６，ＡＤ＝１２，ＡＣ＝１５． （１）求线段ＤＥ的长； （２）试说明：∠ＢＡＣ＝９０°． （以下试题供各地根据实际情况选用） １．（１０分）如图１是放在地面上的一个长方体 盒子，其中ＡＢ＝１８ｃｍ，ＢＣ＝１２ｃｍ，ＢＦ＝１０ｃｍ， 点Ｍ在棱ＡＢ上，且ＡＭ＝６ｃｍ，点Ｎ是ＦＧ的中点， 一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面（不考虑底面） 从点Ｍ爬行到点 Ｎ，它需要爬行的最短路程是多 少？ ２．（１０分）勾股定理神奇而美妙，它的证法多 种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小 华突发灵感，给出了如图２所示的拼图： 两个全等的直角三角板 ＡＢＣ和直角三角板 ＤＥＦ，顶点Ｆ在ＢＣ边上，顶点Ｃ，Ｄ重合，连接ＡＥ， ＢＥ．设ＡＢ，ＤＥ交于点Ｇ，∠ＡＣＢ＝∠ＤＦＥ＝９０°， ＢＣ＝ＥＦ＝ａ，ＡＣ＝ＤＦ＝ｂ（ａ＞ｂ），ＡＢ＝ＤＥ＝ ｃ．请你解答以下问题： （１）填空：∠ＡＧＥ＝ °； （２）请用两种方法计算四边形ＡＣＢＥ的面积， 并以此为基础验证勾股定理                                                                                                                                                                       ． 书 １７．１勾股定理 １７．１．１认识勾股定理 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．已知直角三角形的两条直角边长分别是 ６，８，则该直角三角形的斜边长是 （　　） Ａ．１０ Ｂ．９ Ｃ．８ Ｄ．７ ２．如图１，∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＣ＝９０°，ＡＢ＝ＢＣ ＝１，ＯＡ＝２，则ＯＣ２ ＝ （　　） Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７ ３．如图２，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，点Ｄ是ＢＣ 上的点．若ＢＤ＝２，ＤＣ＝３，则ＡＢ２－ＡＤ２的值为 ． ４．如图 ３是一株美丽的勾股 树，其中所有的四边形都是正方 形，所有的三角形都是直角三角 形．若正方形Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的边长分别 是４，５，２，４，则最大正方形 Ｅ的面 积是 ． ５．如图４，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝１３，ＡＣ＝１５，ＢＣ 边上的高ＡＤ＝１２，求ＢＣ的长． １７．１．２勾股定理的验证及应用 １．我国是最早了解勾股定理的国家之一，根 据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与验证是 在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”． 三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》中的勾股定 理作出了详细注释，并给出了另外一种证明方法． 下面四幅图中，不能验证勾股定理的是 （　　） ２．如图１，Ａ，Ｃ之间隔有一湖，在与ＡＣ方向成 ９０°角的ＣＢ方向上的点Ｂ处测得ＡＢ＝５０ｍ，ＢＣ ＝４０ｍ，则Ａ，Ｃ之间的距离为 （　　） Ａ．３０ｍ Ｂ．４０ｍ Ｃ．５０ｍ Ｄ．６０ｍ ３．如图２，学校有一块长方形花圃，有极少数 人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条 “路”，他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草，则 他们少走的路长为 ． ４．放学以后，红红和晓晓从学校出发，分别沿 东南方向和西南方向回家．若红红和晓晓行走的 速度都是５０米 ／分，红红用１２分钟到家，晓晓用 １６分钟到家，红红家和晓晓家的直线距离为 米． ５．如图３是一个长方体盒子， 其长、宽、高分别为４，２，９，用一根 细线绕侧面绑在点 Ａ，Ｂ处，不计线 头，则细线的最短长度为 ． ６．“赵爽弦图”巧妙地利用面 积关系证明了勾股定理，是我国古 代数学的骄傲．如图４所示的“赵爽弦图”是由四 个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个 大正方形，设直角三角形较长直角边长为 ａ，较短 直角边长为ｂ．若ａｂ＝８，大正方形的面积为２５，求 小正方形的边长． ７．如图５，某渡船从点Ｂ处沿着与河岸垂直的 路线ＡＢ横渡，由于受水流的影响，实际沿着ＢＣ航 行，上岸地点Ｃ与欲到达地点Ａ相距７０米，结果发 现ＢＣ比河宽ＡＢ多１０米． （１）求该河的宽度 ＡＢ（两岸可近似看作平 行）； （２）设实际航行时，速度为每秒５米，从Ｃ回 到Ａ时，速度为每秒４米，求航行总时间． ８．我国古代有这样一道数学 问题：“枯木一根直立地上，高三 丈，周八尺，有葛藤自根缠绕而 上，五周而达其顶，问葛藤之长几 何？”题意是：如图６，把枯木看作 一个圆柱体，因一丈是十尺，则该 圆柱的高为３丈，底面周长为８尺，有葛藤自点 Ａ 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点Ｂ处，则 问题中葛藤的最短长度是 丈． １７．２勾股定理的逆定理 １．下面四组数，其中是勾股数组的是 （　　） Ａ．７，２４，２５ Ｂ．０．３，０．４，０．５ Ｃ．３２，４２，５２ Ｄ．６，７，８ ２．有五根小木棒，其长度（单位：ｃｍ）分别为 ８，９，１２，１５，１７，现将它们摆成两个直角三角形，其 中正确的是 （　　） ３．一个三角形的三边长分别为１５，２０，２５，则 这个三角形最长边上的高线为 ． ４．在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝５，ＢＣ＝ａ，ＡＣ＝ｂ，如果 ａ，ｂ满足（ａ＋５）（ａ－５）－ｂ２＝０，那么△ＡＢＣ的 形状是 ． ５．写出下列命题的逆命题，并判断原命题和 逆命题的真假． （１）若ａ＝ｂ，则ａ３ ＝ｂ３； （２）钝角三角形有两个锐角． ６．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＣ＝１５，Ｄ是 ＡＣ上一点，且ＣＤ＝９，ＢＤ＝１２． （１）试说明：△ＢＣＤ是直角三角形； （２）求ＡＢ的长 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． ! !"#$% " !"#&' () !"*+,)- ./0123 #$ 45 () !"67,)- 8/0123 #$ 49 :;&<=>%&'%(%&)#? ! ! ! " # $ ! " % & ' ! ! # % & ! ' ! $ % & ! ' ( ) * + ) ) ) * * * + + + * + * + + * * + % & ' ( ) * + ) * + ) * + + * + * ) ) ) + * ! # ! & ) * " + * !"# ! " !& " ! ! " ! & ! , & " # " - ! $ ! + " & " & ! ' % & ' ( ) !, !" !. - ) !, !" !. - ) !, !" !. - ) !, !" !. - ", !+- & ! ! ! $ # )/, , " & ! ' - " - ! - $ - # ! , $ ! " " & ! 0 ! " $ # , . %$& ! + % ! & $ * , * % & ! ' ! . % & ! ) % & !/ ! - % & ! ' # !$ !" ! !1 ! !! % & ! $,! ,,! ' ( ! !" % & ! 0 1 ! !$ % & ! '( ! " ! " ! 2 3 ( ' 4 0 1 2 " ! ( 4!%'& ! " ! # %# ! ! " 书 答案详解 　　 　　２０２４～２０２５学年　初中数学人教八年级（ＧＤＹ）　第２５～２８期（２０２５年１月）　　 　　 ２５期２版 １６．１二次根式 １６．１．１二次根式的定义 基础训练　１．Ａ；　２．Ａ；　３．Ｄ． ４．（１）ｘ≤ １２；　（２）ｘ＞－１；　（３） ７ ３≤ｘ≤５． １６．１．２二次根式的性质 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｂ；　３．＞． ４．（１）小亮； （２）错误的原因是运用二次根式的性质错误，忘记了二次 根式的非负性． １６．２二次根式的乘除 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｂ； 槡　３．２． ４．（１）槡３０；　（２）２；　（３）２４． ５．这个长方体的体积是：槡１８×槡８× ２ ３＝ 槡３２×槡２２× ２ ３ ＝１２×２３ ＝８． １６．３二次根式的加减 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ；　３．２． ４．（１）槡７；　（２） 槡１２２；　（３）槡２３． ５．（１）横断面的面积是：１２×（槡８＋槡３２）×槡３＝ １ ２ × （槡２２＋ 槡４２）×槡３＝ １ ２× 槡６２×槡３＝ 槡３６（ｍ ２）． （２）３００÷ 槡３６＝ 槡 ５０６ ３ （ｍ）． 答：若用３００ｍ３的土，可修 槡５０６３ ｍ长的拦河坝． ２５期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｂ Ｃ Ｂ Ｄ Ｃ Ｂ Ａ 二、９．ｘ≥４；　１０．１；　１１．ｘ＝ 槡２３；　１２．ａ ２ｂ；　１３．槡４３； １４．槡５． 三、１５．（１）３２；　（２）５；　（３） 槡１０２． １６．（１）①； （２）一，计算（槡２５） ２时，没有将“２”平方； （３）原式 ＝２１－ 槡７５２． １７．（１）这个长方体盒子的体积为：（槡５０－ 槡２２） ２×槡２＝ 槡１８２（ｃｍ ３）． （２）这个长方体盒子的侧面积为：（槡５０－ 槡２２）×槡２×４ ＝２４（ｃｍ２）． １８．（１） １ ４＋槡１５ ＝ ４－槡１５ （４＋槡１５）（４－槡１５） ＝４－槡１５１６－１５＝ ４－槡１５． （２）ａ＝ １ 槡６－槡５ ＝ 槡６＋槡５ （槡６－槡５）（槡６＋槡５） ＝槡６＋槡５，ｂ＝ １ 槡５－２ ＝ 槡５＋２ （槡５－２）（槡５＋２） ＝槡５＋２． 因为槡６＞２，所以槡６＋槡５＞２＋槡５． 所以ａ＞ｂ． （３）原式 ＝３（ １ １＋槡２ ＋ １ 槡２＋槡３ ＋ １ 槡３＋２ ＋…＋ １ 槡１４＋槡１５ ） ＝３（槡２－１＋槡３－槡２＋２－槡３＋… ＋槡１５－槡１４） ＝３（－１＋槡１５）＝ 槡３ １５－３． 附加题　１．因为ａ＋ｂ＝ 槡２５－槡６，ａ－ｂ＝槡１０－ 槡２３， 所以（ａ＋ｂ）２＝（槡２５－槡６） ２＝２０－ 槡４ ３０＋６＝２６－ 槡４ ３０， （ａ－ｂ）２ ＝（槡１０－ 槡２３） ２＝１０－ 槡４ ３０＋１２＝２２－ 槡４ ３０． 所以ａ２＋ｂ２＝１２［（ａ＋ｂ） ２＋（ａ－ｂ）２］＝１２×（２６－ 槡４ ３０ ＋２２－ 槡４ ３０）＝２４－ 槡４ ３０． ２．（１） ３６－３６槡 ７ ＝６槡 ６ ７；第ｎ个等式为： ｎ ２－ ｎ ２ ｎ＋槡 １ ＝ｎ ｎｎ＋槡 １． （２）原式 ＝１９ １９槡２０×２０ ２０ 槡２１×槡４２ ＝１９×２０× １９ ２０× ２０ ２１×槡 ４２＝ 槡３８０ ３８                                                         ． —１— 初中数学人教八年级（ＧＤＹ）　第２５～２８期 （３） ａ２＋２ａ＋１－１９６ｂ－槡 ２＝ （ａ＋１） ２－１９６ｂ－槡 ２＝ｘ． 因为 ａ２＋２ａ＋１－１９６ｂ－槡 ２＝ｘ符合所得规律，所以（ａ＋ １）２ ＝１９６，ｂ－２＝槡１９６＋１＝１４＋１＝１５． 解得ａ＝１３或 －１５，ｂ＝１７． 所以ａ＋ｂ＝１３＋１７＝３０或ａ＋ｂ＝－１５＋１７＝２，即ａ ＋ｂ的值为３０或２． ２６期评估卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ａ Ｄ Ｂ Ａ Ｄ Ａ Ｄ Ｃ Ｂ Ａ 二、１１．槡７；　１２．１；　１３．②；　１４．＜； １５．槡７＋２． 三、１６．（１）槡３３－１；　（２）槡４２． １７．根据数轴，得ｂ＞－２，ａ＜２． 所以ｂ＋２＞０，ａ－２＜０． 所以原式 ＝ｂ＋２＋２－ａ＝４－ａ＋ｂ． １８．该物体的运动速度 ｖ＝ ２ｋｋ 槡ｍ ＝ ２×１０００ 槡 １０ ＝ 槡１０２（米 ／秒）． 四、１９．根据题意，得 槡２６－（－槡６）＝－ｎ－２ｍ． 所以２ｍ＋ｎ＝－ 槡３６． 因为ｍ，ｎ互为相反数，所以ｍ＋ｎ＝０． 所以２ｍ＋ｎ＝ｍ＋ｍ＋ｎ＝ｍ＝－ 槡３６． 所以ｎ＝ 槡３６． ２０．因为两个正方形的面积分别为１２ｄｍ２和２７ｄｍ２，所以 这两个正方形的边长分别为 槡２３ｄｍ和 槡３３ｄｍ． 所以原长方形木板的长为：槡２３＋ 槡３３＝ 槡５３（ｄｍ），宽为 槡３３ｄｍ． 所以原长方形木板的面积为：槡５３× 槡３３＝４５（ｄｍ ２）． ２１．（１）因为ａ＝槡１１＋２，ｂ＝槡１１－２，所以ａ ２＋ｂ２－ａｂ ＝（ａ－ｂ）２＋ａｂ＝（槡１１＋２－槡１１＋２） ２＋（槡１１＋２）（槡１１ －２）＝１６＋７＝２３． （２）因为９＜１１＜１６，所以３＜槡１１＜４． 所以５＜槡１１＋２＜６，１＜槡１１－２＜２． 因为ｍ为ａ的小数部分，ｎ为ｂ的小数部分，所以ｍ＝槡１１ ＋２－５＝槡１１－３，ｎ＝槡１１－２－１＝槡１１－３． 所以ｍ＋ｎ＝（槡１１－３）＋（槡１１－３）＝ 槡２ １１－６． 五、２２．（１）因为ｘ＝槡５－２，所以（ｘ＋２） ２ ＝５，即ｘ２＋４ｘ ＋４＝５．所以ｘ２＋４ｘ＝１．所以ｘ２＋４ｘ－１０＝１－１０＝－９． （２）因为ｘ＝槡５－１２ ，所以２ｘ＋１＝槡５．所以（２ｘ＋１） ２ ＝ ５，即４ｘ２＋４ｘ＋１＝５．所以ｘ２＋ｘ＝１．所以ｘ３＋ｘ２＋１＝ｘ（ｘ２ ＋ｘ）＋１＝槡５－１２ ＋１＝ 槡５＋１ ２ ． ２３．（１）槡５－１２ － ２ 槡５－１ ＝槡５－１２ － ２（槡５＋１） （槡５－１）（槡５＋１） ＝ 槡５－１ ２ － 槡５＋１ ２ ＝－１； 槡８－２ ２ － ２ 槡８－２ ＝槡８－２２ － ２（槡８＋２） （槡８－２）（槡８＋２） ＝槡８－２２ －槡８＋２２ ＝－２； 槡１３－３ ２ － ２ 槡１３－３ ＝槡１３－３２ － ２（槡１３＋３） （槡１３－３）（槡１３＋３） ＝槡１３－３２ － 槡１３＋３ ２ ＝－３． （２）槡２９－５２ － ２ 槡２９－５ ＝－５． （３） ｎ ２＋槡 ４－ｎ ２ － ２ ｎ２＋槡 ４－ｎ ＝－ｎ． 证明如下： 原式 ＝ ｎ ２＋槡 ４－ｎ ２ － ２（ ｎ２＋槡 ４＋ｎ） （ ｎ２＋４槡 －ｎ）（ ｎ ２＋４槡 ＋ｎ） ＝ ｎ２＋槡 ４－ｎ ２ － ｎ２＋槡 ４＋ｎ ２ ＝－ｎ． ２７期２版 １７．１勾股定理 １７．１．１认识勾股定理 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ；　３．１６；　４．６１． ５．根据题意，得∠ＡＤＣ＝∠ＡＤＢ＝９０°． 在Ｒｔ△ＡＣＤ中，由勾股定理，得 ＣＤ ＝ ＡＣ２－ＡＤ槡 ２ ＝ １５２－１２槡 ２ ＝９． 在Ｒｔ△ＡＢＤ中，由勾股定理，得 ＢＤ ＝ ＡＢ２－ＡＤ槡 ２ ＝ １３２－１２槡 ２ ＝５． 所以ＢＣ＝ＣＤ＋ＢＤ＝１４． １７．１．２勾股定理的验证及应用 基础训练　１．Ｄ；　２．Ａ；　３．４ｍ；　４．１０００；　５．１５． ６．由题意，得中间小正方形的边长为ａ－ｂ． 每个直角三角形的面积为： １ ２ａｂ＝ １ ２×８＝４． 根据题意，得４×１２ａｂ＋（ａ－ｂ） ２ ＝２５．解得（ａ－ｂ）２ ＝９． 所以ａ－ｂ＝３，即小正方形的边长为３． ７．（１）设ＡＢ＝ｘ米，则ＢＣ＝（ｘ＋１０）米                                                                      ． —２— 初中数学人教八年级（ＧＤＹ）　第２５～２８期 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理，得ＡＢ２＋ＡＣ２ ＝ＢＣ２，即ｘ２＋ ７０２ ＝（ｘ＋１０）２．解得ｘ＝２４０． 答：该河的宽度ＡＢ为２４０米． （２）（２４０＋１０）÷５＋７０÷４＝６７．５（秒）． 答：航行总时间为６７．５秒． 能力提高　８．５． １７．２勾股定理的逆定理 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ；　３．１２；　４．直角三角形． ５．（１）逆命题是：若ａ３＝ｂ３，则ａ＝ｂ．原命题是真命题，逆 命题是真命题． （２）逆命题是：有两个锐角的三角形是钝角三角形．原命 题是真命题，逆命题是假命题． ６．（１）因为ＢＣ＝１５，ＣＤ＝９，ＢＤ＝１２，所以ＢＣ２＝ＣＤ２＋ ＢＤ２．所以△ＢＣＤ是直角三角形． （２）因为ＡＢ＝ＡＣ，所以ＡＤ＝ＡＢ－９．由（１），得∠ＡＤＢ＝ ９０°．在Ｒｔ△ＡＢＤ中，由勾股定理，得ＡＢ２ ＝ＡＤ２＋ＢＤ２，即ＡＢ２ ＝（ＡＢ－９）２＋１２２．解得ＡＢ＝２５２． ２７期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｄ Ｃ Ｂ Ｄ Ｄ Ａ Ａ 二、９．答案不惟一，如３，４，５；　１０．真；　１１．７； １２．ｃ２＋ａｂ，ａ２＋ｂ２＋ａｂ；　１３．１５；　１４．２５１６或 ５ ２或４． 三、１５．在Ｒｔ△ＡＣＤ中，由勾股定理，得ＡＣ＝ ＣＤ２－ＡＤ槡 ２ ＝ １３２－１２槡 ２ ＝５． 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理，得 ＡＢ＝ ＡＣ２－ＢＣ槡 ２ ＝ ５２－４槡 ２ ＝３． 所以Ｓ四边形ＡＢＣＤ ＝Ｓ△ＡＢＣ＋Ｓ△ＡＣＤ ＝ １ ２ＡＢ·ＢＣ＋ １ ２ＡＤ·ＡＣ ＝ １２×３×４＋ １ ２×１２×５＝３６． １６．由题意，得ＡＢ＝１２×２＝２４（海里），∠ＢＡＣ＝１８０°－ ３５°－５５°＝９０°． 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＢＣ＝３０海里，由勾股定理，得 ＡＣ＝ ＢＣ２－ＡＢ槡 ２ ＝ ３０２－２４槡 ２ ＝１８（海里）． 所以乙船的航速是：１８÷２＝９（海里 ／时）． 答：乙船的航速是９海里 ／时． １７．连接ＡＭ，图略． 因为ＡＢ＝ＡＣ＝５，ＢＣ＝６，点Ｍ为ＢＣ的中点，所以ＡＭ⊥ ＢＣ，ＣＭ ＝ １２ＢＣ＝３． 在Ｒｔ△ＡＭＣ中，由勾股定理，得 ＡＭ ＝ ＡＣ２－ＣＭ槡 ２ ＝ ５２－３槡 ２ ＝４． 因为 Ｓ△ＡＭＣ ＝ １ ２ＡＣ·ＭＮ ＝ １ ２ＡＭ·ＣＭ，所以 ＭＮ ＝ ＡＭ·ＣＭ ＡＣ ＝ １２ ５． １８．（１）因为ＢＤ＝１６，所以ＡＥ＝ＢＥ＝ＢＤ－ＤＥ＝１６－ ＤＥ． 因为ＡＤ⊥ＢＣ，所以∠ＡＤＥ＝∠ＡＤＣ＝９０°． 在Ｒｔ△ＡＤＥ中，由勾股定理，得ＡＥ２＝ＡＤ２＋ＤＥ２，即（１６－ ＤＥ）２ ＝１２２＋ＤＥ２． 解得ＤＥ＝３．５． （２）在Ｒｔ△ＡＢＤ中，由勾股定理，得ＡＢ＝ ＢＤ２＋ＡＤ槡 ２ ＝ １６２＋１２槡 ２ ＝２０． 在Ｒｔ△ＡＤＣ中，由勾股定理，得 ＣＤ ＝ ＡＣ２－ＡＤ槡 ２ ＝ １５２－１２槡 ２ ＝９． 所以ＢＣ＝ＢＤ＋ＣＤ＝２５． 因为ＡＢ２＋ＡＣ２＝２０２＋１５２＝６２５，ＢＣ２＝２５２＝６２５，所以 ＡＢ２＋ＡＣ２ ＝ＢＣ２． 所以∠ＢＡＣ＝９０°． 附加题　１．因为点Ｎ是ＦＧ的中点，ＦＧ＝ＢＣ＝１２ｃｍ，所 以ＦＮ＝ １２ＢＣ＝６ｃｍ． ①将长方体展开，前面与上面所在的平面形成长方形 ＡＢＧＨ． 因为ＡＢ＝１８ｃｍ，ＢＦ＝１０ｃｍ，所以 ＢＭ ＝ＡＢ－ＡＭ ＝ １２ｃｍ，ＢＮ＝ＢＦ＋ＦＮ＝１６ｃｍ． 在 Ｒｔ△ＢＭＮ中，ＭＮ ＝ ＢＭ２＋ＢＮ槡 ２ ＝ １２２＋１６槡 ２ ＝ ２０（ｃｍ）． ②将长方体展开，前面与右面所在的平面形成长方形 ＡＣＧＥ，过点Ｎ作ＮＰ⊥ＢＣ于点Ｐ，图略． 所以ＢＰ＝ＦＮ＝６ｃｍ． 因为ＡＢ＝１８ｃｍ，ＢＦ＝１０ｃｍ，所以ＰＭ＝ＡＢ－ＡＭ＋ＢＰ ＝１８ｃｍ，ＰＮ＝ＢＦ＝１０ｃｍ． 在 Ｒｔ△ＰＭＮ中，ＭＮ ＝ ＰＭ２＋ＰＮ槡 ２ ＝ １８２＋１０槡 ２ ＝ 槡２ １０６（ｃｍ）． 因为２０＜ 槡２ １０６，所以它需要爬行的最短路程是２０ｃｍ． ２．（１）９０； （２）因为Ｓ四边形ＡＣＢＥ ＝Ｓ△ＡＣＢ＋Ｓ△ＡＢＥ ＝ １ ２ＡＢ·ＤＧ＋ １ ２ＡＢ ·ＥＧ＝ １２ＡＢ·（ＤＧ＋ＥＧ）＝ １ ２ＡＢ·ＤＥ＝ １ ２ｃ ２，Ｓ四边形ＡＣＢＥ ＝ Ｓ四边形ＡＣＦＥ＋Ｓ△ＥＦＢ ＝ １ ２（ＡＣ＋ＥＦ）·ＣＦ＋ １ ２ＢＦ·ＥＦ＝ １ ２（ｂ＋ ａ）ｂ＋１２（ａ－ｂ）·ａ＝ １ ２ｂ ２＋１２ａｂ＋ １ ２ａ ２－１２ａｂ＝ １ ２ａ ２                                                                      ＋ —３— 初中数学人教八年级（ＧＤＹ）　第２５～２８期 １ ２ｂ ２，所以 １ ２ｃ ２ ＝ １２ａ ２＋１２ｂ ２，即ａ２＋ｂ２ ＝ｃ２． ２８期评估卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ｃ Ｂ Ｄ Ｂ Ｃ Ａ 二、１１．有两个角互余的三角形是直角三角形； １２．合格；　１３．１．６；　１４．３３或６５；　１５．５０． 三、１６．由勾股定理，得６２＋（ｘ＋２）２＝（ｘ＋４）２．解得ｘ＝６． １７．根据题意，得ＢＣ＝ＡＣ． 在Ｒｔ△ＢＯＣ中，根据勾股定理，得ＯＢ２＋ＯＣ２＝ＢＣ２，即５２ ＋（２５－ＢＣ）２ ＝ＢＣ２．解得ＢＣ＝１３ｍ． 答：机器人行走的路程ＢＣ为１３ｍ． ! ! ! " # " #$ １８．如图，将圆柱的侧面展开，ＡＣ⊥ ＢＣ，蚂蚁沿线段ＡＢ爬行路程最短． 因为圆柱的底面半径为４ｃｍ，所以 ＢＣ＝４π≈１２（ｃｍ）． 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，根据勾股定理，得 ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ ＝ １３ｃｍ． 答：蚂蚁要爬行的最短路程是１３ｃｍ． １９．因为ｍ，ｎ为整数，且ｍ＞ｎ＞１，ａ＝ｍ２－ｎ２，ｂ＝２ｍｎ， ｃ＝ｍ２＋ｎ２，所以ａ，ｂ，ｃ均为正整数．因为（ｍ２－ｎ２）２＋（２ｍｎ）２ ＝ｍ４－２ｍ２ｎ２＋ｎ４＋４ｍ２ｎ２＝ｍ４＋２ｍ２ｎ２＋ｎ４，（ｍ２＋ｎ２）２＝ ｍ４＋２ｍ２ｎ２＋ｎ４．所以ａ２＋ｂ２ ＝ｃ２．所以ａ，ｂ，ｃ为勾股数． ２０．（１）因为 ＡＢ＝２６米，ＡＤ＝２４米，ＢＤ＝１０米，所以 ＡＢ２ ＝ＢＤ２＋ＡＤ２．所以∠ＡＤＢ＝９０°． （２）由（１）知∠ＡＤＣ＝９０°． 因为ＡＣ比ＣＤ长１２米，所以ＡＣ＝ＣＤ＋１２． 由勾股定理，得ＣＤ２＋ＡＤ２ ＝ＡＣ２，即ＣＤ２＋２４２ ＝（ＣＤ＋ １２）２． 解得ＣＤ＝１８米． 所以ＡＣ＝３０米． 因为ＤＥ⊥ＡＣ，所以Ｓ△ＡＤＣ ＝ １ ２ＡＤ·ＣＤ＝ １ ２ＡＣ·ＤＥ． 所以ＤＥ＝ＡＤ·ＣＤＡＣ ＝ ７２ ５米． 答：小路ＤＥ的长为７２５米． ２１．设昆虫乙爬行遇到昆虫甲需要ｘｓ． 将长方体的侧面展开成一个平面，记相遇点为 Ｆ．根据题 意，得ＡＦ＝Ｃ１Ｆ＝ｘｃｍ． 因为ＡＢ＝ＢＣ＝６ｃｍ，ＡＡ１ ＝１４ｃｍ，所以ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＣ ＝１２ｃｍ，ＣＦ＝（１４－ｘ）ｃｍ． 在Ｒｔ△ＡＣＦ中，由勾股定理，得ＡＣ２＋ＣＦ２＝ＡＦ２，即１２２＋ （１４－ｘ）２ ＝ｘ２． 解得ｘ＝８５７． 答：昆虫乙至少需要 ８５ ７ｓ才能遇到昆虫甲． ２２．（１）因为Ｒｔ△ＢＥＦ≌Ｒｔ△ＢＥＧ，Ｒｔ△ＡＥＤ≌Ｒｔ△ＡＥＧ， 所以ＥＤ＝ＥＧ＝ＥＦ＝ｘ． 所以Ｓ△ＡＥＣ ＝ １ ２ｂｘ，Ｓ△ＢＥＣ ＝ １ ２ａｘ，Ｓ△ＡＥＢ ＝ １ ２ｃｘ，Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ａｂ． 因为Ｓ△ＡＢＣ ＝Ｓ△ＡＥＣ ＋Ｓ△ＢＥＣ ＋Ｓ△ＡＥＢ， 所以 １ ２ｂｘ＋ １ ２ａｘ＋ １ ２ｃｘ＝ １ ２ａｂ，即（ａ＋ｂ＋ｃ）ｘ＝ａｂ． 解得ｘ＝ ａｂａ＋ｂ＋ｃ． （２）根据题意，得 ａｂａ＋ｂ＋ｃ＝ ａ＋ｂ－ｃ ２ ． 所以（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ－ｃ）＝２ａｂ．所以（ａ＋ｂ）２－ｃ２ ＝ ２ａｂ． 所以ａ２＋ｂ２＋２ａｂ－２ａｂ＝ｃ２，即ａ２＋ｂ２ ＝ｃ２． ２３．根据题意，得ＢＰ＝２ｔ． （１）当ｔ＝５时，ＰＣ＝ＢＣ－ＢＰ＝６． 在Ｒｔ△ＡＰＣ中，由勾股定理，得 ＡＰ＝ ＡＣ２＋ＰＣ槡 ２ ＝ ８２＋６槡 ２ ＝１０． （２）①当点Ｐ在线段ＢＣ上时，图略． 因为ＤＥ⊥ＡＰ，所以∠ＡＥＤ＝∠ＰＥＤ＝∠ＡＣＢ＝９０°． 因为ＰＤ平分∠ＡＰＣ，所以ＥＤ＝ＣＤ＝３． 在Ｒｔ△ＰＥＤ和Ｒｔ△ＰＣＤ中， ＰＤ＝ＰＤ， ＥＤ＝ＣＤ{ ，所以Ｒｔ△ＰＥＤ≌ Ｒｔ△ＰＣＤ（ＨＬ）． 所以ＰＥ＝ＰＣ＝１６－２ｔ． 因为ＡＣ＝８，所以ＡＤ＝ＡＣ－ＣＤ＝５． 在Ｒｔ△ＡＤＥ中，由勾股定理，得ＡＥ＝ ＡＤ２－ＤＥ槡 ２ ＝４． 所以ＡＰ＝ＡＥ＋ＰＥ＝２０－２ｔ． 在Ｒｔ△ＡＰＣ中，由勾股定理，得ＡＣ２＋ＰＣ２ ＝ＡＰ２，即８２＋ （１６－２ｔ）２ ＝（２０－２ｔ）２． 解得ｔ＝５． ②点Ｐ在线段ＢＣ的延长线上时，图略． 同①，得△ＰＥＤ≌△ＰＣＤ，ＡＥ＝４． 所以ＰＥ＝ＰＣ＝２ｔ－１６． 所以ＡＰ＝ＡＥ＋ＰＥ＝２ｔ－１２． 在Ｒｔ△ＡＰＣ中，由勾股定理，得ＡＣ２＋ＰＣ２ ＝ＡＰ２，即８２＋ （２ｔ－１６）２ ＝（２ｔ－１２）２． 解得ｔ＝１１． 综上所述，在点Ｐ的运动过程中，当ｔ的值为５或１１时，能 使ＰＤ平分∠                                                                      ＡＰＣ． —４— 初中数学人教八年级（ＧＤＹ）　第２５～２８期