《数理报》高考数学信息优化卷(一)——函数与不等式-【数理报】2025年高考数学专项提分

! " # $ % & ' " ( ) & * + , - . / 0 1 2 3 4 5 6 7 8 书 第Ⅰ卷 选择题 （共５８分） 一、单项选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．已知函数ｙ＝ｆ（２ｘ－１）的定义域是［－２，３］，则ｙ＝ ｆ（ｘ） ｘ＋槡 ３ 的定义域是 （　　） （Ａ）［－３，５］ （Ｂ [） １２， ]２ （Ｃ）［－１，３］ （Ｄ）（－３，５］ ２．已知函数 ｆ（ｘ） ＝２ｘ，若 ａ ＝ ｆ（２０．２），ｂ＝ ｆ（２）， ｃ＝ｆ（ｌｏｇ２５），则 （　　） （Ａ）ａ＜ｂ＜ｃ（Ｂ）ｃ＜ｂ＜ａ （Ｃ）ｂ＜ａ＜ｃ（Ｄ）ａ＜ｃ＜ｂ ３．设函数ｆ（ｘ）＝２ｘ（ｘ－ａ）在区间（０，１）上单调递减，则ａ的取值 范围是 （　　） （Ａ）（－∞，－２］　 （Ｂ）［－２，０）　 （Ｃ）（０，２］ （Ｄ）［２，＋∞） ４．已知ｆ（ｘ－１）为偶函数，且ｆ（ｘ）在［－１，＋∞）上单调递增， 若ｆ（ａ－１）≤ｆ（１），则实数ａ的取值范围是 （　　） （Ａ）［－１，１］ （Ｂ）［－２，２］ （Ｃ）［－３，３］ （Ｄ）［－４，４］ ５．函数ｆ（ｘ）的图象如右图所示，则ｆ（ｘ）的 解析式可能为 （　　） （Ａ）ｆ（ｘ）＝ｅ ｘ＋ｅ－ｘ ｜ｘ｜ （Ｂ）ｆ（ｘ）＝ｅ ｘ－ｅ－ｘ ｜ｘ｜ （Ｃ）ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ｜ｘ｜ （Ｄ）ｆ（ｘ）＝ｌｎ｜ｘ｜ｘ ６．已知定义在Ｒ上的奇函数ｆ（ｘ）满足ｆ（２＋ｘ）＝ｆ（－ｘ），当 ０≤ｘ≤１时，ｆ（ｘ）＝３ｘ－１，则ｆ（３）＝ （　　） （Ａ）－１ （Ｂ）－２ （Ｃ）１ （Ｄ）２ ７．垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投 放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．已知某种垃 圾的分解率ｖ与时间ｔ（月）满足函数关系式ｖ＝ａ·ｂｔ（其中ａ，ｂ为非 零常数）．若经过６个月，这种垃圾的分解率为５％，经过１２个月，这 种垃圾的分解率为 １０％，那么要使这种垃圾完全分解（分解率为 １００％）至少需要经过（参考数据ｌｇ２≈０．３） （　　） （Ａ）４０个月 （Ｂ）３２个月 （Ｃ）２８个月 （Ｄ）２０个月 ８．已知函数ｆ（ｘ）＝（２ａ－ｘ）ｌｎ（ｘ＋ｂ），若ｆ（ｘ）≤０，则ａ２＋ｂ２ 的最小值为 （　　） （Ａ）１５ （Ｂ） 槡５ ５ （Ｃ） １ ２ （Ｄ） 槡２ ２ 二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分． ９．已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇａ（ｘ－１）＋４（ａ＞０且ａ≠１）的图象过 定点（ｓ，ｔ），正数ｍ，ｎ满足ｍ＋ｎ＝ｓｔ，则下列选项错误的是 （　　） （Ａ）ｍ＋ｎ＝６ （Ｂ）ｍ２＋ｎ２≤３２ （Ｃ）ｍｎ≥１６ （Ｄ）１ｍ＋ １ ｎ≥ １ ２ １０．下列函数中，既是偶函数，又在（０，＋∞）上单调递增的是 （　　） （Ａ）ｙ＝ｌｎ（ １＋９ｘ槡 ２ －３ｘ） （Ｂ）ｙ＝ｅｘ＋ｅ－ｘ （Ｃ）ｙ＝ｘ２＋１ （Ｄ）ｙ＝ｃｏｓｘ＋３ １１．已知函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的定义域均为Ｒ，且ｇ（ｘ）＝ｆ（４＋ｘ）， ｆ（ｘ＋ｙ）＋ｆ（ｘ－ｙ）＝ｇ（ｘ－４）ｆ（ｙ），ｇ（－３）＝１，则下列说法正确 的有 （　　） （Ａ）ｆ（１）＝１ （Ｂ）ｆ（ｘ）为偶函数 （Ｃ）ｆ（ｘ）的周期为４ （Ｄ）∑ ２０２６ ｋ＝１ ｆ（ｋ）＝－３ 第Ⅱ卷 非选择题 （共９２分） 三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分． １２．已知函数 ｆ（ｘ）＝ ｌｏｇ２ｘ，ｘ＞０ ( ， )１４ ｘ－１ ，ｘ≤０{ ，则 ( (ｆ ｆ 槡２) )２ ＝ ． １３．已知 ｆ（ｘ）＝ （３ａ－１）ｘ＋４ａ，ｘ≤１， ａ２ｘ－１＋１２， ｘ＞ { １满足对于任意实数 ｘ１≠ｘ２，都有 ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２） ｘ１－ｘ２ ＜０成立，则实数 ａ的取值范围是 ． １４．对于函数ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ），设α∈｛ｘ｜ｆ（ｘ）＝０｝，β∈｛ｘ｜ ｇ（ｘ）＝０｝，若存在α，β，使得｜α－β｜≤７，则称函数ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ） 互为“零点相伴函数”，若函数ｆ（ｘ）＝ｌｎ（ｘ－８）＋ｘ－９与ｇ（ｘ）＝ （ｌｏｇ２ｘ） ２－（ａ＋１）·ｌｏｇ２ｘ＋３互为“零点相伴函数”，则实数ａ的取 值范围是 ． 四、解答题：本题共５小题，共７７分． １５．（１３分）已知ａ，ｂ，ｃ为实数，函数ｆ（ｘ）＝（３ａ－２）ｘ２＋（２ｂ －１８）ｘ＋３ｃ－２（ｘ∈Ｒ）． （１）若函数ｆ（ｘ）为幂函数，求ａ，ｂ，ｃ的值； （２）若ａ≥ ２３，ｂ＞０，且函数ｆ（ｘ）在区间［１，３］上单调递减，求 ａｂ的最大值． １６．（１５分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇａ（２－ｘ）＋ｌｏｇａ（ｘ＋４）（ａ＞０ 且ａ≠１）． （１）若ａ＞１，求函数ｆ（ｘ）的单调区间； （２）若函数ｆ（ｘ）的最小值为 －１２，求ａ的值． 9 " : $ ; & ' " ( ) & * + , - . / 0 1 2 3 4 5 < 7 8 ! " # !"# !"#$%&'()*+ ! !"#$%&'()* !"#$%&'"( )*+,-./0 !"# 书 １７．（１５分）已知 ｆ（ｘ）为定义在［－１，１］上的奇函数，当 ｘ∈ ［－１，０］时，函数解析式为ｆ（ｘ）＝１ ４ｘ －ｂ ２ｘ （ｂ∈Ｒ）． （１）求ｂ的值，并求出ｆ（ｘ）在（０，１］上的解析式； （２）若对任意的ｘ∈（０，１］，总有ｆ（ｘ）≥ａ，求实数ａ的取值范 围． １８．（１７分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ｜ｘ－ａ｜＋２ｘ． （１）当 ａ＝３时，求函数ｆ（ｘ）的单调递增区间； （２）求所有的实数ａ，使得对任意的ｘ∈［１，２］，函数ｆ（ｘ）的图 象恒在函数ｇ（ｘ）＝２ｘ＋１图象的下方； （３）若存在ａ∈［－４，４］，使得关于ｘ的方程ｆ（ｘ）＝ｔｆ（ａ）有 三个不相等的实数根，求实数ｔ的取值范围． １９．（１７分）对于函数ｙ＝ｆ（ｘ）的导函数ｙ′＝ｆ′（ｘ），若在其定 义域内存在实数ｘ０和ｔ，使得ｆ（ｘ０＋ｔ）＝（ｔ＋１）·ｆ′（ｘ０）成立，则 称ｙ＝ｆ（ｘ）是“跃点”函数，并称ｘ０是函数ｙ＝ｆ（ｘ）的“ｔ跃点”． （１）若函数ｙ＝ｓｉｎｘ－ｍ（ｘ∈Ｒ）是“π２跃点”函数，求实数ｍ 的取值范围； （２）若函数ｙ＝ｘ２－ａｘ＋１是定义在（－１，３）上的“１跃点”函 数，且在定义域内存在两个不同的“１跃点”，求实数ａ的取值范围； （３）若函数ｙ＝ｅｘ＋ｂｘ（ｘ∈Ｒ）是“１跃点”函数，且在定义域内 恰存在一个“１跃点”，求实数ｂ的取值范围． ! " # $ % & ' " ( ) & * + , - . / 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 " : $ ; & ' " ( ) & * + , - . / 0 1 2 3 4 5 < 7 8 !"#$%&'()*+ !" ,- ! " # $ !" 书 高考数学信息优化卷（一） 函数与不等式参考答案 一、单项选择题 １～４　ＤＡＤＢ　５～８　ＢＢＢＡ 提示： １．因为函数ｙ＝ｆ（２ｘ－１）的定义域是［－２，３］， 所以 －２≤ｘ≤３，则 －５≤２ｘ－１≤５， 所以函数ｆ（ｘ）的定义域为［－５，５］． 要使ｙ＝ ｆ（ｘ） ｘ＋槡 ３ 有意义，需满足 －５≤ｘ≤５， ｘ＋３＞０{ ， 解得 －３＜ｘ≤５， 即ｙ＝ ｆ（ｘ） ｘ＋槡 ３ 的定义域为（－３，５］． ２．由题，ｆ（ｘ）＝２ｘ为增函数，且２０．２ ＜２１ ＝２，２＝ ｌｏｇ２４＜ｌｏｇ２５，故２ ０．２＜２＜ｌｏｇ２５，所以ｆ（２ ０．２）＜ｆ（２） ＜ｆ（ｌｏｇ２５），即ａ＜ｂ＜ｃ． ３．因为函数ｙ＝２ｘ在Ｒ上单调递增，又函数ｆ（ｘ）＝ ２ｘ（ｘ－ａ）在区间（０，１）上单调递减，所以函数ｙ＝ｘ（ｘ－ａ） (＝ ｘ－ ａ)２ ２ －ａ ２ ４在区间（０，１）上单调递减，所以 ａ ２≥１，解得ａ≥２，即ａ的取值范围是［２，＋∞）． ４．因为ｆ（ｘ－１）为偶函数， 所以函数ｆ（ｘ）的图象关于ｘ＝－１对称， 又ｆ（ｘ）在［－１，＋∞）上单调递增， ｆ（ａ－１）≤ｆ（１），所以｜ａ－１＋１｜≤１＋１， 解得 －２≤ａ≤２． ５．由题图知函数ｆ（ｘ）的图象关于原点对称， 定义域为（－∞，０）∪（０，＋∞）． 对于（Ａ），ｆ（－ｘ）＝ｅ －ｘ＋ｅｘ ｜－ｘ｜ ＝ ｅｘ＋ｅ－ｘ ｜ｘ｜ ＝ｆ（ｘ），图 象关于ｙ轴对称，故（Ａ）错误； 对于（Ｃ），因为ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ｜ｘ｜的定义域为（０，＋∞）， 故（Ｃ）错误； 对于（Ｄ），当０＜ｘ＜１时，ｆ（ｘ）＜０，不符合题意，故 （Ｄ）错误； 对于（Ｂ），ｆ（－ｘ）＝ｅ －ｘ－ｅｘ ｜－ｘ｜ ＝ ｅ－ｘ－ｅｘ ｜ｘ｜ ＝－ｆ（ｘ）， 图象关于原点对称，且ｘ＞０时，ｆ（ｘ）＞０，符合题意， 故选（Ｂ）． ６．因为ｆ（ｘ）是定义在Ｒ上的奇函数， 所以ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ）， 又ｆ（２＋ｘ）＝ｆ（－ｘ），所以ｆ（２＋ｘ）＝－ｆ（ｘ）， 所以ｆ（４＋ｘ）＝－ｆ（２＋ｘ）＝ｆ（ｘ）， 则函数ｆ（ｘ）的周期为４， ｆ（３）＝ｆ（－１）＝－ｆ（１）＝－（３１－１）＝－２． ７．依题意有 ｖ（６）＝ａｂ６ ＝００５， ｖ（１２）＝ａｂ１２ ＝０１ { ， 解得 ｂ＝２ １ ６， ａ＝００２５{ ，故ｖ（ｔ）＝００２５×（２ １ ６）ｔ． 令ｖ（ｔ）＝１，得（２ １ ６）ｔ＝４０， 故ｔ＝ｌｏｇ２１６ ４０＝ ｌｇ４０ ｌｇ２ １ ６ ＝１＋２ｌｇ２１ ６ｌｇ２ ≈６×（１＋０６）０３ ＝３２． ８．由题可得函数ｆ（ｘ）的定义域为（－ｂ，＋∞）． 令ｌｎ（ｘ＋ｂ）＝０，解得ｘ＝１－ｂ． ①当ｘ＝１－ｂ时，ｆ（ｘ）＝０，满足题意，２ａ∈Ｒ； ②当 －ｂ＜ｘ＜１－ｂ时，ｌｎ（ｘ＋ｂ）＜０， 由ｆ（ｘ）≤０，得ｘ≤２ａ， 要使任意ｘ∈（－ｂ，１－ｂ），ｆ（ｘ）≤０恒成立， 则（－ｂ，１－ｂ）（－∞，２ａ］，所以２ａ≥１－ｂ； ③当ｘ＞１－ｂ时，ｌｎ（ｘ＋ｂ）＞０， 由ｆ（ｘ）≤０，得ｘ≥２ａ， 要使任意ｘ∈（１－ｂ，＋∞），ｆ（ｘ）≤０恒成立， 则（１－ｂ，＋∞）［２ａ，＋∞），所以２ａ≤１－ｂ； 综上，２ａ＝１－ｂ，即２ａ＋ｂ＝１． 又ａ２＋ｂ２ ＝ａ２＋（１－２ａ）２ ＝５ａ２－４ａ＋１ ＝ (５ ａ－ )２５ ２ ＋１５，ａ∈Ｒ， 当且仅当ａ＝２５，ｂ＝ １ ５时，ａ ２＋ｂ２取得最小值 １５． 二、多项选择题 ９．ＡＢＣ；　１０．ＢＣ；　１１．ＡＢＤ． 提示： ９．令ｘ－１＝１，解得ｘ＝２，且ｆ（２）＝ｌｏｇａ１＋４＝ ４，即函数ｆ（ｘ）的图象过定点（２，４），所以ｍ＋ｎ＝８，故 （Ａ）错误； 因为ｍ＞０，ｎ＞０，所以ｍ２＋ｎ２≥（ｍ＋ｎ） ２ ２ ＝３２， 当且仅当ｍ＝ｎ＝４时等号成立，故（Ｂ）错误； 因为ｍ＞０，ｎ＞０，所以ｍｎ (≤ ｍ＋ｎ)２ ２ ＝１６，当 且仅当ｍ＝ｎ＝４时等号成立，故（Ｃ）错误； 因为ｍ＞０，ｎ＞０，且 ｍ＋ｎ＝８，所以 １ｍ ＋ １ ｎ ＝ (１８ １ｍ ＋１ )ｎ （ｍ＋ｎ）＝ (１８ ２＋ｎｍ＋ｍ )ｎ ≥ (１８ ２＋ ２ ｎｍ· ｍ 槡 )ｎ ＝ １ ２，当且仅当ｍ＝ｎ＝４时等号成立，故 （Ｄ）正确． 故选（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）． １０．由题，易知（Ａ），（Ｂ），（Ｃ），（Ｄ）中函数的定义域 均为Ｒ， 对于选项（Ａ），ｆ（－ｘ）＋ｆ（ｘ）＝ｌｎ（ １＋９ｘ槡 ２ ＋ ３ｘ）＋ ｌｎ（ １＋９ｘ槡 ２ －３ｘ） ＝ ０， 则 ｆ（ｘ） ＝ ｌｎ（ １＋９ｘ槡 ２ －３ｘ）为奇函数，故（Ａ）不符合题意； 对于选项（Ｂ），ｆ（－ｘ）＝ｅ－ｘ＋ｅｘ ＝ｆ（ｘ）， 即ｆ（ｘ）＝ｅｘ＋ｅ－ｘ为偶函数， 当 ｘ∈（０，＋∞）时，设ｔ＝ｅｘ（ｔ＞１），则ｙ＝ｔ＋１ｔ， 由对勾函数性质可得，当ｔ∈（１，＋∞）时是增函数，又 ｔ＝ｅｘ单调递增，所以ｆ（ｘ）＝ｅｘ＋ｅ－ｘ在（０，＋∞）上单 调递增，故（Ｂ）符合题意； 对于选项（Ｃ），ｆ（－ｘ）＝（－ｘ）２＋１＝ｘ２＋１＝ｆ（ｘ）， 即ｆ（ｘ）＝ｘ２＋１为偶函数，对称轴为 ｘ＝０，则 ｆ（ｘ） ＝ｘ２＋１在（０，＋∞）上单调递增，故（Ｃ）符合题意； 对于选项（Ｄ），显然 ｙ＝ｃｏｓｘ＋３是偶函数，但在 （０，＋∞）上不恒增，故（Ｄ）不符合题意； 故选（Ｂ）（Ｃ）． １１．由题可得ｆ（１）＝ｇ（－３）＝１，故（Ａ）正确； 由ｇ（ｘ）＝ｆ（４＋ｘ）及ｆ（ｘ＋ｙ）＋ｆ（ｘ－ｙ）＝ｇ（ｘ －４）ｆ（ｙ）得ｆ（ｘ＋ｙ）＋ｆ（ｘ－ｙ）＝ｆ（ｘ）ｆ（ｙ）． 令ｘ＝１，ｙ＝０，可得ｆ（１）＋ｆ（１）＝ｆ（１）ｆ（０）， 又ｆ（１）＝１，解得ｆ（０）＝２． 令ｘ＝０，得ｆ（ｙ）＋ｆ（－ｙ）＝ｆ（０）ｆ（ｙ）＝２ｆ（ｙ）， 整理得ｆ（ｙ）＝ｆ（－ｙ），即ｆ（ｘ）＝ｆ（－ｘ）， 所以ｆ（ｘ）为偶函数，故（Ｂ）正确； 令ｙ＝１， 则ｆ（ｘ＋１）＋ｆ（ｘ－１）＝ｆ（ｘ）ｆ（１）＝ｆ（ｘ）， 所以ｆ（ｘ＋２）＋ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋１）， ① ｆ（ｘ＋３）＋ｆ（ｘ＋１）＝ｆ（ｘ＋２）， ② 联立①②可得ｆ（ｘ＋３）＋ｆ（ｘ）＝０， 则ｆ（ｘ＋６）＋ｆ（ｘ＋３）＝０，所以ｆ（ｘ＋６）＝ｆ（ｘ）， 即ｆ（ｘ）的周期为６，故（Ｃ）错误； 因为ｆ（ｘ＋３）＋ｆ（ｘ）＝０，且ｆ（１）＝１，ｆ（０）＝２， 令ｘ＝１，ｙ＝１，可得ｆ（２）＋ｆ（０）＝ｆ（１）ｆ（１）， 解得ｆ（２）＝－１， 则ｆ（３）＝－ｆ（０）＝－２，ｆ（４）＝－ｆ（１）＝－１， ｆ（５）＝－ｆ（２）＝１，ｆ（６）＝ｆ（０）＝２， 所以ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋ｆ（４）＋ｆ（５）＋ｆ（６）＝０， 又ｆ（ｘ）的周期为６， 所以∑ ２０２６ ｋ＝１ ｆ（ｋ）＝３３７×０＋ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋ ｆ（４）＝－３，故（Ｄ）正确． 故选（Ａ）（Ｂ）（Ｄ）． 三、填空题 １２．８；　１３ [． １４， )１３ ；　１４ [． 槡２３－１，１５]４ ． 提示： １２．由题可得 (ｆ 槡２)２ ＝ｌｏｇ２槡２２ ＝－ １２，所以 ( (ｆ ｆ 槡２) )２ (＝ｆ － )１２ (＝ )１４ －１２－１ ＝８． １３．因为对于任意实数 ｘ１≠ ｘ２，都有 ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２） ｘ１－ｘ２ ! " # $ !" 书 ＜０成立，所以函数 ｆ（ｘ）在 Ｒ上单调递减，所以 ３ａ－１＜０， ０＜ａ＜１， （３ａ－１）×１＋４ａ≥ａ２－１＋１２      ， 解得 １ ４≤ａ＜ １ ３， 所以实数ａ [的取值范围是 １４， )１３ ． １４．因为ｆ（ｘ）＝ｌｎ（ｘ－８）＋ｘ－９在（８，＋∞）上单 调递增，且ｆ（９）＝０，所以α＝９． 由｜α－β｜≤７，得｜９－β｜≤７，解得２≤β≤１６． 由题可得ｇ（ｘ）＝（ｌｏｇ２ｘ） ２－（ａ＋１）·ｌｏｇ２ｘ＋３在 区间［２，１６］上存在零点， 即方程（ｌｏｇ２ｘ） ２－（ａ＋１）·ｌｏｇ２ｘ＋３＝０在区间［２， １６］上存在实数根． 由（ｌｏｇ２ｘ） ２－（ａ＋１）·ｌｏｇ２ｘ＋３＝０， 得ａ＋１＝ （ｌｏｇ２ｘ） ２＋３ ｌｏｇ２ｘ ＝ｌｏｇ２ｘ＋ ３ ｌｏｇ２ｘ ， 令ｔ＝ｌｏｇ２ｘ（１≤ｔ≤４），则ａ＋１＝ｔ＋ ３ ｔ， 根据对勾函数的性质可知函数ｈ（ｔ）＝ｔ＋３ｔ在［１， 槡３）上单调递减，在（槡３，４］上单调递增． 又ｈ（１）＝４，ｈ（槡３）＝ 槡２３，ｈ（４）＝ １９ ４， 所以 槡２３≤ｈ（ｔ）≤ １９ ４，所以 槡２３≤ａ＋１≤ １９ ４， 解得 槡２３－１≤ａ≤ １５ ４， 即实数ａ [的取值范围是 槡２３－１，１５]４ ． 四、解答题 １５．解：（１）由函数ｆ（ｘ）的定义域为Ｒ知， 当ｆ（ｘ）为幂函数时， 应满足 ３ａ－２＝１， ２ｂ－１８＝０， ３ｃ－２＝０ { ， 或 ３ａ－２＝０， ２ｂ－１８＝１， ３ｃ－２＝０ { ， 解得ａ＝１，ｂ＝９，ｃ＝２３或ａ＝ ２ ３，ｂ＝ １９ ２，ｃ＝ ２ ３． （２）当ａ＝２３时，ｆ（ｘ）＝（２ｂ－１８）ｘ＋３ｃ－２（ｘ∈Ｒ）， 由题得２ｂ－１８＜０，解得０＜ｂ＜９，所以ａｂ＜６； 当ａ＞ ２３时，函数ｆ（ｘ）图象的对称轴为 ｘ＝９－ｂ３ａ－２， 由题得 ９－ｂ ３ａ－２≥３，整理得９ａ＋ｂ≤１５， 所以１５≥９ａ＋ｂ≥６槡ａｂ，解得ａｂ≤ ２５ ４， 当且仅当ａ＝ ５６，ｂ＝ １５ ２时等号成立． 综上，ａｂ的最大值为２５４． １６．解：（１）因为ｆ（ｘ）＝ｌｏｇａ（２－ｘ）＋ｌｏｇａ（ｘ＋４）， 所以 ２－ｘ＞０， ｘ＋４＞０{ ，解得 －４＜ｘ＜２， 即函数的定义域为（－４，２）， ｆ（ｘ）＝ｌｏｇａ［（２－ｘ）（ｘ＋４）］ ＝ｌｏｇａ（－ｘ ２－２ｘ＋８）＝ｌｏｇａ［－（ｘ＋１） ２＋９］， 因为ｙ＝－（ｘ＋１）２＋９在（－４，－１）上单调递增， 在（－１，２）上单调递减， 又ａ＞１，所以ｙ＝ｌｏｇａｘ在定义域上单调递增， 所以函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇａ［－（ｘ＋１） ２＋９］在（－４，－１） 上单调递增，在（－１，２）上单调递减． （２）由（１）令ｔ＝－（ｘ＋１）２＋９， 则ｔ∈（０，９］，ｆ（ｔ）＝ｌｏｇａｔ， 当ａ＞１时，函数ｆ（ｔ）＝ｌｏｇａｔ在（０，９］上单调递增， 函数不存在最小值，故舍去； 当０＜ａ＜１时，函数ｆ（ｔ）＝ｌｏｇａｔ在（０，９］上单调 递减，ｆ（ｔ）ｍｉｎ ＝ｆ（９）＝ｌｏｇａ９＝－ １ ２， 所以ａ－ １ ２ ＝９，解得ａ＝ １８１． １７．解：（１）由题可得ｆ（０）＝１ ４０ －ｂ ２０ ＝１－ｂ＝０， 解得ｂ＝１，即当ｘ∈［－１，０］时，ｆ（ｘ）＝ １ ４ｘ －１ ２ｘ ， 当ｘ∈（０，１］时，－ｘ∈［－１，０）， 所以ｆ（－ｘ）＝ １ ４－ｘ －１ ２－ｘ ＝４ｘ－２ｘ， 又因为ｆ（ｘ）＝－ｆ（－ｘ）， 所以ｆ（ｘ）＝２ｘ－４ｘ，ｘ∈（０，１］． （２）由（１）得：当ｘ∈（０，１］时，ｆ（ｘ）＝２ｘ－４ｘ， 令ｔ＝２ｘ（ｔ∈（１，２］）， 则ｆ（ｔ）＝ｔ－ｔ２，且ｆ（ｔ）在（１，２］上单调递减， 所以当ｔ＝２时，ｆ（ｔ）ｍｉｎ ＝－２，此时ｘ＝１， 即ｆ（ｘ）在（０，１］上的最小值为ｆ（１）＝－２， 因为对任意的ｘ∈（０，１］，总有ｆ（ｘ）≥ａ， 所以ａ≤ｆ（ｘ）ｍｉｎ，即ａ≤－２， 故实数ａ的取值范围是（－∞，－２］． １８．解：（１）当ａ＝３时， ｆ（ｘ）＝ ｘ２－ｘ，　　ｘ≥３， －ｘ２＋５ｘ，ｘ＜３ { ， 结合函数ｆ（ｘ）的图象可得其单调递增区间为 －∞，( )５２ 和（３，＋∞）． （２）由题意对任意的实数ｘ∈［１，２］， ｆ（ｘ）＜ｇ（ｘ）恒成立， 即ｘ｜ｘ－ａ｜＜１，当ｘ∈［１，２］恒成立， 即｜ｘ－ａ｜＜ １ｘ，ｘ－ １ ｘ ＜ａ＜ｘ＋ １ ｘ， 故只要ｘ－１ｘ＜ａ且ａ＜ｘ＋ １ ｘ在ｘ∈［１，２］上恒 成立即可，即当ｘ∈［１，２］时，只要ｘ－１ｘ的最大值小于 ａ且ｘ＋１ｘ的最小值大于ａ即可． 而当ｘ∈［１，２］时，ｘ－１( )ｘ ′＝１＋ １ ｘ２ ＞０， ｘ－１ｘ为增函数，ｘ－ １( )ｘ ｍａｘ＝ ３ ２； 当ｘ∈［１，２］时， ｘ＋１( )ｘ ′＝１－ １ ｘ２ ≥０， ｘ＋１ｘ为增函数，ｘ＋ １( )ｘ ｍｉｎ ＝２， 所以ａ (∈ ３２， )２ ． （３）当ａ∈［－２，２］时，ｆ（ｘ）在Ｒ上是增函数， 则关于ｘ的方程ｆ（ｘ）＝ｔｆ（ａ）不可能有三个不相等 的实数根； 当ａ∈（２，４］时，ｆ（ｘ）＝ ｘ２＋（２－ａ）ｘ，　ｘ≥ａ， －ｘ２＋（２＋ａ）ｘ，ｘ＜ａ { ， 则当 ｘ≥ ａ时，ｆ（ｘ）＝ｘ２＋（２－ａ）ｘ，对称轴 ｘ＝ ａ－２ ２ ＜ａ，则ｆ（ｘ）在ｘ∈［ａ，＋∞）为增函数， 此时ｆ（ｘ）的值域为［ｆ（ａ），＋∞）＝［２ａ，＋∞）； 当ｘ＜ａ时，ｆ（ｘ）＝－ｘ２＋（２＋ａ）ｘ，对称轴 ｘ＝ ａ＋２ ２ ＜ａ，则ｆ（ｘ）在ｘ∈ －∞， ａ＋２( ]２ 为增函数，此时 ｆ（ｘ） (的值域为 －∞，（ａ＋２）２]４ ，ｆ（ｘ）在 ｘ [∈ ａ＋２２ ， )ａ 为减函数，此时ｆ（ｘ） (的值域为 ２ａ，（ａ＋２）２]４ ． 则由题意，存在ａ∈（２，４］， 使得ｔ (∈ １，（ａ＋２）２８ )ａ 即可， 令ｇ（ａ）＝（ａ＋２） ２ ８ａ ＝ (１８ ａ＋４ａ＋ )４ ， 只要使ｔ＜ｇ（ａ）ｍａｘ即可， 而ｇ（ａ）在ａ∈（２，４］上是增函数， 所以ｇ（ａ）ｍａｘ＝ｇ（４）＝ ９ ８， 故实数ｔ的取值范围为 １，( )９８ ， 同理可得当ａ∈［－４，－２）时， ｔ的取值范围为 １，( )９８ ， 综上所述，实数ｔ的取值范围为 １，( )９８ ． １９．解：（１）函数ｙ＝ｓｉｎｘ－ｍ的导函数为ｙ′＝ｃｏｓｘ， 因为函数ｙ＝ｓｉｎｘ－ｍ（ｘ∈Ｒ）是“π２跃点”函数， 则方程 (ｓｉｎ ｘ０＋π )２ (－ｍ＝ π２＋ )１ ｃｏｓｘ０有解， 即 －ｍ＝π２ｃｏｓｘ０有解， 又ｃｏｓｘ０∈［－１，１］，则 －ｍ [∈ －π２，π ]２ ， 解得ｍ [∈ －π２，π ]２ ， 所以实数ｍ [的取值范围是 －π２，π ]２ ． ! " # $ !" 书 （２）函数ｙ＝ｘ２－ａｘ＋１，ｘ∈（－１，３）的导函数为 ｙ′＝２ｘ－ａ， 根据题意，方程（ｘ０＋１） ２－ａ（ｘ０＋１）＋１＝２（２ｘ０－ ａ）在（－１，３）上有两个不等实根， 即ｘ２０－（ａ＋２）ｘ０＋ａ＋２＝０在（－１，３）上有两个 不等实根． 令ｈ（ｘ）＝ｘ２－（ａ＋２）ｘ＋ａ＋２，ｘ∈（－１，３）， 则函数ｈ（ｘ）在（－１，３）上有两个不同零点， 所以 Δ＝（ａ＋２）２－４（ａ＋２）＞０， ｈ（－１）＝２ａ＋５＞０， ｈ（３）＝－２ａ＋５＞０， －１＜ａ＋２２ ＜３        ， 解得 －５２ ＜ａ＜－２或２＜ａ＜ ５ ２， 所以实数ａ (的取值范围是 －５２，－ )２ (∪ ２， )５２ ． （３）函数ｙ＝ｅｘ＋ｂｘ，ｘ∈Ｒ的导函数为ｙ′＝ｅｘ＋ｂ， 因为函数ｙ＝ｅｘ＋ｂｘ（ｘ∈Ｒ）是“１跃点”函数， 且在定义域内恰存在一个“１跃点”， 则方程ｅｘ０＋１＋ｂ（ｘ０＋１）＝２（ｅ ｘ０＋ｂ）在Ｒ上恰有 一个实数根，显然ｘ０≠１， 所以 －ｂ＝ｅ ｘ０＋１－２ｅｘ０ ｘ０－１ 在Ｒ上恰有一个实数根． 令ｇ（ｘ）＝ｅ ｘ＋１－２ｅｘ ｘ－１ ＝ （ｅ－２）ｅｘ ｘ－１ ， 则ｇ′（ｘ）＝（ｅ－２）ｅ ｘ（ｘ－２） （ｘ－１）２ ． 由ｇ′（ｘ）＞０，得ｘ＞２；由ｇ′（ｘ）＜０，得ｘ＜２且ｘ ≠１，且ｇ（２）＝ｅ２（ｅ－２）， 所以函数ｇ（ｘ）在（－∞，１）和（１，２］上单调递减，在 ［２，＋∞）上单调递增， 画出函数ｙ＝ｇ（ｘ）的大致图象（如下图）． 当 －ｂ∈（－∞，０）∪｛ｅ２（ｅ－２）｝时，直线ｙ＝－ｂ 与函数ｙ＝ｇ（ｘ）的图象有一个交点， 所以ｂ∈（０，＋∞）∪｛ｅ２（２－ｅ）｝， 即实数ｂ的取值范围是（０，＋∞）∪｛ｅ２（２－ｅ）｝． 高考数学信息优化卷（二） 三角函数参考答案 一、单项选择题 １～４　ＡＡＢＤ　５～８　ＣＤＢＣ 提示： １．因为 (ｃｏｓ α－π )３ －ｃｏｓα＝槡３２ｓｉｎα－１２ｃｏｓα＝ (ｓｉｎ α－π )６ ＝槡３２，所以 (ｃｏｓ２α－π )３ ＝１－２ｓｉｎ (２ α －π )６ ＝１－２ (× 槡３)２ ２ ＝－１２． ２．由题及正弦定理得 ａ ｓｉｎＡ＝ ｂ ｓｉｎＢ＝ ｂ ｓｉｎ２Ａ＝ ｂ ２ｓｉｎＡｃｏｓＡ， 所以ｃｏｓＡ＝ ｂ２ａ＝ ６ ２×４＝ ３ ４， 又Ａ∈（０，π），则ｓｉｎＡ＝ １－ｃｏｓ２槡 Ａ＝槡 ７ ４， ｓｉｎＢ＝ｓｉｎ２Ａ＝２ｓｉｎＡｃｏｓＡ＝ 槡３７８， ｃｏｓＢ＝ｃｏｓ２Ａ＝２ｃｏｓ２Ａ－１＝ １８， ｓｉｎＣ＝ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）＝ｓｉｎＡｃｏｓＢ＋ｃｏｓＡｓｉｎＢ＝ 槡５７１６， 由正弦定理 ａ ｓｉｎＡ＝ ｃ ｓｉｎＣ，得ｃ＝ ａｓｉｎＣ ｓｉｎＡ ＝５． ３．把ｙ＝ｓｉｎｘ＝ (ｃｏｓ ｘ－π )２ 上的所有点向左平移 π ２－ １ ３个单位长度，得到函数 ｙ＝ (ｃｏｓ ｘ－ )１３ 的图 象． ４．由“平行曲线”的性质可得函数ｆ（ｘ）的最小正周 期为Ｔ＝｜ＡＢ｜＝３， 则ω＝πＴ ＝ π ３，所以ｆ（ｘ）＝ (ｔａｎ π３ｘ＋π )６ ， 所以 (ｆ )３４ ＝ (ｔａｎ π３×３４＋π )６ ＝ (ｔａｎ π４＋ π )６ ＝ ｔａｎπ４＋ｔａｎ π ６ １－ｔａｎπ４×ｔａｎ π ６ ＝ １＋槡３３ １－槡３３ ＝２＋槡３． ５． (因为 →ＡＢ＋１２→ )ＢＣ ·→ (ＢＣ＝ １２→ＡＢ＋１２→ )ＡＣ · （ → →ＡＣ－ＡＢ）＝ １２（ →ＡＣ２ →－ＡＢ２）＝０， 所以 → →｜ＡＣ｜＝｜ＡＢ｜，即ｂ＝ｃ． 由ｂ＝２ｂｃｏｓＣ＋２ｃｃｏｓＢ及正弦定理， 得ｓｉｎＢ＝２ｓｉｎＢｃｏｓＣ＋２ｃｏｓＢｓｉｎＣ＝２ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ） ＝２ｓｉｎＡ， 所以ｂ＝２ａ＝ｃ，易得该等腰三角形底角的余弦值 为ｃｏｓＣ＝ １ ２ａ ｂ ＝ １ ４， 正弦值为ｓｉｎＣ＝ ｂ２ (－ １２ )ａ槡 ２ ｂ ＝ 槡１５ ４ ， 所以△ＡＢＣ是底角余弦值为 １４的等腰三角形． ６．由题可得ｆ（ｘ） (的图象关于点 π６， )０ 对称， 即对任意ｘ∈Ｒ，有ｆ（ｘ） (＋ｆ π３ )－ｘ ＝０， 取ｘ＝０，可得ｆ（０） (＋ｆ π )３ ＝槡３２＋ａ２ ＝０， 解得ａ＝－槡３． 所以ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘ－槡３ｃｏｓ２ｘ＝ (２ｓｉｎ ２ｘ－π )３ ， 令２ｘ－π３ ＝ π ２＋ｋπ，ｋ∈Ｚ， 可得ｆ（ｘ）的图象的对称轴为ｘ＝５π１２＋ ｋπ ２，ｋ∈Ｚ． 当ｋ＝０时，ｘ＝５π１２． ７．根据题意， (ｆ )１６ ＝ (２ｃｏｓ π６＋ )φ ＝０， 则 (ｃｏｓ π６＋ )φ ＝０． 由０＜φ＜π，得π６ ＜ π ６＋φ＜ ７π ６， 所以 π ６＋φ＝ π ２，解得φ＝ π ３， 故ｆ（ｘ）＝ (２ｃｏｓ πｘ＋π )３ ． 所以ｆ（ｘ）的最大值为２，最小值为 －２． 由｜ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）｜＝４（０＜ｘ１ ＜ｘ２）可得， 当ｘ１＋ｘ２最小时，πｘ１＋ π ３ ＝π，πｘ２＋ π ３ ＝２π， 解得ｘ１ ＝ ２ ３，ｘ２ ＝ ５ ３， 所以ｘ１＋ｘ２的最小值为 ２ ３＋ ５ ３ ＝ ７ ３． ８．因为ＡＤ∶ＤＣ＝３∶１，所以ＤＣ＝ １４ＡＣ＝１， Ｓ△ＡＥＤ ＝Ｓ△ＡＣＥ －Ｓ△ＤＥＣ ＝ １２ＡＣ·ＣＥ－ １ ２ＤＣ·ＣＥ ＝ １２ＡＣ·ＣＥ－ １ ２· １ ４ＡＣ·ＣＥ＝ ３ ８ＡＣ·ＣＥ， 因为ＡＣ＝４，ＣＥ≤ＣＢ，ＡＣ－ＤＣ＝３，ＡＣ·ＤＣ＝４． 而在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝π２，∠Ｂ＝ π ６，ＡＣ＝４， 得ＣＢ＝ 槡４３，∠ＡＥＤ＝∠ＡＥＣ－∠ＤＥＣ， 设∠ＡＥＤ＝θ，∠ＡＥＣ＝α，∠ＤＥＣ＝β， 由题图知：在△ＡＣＥ中，ｔａｎα＝ＡＣＣＥ， 在△ＤＥＣ中ｔａｎβ＝ＤＣＣＥ， 则ｔａｎθ＝ｔａｎ（α－β）＝ ｔａｎα－ｔａｎβ１＋ｔａｎα·ｔａｎβ ＝ ＡＣ ＣＥ－ ＤＣ ＣＥ １＋ＡＣＣＥ· ＤＣ ＣＥ ＝（ＡＣ－ＤＣ）·ＣＥ ＣＥ２＋ＡＣ·ＤＣ ＝ ３ＣＥ ＣＥ２＋４ ＝ ３ ＣＥ＋４ＣＥ ≤ ３ ２ ＣＥ· ４槡 ＣＥ ＝ ３４， 当且仅当ＣＥ＝ ４ＣＥ，即ＣＥ＝２时，ｔａｎθ最大， 即∠ＡＥＤ最大，此时△ＡＥＤ的面积为３８×４×２＝３． 二、多项选择题 ９．ＣＤ；　１０．ＡＣＤ；　１１．ＢＣ． 提示： ９．在△ＡＢＣ中，ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）＝ｃｏｓ（π－Ｃ）＝－ｃｏｓＣ， !"! #"$% #"&!!" 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