《教理报》高考数学信息优化卷(七)——导数及其应用-【数理报】2025年高考数学专项提分

书 第Ⅰ卷 选择题 （共５８分） 一、单项选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．已知ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ－３ｆ′（ｅ）ｘ，则ｆ（ｅ）＝ （　　） （Ａ）－３ （Ｂ）１ｅ－３ （Ｃ）１－ｅ （Ｄ） １ ４ ２．函数ｆ（ｘ）＝ｌｎ（ｅｘ＋１）－ｘ２ （　　） （Ａ）是偶函数，且在区间（０，＋∞）上单调递增 （Ｂ）是偶函数，且在区间（０，＋∞）上单调递减 （Ｃ）是奇函数，且在区间（０，＋∞）上单调递增 （Ｄ）既不是奇函数，也不是偶函数 ３．设函数ｆ（ｘ）＝ｅ ｘ＋２ｓｉｎｘ １＋ｘ２ ，则曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（０，１）处的 切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 （　　） （Ａ）１６ （Ｂ） １ ３ （Ｃ） １ ２ （Ｄ） ２ ３ ４．当ｘ＝１时，函数ｆ（ｘ）＝ａｌｎｘ＋ｂｘ２＋３取得最大值２，则ｆ（３） ＝ （　　） （Ａ）２ｌｎ３＋２ （Ｂ）－１６３ （Ｃ）２ｌｎ３－６ （Ｄ）－４ ５．若函数ｆ（ｘ）＝１２ｓｉｎ２ｘ－ａｃｏｓｘ在（０，π）上单调递增，则ａ的 取值范围是 （　　） （Ａ）（－∞，－１］ （Ｂ）［－１，＋∞） （Ｃ）（－∞，１］ （Ｄ）［１，＋∞） ６．已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ与ｇ（ｘ）的图象关于直线ｙ＝ｘ对称，直 线ｌ与ｇ（ｘ），ｈ（ｘ）＝ｅｘ＋１－１的图象均相切，则ｌ的倾斜角为 （　　） （Ａ）π６ （Ｂ） π ４ （Ｃ） π ３ （Ｄ） ３π ４ ７．已知函数ｙ＝ｆ（ｘ）满足ｘｆ′（ｘ）＞（ｘ－１）ｆ（ｘ），且ｆ（１）＝ｅ，则 不等式ｌｎｘｆ（ｌｎｘ）＞ｘ的解为 （　　） （Ａ）（ｅ，＋∞） （Ｂ）（０，ｅ） （Ｃ）（１，＋∞） （Ｄ）（０，１） ８．已知ａ＝ｅ０１－１，ｂ＝２２１，ｃ＝ｌｎ１１，则 （　　） （Ａ）ｂ＜ａ＜ｃ （Ｂ）ｃ＜ａ＜ｂ （Ｃ）ｃ＜ｂ＜ａ （Ｄ）ｂ＜ｃ＜ａ 二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分． ９．已知函数ｆ（ｘ）＝－ｘ ｅｘ ，则下列说法正确的是 （　　） （Ａ）ｆ（ｘ） (的极值点为 １，－１)ｅ （Ｂ）ｆ（ｘ）的最小值为 －１ｅ （Ｃ）ｆ（ｘ）有两个零点 （Ｄ）直线ｙ＝１ ｅ２ ｘ－４ ｅ２ 是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的一条切线 １０．在直角坐标系内，由Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四点所确定的“Ｎ型函数”指 的是三次函数ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ（ａ≠０），其图象过Ａ，Ｄ两 点，且ｆ（ｘ）的图象在点Ａ处的切线经过点Ｂ，在点Ｄ处的切线经过点 Ｃ．若将由Ａ（０，０），Ｂ（１，４），Ｃ（３，２），Ｄ（４，０）四点所确定的“Ｎ型函 数”记为ｙ＝ｆ（ｘ），则下列选项正确的是 （　　） （Ａ）曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点Ｄ处的切线方程为ｙ＝－２ｘ＋８ （Ｂ）ｆ（ｘ）＝１８ｘ（ｘ－４）（ｘ－８） （Ｃ）曲线ｙ＝ｆ（ｘ）关于点（４，０）对称 （Ｄ）当４≤ｘ≤６时，ｆ（ｘ）≥０ １１．已知函数ｆ（ｘ）及其导函数ｆ′（ｘ）的定义域均为 Ｒ，若函数 ｙ＝ｆ（３－２ｘ）为奇函数，函数ｙ＝１３ｘ－ｆ（ｘ＋２）为偶函数，ｇ（ｘ）＝ ｆ′（ｘ），则 （　　） （Ａ）ｇ（０）＝２３ （Ｂ）ｇ（４）＝ １ ３ （Ｃ）ｇ（０）＋ｇ（２）＝２３ （Ｄ）ｇ（４）－ｇ（６）＝ ２ ３ 第Ⅱ卷 非选择题 （共９２分） 三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分． １２．已知过点（０，ａ）可作三条直线与曲线ｆ（ｘ）＝ｘ ３ ３－ｘ ２＋１相 切，则实数ａ的取值范围是 ． １３．已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ３＋ｍｘ，若ｆ（ｅｘ）≥ｆ（ｘ＋１）对ｘ∈Ｒ恒 成立，则实数ｍ的取值范围是 ． １４．定义：若函数 ｆ（ｘ）图象上存在相异的两点 Ｐ，Ｑ满足曲线 ｙ＝ｆ（ｘ）在Ｐ和Ｑ处的切线重合，则称ｆ（ｘ）是“重切函数”，Ｐ，Ｑ为 曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的“双重切点”，直线ＰＱ为曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的“双重切 线”．由上述定义可知曲线ｆ（ｘ）＝ｘ３＋１ｘ的“双重切线”的方程为 ． 四、解答题：本题共５小题，共７７分． １５．（１３分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｅｘ－ａｘ－１． （１）当ａ＝１时，求ｆ（ｘ）的极值； （２）若ｆ（ｘ）≤ｘ２在ｘ∈［０，＋∞）上有解，求实数ａ的取值范 围． １６．（１５分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｘｅ－ｘ． （１）求函数ｆ（ｘ）的单调区间与极值； （２）已知函数ｆ（ｘ）与函数ｇ（ｘ）的图象关于直线ｘ＝１对称．证 明：当ｘ＞１时，不等式ｆ（ｘ）＞ｇ（ｘ）恒成立． ! " # $ % & ' " ( ) & * + , - . / 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 " : $ ; & ' " ( ) & * + , - . / 0 1 2 3 4 5 < 7 8 !"# !"#$%&'()*+ ! !"#$%&'()* !"#$%&'"( )*+,-./0 书 １７．（１５分）设函数ｆ（ｘ）＝ｘ－ｘ３ｅａｘ＋ｂ，曲线 ｙ＝ｆ（ｘ）在点（１， ｆ（１））处的切线方程为ｙ＝－ｘ＋１． （１）求ａ，ｂ的值； （２）设函数ｇ（ｘ）＝ｆ′（ｘ），求ｇ（ｘ）的单调区间； （３）求ｆ（ｘ）的极值点个数． １８．（１７分）已知函数ｆ（ｘ） (＝ １ｘ )＋ａ ｌｎ（１＋ｘ）． （１）当ａ＝－１时，求曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（１，ｆ（１））处的切线方 程； （２）是否存在ａ，ｂ，使得曲线 (ｙ＝ｆ １)ｘ 关于直线ｘ＝ｂ对称？若 存在，求ａ，ｂ的值；若不存在，说明理由． （３）若ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上存在极值，求ａ的取值范围． １９．（１７分）给出以下三个材料：①若函数ｆ（ｘ）可导，我们通常 把导函数ｆ′（ｘ）的导数叫做ｆ（ｘ）的二阶导数，记作ｆ″（ｘ）．类似地， 二阶导数的导数叫做三阶导数，记作ｆ（ｘ），三阶导数的导数叫做四 阶导数……一般地，ｎ－１阶导数的导数叫做ｎ阶导数，记作ｆ（ｎ）（ｘ） ＝［ｆ（ｎ－１）（ｘ）］′，ｎ≥４．②若ｎ∈Ｎ＋，定义ｎ！＝ｎ×（ｎ－１）×（ｎ－ ２）×… ×３×２×１．③若函数ｆ（ｘ）在包含ｘ０的某个开区间（ａ，ｂ） 上具有 ｎ阶导数，那么对于任一 ｘ∈ （ａ，ｂ）有 ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ０）＋ ｆ′（ｘ０） １！ （ｘ－ｘ０）＋ ｆ″（ｘ０） ２！ （ｘ－ｘ０） ２ ＋ ｆ（ｘ０） ３！ （ｘ－ｘ０） ３ ＋… ＋ ｆ（ｎ）（ｘ０） ｎ！ （ｘ－ｘ０） ｎ，我们将ｇ（ｘ）称为函数ｆ（ｘ）在点ｘ＝ｘ０处的ｎ阶 泰勒展开式．例如，ｙ＝ｅｘ在点ｘ＝０处的ｎ阶泰勒展开式为１＋ｘ＋ １ ２ｘ ２＋… ＋１ｎ！ｘ ｎ．根据以上三个材料，完成下面的题目． （１）求出ｆ１（ｘ）＝ｓｉｎｘ在点ｘ＝０处的３阶泰勒展开式ｇ１（ｘ）， 并直接写出ｆ２（ｘ）＝ｃｏｓｘ在点ｘ＝０处的３阶泰勒展开式ｇ２（ｘ）； （２）比较（１）中ｆ１（ｘ）与ｇ１（ｘ）的大小； （３）已知ｙ＝ｅｘ不小于其在点ｘ＝０处的３阶泰勒展开式，证明： ｅｘ＋ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ≥２＋２ｘ． !"#$%&'()*+ !" ,- !"# ! " # $ % & ' " ( ) & * + , - . / 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 " : $ ; & ' " ( ) & * + , - . / 0 1 2 3 4 5 < 7 8 40 参考答案 数理极 %>P.而10=得 =3, 以不等式的解集是(：，+)， P(N)' 所以该切线方程为y-1=3x,即y=3x+1. 8.f(x)=e-x-1f'(x)=e'-1, 所以P(MIN)>P(M)成立， ②解：因为事件E:B课外知识讲座有同学选择 令x=0则y=1,令y=0则=-方 当x∈(-x,0)时f(x)<0了(x)为减函数. 当x∈(0，+)时f'(x)>0f(x)为增函数， 只事件E:B课外知识讲座没有同学选择. 所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积 所以f(x)≥f(0)=0, )可知P因=G(兮)广（号）广=芳 则f(0.1)>0,即-1>0.1. 所以P(B)=1-m面：号 设g(x)=lnx-x+1(x>0), 4.由慰得∫"()=日+2 因为事件F:至少有两个课外知识讲座有屑学选择， 又当x■1时，函数f(x》■aln+x2+3取得最大 w=1 则事件F:只有一个课外知识讲座有同学选择，由题得 n万：号专P(月1-Pr万=号 值2.航以/)=21)=0.即+32 当x∈(0,1)时，g(x)>0,g(x)为增函数， a+2h=0, 当x(1,+)时，g(x)<0,g(x)为诫函数， 解得6=-1，a=2.所以f(x)=2lnx-x2+3, 以g(x)≤g(1)=0, 事件F:至少有两个课外知识讲座有同学选择且B 则g(1.1)<0,即m1.1<0.1.以a>G 课外知识讲座有同学选释，分为两种情况： fr(x)▣2-2x=21-1+x>0. 2x 种是三个课外知识讲座都有同学选择： 设()=ln(x+)-+2x>-), 易得f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+￥)上单调 4 另一种是两个课外知识讲座都有同学选择且B课外逸减，即(x)在=1处取得最大值，符台题意 )"x+0+2"+x+2T>0 知识讲座有同学选择，此时A或者C课外知识讲座是没 以f(3)=2l加3-6. 以(x)为增函数.则h(0.1)>h(0)=0, 有同学选择的，按照1,2分组即可， ccG=号 5因为函数/()=in2x-aos在(0，)上单 1>品航c>么 故P(EF)= 3￥ 33 调递增 综上，b<<m 所以P(EF)+P(E)P(F), 阴以f"《)=c0s2x+inx≥0在(0.π)上恒成立 二、多项选择题 即事件E,F不相互独立 即1-2im2x+si加x≥0在(0，π)上恒成立. 9.BD:10.ABC:11.BC. D(E.F)=P(EF)-P(E)(F) 令1=sinx,4e(0,1], 提示： P(E)P(E)P(F)P(F) 导-9x号 航以a≥2-}在(0.，门上恒成立 男因为国-专所以国)= 5四 76 又y=24-十在(0,1)上单调递增。 令f'(x)<0解得x<1:令f"(x)>0,解得x>1 所以(x)在(-x,1)上单调递减，在(1，+x)上 期当1=1时，ym=1, 高考数学信息优化卷（七） 单调递增，则f(x)在x=1处取得唯一极小值，也是 所以a≥1. 导数及其应用参考答案 f(x)的最小值，以f(x)的极值点为1，(A)错误： 6,因为函数∫(x)=nx与g(x)的图象关于直线 一、单项选择题 y=x对称，所以f(x》=lnx与g(x)互为反函数， 因为)=-。，所以的最小值为-÷，（® I≈4DAAC5~8DBAD 所以g(x)=。,则g(x)=e. 正确： 提示： 由h(x)=c4-1得h'(x)=e 当x<1时，0)=0：当x>1时/()=-专<0， 1.由f(x)=nx-3f(e)x,得f“(x)= 设直线1与函数g(x)=的图象的切点坐标为 以f(x)有且仅有一个零点，(C》错误： (,心")，与函数h(x)=。-1的图象的切点坐标为 (o),所以(e=是-3(o),解得"o)=所 (1,e24-1）, 令f)==吉解得=2.所以点为. 以Ua=h-是e)=ae-是xe=子 则直线1的斜率青=e”=e“,故出=+1， 2.因为f(x)的定义域为R,关于原点对称， 显然故。心：山， 是曲线y=f(x)的一条切线，(D)正确 (-)=la(e'+)+壹=n(e+)-x+受 所以直线1的顿斜角为平 故选(B)(D). =a(e+0-受=fm, 7.令1nx=t,则不等式1n对f(lnx)>x换元后得 a因为直线D的斜率号二号=-2.房所以直线D 所以f(x)是阴函数 f()>心，构造数g(x)。过( 的方程为y-0=-2(x-4),即y=-2x+8,故(4)正 确： 当>0时)=12>0 6-1 则g国=')--1f田>0. 因为f(x)的图象过点A(0,0)及D(4.0).所以 e 所以∫(x)在区间(0，+x)上单调递抛 「(x)有两个零点0,4，故可设∫(x)=x(x-4)(:+ 函数g(x)单调递增，且g(1)=1, 3.由题得f“(x)■ m)(其中k≠0).则f'(x)=x(x-4)+(红+m)(24 (e'2cos)(1)-(e'2sinx).2x 所以不等式()>c=四>1=g). (1+x2)2 -4),由f'(0)=4(4)=-2.得m=-1,k=g,所 则f'(0)=e°+2s0)1+0)-(e+2sin0)x0 即g(t)>g(1), (1+0) 所以t>1,所以nx>1.解得x>e. )=名x-4:-8),故围)正确： 数理极 参考答案 41 由选项(B)可知f(x)+了(8-x)=0,所以曲线 当0<x<1时g《x)>0,g(x)单调递增： 整理得G=1.解得x1=1或x=-1, y=f(x)关于点(4,0)对称.故(C)正确： 当x>1时，g(x)<0g(x)单调递减 以存在两点(1,2)，(-1，-2)满足条件， 当4≤x≤6时，有x-4≥0x-8<0,所以∫(x) 又g0)=l,eD=于 所以两点(1,2)，(-1，-2)确定的直线即为曲线 ≤0，故(D)不正确 (国=+士的双敢切线。 故选(A)(B)(C). 所以当1<<专时.方程g():有3个不同的 由直线的两点式方程可得y■2x: 1L.由y=f(3-2x)为奇数可得 实数根，即当1<。<专时.有3个不码的与满足方程 了(3-2x)=-f(3+2x),即f3-x)=-f(3+x). 肌以由线)=+女的双重切线"的方程为 所以'(3-x)=f"(3+x). 。=一子式+矿+1.即过点(0。)可作三条直线与油线 y 2r. 即f'(3-)-了(3+x)=0. )=号-+1相现 四、解答题 即g(3-)-g(3+)=0, 15.解：(1)当4=1时/(x)=e-x-1, 所以函数y=g(x)的图象关于直线x=3对称 13.设h(x)=e-(x+1),则h'(x)=e-1. 以f(x)=e-【, 当x<0时，h'(x)=e-1<0: 由y=子-f八：+2)为偶函数可得 当r<0时f"(x)<0:当x>0时f"(x)>0, 当x>0时.'(x)=e-1>0. 以∫(x)在(-，0)上单调递减， y=青-x+2)为奇函数。 所以(x)在(-，0)上单调递减，在(0，+0)上 在(0，+)上单调递增， 单调递增，则h(x)≥h(0)=0,即。≥x+1 所以写-f'+2)+--+2)=0, 所以当x=0时函数∫(x)有极小值f(0)=0, 设=“，而=x+1, 无极大值， 即+2)+8-+2)=子 则f(e)≥f(x+I)对x∈R恒成立， (2)因为f(x)≤在x∈[0，+0）上有解， 车价于对于任意x,≥，都有()≥∫（红， 所以函数y=)的图象关于点.兮）对称 所以。-2-ar-1≤0在xe【0,+）上有解， 以f(x)=x3+mr为R上的增函数. 当x=0时，不等式成立，此时aeR, 将x=0f代人g红+2)+g-+2)=号 则f'(x)=3x2+m≥0恒成立， 当x>0时. 即m多-3x恒成立. 得g2)=分 以实数m的取值范围是[0，+∞) a≥号-(+士）在e(0,+0)上有解。 将x=1代入(3-x)-(3+x)=0, 14.因为)=2+期以)=3-之 令()=号-(+） 得g4)=方，(B)正确： 其定义域为(-，0)U(0.+), 则-( x 将=2代入g+2)+-+2)= 又f'(-x)▣f"(x) =-1c-x-1 得g4)+g0)=子，则g0)=子，()错溪 所以函数了”()=3护-寺为偶函数 由(1)知x>0时f(x)>f(0)即e-x-1>0, 40)+s2)=号+号=子，(C)正确 令)=八)=3-则)=6+子 当0<x<1时g(x<0:当x>1时g(x)>0, 当x<0时，h(x)<0:当x>0时，h'(x)>0, 将x=3代人g(3-x)-g(3+x)=0, 所以g(x)在(0,1)上单调递减， 在(1，+x)上单调递增， 得g0)-6)=0,则6)=子 所以6()=)=3对-之在(-，0)上单调 所以当x=1时，g(x)m=e-2,所以a多e-2, 递减，在(0，+x）上单调递增 11 所以g(4)-86)=方-方=0.(D)错误 综上可知，实数a的取值范围是[e-2,+). 所以必存在两个不相等的实数x4,使得(x)= 故选(B)(C) 16,(1)解：由f(x)=e得f'(x)=(1-x)e”, "(),且x1+=0. 三、填空题 当xe(-,1)时f'(x)>0: 不访设调切点为P(出·）Q(乌。+） 当xe(1,+)时f"(x)<0, 2.（.号：10.+m:4y=2x 且1 所以函数∫(x)的单递增区间为(-，1)，单调递 提示： 因为丽数了(x)=+,其定义城为-￥，0)U 减区间为(1，+。)， x 12.由随得f"(x)=x2-2x 设点(x(x)为曲线y=f(x)的切点， (0,+),又f(-x)=-x), 且当=1时，函数()的极大值为)=。，无 极小值 则切线方程为y-f(名)=(-2x,)(x-x) 所航以函数了)=+为奇函数 (2)证明：因为函数∫(x)与函数g(x)的图象关于 整理得y=(候-24-子++1， 又+，■0，所以两切点P,Q关于原点对称， 直线x=1对称， 即此时切线斜率表=了'(x)=km=km 将点(0)代入可得a=一子+云+山 所以g(x)=f(2-x)=(2-x)e +-0 则f(x)-gx)=e”+(x-2)e 令)=-++1 令h(x)=f(x)-g(x)(x>1), 则g()=-2x3+2x=2x(1-x). +1-0 当x<0时，g(x)<0g(x)单调递减： 即3站-0 则'(x)=(1-x)e+(x-1)e =(x-1)(e-2-1)e°， 42 参考答案 数理极 当x>1时，b'(x)>0,所以函数h(x)在(1，+x) 令0=）=c+an+） 当0<x<1-24时.h'(x)<0, 上单调递增.则h(x)>(1)=0, 故当x>1时，不等式f(x)>g(x)值成立 =(x+a)n 当>1-20时，(x)>0 17.解：(1)由题得f'(x)=1-(3x2+x)e, 因为曲线y=g(x)关于直线x=6对称. 院以4()在(0，，）上单调途减，在(。 切点为(1.0). 丽以g(x)=g{2b-x), 奥)e1-e=0 即(e+a)n+1=(2h-x+)n2-+1 +）上单递端肌以A(。产）<0)=0， 2h-x y'(1)=1-(3+a)e4=-1, 又当x→+g时，h(x)→+ 解得a=-1,b=1. c-2冰-加 期開以存在名e(。之a+)使得()=0， (2)由(1)得x)=x-x。, g(x)=f"(x）=1+(x2-3x2)e 于2-. =2 即当0<x<时，h(x)<0x)单调递诚。 得 当x>时，h(x)>0八x)单调递增， 则g'(x)▣(3x2-6-+3x2)e4 1=-2b, b=- 光时y=八x)有极小值点。： =*(-x2+6g-6)6, 令g'(x)>0,解得x<0或3-3<x<3+3: 缘上所述，a的取值范国是(0，) 令g'(x)<0,解得0<￥<3-5或x>3+5. g0=（+)(+） 19,(1)解：因为f1(x)=c08x, 所以g(x)的单调递增区间为 g-1-)=（-h产 f(x)=-sintf"(x)=-cosx, 以f1(0)=17(0)=0f”(0)=-1, (-0,0),(3-33+3): g(x)的单调递减区间为 =()h,=(+)h 院)m0+-0)+品-0产+ (0,3-3),(3+3,+). =（e+)(+）=0, x-0,即)=-. (3)因为(x)=(x-3)x2e+1. ①当x(-￥，0)时，(x)单调递增， 所以曲线，=()关于直线x=一子对称，满足回 同理可得经（知=1-2 g(-1)-4e2+1<0g0)=1>0, (2):由知=in,8)=右， 由零点存在定理阅3，∈(-1,0)，使行g()=0, 故存在a6,使得曲线r=仁）关于直线=6对 所以爪x)在(-，0)上有且仅有一个极小值点： 令h)=f()-8(x)=m-+6: ②当xa(0,3-v5)时，g(x）单调递减， 称，且a=6= 则()s-1+, g(1)=-1<0,g(0)=1>0, 3r'()=-n1+)+(侵+a)小+ 所以h(x)=-inx+x,(x)=1-e0sx≥0. 所以存在∈(0,1)，使得g(x,)=0, -a2+x-(1+x)ln(1+x 以”(x)在R上单调递增，又(0)=0. 丽以)在(0,3-5)上有且仅有一个极大值点： (I+x) 以当xe(-,0)时，h(x)<0,h'(x)单调递 ③当￥∈(3-33+3)时，g(x)单调递增， .1 诚：当xe(0,+)时，4(x）>0,'《x)单调递增. -(x>0) g(3)=1>0,g(2)=-4+1<0. 所以[h'(x)]='(0)=1-1+0=0, e 航以'(x)≥0， 所以存在∈(2,3)，使得g()=0, 设(x)=r+-n(1+x). +1 所以(x)在R上单调递增，又(0)=0， 所以x)在(3-3,3+5)上有且仅有一个极小 则6'(x)=ar+2ar+1.1 (x+1)+1 以当xe(-3,0)时，h(x)<0: 值点： 。+(2-1)江。（世+24-1 当rE(0,+￥)时，h(x)>0. ④当(3+5，+x)时，g(x)>0恒成立， (x+1)3 (x+1)3 综上所述，当x<0时(x)<g():当x=0时， 所以真x)在(3+√5，+。)上没有极大值点和极小 ①当a≤0时，2a-1<0,当x>0时，h'()<0,(x)=g(x):当x>0时(x)>(. 值点， 所以(x)在(0，+%）上单调递诚。 (3)证明：令9(x)=(x）-2(x) 综上所达代x)有3个极值点 以当x>0时，h(x)<h(0)=0,即f'(x)<0, =m-1+ 所以尺x)在(0，+x)上单调递减，无极值，不满足 据：)当a=-1时到=（任-n1+. 则g'(x)=-inx+x, 意 以g"(x)=1-cosx≥0. g)=-1+0+(任-小 ②当0≥2时2a-1≥0，当>0时，h()>0, 航以e(x)在R上单调递增， 所以f'(1)=-ln2,又1)=0， 所以h(x)在(0，+）上单调递增. 又g'(0)=0.当x后(-，0)时.g'(x)<0: 所以所求线方程为y-0=-n2(x-1). 所以当x>0时，h(x)>h(0)=0.即f"(x)>0. 当xe(0,+第)时.9'(x）>0, 即xn2+y-ln2=0. 所以爪x)在(0，+)上单调递增，无极值，不满足 所以中(x)在(-，0)上单调递减，在(0，+0)上 (2)假设存在a6,使得曲线y=(）关于直线题意 单调递增， x■对称 ③当0<a<分时，令h()=0,得x=12 所以p多e0)=0.即m≥1-之 数理报 参考答案 43 因为y=:在点x=0处的3阶泰勒展开式为 得m(x-1)-米+2y+3=0, 1不防设圆与渐近线y:合交于M,N点，如图2 1+++ x-1=0, 联立 解得x=1,y=-1, 【-x+2y+3=0, 所以心≥1+++石， 即直线1过定点P(1,-1. 当且仅当：=0时等号成立， 因为12+(-1)产-6-6<0，所以定点P在圆C内 ①当≥0时，由(2)可知n≥一名，当且仅 当CP⊥I时，|AB1取得最小值， 此时1CP1=√(1-3)+(-1+3)=22. 当x=0时等号成立，所以e+sinx+心o9x≥【+喜+ 所以1AB1的最小值为2√18-(22)=2√而. 由短得tan L MOA=占， 京+)+(-）+-之）=2+2x 当直线1经过圆C的圆心时，取得最大值62。 则ew∠w01=兰，eos∠01=~号 ②当x<0时.设F(x)=r+inx+0sx-2-2x 以1AB1∈【210.6,2]. 设1示1=m,则10=3m, 4.如图1所示， F(0)=0.F"(x)=+cosx-sinx-2 =+Zeos(x 由余弦定理得 COsLMOA =10A10M1 20A1+|0M1 +晋）-2.F(x)=-in-ms .+m-&:g】 当e(-1,0)时.由(2)可知m<x-名， ce∠N0A=L0A'+1ON13-⊥N41E 所以F“(x)=e-inx-cosx 210A10N1 因为点B关于1的对称点为M,则1AM|=|AB1. >1+++石+--m 因为IAF,I+IAB1+IBFI=(IAFI+1AF,1) =1-m+石(3+2)>0， +(1BF,I+BF:I)=4, 航以c+9ae-6=6ndD 且AB1=a, La'e me-be =-2ma2 即有F(x)<F"(0)=0. 所以1AF,1+|BF,I=3a, 当xe-,-时，F(ue+icms(+晋) ①-②得8amc=8nm,则m= 所新斯 BFI IBF I 将③代人①中得 -2<+-2<+万-2<0， =名可得1欧1：票 c+(）- 所以当x<0时，F(x)单调递减，从而F(x)>F(0) 整理得m2+3=e2,又2=c2-2, =0,即e+imx+eox>2+2x 则13欧1：部 聊以ac2+3=c2(c2-a)=-ac, 综上所达，e+im米+0sx≥2+2x 丽以112山成，1战-音 即c-3a-2ae2=0. 高考数学信息优化卷（八） 以e-2e2-3=(e2-3)(e3+1)=0, 5.由题可知A的纵坐标为1，设A(,1)(x,<0), 解析几何参考答案 解得。=3，即e=3 可得=-25，所以kw0--2万 2-1 8.设M(,y)到定点F,(-2.0),F(2.0)的距离之 一、单项选择题 1 ~4 CABD 5 ~8 ABBC 所以直线4F的方程为，=孕+2。 积为4. 可得V(x+2)2+7.(x-2)+7=4, 提示： 将其代入x3=8y,得x2-22x-16=0, 整理得(x2+y2)=8(x-y2), 1.当m=2时，直线4：2x+2y-1=0. 设A(1出)，B(为)，则，+=22. 因为点P(,%)是双绍线C上一点， 423x+3y+1=0,则{∥4： 当%时品·号≠十解得m2 +%=(停+2+（停+2 航以（孟+）产=8（号-）， 又点P关于x轴的对称点为P(无，一%) 所以m=2”是“，∥4”的充要条件 +64x2万4=5 则(+(-)产)2=8（希-(-）). 2由y=子得焦点坐标为0，） 所以1AB1=+为+p=5+4=9 所以点P,在双纽线C上，故双组线C关于x轴对称， 6.依题意a=3.b=6,c=Va-不=及.不站令 同理可得.双纽线C关于y轴对称， 双曲线号-千=1的新近线方程为y票士反， F,(-3,0).E(3,0).设1PF,1=m,1PF1=n,在 ①不正确，②2正确： 即士2x-y0. △FP5,中，msLR,PR=+卫=；D,由相圆 x2+y)2=8(2-y23), 联立方程组 2mn 所以焦点(0,4）到渐近线±瓦x-y=0的距离 y=, 的定义可得m+A=2a=62由①2，解得m=号 解得x=0,y=0, 所以直线y=x与双纽线C只有+个交点O(0,0): 2+了 因为0=(PF+PF,航以1Pm12=(m2+ ③正确： 3.圆C可化为(x-3)2+(y+3)2=18. 原点0(0.0)在双纽线C上.且满足10F1=0F:1, 则圆心C(3,-3),半径r=32. 即双纽线G上存在点P与原点)重合时，满足 由直线1：(m-1)x+2y+3-m=0 以1m1:要 1PFI=IPF,I,④正跪