第35 期 从力的做功到向量的数量积 平面向量的应用-【数理报】2024-2025学年高一数学必修第二册同步学案（北师大版2019）

高一数学北师大（必修第二册）第32~35期 数理括 答案详解 2024~2025学年高一数学北师大（必修第二册）第32~35期(2025年2月) 第32期2版 可得AB=√Af+Br=√800+600=1000（米）， 连接P0,则在△AP0中，OP=AP·sin42°=670（米）， 专项小练 连接OB,OC,OM,则在△0BM中， 1.B;2.B;3.BCD:4.17.3;5.2. 血∠B0N微-架-号 故∠B0M=1.1,即∠B0C=2.2, 则彩虹BP℃的长度约为(2知-2.2)×670=1340.- 1474(米). (2)若T=1,则1=4异“4X3:1e 980 =24.8(cm). 7.由图象可知，8~3时这段时间温度先下降再升高， 第32期3,4版 (A)错误：8-16时最大温度为22℃，最小温度为-22℃， 三角函数核心素养综合测评 最大温差为42℃，(B)错误；8~16时0℃以下的时长超过 一，单项选择题I~4BBCD5~8CADA 3小时，(C错误：T=4×(3-1)=8=2日a=牙，又过 提示： -315”=-315×0=-2牙 T 点(13.22)，故22co(年13+p=22,解得0=平 2.因为cos(a+m）=-c08=13 故)=22co(年+平）16)=22cas(年·16+ 所以c0sa=- 5 ）=-2,故16时温度为-2℃，(D)正确。 13 号上的角为君+k标（居eZ), 8令X=or+石，由e[-号]得X=or+石e 3.终边落在y= 终边落在y=5x上的角为于+m(:∈Z), [-+] 作出函数y=2sinx的大致图象如图1所示. 角a的集合为{a+6<a<号+mke乙 4受2 4.由已知可得f(x）=tan ox(w>0)的最小正周期T= ，1 平所以w=于=开=4，所以日=m4, 4 图1 所以/（晋）=un号= 由2sinX=1得sinX=2 1 5.由题设T=2红=m,得0=2. 由图可取了=若名=一得 则八x)=2sin(2x+） 若存在西[-号无}，且≠，使得八) 当xe[0,]时，2x+若e[ 八)=1，需使-骨+君≤-召解得u≥4 故f(x)∈[-1,2]， 二，多项选择题9.BC;10.AC:11.AB. 提示： 所以)在区间[0，受」 上的最大值与最小值的和等于1， 9,由点P(t,-21)(1<0)在第二象限，可得x是第二象限 6.在△AMB中，由勾股定理， 角，但不一定是钝角，(B)正确，(A)错误： 高一数学北师大（必修第二册）第32~35期 ana=-24=-2,(C)正确： 三，填空题 由sina>0,cosa<0,则点(cosa,sina)在第二象限， 2{x≠标+受且x≠m-牙keZ}: (D)错误.故选(B)(C). 10.因为S,与S,所在扇形的圆心角分别为0,2π-0， 13.0:14(o,2] 所以 20e 提示： 2a←9(A)正确： r1+tanx≠0. 12.由题可得 ≠m+受k后乙， 因为=”。=宁所以0= rtan x≠-1， 即 所以S=士0：=子×号x9=3,(B)错误： ≠km+受ke乙， 因为=2”。=5所以0=6-5 所以函数的定义城是{✉x≠+受且x≠k平人 所以0=(3-2.236)×180°=138°，(C)正确： cz 5=70:R=7×(3-5)m×400=20(3-5)m, 13.函数f代x)=asinx+cosx=√+1sin(x+p), (D)错误.故选(A)(C). 行m= 显然a≠0，imp=1 √a+1 山.由题图分析可知0)+行=-分(）=万， 又函数八)的图象关于直线x=年对称。 即f0)=-1, 则反如0=-1，即血0=-号， 放牙+p=受+m,keZ 则g=牙+km,keZ, 又-号<9<受，所以9=-平 故ame=m(牙+ka）=1=期a=l 又g）=m(g-)=a, 放/(）=血要+m要=0 所以3g-年=2m+受ke乙， 14.由2km-受≤ar≤26m+受(keZ). 即。=9+2.keZ.又0<a≤2.所以w=2 得-品+治≤≤品+ez 所以)=巨in(2x-牙），故(A)正确： 所)的举莲始版间-品海易]女e2 八)向右平移爱个单位后得 由题意得 y=f(-智）=2sin[2(x-）-年]=2sin(2x -)=-2sin2x,为奇函数，故(B)正确： 从而有 解得0<w≤ 3 h()=2sim(2x-4）+, ≥4 2w w>0, 令2-年=m,keZ得x=+e乙， 故。的取值范围是(0，号] 所以对称中心为（受+空1）k后乙，故(C)错误： 四、解答题 15.解：(1)因为函数(x)图象的对称轴与相邻对称中心 由)=1，得血(2：）=号。 之间的距离为号，所以T=受，故w=票=4， 因为e(0,m).所以2x-年e(-4,2m-平） 又八)的图象的一条对称轴方程为x=~ 又在(0，m)上有6个根，所以<2m-≤25， 则4×（-)+g=子+km,ke乙， 解得me （要]，故(D)错误故选(A)(B。 即e=+km,k后z 2 高一数学北师大（必修第二册）第32~35期 又1e1<受，所以p=-& 所以号≤号≤，解得名≤1≤ 6 故)=4in(4-君）】片 (2)因为xe[-舞晋]所以4-君e[-号，] 所以当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一 所以m(4-君）e【-小， 周的过程中，点P离地面的高度不低于80米的时长为号秒 所以4i(4-若）e[-25,41, 18解)当0=-若时)=-2识-1=（ 故八x)在[-舞4]上的值城为[-25,4。 4 16解：)由题意，因为e[], 所以当x=停时)。一 所以2x-牙e[0,2m], 当x=-1时)=25 3 3 列表如下： (2)g(x)=x-上+2an0,因为g(x)为奇函数。 11r 6 12 12 6 则g(-x)+g(x)=-x+↓+21an9+x-↓+2an0= 2-号 0 4tan0=0,解得0=kπ，k∈Z (3)函数f八x)的对称轴为x=-tan0, 3sin 2x 0 3 0 因为八x)在区间[-1,5]上是单调函数， 描点、连线，得出所要求作的图象如图2： 所以-tan0≥√3或-tan0≤-1， -3in2-号 即tan0≤-5或tan0≥1. 117元 12 解得0e(m-受m-哥]U[a+年，m+受) 12 k E Z. 图2 19.解：(1)函数f八x)=sinx是一个阶数为1的回旋函数 (2)先把y=sinx的图象向右平移号个单位。 理由如下： 因为f八x)=sin nx, 可得y=in(-号) 的图象； 所以f八x+1)=sin[m(x+I)]=-sin nx=-f八x), 再把所得图象的横坐标变为原来的了，纵坐标不变，可得 所以八x+1)+八x)=0, 所以函数f八x)=sinx是一个阶数为1的回旋函数. y=sn(2-号）的图象： (2)设八x)=sinr是a阶回旋函数， sin[o(x +a)]+asin ox =0, 最后把所得图象的纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变， 若仙=0，则上式对任意实数x均成立： 可得y=3sin(2x-号)的图象 若w≠0，则sin[a(x+a)门=-asin ox, 由三角函数的值域可知a=±1， 17.解：(1)由题意得风机的角速度w=2红、 5 当a=1时，对任意实数x有sin[w(x+I)]=-sinr= 当1=0时，h=60. sin(wx+r）, rA+B=140. ,A=40, 则ox+w=r+T+2kT,keZ, 所以 -A+B=60, 解得 B=100, 所以w=(2k+1)π，k∈Z: Asin +B =60. p=-2 当a=-1时，对任意实数x有sin[w(x-1)]=sin ox, 则x-w=wr+2kπ，k∈Z,所以w=-2km,k后Z, 所以h)=40sin(-）+10(0≤1≤5). 综上w=mm,meZ. (3)因为fx+a)+afx)=sin[w(x+a)]-1+asin ox (2)令h()≥80.则h)=40sim(-受）+10≥80， -4=0对任意的实数x都成立， 即m≤分，因为0≤1≤5，所以0≤≤2 由(2)可知a=-1,w=2mT,m∈N., 5 所以f八x)=sin2mmx-1. 高一数学北师大（必修第二册）第32~35期 令)=0解得产+点eN ×(花+d=号（店+心，所以有花+花=3，故m 因为函数f八x)在[0，I]恰有100个零点， =3. 所以+织≤1<品+四所u要≤a< + + 8.因为P+P厉+P元=A店 m 4 又因为meN.,所以m=100,所以w=200π. 所以P+P元=A店-P呢=A 所以P乙=2A,即点P为线段AC的靠近点A的三等分点， 第33期2版 所以△ABP的面积与△BCP的面积之比=L立。 专项小练一 1P元 2 1.C:2.B:3.AD:4.F2,BC,CB:5.2. 二、多项选择题9.ABD:10.BD:1l.CD. 专项小练二 提示： 1.B:2.A;3.AB;4.2a+7b;5.a-b+c 专项小练三 10.子丽=N≠，故(A)错误： 1.D:2.A:3.Bm:4-亮52 与-子市：（成-动=分成=m故（助 第33期3,4版 正确： 向量的基本关系，线性运算同步核心素养测评 A立-A=N≠MN,故(C)错误： 一，单项选择题1~4DCCC5~8DABB 形+BD+D=MD+D示N=M示，故(D)正确. 提示： 故选(B)(D). 1.(A),(B),(C)中向量各不相等，(D)中，AB=OC 11.如图2. 22a+2b-30)-3a-2b-c)=-3a+7b+0 选项(A),结合题意可得G= 2O元，所以(A)正确： 3.当b=0时，任意向量都与b共线，则a,c不一定共线， D (A)错误： 选项(B),G+CC=2G=-G 图2 向量不能比较大小，(B)错误： 所以G+GB+G元=0，所以(B)正确： 对任意非零向量@，8是和它同向的一个单位向量， 选项(C),因为D为BC中点，G为△ABC的重心， 所以AC=2Gd,Gi=20G,∠AGH=∠DG0. (C)正确： 零向量有方向，其方向是任意的，(D)错误， 所以△AGH∽△DC0,所以A=2Oi,故(C)错误： 4.作出0=a,AB=b,则0成=a+b,因为1al=1b1= 选项(D),向量O,0元，0元的模相等，方向不同，故(D)错 1a+b1,所以△0AB为正三角形，且∠A0B=于，所以向量a 误.故选(C)(D). 三，填空题 与a+b的夹角为号 120-7b+c:13.3:14.33 4 1 4 5.根据向量加法减法的三角形法则可知， 提示： E序=AF-A正=(A店+B-(Ai+DE)=AB 2*3 12由题知2x-- +6=0，所以子 号而)）-（而+分）=子丽-子成 =子-+2，所以x=-+7六 6.由题意，作图如图1： 13根据向量的减法法则知D-D元=C 则该飞机由A先飞到B,再飞到C,则AB=B 150 km,BC 350 km,a =AC, 则B=2(Di-DC=2C成 则飞机飞行的路程为等=00km,|a|= 因为B函=B配+C,所以B元+C=2C. √150+350=5058km, 移项可得C=2CB-BC=3C成 所以&>Ia1. 所以元=3元，所以=3.3 7.由+M元+M元=0知，点M为 图1 IBC,1B元 △4C的重心，设点D为底边BC的中点，则可=号而=号 14.如图3，因为圆0的周长是3π，所以直径AB=3. 又因为C是圆周上的一点， 高一数学北师大（必修第二册）第32~35期 所以△ACB是直角三角形， 所以C正=M店-M元=a-b+a=a+(a-b), ∠ACB=2 从而由1C正1=1C1,得1a+(a-b)1=1b1. 19.(1)解：依题意作图，如图6， 再由∠BAC=号得AC=AB 成=a0=b+e).=0 =2 图3 所以046n号=号9：39即1i:9 -0成=6+e-0),同理可得， 4 网=(a+e-b), 四、解答题 15.解：因为ka+3b与2a+b共线， =(a+b-e). 所以存在实数A,使a+3b=A(2a+kb). (2)证明：设线段EL的中点为P, 即(k-2A)a=(Ak-3)b. 由于a,b不共线所以-2升=0：±6. 则0丽=宁（成+0d=a+b+e) ak-3=0 设FM,GN的中点分别为P2,P, 即实数k的值为6或-6. 同理：0丽=子(a+b+c).0沉=子(a+b+e). 16.(1)证明：如图4,0+0元= 所以OP=OP=OP,故P,P,P三点重合，所以线段 20i,0+0元=20元. EL,FM,GN交于一点且互相平分 因为0A+20i+30元=(0+ 第34期2版 0C+2(0i+0C=2(0元+20d 4 =0,即20币+0呢=0，所以0d与0正共线 专项小练一 又0币与0呢有公共点0，所以D,E,0三点共线， 1.BC:2.A;3.C:4.(-5,1);5.3a-4h. 6.解：依题意作图，如右图. (2)解：由(1)知210元1=10证1， 所以Se=2S6a=2x号5aem=2×子×子ae= 2 因为花=号，F∥BC, 分am,所以2业=3. 所以序=号底 所以B酥=B配+E=B配+B配 .解：设武=x则瓜=之 丽=双+麻=6 =号店+号（花-商 成-而-之-子x =-店+行花-a+写 专项小练二 又市=，由而+成=得x+之，-子=e 1.B;2.A;3.AD: 4.(2,3),(6,5),(4,2):5.(10,-42). 解方程，得=配=争子 6.解：设点P的坐标为(x,y), 由成：-成，店=6宁得 则A=(x,y）-(2,3)=(x-2,y-3) A店+λAC=(5,4)-(2,3)+A[(7,10)-(2,3)] 币=子身 =(3,1)+A(5,7)=(3+5A,1+7) 18.证明：如图5，由△ABC是等 则(x-2,y-3)=(3+5,1+7A) 腰直角三角形，可知1C1=1C21. 所以-2=3+5A, 解得=5+5以， y-3=1+7 y=4+7A 由M是斜边AB的中点， 即P(5+5A,4+7A). 得1C1=1A1=1. 图5 (1)在△ACM中，Ad=C-C=a-b,于是由1A 当点P在第三象限内时，有 5+5A<0. 4+7x<0. =lci,得1a-b1=lal. 解得A<-1. (2)在△MCB中，M店=A=a-b, 故当点P在第三象限内时，A满足的条件为入<-1. 5 高一数学北师大（必修第二册）第32~35期 第34期3,4版 4=25-4,当且仅当入=3即入=5时取等号. 入 平面向量基本定理及坐标表示同步核心素养测评 二、多项选择题9.AD:10.BD:11.BCD. 一，单项选择题1~4BBBB5~8BADB 提示： 提示： 9.由平面向量基本定理可知(A),(D)是正确的： 1.2a-3b=(-2,0)-(0,6)=(-2,-6). 对于(B),由平面向量基本定理可知，如果一个平面的基 2.由题意得x2=2(x+4),解得x=4或x=-2. 底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，所 3.由题意得b=而-店c=店-花=子店-2心， 以(B)不正确： 放b+6=-多店，故=-身动-子 2 对于(C),当两向量的系数均为零，即入，=入：=山=山 =0时，这样的入有无数个，所以(C)不正确。 4.不共线的向量能作为基底， 故选(A)(D). 因为e1-e=-(e2-e,),所以向量e,-e,e2-e,共线， I0.易证△DEN∽△BAN,又OB=OD, 排除(A): N是线段0D的中点，所以DE=亏AB, 因为2e2-e,--(-2e2+e),所以2e2-e1,-2e2+e 共线，排除(C); 所以正=+成=市+子，故(D)错误： 因为20，+6=(46，+2e,).所以2e,+646,+2e,共 因为d=子花=分丽+之心，故(C)正确： 线，排除(D).故选(B). 5.设正方形边长为2，以A为原点，AB,AD为x轴，y轴的正 因为示=不+示=（店+动+4（市商 方向建立平面直角坐标系，则M(2,1),D(0,2),B(2,0),C(2, 子币+店，故(A)正确，(B)错误 2).BD=(-2.2) 故选(B)(D). 依题意AC=AA+uB配， 1L.易知△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，且O为 即2A-24=2解得 AB的中点，则A=以=分+以=，故()错： 1A+2μ=2， μ= 3 由c可=}d+号成得3可=+成，所以cd-d 所以入+4= 5 -Cd+CB-Cd,则Cd=+0成，故0为△ABC的重心，又 因为O为△ABC的外心，所以△ABC是正三角形，故(B)对： 6.点P在P,P的延长线上，1P1=21PP1, 若C⑦⊥A店时，可得CA=CB则A=4,故(C)对： 所以P2是P,P的中点. 因为P(2,-1),P(0,5),所以P(-2,11) 若A>号4>则A+>1,故0点在△4BC外，则 7.因为AB与a=(1,-2)的夹角为m, △ABC为钝角三角形，故(D)对.故选(B)(C)(D). 所以AB=ka=(k,-2k)(k<0). 三，填空题 因为1AB1=25,所以√R+（-2k)下=25. 2.-71320+20:4(号-7）小月 解得k=-2(舍正)，即AB=(-2,4). 提示： 设点B(x,y),因为A(2,1),所以AB=(x-2,y-1)= 12.因为品=成+配=丽+子届=成+子（丽+ (-2,4),所以x=0,y=5,即点B的坐标为(0,5). 8.由平面向量基本定理，且M,D,N三点共线可知： 0=}+是成，所以x==子所以x-y=-宁 A元=xA7+(1-x)AN=xAA店+(1-x)μA元 13.因为B正=3E 又而=成+励=丽+心=子店+配 所以脏=子㎡亦=-A=-子花， 3 4” 所以脉=a+亦=a-子， ① 所以 解得μ=4入-3 (1-x)4= 4 屁=子脉=b+。 ② 所以入一 =A-4h-3=A+ -4≥2 由①+子x②得院㎡=a+动， 高一数学北师大（必修第二册）第32~35期 即+ 所以-4=1，解得=5， y+1=-5,y=-6 14.因为心=之B配，所以A为BC的中点，C=武， 所以点D的坐标为(5，-6) 设C(xcyc),则(xc-2,ye+1)=(1,-5), (2)因为a=A序=(2，-2)-(1,3)=(1，-5). 所以点C的坐标为(3，-6)， b=BC=(4,-1)-(2,-2)=(2,1) 又1正1=D1,且E在Dc的延长线上， 所以ha-b=k(1,-5)-(2,1)=(k-2,-5k-1), a+3b=(1,-5)+3(2,1)=(7,-2) 所以成=-励， 由ha-b与a+3b平行， 设E(x,y),则(x-3,y+6)=- (4-,-3-, 得(k-2)×(-2)-(-5k-1)×7=0,解得k=-3 x-3=- 4-， 19.(1)解：不妨设O=ma+nb.由于A,D,M三点共线， 得 「x=3 解得 则存在a(a≠-1)使得A=aM币，即A0+Oi=a(Md+ y+6=- (-3- y=-7 0,于是0= 0+a0 1+a 故点E的坐标为（弩-7） 又0成=}成 四解答题 15.解：B币=c元-C店=(-2i+)-(1+) +g成 1 =-3i+(1-A)j, 所以0=1+a =1+a0+21+b 因为A,B,D三点共线，所以向量4正与B配共线， 则 m三1+a 即m+2n=1. ① 因此存在实数4，使得A店=B 即3i+2j=u[-3i+(1-A)j]=-3i+u(1-Aj, m=2(1+a)' 因为i与j是两个不共线的向量， 由于B,C,M三点共线，则存在B(B≠-1)使得C=B 所以业=3。。解得1 店，即Cd+0成=B(心+0，于是成=0元+B0而 4(1-A)=2,λ=3， 1+B 故当A,B,D三点共线时，A=3. 又0成=4成， 16解：由题意，知0=(1.0)，02=(0,1) 设C(x,y),则0元=(x,y).因为0元=AO+uO, 所以0成=4 0+B0成 所以(，)=A1,0)+4(0,1)=(A),所以=入 Ly =u 所以 m=41+B'p4m+n=1 ② 又因为∠A0C=石，0C=2. B n=1+B 所以A==2m石=54=y=2ain君=1 6 由①②可得m=7n=子，所以0=0+b 所以入+4=√5+1. (2)证明：由于E,M,F三点共线，所以存在实数（刀≠ 17.证明：(1)因A,B,C三点共线，则存在实数k,使A心= -1)使得Ei=nM亦，即E0+0成=n(M6+0),于是0= kAB=Q元-Qi=k(QB-Q=QC=(1-k)Q+kQ成， 0正+n0正 令A=1-k,4=k,则O元=AO+u0正，其中A,4eR, 1+n 且入+u=I,结论成立 又0呢=A0i,0F=40B (2)由入+4=1→入=1-u, 所，程成：+骨 则0记=A+uQ正=(1-u)+u正-Q元-Q= 1+刀 u(QB-Q)→AC=uAB=A,B,C共线.结论成立. 18.解：(1)设D(x,y) 入 +7 由A店=Cd,得(2，-2)-(1,3)=(x,y)-(4,-1), 则 消去得片+= 3 A+ 则(1，-5)=(x-4,y+1), 高一数学北师大（必修第二册）第32~35期 所以△ABC为直角三角形. 第35期2版 4.因为b=c,a2=2b(1-sinA). 专项小练一 由余弦定理得，d2=2b2-2b2cos1=2-262sinA, 1.AC:2.B:3.B:4.22:5.3. 所以inA=c0sA,又因为Ae(0,m,所以A=平 6.解：假设存在实数m,使得me,+e与e:-e垂直， 5.因为a,b的夹角为锐角，所以a·b=1×1+(-2)入> 则(me1+e2)·(e,-e)=0, 0且1×(-2)-1×A≠0， 所以me+(1-m)e,·e,-e3=0. 因为le,I=2,Ie2I=3,e,与e的夹角0为60°， 所以Ae(-0,-2)U(-2,号） 所以e=le,12=4,e2=|e212=9, 6.设△ABC外接圆的半径为R, e1·e2=|e1le21cos0=2×3×cos60°=3， 23 所以4m+3(1-m）-9=0,解得m=6. A=c=2.即n720=C=2n 则.a 3 故存在实数m=6,使得me1+e,与e,-e2垂直. 专项小练二 所以R=25mC=宁 1.D:2B:3.A:4-7:5120 又C<A,所以C=30°，故(B)正确，(D)错误： 6.证明：由余弦定理得 c08B=+c2-B 所以B=30,6=25 3 2ac ,eos C=be 2ab 代入90sB。 x厚：停故(（©）误 cos C 7.如图1所示，其中AS为塔高，设为h, a2+c2-62.2ab b 2ae‘2+F-c=2a+c 甲乙分别在B,C处 整理得a2+c2-b2=-ac. 由题意知，∠ABS=45°，∠ACS=30°，B甲 所以B=d+-B。-合<0 BC=500,∠ABC=120°， 2ae 所以在Rt△ABS中，AB=AS=h, C乙) 图1 故△ABC是钝角三角形. 在Rt△ACS中，AC=3h, 专项小练三 在△ABC中，由余弦定理，得(3h)2=500+h2-2×500 1.A:2.D;3.ABC:4.1:3:2;5.2 ×h×cos120°， 6.解：根据三角形内角和定理知∠BAC=180°-75°-60° 所以h=500(米)（负值含去）. =45。根据正弦定理得，BC AB 8.由正弦定理可得2-62=bc, sin∠BAC=sin∠ACB 所以a2=b2+bc. 即、BC 3 sin450=sin60,所以BC= 3sin 45 8in60°=v6. 由余弦定理得a2=6+c2-2 becosA, 所以+bc=+c2-2 bccos A, 第35期3.4版 即b=e-2 bcos A, 从力的做功到向量的数量积，平面向量的应用同步核心素养测评 由正弦定理得sinB=sinC-2 sin Bcos A, 一，单项选择题1~4CBAC5~8DBDD 因为C=T-(A+B), 提示： 所以sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 1.因为AC=(1,2),B7=(-4,2), sin B sin Acos B-cos Asin B, 所以AC.B丽=-4+2×2=0，A元⊥BD: 即sinB=sin(A-B). 则该四边的面积为S=子14d励1=方×5×25=5 因为△ABC是锐角三角形， 所以0<A<号，0<B<受， 2.由题意得C元=(5,5)，AB=(2,1): C.AB=15,1AB1=5 所以-牙<A-B<受 则向量可在A店方向上的投影数量为三=35 又y=m在（受受》 上单调递增， 3.因为店.B配+A应=A店.(B配+A=A店.A元=0， 所以B=A-B,则A=2B. 所以AB⊥AC,所以∠BAC=90°， 又0<B<号0<A=2B<号0<C=T-3B< 2 8 高一数学北师大（必修第二册）第32~35期 所以石<B<牙，由正弦定理得2R=B=品B b 2 因为a·b=1,所以a⊥b错误，故(A)错误： a·b=1,故(B)正确； 所以2<2R< 2 b·(a-b)=a·b-b2=1-1=0, sin 6 所以b⊥(a-b),故(C)正确： 所以w2<R<2, 因为a≠b,所以(a+b)·(a-b)=a2-b2≠0，故(D) 所以外接圆面积S∈(2π，4π). 错误. 二、多项选择题9.BC;10.AB:11.BC 故选(B)(C). 提示： 三，填空题 9.选项(A):因为A=45°，C=70°， 23e:132:14100m 所以B=65°，三角形的三个角是确定的值，故只有一解： 提示： 选项(B):因为mG=B-8语<1，且e>6, b 12.由已知得A店=(2,1).C=(5,5),因此A在C上的 所以角C有两解： 投影向量为可。：5.3 -e = 选项(C):因为smB=6sin4=42<1,且6>a, 1ci152 2e. 7 13.由题意得OP=OB+BP=OA+AP-x=5cm, 所以角B有两解： 选项(D):因为inB=sin4<L,且b<a, 在△A0P中，csa=0+0P3-AP 2·OA·0P =9+25-49 所以角B仅有一解. 2×3×5 故选(B)(C). 因为a∈(0，r), 10.因为1a1=1b1=1且1b-2a1=3, 所以a==a:0A=2m 所以(b-2a)2=b2-4a·b+4a2=1-4a·b+4=3 14.由题图可知，∠BSA=360°-75°-150°=135°， 所以a:b=2 又∠SAB=45°-30°=15°，所以∠ABS=30°， 所以1a+b1=√(a+b)了=√a2+2a·b+b= AS AB 在△MB5中，in30=sin1350 √1+1+1=3，故(A)正确： a在a+b上的投影向量的模长为9(a+b)_。+a·b 所以AB=4S·sim135。 100×号 1 =10002, l a b l sin 30 2 1*2 = 故(B)正确： 3 所以BC=AB·sin∠BAC=1000V2·sin45°= 1000(m). 因为1a-Ab12=a2-2Aa·b+X2b2=A2-入+1 四、解答题 1 3、3 =-2)+4≥4， 15.解：由题意，不妨设他两只胳膊的夹角最大为0,0∈ (0,r), 所以1a-b1≥5,2 2>2 设此时两只胳膊的拉力为F,厂，则1F,1=1R,1=。 3 mg N, 即不存在AER,使得1a-Ab1=马，赦(C)错误： 3 则1F1+F21=mg,即有1F,+F212=(mg)2 所以F+F+2F·F2=(mg)2, 当A=-1时，a-Ab=a+b, 此时a-Ab与a+b的夹角为0，不是锐角，故(D)错误. 即}(mg)2+宁(mg)2+2x(mg)2xcm0=(mg月， 故选(A)(B). 11.因为对任意的1∈R,恒有d(a,b)≥d(a,b), 放cm0=子，故0=号 所以对任意的1eR,1a-b1≥a-b1恒成立， 16.解：(1)由题意知1a+b12=d2+2a·b+b=12, 即对任意的1eR,(a-b)2≥(a-b)2恒成立， 又1al=2,1b1=4, 又因为|b1=1,整理得： 所以a·b=-4, 对任意的t∈R,2-2a·b+2a·b-1≥0恒成立， 由(2a-h)⊥(a+b)得(2a-b)·(a+b)=0, 所以4=4(a·b)-4(2a·b-1)≤0. 即2ka2+2a·b-Ka·b-b2=0. 即4(a·b-1)2≤0，所以a·b=1. 所以8k-8+42-16k=0, 高一数学北师大（必修第二册）第32~35期 解得k=1±√5 所以Br+的最小值为号 (2)a·(3a+b)=3a2+a·b=8, 19.(1)证明：因为e1,e2分别为Ox,Oy正方向上的单位向 13a+b1=V9a+6a·b+b=27, 量，且夹角为60°， 设a与3a+b的夹角为0， 则0= 8 27 所以e,e=1e11 eI cos60°=2 2×27 7 所以x少·x2为} 所以a与3a+b的夹角的余弦值为3识 =(x,e+1e2）·(xei+3e) =xe+x为e1·e+2ye1·e+ye 17.解：如图2，设A在东西基线和南 北 1 1 北基线的交点处 B 609 =61e12+Z+7+⅓161 由题意得∠BAC=60 D60 1 过点B作东西基线的垂线，交AC =西+y+2(h+) 于D,则△ABD为正三角形， 图2 (2)解：因为向量a,b的“@未来坐标”分别为{sinx,1, cos x,1. 所以BD=D=1mm,∠CB0=∠BCD=7∠B01=, 所以f八x)=a·b=(sin xe,+e2）·(cos xe,+e,) 5 所以∠ABC=90,BC=ACsin60°=2000×2 =sin xcos xei+sin xe1·e2+cos xe,·e+ei 1 10003km,1BC1=1000,√3km sin xeos++(sin x+cos x), 答：飞机从B地到C地的位移大小是10003km,方向是 令1=ing+cosx=2in(x+平） 南偏西30°. 18解：()由正弦边角关系得（只）广”-（÷） 则sinx0os￥=子(f-), 2sin Acos C+2cos B=2acos C+2cos B. 因为xeR,所以-2≤2sim(x+牙）≤2， sin B b 即-2≤1≤2， 所以a2-c2=2 abeos C+2 cos B. 由余弦定理得a2-c2=a2+b2-c2+2 bcos B, 令g)=(+t+0(-万≤1≤a), 即2(1+2c08B)=0, 所以csB=-,又B∈(0，)，则B= 因为对称轴为1三一宁，函数图象开口向上。 3 (2)由(1)及题设知，b=√a2+c2-2 accos B= 所以当1=一立时80)取得最小值(-）=方× V+5-2x3x5×()=7. (4-+= 如图3所示此时MN==子 7 当1=万时，g()取得最大值g(万)=子×(2+万+1) 设BM=x,BN=y, =3+2 2 所以)的最小值为号最大值为生运 图3 由余弦定理得x2+y2-2002红=MN心.49 3 即2+2+y=49 4 因为产++灯≤++2生兰=是+ 所以2+≥号×-8 6 当且仅当x=y= 5时取等号， 6 10遂行女实标工阅冲种)审测多张·转得0别 的￥装量探装内线 11s1-13ys 级画重日量量游摩线 教理报 25军1月8日哪五 高中数学 35装11 北御大 心旅罐二番 等其 C14F月代号：2-16 制人生，指者前 器筑，流家文学 卫蓝，的一土河 巧用向量法 是可与呢有公共★慧 多关时人生 解决平面几何问题 方接二右国 旅蘇醒积 口海南苏洲丰 才朵精试料平高中 )落速法：礼量出站出围 专x袖这立中国值角峰 在解内量粒量，有学不←首海有来解 性计韩，可这取适的的基宽（尽量 本文程几传书风望数量积的限达，我共参刻 加植线表角的★是作角业难」，得中传及的内 坐标尾时，息不可能传 钢1已杆商上三有A,B,C,填纪rd ■用在表 1坚标条：进2平海直通群不，实现有 早程)在零，障 ，从号的到 编的单行化精几网阿师中的长度，厘直，平行 今101=1.别121=1.1起=2 解活一：风满向登载置和的（水辉） 信的贵州 自城感建华琴所网复适合用热 2x。0”, A加再地 所以可求得客青的量解分所为40 =20=2D.过及G作CE1话于h笔." 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