练案22 第2章 5.2-5.3 向量数量积的坐标表示 利用数量积计算长度与角度-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

练案[22] 第二章 平面向量及其应用 §5[5.2 向量数量积的坐标表示5.3利用数量积计算长度与角度] b组·素养自测 三、解答题 10.(1)已知三点A(2,-2),B(5,1),C(1,4),求∠BAC 一、选择题 1.已知点A(1.2),B(2,3),C(-2,5),则A.A元等于 的余弦值： (2)a=(3,0),b=(-5,5),求a与b的夹角. A.-1 B.0 C.1 D.2 2.已知a=(-1,3),b=(2,-1)且(ka+b)⊥(a-2b) 则k= c n-子 3.已知向量a与b的方向相反，b=(-2,3),1a1= 2/13.则a= ( A.(-6,4) B.(-4,6) 乃组·素养提升 C.(4,-6) D.(6,-4) 一、选择题 4.已知a=(1,n),b=(-1,n).若2a-b与b垂直，则1.设xJeR,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4)且 lal a⊥c,b∥c,则1a+bl= () A.1 B.2 C.2 D.4 A.5 B.√/10 C.25 D.10 5.已知向量a=(2,1),a·b=10,la+b1=5√2，则1b1 2.已知向量a=(2cos9.2sin9),b=(0,-2), 等于 0e(受，，则向量ab的夹角为 () A.5 B.√10 C.5 D.25 A-0 B0-号 6.已知向量a=(1,2),b=(2,-3),若向量c满足(c+ C+0 D.0 a)∥b,c⊥(a+b),则c= ( 3.(多选)角α顶点在坐标原点O,始边与x轴的非负半 (引 (子-别 轴重合，点P在a的终边上，点Q(-3,-4),且an c(仔) (引 =-2,则0P与0Q夹角的余弦值为 () 二、填空题 B.115 25 7.已知a=(1.3),b=(-2,0),则1a+b1= D.-115 8若a=(3,-1),b=(x-2),且(a,b》=年，则x= 25 4.(多选)如图所示，设Ox,O,是平面内相交成0 9.已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos(a,b〉= 日≠）角的两条数轴，e、4分别是与x,y轴正方向 同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为日斜坐标 —232 系，若0i=xe,+ye,则把有 8.在△ABC中，已知A(3,1),B(1,0),C(2,3). 序数对(x,y)叫做向量Oi的 (1)判断△ABC的形状： 斜坐标，记为Oi=(x,y).在0 (2)设0为坐标原点，0品=m0(meR),且(4正 =平的斜坐标系中，a=0 m0C)∥BC,求1oi1 (兮6=(5，-).则下列结论中，错误的是 Aa-b=(-5 B.a⊥b C.lal =1 D.b在a上的投影向量为 22-526-3 5,5 二、填空题 5.已知两个单位向量a,b的夹角为60°，c=1a+(1-1)b, 若b·c=0,则t= 6.已知平面向量a=(1,-2),b=(4,y),若a与a+b 的夹角为锐角，则y的取值范围为 三、解答题 7.已知a,b,c是同-平面内的三个向量，其中a=(1,2). (1)若1cl=25,且c∥a,求c的坐标： (2)若1b1=汽，且a+2b与2a-b垂直，求a与b的 夹角a. 233=√3+52+2×(-6) 10 a=(2,2).b=(-8,6). =22. .a·b=2×(-8)+2×6=-4. (2)m·(m+n)=m2+m·n=9-6=3, 1al=√22+2=22.1b1=v-8)2+6=10. ·向量m在向量m+n上的投影向量的长度为m:(m+m 用+n 2 3.32四 ma品2文0品 22 10.(1)A2=(5,1)-(2,-2)=(3,3). 8.B前=A币-A求Cd=C-Oi=-A花-A, AC=(1,4)-(2,-2)=(-1,6) 前.C戒=(A-A)·(-元-A Ai.AC=3×(-1)+3×6=15. =(-A币.A花)+A市.A元-A产+A店.A正 又=√3+3=32,1MC=√(-1)+6=37. =A店.A花-r2+A(A店-A花) Ai.A元15574 =Ai.A心-r2+A.C成 ∴csLB1G=132×V37 Γ74 =IA1AC1cos∠BAC-广+A.C2 (2)a·b=3×(-5)+0x5=-15,lal=3.Ib1=52 becos ZBAC.CB. 当产与C同向时，A产.C的最大值为1A产1C=m, 设a与b的夹角为0，则oms0=ab=,-15三 即当O币与C共线且同向时，B那.Cd有最大值ceos∠BAC+ 0≤0≤0= ar-2. !B组·素养提升 练案[22] 1.B由a⊥c,得2x-4=0,则x=2,由b∥c得-4=2y,则y= A组·素养自测 ! -2,1a+b1=√(2+1)+(1-2)=10. 1.BAB=(2,3)-(1,2)=(1,1),A亿=(-2,5)-(1,2)=2.A由三角函数定义知a的起点在原点时，终点落在圆x2+y (-3,3)Ai.A亿=1×(-3)+1×3=0. =4位于第二象限的部分上 2.C由题意知(ka+b)·(a-2b)=0. ~(受<0<小，设其终点为P,则∠0P=0, 而ka+b=(2-k,3-1), a-2b=(-5,5), a与b的夹角为贺-0 敌-5(2-)+5(3k-1)=0, 解得=子 3.C,a与b的方向相反，.a=Ab(A<0. 设a=(x,y）,则(x,y)=A(-2,3), 于是-2A, 由1al=2√/13，得x2+y2=52. y=3λ. 即4A2+9A2=13A2=52A3=4, ,A=-2,a=(4,-6).故选C. 4.C由2a-b与b垂直，得(2a-b)·b=0. 3.AC tan o《=-2,可设P(x,-2x) 即2a·b-b2=0. o币.0d cos (0,00>=- 5x 故2(-1+m2)-(1+)=0,解得n2-3. 0产1·101551xl 所以，lal=√1+m=√个+3=2. 5.Ca=(2,1),a…b=10,la+b1=52. 当x>0时ow(成.0动-ξ (a+b)2=50=a2+2a·b+b2,可得b1=5. 当x<0时，ow(币.0=- 6.D不妨设e=(m,n),则a+c=(1+m,2+n),a+b=(3.-1), 对于c+o)/b,则有-31+m)=2(2+又c1(a+b.4.C由题意得a=宁+b=-ea-6=宁+ 则有3m-a=0m一号A=一子，故选n 7 -(5e,-6)=(号-列，+（受.曲题意得： 7.2因为a+b-(-1,w3) 所以1a+b1=√(-1)P+(3)2=2. a-b=(行-5号小故A正确：”。·b 813+2 ，解得x=1或x=-4(舍) /10×√+4 (+)(5e-6)=3+(}-·- -375- 2=2+cs--2 3 4-受=吃≠0，故B项不正确：a=2 .10元1=√3 1oi=1ml:1od1.5 3 (+ 练案[23] V49,2￥3 e+ 2e,·3= 1+ 2c064=V 4 A组·素养自测 故C不正确：b在a上的投影向量为：a:b.4-a:b. 1.A设△ABC中，角A,BC的对边分别为a、b,c,则a=3,c= Tal'lal-lal? 3,∠C=120,由余弦定理，得13=9+62+36，解得6=1， a,由C知lal= 即AC=1. 1+ 6 4 1a2=1+6,又ab=2 4 2D设等腰三角形的底边边长为x,则两腰长 为2x(如图)， 5 5 1+ 由余弦定理得A=4父+4r-￡。 2·2x·2x= 8,故 选D, 26-3),故D正确故选BC 5 3.AB由3=36=12，得a=4,b=45, 5.21al=1b1=l.(a,b)=60,ab=,b=1,b… 利用余弦定理可得a2=b2+c2-26 ccos A, 即16=48+c2-12e,解得e=4或e=8. c=ab+0-08=宁+1-0=1-7=01=2 4.Bc2<g2+62,∠C为锐角.a<b<c,∠C为最大 6(-,-8)u(-8,2 角，∴.△ABC为锐角三角形. ）因为a与a+b的夹角为锐角，所以5.C由余弦定理得a2=6+c2-2 beeosA=2B-26cosA,所以 a·(a+b)>0,且a与a+b不共线， 2(1-sinA)=26(1-eusA),所以sinA=c0sA,即tanA= a=(1,-2),a+b=(5,y-2),即1×5-2(y-2)>0,且1× 1,又0<4<m,所以4=开 (y-2)≠-2×5， 解得y<号且y≠-8，故答案为：(-，-8)U(-8,号) 6B由余弦定理可得sA=尽+-心_5+36-9.3 2e 2x5x6=1所 7.(1)设c=(x,y）,lc=25, 以mA2所以5=宁血4=方x5x6x2 15 +7-25,.x2+y2-20. =214. 由c/a和1c1=23,可得y2=0 1x2+y2=20. 7.3Z由余弦定理得AC=BC+AB-2BC·ABc0sB,又因 为B=45°，AC=√0，AB=2,所以（√0）2=BC+22-2×BC ×2×cs45°，整理，得BC-22BC-6=0,所以(BC-32) 故c=(2,4)或c=(-2,-4). (BC+2)=0,解得BC=32或BC=-2(舍去)，所以BC边 (2)(a+2h)⊥(2a-b).∴.(a+2b)·(2a-b)=0. 的长为32 即2a2+3a·b-2b2=0. 2x5+30b-2×子=0，整理得ab=-子 8.2由已知及余弦定理，得mA-+-立：A,六A 26e 45°，.a2=b+c2-2hc0s450=4,a=2. w0=8治-又0e00=m 9.在△ABC中，由余弦定理，得 8.(1)由两点间的距离公式， Cos C=e 2ab 得IABI=IAC1=5 AB=(-2,-1).AC=(-12), =262+(6+2③2-(4③ 2×26×(6+23) Ai,AC=2-2=0.即AB1AC ·△ABC为等腰直角三角形. 0-号 = (2)由题可知0元=(2,3)，BC=(1,3), 则Ai-m0元=(-2-2m,-1-3m）. ∴.C=45°：同理A=30 又(aA店-mO元)∥BC. ,∴.B=180°-(A+C)=180°-(30°+45°)=105. 则有3(-2-2m)+1+3m）=0,解得m=-号 10.由余弦定理知esB=(+c- 由两点间的距离公式，得OC1=√13. 代人c=00sB,得c=a.+c2-b 2ae 376