第34 期 平面向量基本定理及坐标表示-【数理报】2024-2025学年高一数学必修第二册同步学案（北师大版2019）

高一数学北师大（必修第二册）第32~35期 数理括 答案详解 2024~2025学年 高一数学北师大（必修第二册）第32~35期(2025年2月) 第32期2版 可得AB=√Af+Br=V800+600=1000(米)， 连接P0,则在△AP0中，OP=AP·sin42°=670（米）， 专项小练 连接OB,OC,0M,则在△0BM中， 1.B;2.B:3.BCD:4.17.3;5.2. 血∠B0N微-架-号 故∠B0M=L.1,即∠B0C=2.2, 所以√保 则彩虹BP℃的长度约为(2知-2.2)×670=1340m- 1474(米). (2)若T=1,则1=4后“4×e 980 ≈24.8(cm). 7.由图象可知，8~3时这段时间温度先下降再升高， 第32期3,4版 (A)错误：8-16时最大温度为22℃，最小温度为-22℃， 三角函数核心素养综合测评 最大温差为42℃，(B)错误；8~16时0℃以下的时长超过 一、单项选择题I~4BBCD5~8CADA 3小时，(C错误：T=4×(3-1)=8=2日0=牙，又过 提示： 1.-35°=-315×0=-7要 T 点(13.22)，故220o(年3+9）=22，解得0= 2.因为c0s(a+m）=-c0s=3 故)=22o(年+军）16)=22cm(年·16 所以c0sa=- 3）=-2,故16时温度为-2℃，(D)正确， 13 号上的角为君+m(债eZ), 8令X=r+石，由e[-号无]得X=or+石e 3.终边落在y= 终边落在)=5x上的角为于+km(keZ), 作出函数y=2sinx的大致图象如图1所示. 放角a的集合为{a+6<a<号+k,ke乙 42 4.由已知可得f(x）=tan ox(w>0)的最小正周期T= 平所以w=于=丑=4，所以)=m4, T 4 图1 所以(）=m号=5. 由2simX=1得sinX=2 1 5.由题设T=2红=m,得0=2， 由图可取=后名=一得 则八)=2n(2x+） 若存在西∈[-号无}，且≠，使得八) 当xe[0受]时，2x+君e[ 八)=1，需使-骨+君≤-召解得u≥4 故代x)∈[-1,2]， 二，多项选择题9.BC;10.AC:I1.AB. 提示： 所以)在区间[0，受」 上的最大值与最小值的和等于1. 9.由点P(t,-21)(1<0)在第二象限，可得α是第二象限 6.在△AMB中，由勾股定理， 角，但不一定是钝角，(B)正确，(A)错误： 高一数学北师大（必修第二册）第32~35期 tana=-24=-2,(C)正确： 三填空题 由sina>0,cosa<0,则点(cos&,sina)在第二象限， 2{x≠m+受且x≠m-牙keZ}: (D)错误.故选(B)(C). 10.因为S,与S,所在扇形的圆心角分别为0,2m-0, 13.0:14(0,2] 20e 提示： 所以 发2a-创R“2”g)正确： r1+tanx≠0. 12.由题可得 x≠km+受ke乙， 因为=”。=宁所以0= rtan x≠-1， 即 所以S=士0：=子×号x9=3,(B)错误： ≠km+受ke乙， 因为2=2”。所似06- 所以函数的定义城是{≠+受且x≠k人 所以0=(3-2.236)×180°=138°，(C)正确： e小 5=70:R=7×63-5)m×400=20(3-5)m, 13.函数f代x)=asinx+cosx=√+1sin(x+p), (D)错误.故选(A)(C). 行云m= 显然a≠0，inp=1 √a+1 山.由题图分析可知0)+方=-分(）=万， 又函数八)的图象关于直线x=年对称。 即f0)=-1, 则反如0=-1，即血p=-号， 放牙+p=受+m,keZ 则p=牙+km,keZ, 又-号<9<受，所以p=-平 故ame=tam(年+km）=1=,则a=l 又g）=.m(g-）=a, 放/(）=血要+m要=0 所以3g-年=2m+受keZ, 14.由2km-受≤ar≤26m+号（传eZ), 即。=94+2.keZ.又0<a≤2.所以w=2 得-品+治≤≤品+怎ez 所以)=巨in(2x-牙），故(A)正确： 所以)的单遥省区间呢[-号号+]女eZ 八)向右平移受个单位后得 由题意得 y=f(-智）=2in[2(x-）-年]=2sin(2x 品≤- - -)=-2sin2x,为奇函数，故(B)正确： 从而有 解得0<w≤ 3 h()=2sim(2-晋）+1， 4 2w w>0, 令2x-年=m,keZ得x=晋+钙ke乙， 故。的取值范围是(0，号] 所以对称中心为（日+经，1keZ,故(C)错误： 四、解答题 15.解：(1)因为函数(x)图象的对称轴与相邻对称中心 由)=1，得血(2：）=空 之间的距离为号，所以T=受，故0=票=4， 因为xe(0,m).所以2x-年e(-4,2m-平） 又八)的图象的一条对称轴方程为x=~ 又在(0，m)上有6个根，所以<2m-子≤25， 则4×（-)+g=受+km,keZ 解得me （要，]，故(D)精误故选(A(B. 即e=0+kmk后Z 2 高一数学北师大（必修第二册）第32~35期 又1p1<受，所以e=-& 所以号≤号≤，解得名≤1≤ 6 故)=4in(4-君）】片 (2)因为xe[-舞晋]所以4-君e-号，] 所以当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一 所以m(4-君）e【-.小， 周的过程中，点P离地面的高度不低于80米的时长为号秒 所以4i(4-若）e[-25,41. 18解：0)当0=-若时)=-2-1=（ 故八)在[-舞年]上的值城为[-25,4。 16解：)由题意，因为xe[], 所以当x=停时)一手 所以2x-7e[0,2m], 当x=-1时)=25 3 3 列表如下： (2)g(x)=x-+2an9,因为g(x)为奇函数. 6 12 12 6 则g(-x)+g(x)=-x+↓+21an9+x-↓+2an0= 2-号 0 4tan0=0,解得0=kπ，k∈Z. (3)函数f八x)的对称轴为x=-tan0, 3sin 2x 0 3 0 因为八x)在区间[-1,5]上是单调函数， 描点、连线，得出所要求作的图象如图2： 所以-tan0≥3或-tan0≤-1， -3sin(2 即tan0≤-3或tan0≥1. 11r7π 12 解得0e(m-受m-号]U[红+平m+受) 12 k∈Z 图2 19.解：(1)函数八x)=sinx是一个阶数为1的回旋函数 (2)先把y=nx的图象向右平移号个单位。 理由如下： 因为f八x)=sinx, 可得y=in(-号） 的图象； 所以f八x+I)=sin[r(x+I)]=-sin nx=-f八x), 再把所得图象的做坐标变为原来的了，纵坐标不变，可得 所以八x+1)+八x)=0, 所以函数f代x)=sinx是一个阶数为1的回旋函数. y=sn(2-号）的图象： (2)设f八x)=sinr是a阶回旋函数， sin[o(x+a)]+asin ox =0, 最后把所得图象的纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变， 若仙=0，则上式对任意实数x均成立； 可得y=3sin(2x-号)的图象 若w≠0，则sin[a(x+a)]=-asin ox, 由三角函数的值域可知a=±1， 17.解：(1)由题意得风机的角速度仙=π」 5 当a=1时，对任意实数x有sin[w(x+I)门=-sinr= 当1=0时，h=60. sin(o.x+T）, rA+B=140. ,A=40, 则ox+w=r+T+2kT,keZ, 所以 -A+B=60, 解得 B=100, 所以w=(2k+1)π，keZ: Asin +B =60. =-2 当a=-1时，对任意实数x有sin[w(x-1)门=sin ox, 则wx-w=wr+2kπ，k∈Z,所以w=-2km,k∈Z, 所以()=40im(2-）+10(0≤1≤5). 综上仙=mπ，meZ. (3)因为fx+a)+afx)=8in[w(x+a)]-1+asin ox (2)令h)≥80.则h)=40in(9-受）+100≥80， -4=0对任意的实数x都成立， 即cs≤，因为0≤1≤5.所以0≤≤2m, 由(2)可知a=-1,w=2mT,m∈N., 5 所以fx)=sin2mmx-1. 高一数学北师大（必修第二册）第32~35期 令)=0，解得=+点keN ×(花+=号（店+心，所以有花+花=3，故m 因为函数f八x)在[0,1]恰有100个零点， =3. 所以+盟≤1<点+四所u要≤a< + 8.因为P+P厉+P元=A 4 又因为meN.,所以m=100,所以w=200π. 所以P+P心=A店-P呢=A产 所以P乙=2A,即点P为线段AC的靠近点A的三等分点. 第33期2版 所以△ABP的面积与△BCP的面积之比=L立。 专项小练一 1P元 2 1.C:2.B:3.AD:4.FE,BC,CB:5.2. 二、多项选择题9.ABD:10.BD:1l.CD. 专项小练二 提示： 1.B:2.A;3.AB;4.2a+7b;5.a-b+c 专项小练三 10.子励=矿≠，故(A)错误： 1.D:2A:3.Bm:4-亮52 2成-可=（成-动=成=故(） 第33期3,4版 正确： 向量的基本关系，线性运算同步核心素养测评 A立-A=N≠MN,故(C)错误： 一，单项选择题1~4DCCC5~8DABB M+B配+D=M币+D示=MN,故(D)正确. 提示： 故选(B)(D). 1.(A),(B),(C)中向量各不相等，(D)中，AB=OC 11.如图2. 22a+2b-30)-3a-2b-c)=-3a+7b+0 选项(A),结合题意可得G= 2O元，所以(A)正确： 3.当b=0时，任意向量都与b共线，则a,c不一定共线， D (A)错误： 选项(B),G+GC=2G=-G」 图2 向量不能比较大小，(B)错误： 所以G+GB+G元=0，所以(B)正确： 对任意非零向量a,日是和它同向的一个单位向量， 选项(C),因为D为BC中点，G为△ABC的重心， 所以AC=2G,Gi=20G.∠AGH=∠DG0. (C)正确： 零向量有方向，其方向是任意的，(D)错误， 所以△AGH∽△DC0,所以A=2OD,故(C)错误： 4.作出0=a,AB=b,则0成=a+b,因为1al=1b1= 选项(D),向量O,0尼，0元的模相等，方向不同，故(D)错 1a+b1,所以△0AB为正三角形，且∠A0B=号，所以向量a 误.故选(C)(D) 三，填空题 与a+b的夹角为号 120-b+c:18.3:14.35 4 4 5.根据向量加法，减法的三角形法则可知， 提示： E序=AF-A正=(A店+B-(Ad+DE=AB 2由题知2x-子--++6=0，所以 号而)）-（而+分）=子丽子成 =子-+，所以x=-+7六 2 6.由题意，作图如图1： 13.根据向量的减法法则知D-D元=C, 则该飞机由A先飞到B,再飞到C,则AB=B 150 km,BC 350 km,a =AC, 则B属=2(Di-DC=2C成 则飞机飞行的路程为s=00km,IaI= 因为B函=B配+C,所以BC+C=2C成， /150+350=50√5⑧km, 移项可得C=2CB-B元=3C成 所以&>IaI. 所以C=3成，所以=3配：3 7.由+M元+M元=0知，点M为 图 1BC1B元 △4BC的重心，设点D为底边BC的中点，则可=号而=号 14.如图3，因为圆0的周长是3π，所以直径AB=3. 又因为C是圆周上的一点， 高一数学北师大（必修第二册）第32~35期 所以△ACB是直角三角形， 所以C店=M店-M元=a-b+a=a+(a-b), LACB =2 从而由1C正1=1C1,得1a+(a-b)1=1b1. 19.(1)解：依题意作图，如图6， 再由∠BAC=号得AC=AB 成=.0=b+e).=0 3 = 图3 所以0=46n号=号号：39即1i:9 -成=。+c-a),同理可得， 4 m=(a+c-b), 四解答题 15.解：因为ka+3b与2a+b共线， =2(a+b-c) 所以存在实数A,使a+3b=A(2a+kb). (2)证明：设线段EL的中点为P, 即(k-2A)a=(Ak-3)b. 由于a,b不共线所以-2升=0=±6. 则0丽=宁(0证+0d=a+b+e) ak-3=0 设FM,GN的中点分别为P,P, 即实数k的值为6或-6. 同理：0丽=子(a+b+c).0沉=子(a+b+e). 16.(1)证明：如图4,0+0元= 所以OP=OP=OP,故P,P,P三点重合，所以线段 20i,0+0元=20元 EL,FM,GN交于一点且互相平分 因为0A+20i+30元=(0+ 第34期2版 0C+2(0i+0=2(0元+20i =0,即20i+0正=0，所以0d与0正共线 专项小练一 又0币与0呢有公共点0，所以D,E,0三点共线。 1.BC:2.A;3.C:4.(-5,1);5.3a-4h. 6.解：依题意作图，如右图. (2)解：由(1)知210元1=10证1， 所以Se=2S6at=2x号5oem=2×子×子ae= 2 因为花=号，EF∥BC, 行a,所以2业=3. 所以序=号底 S &AOG 所以B酥=配+E萨=B配+B配 .解：设武=x则瓜=子 丽=双+麻=6 -号宿+号（花商 成=亦-之，-子x =-店+行花-a+写 专项小练二 又币=x,由而+成=得x+之，-子= 1.B;2.A;3.AD: 4.(2,3),(6,5),(4,2)：5.(10,-42). 解方程，得=配=争子 6.解：设点P的坐标为(x,y), 由成：-成，店=6-宁得 则A=(x,y）-(2,3)=(x-2,y-3) A店+λA元=(5,4)-(2,3)+A[(7,10)-(2,3)] 币=子-身r =(3,1)+A(5,7)=(3+5A,1+7) 18.证明：如图5，由△ABC是等 则(x-2,y-3)=(3+5,1+7). 腰直角三角形，可知1C1=1C21. 所以-2=3+5A, 解得=5+5以， y-3=1+7A y=4+7A 由M是斜边AB的中点， 即P(5+5A,4+7A). 得1C1=1A1=11. 图5 当点P在第三象限内时，有 5+5A<0, (1)在△ACM中，Ad=C-C=a-b,于是由1A 4+7x<0. =lCi,得1a-b1=lal. 解得入<-1. (2)在△MCB中，M元=A=a-b, 故当点P在第三象限内时，A满足的条件为入<-1. 5 高一数学北师大（必修第二册）第32~35期 第34期3,4版 4=25-4,当且仅当入=3即1=5时取等号. 平面向量基本定理及坐标表示同步核心素养测评 二、多项选择题9.AD:10.BD:11,BCD. 一，单项选择题1~4BBBB5~8BADB 提示： 提示： 9.由平面向量基本定理可知(A),(D)是正确的： 1.2a-3b=(-2,0)-(0,6)=(-2,-6). 对于(B),由平面向量基本定理可知，如果一个平面的基 2.由题意得x2=2(x+4),解得x=4或x=-2. 底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，所 3.由题意得b=励-店c=正-心=分病-2花， 以(B)不正确： 故2b+e-子故-动-子0 2 对于(C),当两向量的系数均为零，即入，=入，=4，=2 =0时，这样的入有无数个，所以(C)不正确。 4.不共线的向量能作为基底， 故选(A)(D). 因为e1-e=-(e2-e,),所以向量e,-e,e2-e,共线， I0.易证△DEN∽△BAN,又OB=OD, 排除(A): N是线段0D的中点，所以DE=专AB, 因为2e2-e,=-(-2e2+e),所以2e2-e1,-2e2+e 共线，排除(C); 所以正=+成=市+子，故(D)错误： 因为20，+6=(46，+2e,).所以26，+6,46，+2e,共 因为d=之花=子矿+之心，故(C)正确： 线，排除(D).故选(B). 5.设正方形边长为2，以A为原点，AB,AD为x轴，y轴的正 因为示=石+0示=（店+动+子（市商 方向建立平面直角坐标系，则M(2,1),D(0,2),B(2,0),C(2. 子而+店，故(A)正确，(B)错误 2).BD=（-2,2) 故选(B)(D) 依题意AC=AA+uBD, 1L.易知△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，且O为 即2入-24=2解得 =3 AB的中点，则入=以=弓2+公=之故(A)错： 1A+2μ=2， 4= 31 由可=}d+得3可=+成，所以cd-d 所以入+4= 5 -Cd+CB-Cd,则Cd=O+0成，故0为△4BC的重心，又 因为O为△ABC的外心，所以△ABC是正三角形，故(B)对： 6.点P在P,P的延长线上，1PI=21PP1, 若C⑦⊥A店时，可得CA=CB则A=A,故(C)对： 所以P是P,P的中点. 因为P(2,-1),P(0,5),所以P(-2,11) 若A>号4>则A+>1,故0点在△4BC外，则 7.因为AB与a=(1,-2)的夹角为π， △ABC为钝角三角形，故(D)对.故选(B)(C)(D). 所以AB=ka=(k,-2k)(k<0). 三，填空题 因为1A1=25,所以√+(-2k)下=25. 12.-71320+20:4(号-7）月 解得k=-2(舍正)，即AB=(-2,4). 提示： 设点B(x,y),因为A(2,1),所以AB=(x-2,y-1)= 12.因为=成+配=丽+=0成+子（丽+ (-2,4),所以x=0,y=5,即点B的坐标为(0,5). 8.由平面向量基本定理，且M,D,N三点共线可知： 0=}+是成，所以x==子所以x-y=-宁 A元=xA7+(1-x)AN=xAA店+(1-x)μA元 13.因为BE=3E 又而=店+励=丽+心=子店+配 所以配=子脉，亦=-=-子， Ax 3 4” 所以脉=a+亦=a-子证， ① 所以 解得4=4入-3 (1-x)4= 4 屁=子脉=b+花。 ② 所以入一 =A-4h-3=A+ -4≥2 由①+子x2得院㎡=a+动， 高一数学北师大（必修第二册） 第32~35期 即+ 所以4=1，解得=5， ly+1=-5,ly=-6. 14.因为心=之B配所以A为BC的中点，A心=， 所以点D的坐标为(5，-6) 设C(xc.Yc),则(xc-2,ye+1)=(1,-5), (2)因为a=A序=(2，-2)-(1,3)=(1，-5)， 所以点C的坐标为(3，-6)， b=BC=(4,-1)-(2,-2)=(2,1) 又1正1=动1，且E在Dc的延长线上， 所以ha-b=k(1,-5)-(2,1)=(k-2,-5k-1), a+3b=(1,-5)+3(2,1)=(7,-2) 所以成=-励， 由ha-b与a+3b平行， 设E(x,y),则(x-3,y+6)=- (4-x,-3-, 得(k-2)×(-2)-(-5k-1)×7=0,解得k=-3 「x-3=- 4-， 19.(1)解：不妨设O=ma+nb.由于A,D,M三点共线， 得 解得 则存在a(a≠-1)使得A=aM⑦，即Ad+Oi=a(Md+ y+6=- -3-0 y=-7 0,于是0= 0+a0 1+a 故点E的坐标为（弩-7） 又成=}成 四解答题 15.解：B币=c元-C店=(-2i+)-(i+) +g成 所以0=1+& 1 =-3i+(1-A)j, =1+a+21+b, 因为A,B,D三点共线，所以向量4B与B配共线， 则 m三1+a 即m+2n=1. ① 因此存在实数4，使得A店=B 即3i+2j=u[-3i+(1-A)j]=-3i+u(1-Aj, 4=2(1+a) 因为i与j是两个不共线的向量， 由于B,C,M三点共线，则存在B(B≠-1)使得C=B 所以业=3。。解得1 成，即d+0成=B(心+0，于是成=0元+B0远 u(1-A)=2,λ=3， 1+B 故当A,B,D三点共线时，A=3. 又0成=4， 16.解：由题意，知0=(1.0)，0亦=(0,1). 所以0成=4 0+B0成 设C(x,y),则O元=(x,y).因为0记=AO+uO, 所以(x,)=A1,0)+4(0,1)=(A),所以=A Ly =u 所以 m=41+B'p4m+n=1 ② 又因为∠A0C=石，0C=2, B n=1+B 所以A==2m石=54=y=2ain君=l 6 由①②可得m=7n=子，所以0=0+b 所以入+4=√5+1. (2)证明：由于E,M,F三点共线，所以存在实数n(刀≠ 17.证明：(1)因A,B,C三点共线，则存在实数k,使A心= -1)使得Ei=nM示，即Ed+O=7(Md+0),于是Oi= kAB0C-QA=k(QB-0A)0C=(1-k)0+k0B. 0正+n0证 令A=1-k,4=k,则O元=AO+u0i,其中A,4eR, 1+7 且入+u=I,结论成立 又0呢=A0,0=40B, (2)由A+4=1→入=1-4 所，程正：+骨 则0记=A0+uQ正=(1-u)Q+uQ成元-Q= 1+刀 u(QB-Q)曰AC=uAB=A,B,C共线.结论成立. 18.解：(1)设D(x,y) 入 由A=Cd,得(2，-2)-(1,3)=(x,y)-(4,-1), 则 消去得片+= 43 A+ 则(1，-5)=(x-4,y+1), 高一数学北师大（必修第二册）第32~35期 所以△ABC为直角三角形. 第35期2版 4.因为b=c,a2=2b(1-sinA), 专项小练一 由余弦定理得，d2=2b2-2b2cos4=2-262sinA, 1.AC:2.B:3.B:4.22:5.3 所以sinA=c0sA,又因为Ae(0,m）,所以A=平 6.解：假设存在实数m,使得me,+e与e:-e:垂直， 5.因为a,b的夹角为锐角，所以a·b=1×1+(-2)入> 则(me1+e2)·(e,-e)=0, 0且1×(-2)-1×A≠0， 所以me+(1-m)e,·e-e号=0. 因为le,1=2,1e21=3,e,与e的夹角0为60°， 所以Ae(-0,-2)U(-2,号） 所以e=le,12=4,e2=le22=9, 6.设△ABC外接圆的半径为R, e1·e2=|e11le2|cos0=2×3×cos60°=3， 25 所以4m+3(1-m）-9=0.解得m=6. 则. 故存在实数m=6,使得me1+e,与e1-e2垂直. 品A=c=2.即n20=C=2n, 专项小练二 所以R=25mC=宁 1.D:2B:3.A:4-7:5120 又C<A,所以C=30°，故(B)正确，(D)错误： 6.证明：由余弦定理得 c08B=+c2-B 所以B=30b-25.s=oin4=分×2 3 2ac ,eos C=e 2ab 代入90sB x号=停故()（©）错误 cos C 7.如图1所示，其中AS为塔高，设为h, a+eb 2ab b 2e‘02+B-元=2a+c 甲乙分别在B,C处 整理得a2+c2-b2=-ac. 由题意知，∠ABS=45°，LACS=30°，B以甲/ 所以B=d+-B。-合<0 BC=500,∠ABC=120°. 2ae 所以在Rt△ABS中，AB=AS=h, C乙) 图1 故△ABC是纯角三角形. 在Rt△ACS中，AC=3h, 专项小练三 在△ABC中，由余弦定理，得(3h)2=5002+h2-2×500 1.A:2.D:3.ABC:4.1:3:2;5.2 ×h×cos120°. 6.解：根据三角形内角和定理知∠BAC=180°-75°-60 所以h=500(来)（负值含去）. =45。根据正弦定理得，BC AB 8.由正弦定理可得2-62=bc, in∠BAC=sin∠ACB 所以a2=b2+bc. 即、BC 3 gin45o=sin60,所以BC= 3sin 45 8in60°=v6. 由余弦定理得a2=b+c2-2 becos A, 所以+bc=+c2-2 becos A, 第35期3,4版 即b=c-2 beos A, 从力的做功到向量的数量积，平面向量的应用同步核心素养测评 由正弦定理得sinB=sinC-2 sin Bcos A, 一，单项选择题1~4CBAC5~8DBDD 因为C=T-(A+B), 提示： 所以sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 1.因为AC=(1,2),B7=(-4,2), sin B sin Acos B-cos Asin B, 所以AC.B丽=-4+2×2=0，A元⊥BD, 即sinB=sin(A-B). 则该四助的面积为S=子14d励1=之×5×25=5 因为△ABC是锐角三角形， 所以0<A<号，0<B<受， 2.由题意得C⑦=(5,5)，4B=(2,1): C.A成=15,1A1=5, 所以-受<A-B<受 则向量可在矿方向上的投影数量为后=3,5 又y=mx在（受号》 上单调递增， 3.因为A店.B配+A应=A店.(B武+A=A店.AC=0, 所以B=A-B,则A=2B 所以AB⊥AC,所以∠BAC=90, 又0<B<号0<A=2B<号0<C=T-3B< 2 8 高一数学北师大（必修第二册）第32~35期 所以石<B<平，由正弦定理得2R b 2 因为a·b=1,所以a⊥b错误，故(A)错误： sin B=sin B' a·b=1,故(B)正确； 所以2<2R< 2 b·(a-b)=a·b-b2=1-1=0, sin 6 所以b⊥(-b),故(C)正确： 所以w2<R<2, 因为a≠b,所以(a+b)·(a-b)=a2-b2≠0，故(D) 所以外接圆面积S∈(2π，4π). 错误。 二、多项选择题9.BC:10.AB:11.BC. 故选(B)(C). 提示： 三，填空题 9.选项(A):因为A=45°，C=70°， 23e:132:14100m 所以B=65°，三角形的三个角是确定的值，故只有一解： 提示： 选项(B):因为mC=B-语<1，且e>6 b 12.由已知得A店=(2,1).C=(5,5),因此4店在C上的 所以角C有两解： 投影向量为可。：5.3 e = 选项(C):因为snB=6sin4=42<1,且6>a, 1ci152 2e. a 7 13.由题意得OP=OB+BP=OM+AP-x=5em, 所以角B有两解： 选项(D):因为sinB=sin4<L,且6<a, 在△A0P中，csa=0+0P3-AP 2·OA·0P =9+25-49 所以角B仅有一解. 2×3×5 故选(B)(C). 因为a∈(0，r), 10.因为la1=1b1=1且1b-2a1=3, 所以a==a:0A=2mm 所以(b-2a)2=b2-4a·b+4a2=1-4a·b+4=3, 14.由题图可知，∠BSA=360°-75°-150°=135°， 所以a:b=2 又∠SMB=45°-30°=15°，所以∠ABS=30°， 所以1a+b1=√(a+b)了=√+2a·b+b= AS AB 在△MB5中，in300=sin135 √1+1+1=3，故(A)正确： a在a+b上的投影向量的模长为9(a+b)_。+a·b 所以AB=4S·sin135。 0×号 l a b l sin 30 =10002, 2 1*2 = ，故(B)正确： 3 所以BC=AB·sin∠BAC=1000V2·sin45°= 1000(m). 因为1a-Ab12=a2-2Aa·b+Xb2=X2-A+1 四、解答题 12 33 =A-2)+4≥4 15.解：由题意，不妨设他两只胳膊的夹角最大为0,0∈ (0,), 所以1a-Ab1≥5,2 2>2 设此时两只胳膊的拉力为F,E,则1F,1=1F,1=。 3 mg N, 即不存在AeR,使得1a-Ab1=马，放(C)错误： 3 则1F1+F21=mg,即有1F,+F212=(mg)2, 当入=-1时，a-Ab=a+b, 所以F+F+2F,·F=(mg), 此时a-Ab与a+b的夹角为0，不是锐角，故(D)错误. 即(mg)2+宁(mg)2+2x(mg)2xcm0=(mg月， 故选(A)(B). 11.因为对任意的1∈R,恒有d(a,b)≥d(a,b), 放cm0=子，故0=号 所以对任意的1eR,1a-b1≥a-b1恒成立， 16.解：(1)由题意知1a+b12=d2+2a·b+b2=12, 即对任意的1eR,(a-b)2≥(a-b)2恒成立， 又1al=2,1b1=4, 又因为1b1=1,整理得： 所以a·b=-4, 对任意的t∈R,2-2a·b+2a·b-1≥0恒成立， 由(2a-h)⊥(a+b)得(2a-b)·(a+b)=0, 所以4=4(a·b)2-4(2a·b-1)≤0. 即2ka2+2a·b-a·b-b2=0. 即4(a·b-1)2≤0，所以a·b=1. 所以8k-8+4k2-16k=0, 高一数学北师大（必修第二册）第32~35期 解得k=1±√5 所以B+R的最小值为号 (2)a·(3a+b)=3a2+a·b=8, 19.(1)证明：因为e1,e2分别为Ox,Oy正方向上的单位向 13a+b1=V9a+6a·b+b=27, 量，且夹角为60°， 设a与3a+b的夹角为0， 则0= 8-27 所以e,e=1e,1le1cos60°=2 = 2×27 7 所以{，小·x2为 所以口与3a+b的夹角的余弦值为3识 =(x1e+1e2）·(xei+3e2) =xe+x为e1·e+ye1·e+ye 17.解：如图2，设A在东西基线和南 北 1 北基线的交点处 B 60 =61e12+Z+7+为161 西 由题意得∠BAC=60, 一东 D 60 1 过点B作东西基线的垂线，交AC =西+y+2(h+ 于D,则△ABD为正三角形， 图2 (2)解：因为向量a,b的“@未来坐标”分别为{sinx,1|, cos x,1. 所以BD=D=1mm∠C0=∠BCD=7∠B01=0, 所以f八x)=a·b=(inxe,+e3）·(cos xe,+e2) 所以∠ABC=90,BC=ACsin60°=2000×2 =sin xcos xei+sin xe1·e2+cos xe,·e+ei 1 10003km,1BC1=1000√5km sin xeos++(sin x+cos x), 答：飞机从B地到C地的位移大小是10003km,方向是 令1=ing+cosx=2in(r+平） 南偏西30°. 18解：（山由正弦边角关系得（只）广”-（÷） 则sinx0os￥=子(f-), 2sin Acos C+2cos B=2acos C+2cos B. 因为xeR,所以-2≤2sin(+平）≤2， sin B b 即-2≤1≤2， 所以a2-c2=2 abeos C+2 cos B. 由余弦定理得a2-c2=a2+2-c2+2 bcos B, 令g)=(2+1+0(-万≤1≤a), 即2(1+2c08B)=0, 所以csB=-子，又B∈(0，)，则B= 因为对称轴为1三一宁，函数图象开口向上 (2)由(1)及题设知，b=√a2+c2-2 aceos B= 所以当：=一立时g0)取得最小值(-）=方× V+5-2x3x5×()=7. (4-+)=受 如图3所示.此时N=之=子 当1=万时，g()取得最大值g(,2)=子×(2+万+1) 设BM=x,BN=y, =3+2 21 所以)的最小值为号最大值为生运 图3 由余弦定理得x2+2-200s2红=MN心=49 3 即+2+y=49 4 因为产++罗≤++2生兰=是+ 所以2+≥号×婴-碧 4= 6 当且仅当x=y= 5时取等号， 6 10车送台生方标工两米常怜)11国客：：轮降0测 本香秀年端插韩璃机 线的喷量报男物级 4151-1s 数理招 225军1月21日-量源五 高中数学 网板童门睡量国电线 厘34卓113 北博大 a151-2034 金出第二播 长不路火的 帮神十保 0西2 ： 的肉线上1。不 ，-2-3为京-，-5- 伊的解 西伟大的店字 期提内 丝出生在富着 分点坐标轻松求 新亦，是范 标4y,i2-3 的太民率观，再且香 用为正PA假上 的童年锅风 9山有凡情 线-2￥-3}-，-- 生后，化在走睛天群 1脑·时，赫子风 向道指残上转是套一点，列减宜香我机的外度 国-4+-2-43- -3-0 为个内至相羊明对展象样相羊“两考程性长复 而点r州学- 的内人民春之中 例1已如4(,3)，014。-3)，4P 点钾：妇向量得的术系确式向漫的美养时 理上，址，}网1，求a”n年 一无果江含的量的多向，食时，可举昌小弟 连P标为（一215到 一作，一件得 ,热B根帽可，子市年证丽 桶能种一底在2一4心间，这了行为恰春使解抽 之间的长，成后根酒舟量相等的沈具，利雪相 需见香王确的一个轨幅 量人：相发，在加上骨， 2已3，)，14，-，点P : 一，平肉车 1韩现明刚 理解概念要 套利用体各时闲单 在是时基银，本自言立甲离内任面 时流意和年众.为 掌握解题策略 去失车去好文址美 作活在.附的灯旦妇看基的升解是鞋一忆 票，冒两速说雄的大 料20-5量4(1a-2边)： 绿阳军，杯气修同 (3)时中个零真量共时不程座为平的宝 .e 软存下来的硫每超 基程 号为到量4多不共线， 上样年到高量游事理解时的一相传通 完且人民 (1)进定基表：2)进■同屏：（利 富棒的平丝作 - 合有关量定理算的对21中精行 12-1=0, 二，量的 成人止南起，他的传 化，起到到盖情2 平南命量引人卖标珍，可江得向麦的说里则 有以区杆的A是不存在卷 化★代相维厚，买税了“粗”有“竹有氧结分 民中人表 基毫，日#■，·A▣，2，心= 侧4已组▣(12)，=《-)2)，粒 其坐.4是以为基泥 4春同圆时w+洛a-4由平行？ 3已理量-新++场，4 解：为+2非年1-6,2+4 租N.nam ，或克位是的善 解：a+4.-，代人4 te:$2ey.r =-Me:+12e:.*le:ll e. 24-(14，-41 是不英的内量，洲量4厘止表中收金■4产 期=)×《-41-2+4)￥4=● emA6+14(#,-1 1博 因为=6，+好，且宾量，.是甲直有 -准系风：可区表子策平通内的的意一个向量。 面正数#的直：使A某，6三点线 T■位P, 载康某 分桥：请高，言，汇三是鼻线钟花为向量 4￥=2， 解：超r银表减a4,+人c式， 4-1 月-+3e+2▣1.l4,-每，。2￥，1 解：d里(00J40,11, 点用：子两向爱暴来发建中均年一性儿建一-，+巴，+1， 自该=00)-20,1)▣(1，-2： 的中同梦育故每 例地量.是不共找.=0-A=知 （-4,+24场+2h”h3年： d,2i1.004a0,41=(1 因双配线 分相：月的向量：A能零作内系气。夹梵无 4 阳以1μ-2x1-1)=0. 4,+120,3,解月 得a=4 解：园线存在4露，使得e■运 收的e“-4时A是，G三点线 N .租通 1.Bg 2.A: 5 (C14.9 三子 全二家 图 : 四禁提三基启開二」 想+彩 2..! E 21.M3A1.67.). 与82，在A中，D是线设上 平面向量基本定理及坐标表示 其考“起制了，它是两全选的有角可剂最一个小正方饼 的一个大不方感白国+，在“赵r中，者间=.，码 同步核心素养测评 n4周4品小值是 d甲域上有子.-)，4A).所4，→力三京，点公4真国 0数理限红法器研灵中心 眼上日d·宁城注信E纸6.型1尿·子，到 第【卷选年理（品5张身】 二，多增这推是：本题共3小思，每小题5常，共区分 回，期并超，本道共9小题，林行井 一单理将是：本题共题，小，共分 1捷4量。1-1，，0。(0,2)，侧24-3非有1 为的是 (8!对于千●内任帕4，使e4名+43天精时A# 《C已 )(7,21 (C1方期1子：+A角学A票利传，前有H月有一国 (A19成-6 4度-7 (有存实曲A:辞他得术卡林=，阅A=在=非 高中故学·必海第二（北种失量》同争的心杂养满坪 (2-4 40净减-3 c,函可但t,c的玩干去示清 B (矿.十环，子过 《对-诺-运 高中学·必海第二始北版 G+ 4m+ c访，请+福 的花-子话+证 4若，为是半的一个三在可F性量生为甲 向相王确名是 ac在高-象陆l,L·子，且r·1,碧证.A, 1石G:宁时，副A+ →，-2的4 42%4为，4物 头过厨王行形D中程是工的中 (1首1“，到△A治等边三角彩 《c)老元4市到3“供 (D石人字号：之子制4世为性胆n a警 2 策口物衣该怪理〔满好身】 长日P化-，0)只点P在AA你每情上，下产。 三，填皇题本观其1见，等小厘5分，青以分 21不1，则以P的与 -3.11 (货习 红，商过证。士，部。，减，减国-→ a子可 40)3.-T ,42,11,收n的￥为 6A114,￥ 4B[30 c-4 0)0,3