第32 期 三角函数的简单应用 本章综合-【数理报】2024-2025学年高一数学必修第二册同步学案（北师大版2019）

高一数学北师大(必修第二册) 第32~35期 ###### 答案详解 2024~2025学年 高一数学北师大(必修第二册) 第32~35期(2025年2月) 第32期2版 可得AB=AM +BMf$ =800 }+600* =1000(米).$ 连接P0,则在△AP0中.0P=AP·sin42*~670(米). 专项小练 连接0B.0C.OM,则在△OBM中 1. B; 2. B; 3. BCD; 4.17.3; 5.2. B_M60060 sin BOM= 6.解:(1)因为o一、#,所以r=2-=2-# B0670=67' 故 B0M=1.1.即 B0C=2.2. 以{-## 则彩虹BPC的长度约为(2n-2.2)x670=1340- 1474(米). -~30 (2)若7=1,则1- 980 ~24.8(cm). 7.由图象可知,8~13时这段时间温度先下降再升高, 第32期3,4版 (A)错误;8~16时最大温度为22C,最小温度为-2/2C 三角函数核心素养综合测评 最大温差为4/2C.(B)错误;8~16时0C以下的时长超过 一、单项选择题 1~4 BBCD5~8 CADA 提示: 。 点(13.22),故22oos(·13+) )2/2,解得= 3π . 故(x)=2v2co(+3)(16)=22cos(·16+ 2.因为cos(a+n)=-cosa= 31) --2.故16时温度为-2C.(D)正确. 8令=+由x=[-] 3.终边落在y= [-。. 终边落在y=v3x上的角为吾+rn(keZ). 作出函数y=2sinx的大致图象如图1所示 故角a的集合为{#+a<+-, # 4.由已知可得,/(x)=tanx(>0)的最小正周期T= ③1 所以/(吾)=tan-3. 5.由题设r-2--n得=2. 6. 则/(x)-2sin(2+"). 当x。[0."]时,2x+[]. 故/(x)=[-1,2]: 二、多项选择题 9.BC;10.AC:11.AB. 所以f(x)在区间[0.] 提示: 上的最大值与最小值的和等于1. 9.由点P(t.-2r)(1<0)在第二象限,可得a是第二象限 6.在△AMB中,由勾股定理. 角,但不一定是钝角,(B)正确,(A)错误; 高一数学北师大(必修第二册) 第32~35期 -2t--2.(C)正确; 三、填空题 tana= 12.{ ×&n+且x*--☆=#. 由sinx>0.cosa<0,则点(cosa,sina)在第二象限 (D)错误.故选(B)(C). 13.0;14.(0]). 10.因为S.与S.所在扇形的圆心角分别为0,2“-6. #2.R# 提示: r1+tanxz0. 12.由题可得 #x*+,ke乙, rtanx*-1. 即 { kn+k乙,# 所以函数的定义域是{ x{七&+且x*{-- 。5-1.所以6=(3-)“, 2π-0 2. ) 所以θ-(3-2.236)x180-138*,(C)正确; 13.函数f(x)=asinx+cosx=a+Isin(x+). (D)错误.故选(A)(C). 显然az0,sin=- 2+1 +1 11.由题图分析可知/(0)+-()-v2. 又函数/(x)的图象关于直线x= 对称, 即/(0)=-1. 故型+= #-<<,所以--# 故tan=t(→)=1-)则=1. #/(3)_、sin(3--)-# (-)- 0 所以3-π=2kn+-ke 乙. 8 14.由2k*n-π<x< 2kn+"(be 2), 即= 所以/(x)-2sin(2x-),故(A)正确; 由题意级[-][-202] ##=#( -3)=vin2(-3s)-_ =v2sin(2x -## -n)=-②sin2x.为奇函数,故(B)正确; 从而有行行#。 解得0<o< 3 222 (x)=2sin(2x-)+1. 故o的取值范围是(0.]. 四、解答题 15.解:(1)因为函数/(x)图象的对称轴与相邻对称中心 由/(x)-1.得sin2--)-}# 之间的距离为吾,所以r=,故-2--4. 因为x(0.m),所以2x-4=(-,2m-). 又/(x)的图象的一条对称轴方程为x=- 又在(0 m)上有6个根,所以10r<2m-π25. 则4x×(-语)+=-+^rkc&乙. (513). n,lrr,ke7. 解得me ,故(D)错误.故选(A)(B). 即= 6 高一数学北师大(必修第二册) 第32~35期 <1 25 6 故(x)-4sin(4x-). (2)因为x=[-],所以4-[-5]. 所以当风机叶片端点P从离地面最低位置开始,在转动一 秒. 所以sin(4x-)=[-1]. 所以4;i0(c-吾) [-2/<.41) #) 故/(x)在[-] 上的值域为[-2/3,4]. [#7)# 16.解:(1)由题意,因为xe 所以2x-[0.2], 列表如下: (2)g(x)=x-1+2tane.因为g(x)为奇函数, 。 5 #. 2- 11 7 则g(-x)+8(x)--x+1+2tan9+x- 12ianθ= =。 2-- 。 0 n 2nm 4tane=0,解得θ=kr,ke乙. =3sin2x-)。 -3 0 (3)函数/(x)的对称轴为x=-tanθ. 因为/(x)在区间[-1.3]上是单调函数 描点、连线,得出所要求作的图象如图2: 所以-tane=3或-tanθ<-1. _-3sin2:-等) 即tanθ<-/3或tan9三1. 解得θ (-k-+n+). E乙 图2 19.解:(1)函数/(x)=sinrx是一个阶数为1的回旋函数 (2)先把y=sinx的图象向右平移-个单位, 理由如下: 因为/(x)=sinnx. 可得y-sin(x-") 的图象; 所以f(x+1)=sin[n(x+1)]=-sinx=-f(x) 所以/(x+1)+/(x)=0. 所以函数/(x)=sinx是一个阶数为1的回旋函数 y=sin(2x--)的图象; (2)设/f(x)=sinx是a阶回旋函数. 则sin[o(x+a)]+asinox=0. 最后把所得图象的纵坐标变为原来的3倍,横坐标不变 若=0,则上式对任意实数x均成立; 可得y-3sin(2x-") 的图象. 若0,则sin[o(x+a)]=-asinx, 2. 由三角函数的值域可知a=+1. 17.解:(1)由题意得风机的角速度o= 当a=1时,对任意实数x有sin[a(x+1)]=-sinax= 当1=0时,h=60. sin(ox+n), A=40. A+B=140. 则ox+=ox++2kn,k=乙. 解得B=100. 所以 {-A+B=60. 所以o=(2k+1)n,k=乙; Asin+B=60. 当a=-1时,对任意实数x有sin[a(x-1)]=sinox, 则 x-=x+2k,k=Z,所以=-2kn,k=乙. 所以b(1)-40sin(2--)+100(0<1<5). 综上=mT,mEZ (2)令h(t)=>80.则h(t)=40sin(2--吾)+100=80. (3)因为/(x+a)+af(x)=sin[(x+a)]-I+asinx -a=0对任意的实数x都成立, 由(2)可知a=-1.o=2m,meN. 即cos 所以/(x)=sin2mrx-1. 高一数学北师大(必修第二册) 第32~35期 ×(A+A)=(AB+A),所以有AB+A=3A,故m 因为函数f(x)在[0.1]恰有100个零点; =3. 1.100 401 ,所以397 <1< <m< 8.因为PA+PB+P= 4m 又因为m=N.,所以m=100.所以 =2 00. 所以PA+P=A-P=A 所以PC=2AP,即点P为线段AC的靠近点A的三等分点. 第33期2版 专项小练一 1P1 1.C: 2.B: 3.AD; 4. FE,BC.CB; 5.2. 二、多项选择题 9. ABD; 10. BD; 11. CD. 专项小练二 提示: 1. B; 2.A;3. AB; 4. 2a+7b; 5.a-b+c 10.B-N+MN.故(A)错误; 专项小练三 ###-(c-)-#故(B) 1. D; 2.A; 3.BD; 4. - 第33期3,4版 正确; -A=NM=W.故(C)错误; 向量的基本关系、线性运算同步核心素养测评 一、单项选择题 1~4 DCCC 5~8 DABB B+B+D=M+D=M.故(D)正确 提示: 故选(B)(D). 1.(A).(B).(C)中向量各不相等.(D)中.A=0 11.如图2. 选项(A),结合题意可得CT= 20.所以(A)正确; 3.当b=0时,任意向量都与b共线,则a.c不一定共线. 选$(B)C+c-2- (A)错误; 图2 向量不能比较大小,(B)错误 所以GA+CB+C=0.所以(B)正确; 选项(C),因为D为BC中点,G为△ABC的重心. 所以AG=2CD.C=2 OG AGH=2DG0. (C)正确; 零向量有方向,其方向是任意的,(D)错误 所以△ACH△DGO,所以AR=2OD,故(C)错误; 4.作出OA=aAB=b.则OB=a+b.因为lal=1 b= 选项(D).向量0A.0B,0C的模相等,方向不同,故(D)错 误.故选(C)(D). la+bl.所以△OAB为正三角形,且乙AOB=,所以向量a 三、填空题 与a+b的夹角为 5.根据向量加法、减法的三角形法则可知, 提示: EF=-=(+B)-(A+D=(+ #34)-(+)-3 6.由题意,作图如图1: 则该飞机由A先飞到B,再飞到C.则AB=B- 13.根据向量的减法法则知D-D-CB 则B-2(D-D)-2CB 150 km.BC=350 km.a=A. 则飞机飞行的路程为s=500km,1a|= 因为BA=BC+C.所以B+C&A=2C 150 +350 =50/58km 移项可得CA-2C-B-3CB 所以s>Ial. 所以-3,所以31-3. 1心 1C1 7.由A++=0知,点M为 图! 1B1 14.如图3.因为同0的周长是3n.所以直径AB=3 又因为C是圆周上的一点, 高一数学北师大(必修第二册) 第32~35期 所以△ACB是直角三角形, 所以CB=MB-M=a-b+a=a+(a-b), #ACB -## 从而由lCBì=1CA1.得|a+(a-b)1=1b1. 再由乙BAC=得AC=4B 19.(1)解:依题意作图,如图6. ## 4.o#e(6+e)#E=o# 图3 图6 L 4 四、解答题 ##v-(a+b-).# 15.解:因为a+3b与2a+b共线 所以存在实数入,使ha+3b=A(2a+kb) (2)证明:设线段EL的中点为P 即(h-2A)a=(Ak-3)$b [k-2A=0→k=+6. 则$ P =#(o+o#=(a+b+c). 由于a.b不共线,所以 l-3=0 设FM.GN的中点分别为P.,P. 即实数k的值为6或-6. 同理:0P=(a+btc)oP =(a+bte), 16.(1)证明:如图4.0+0= 所以OP =0P =0P,故P.P.P、三点重合,所以线段 0.04+0=20E EL.FM.GV交于一点且互相平分 因为0A+20+30=(0A+ 第34期2版 )+2(0B+0)=2(OE+20 =0.即20+0E=0.所以OD与O共线 专项小练一 又0D与OE有公共点0.所以D.E.0三点共线 1. BC: 2.A; 3.C; 4.(-3.1);5. 3a-4b 6.解:依题意作图,如右图 (2)解:由(1)知2101=101. 因为AE-ABEF/BC. 所以$oo =25△co 2x2$scn =2×3} 1sac= 所以-# 1$.o, 3. Soc 所以B=B+EF=B+-BC 17.解:设=x.则-, #-4(tì) #-+n--.# ---+b. ##--△4-4 专项小练二 #=x.由+D=得+e-4= 1. B; 2.A; 3.AD; 解方程,得--4。-2 4.(2.3),(6.5).(4.2);5.(10,-42). 6.解:设点P的坐标为(x.y). 由---得 则=(x,y)-(2,3)=(x-2.y-3). #--4。# AB+AA=(5.4)-(2.3)+A[(7.10)-(2.3)] =(3.1)+A(5.7)=(3+5A.1+7$). 18.证明:如图5,由△ABC是等 则(-2.-3)=(3+5.1+7). 所以[¥-2=3+5 腰直角三角形,可知1C&1-1CB1. 解得{x=5+5A. 1y-3=1+7. 1y=4+7. 由M是斜边AB的中点. 即P(5+5A,4+7A). 得ICMI=1AM1=IM (1)在△ACM中,AM=C-CA=a-b.于是由l A1 当点P在第三象限内时,有15+5A(0. 14+7<0. =1CcM!,得la-b1=lal. 解得A<-1. (2)在△MCB中,MB=AM=a-b 故当点P在第三象限内时,A满足的条件为A<-1. 高一数学北师大(必修第二册) 第32~35期 第34期3,4版 3即-3时取等号. 4=2/3-4.当且仅当A= 平面向量基本定理及坐标表示同步核心素养测评 二、多项选择题 9. AD; 10. BD;11. BCD. 一、单项选择题 1~4 BBBB 5~8 BADB 提示: 提示: 9.由平面向量基本定理可知(A).(D)是正确的; $.2 a-3b=(-2.0)-(0.6) =(-2.-6)$ 对于(B),由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基 2.由题意得x*=2(x+4),解得x=4或x=-2$$$ 底确定,那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的,所 3.由题意得b=A-ABc=AE-A-AB-2A 以(B)不正确: 对于(C),当两向量的系数均为零,即A =A=&= =0时,这样的A有无数个,所以(C)不正确 4.不共线的向量能作为基底. 故选(A)(D). 因为e-e=-(e-e),所以向量e-,e-.共线, 10.易证△DEN△BAN,又OB=OD. 排除(A); 因为2e.-=-(-2e+e.),所以2e.-.,-2e。+e. 所以=+=+故(D)错误; 共线,排除(C); 因为2e+e。=- 因为A-=+,故(C)正确; 线,排除(D).故选(B). 因为AN-A+o=(A+A)+△(-AB)= 5.设正方形边长为2.以A为原点,AB,AD为x轴,y轴的正 方向建立平面直角坐标系,则M(2.1).D(0.2).B(2.0),C(2. 2).B=(-2.2). 故选(B)(D). 依题意AC=AAV+B 11.易知△ABC是以C为直角顶点的直角三角形,且0为 [2-2=2解得 l+2=2. $-c+cB得3c-cx+CB,所以c-c& -C+C-c.则C-0+0B,故0为△ABC的重心,又 因为0为△ABC的外心,所以△ABC是正三角形,故(B)对; 6.点P在PP的延长线上.1PPI=21PP1 若C1AB时,可得CA=CB则A三j,故(C)对; 所以P是PP的中点 因为P(2.-1).P(0.5),所以P(-2.11) 7.因为AB与a=(1,-2)的夹角为n. △ABC为钝角三角形,故(D)对.故选(B)(C)(D) 所以AB=ra=(k.-2)(k<0). 三.填空题 12.-:13.25+2; 14.(-7). 因为1AB1=2v5,所以 k+(-2)^*}=2$5$$ 解得k=-2(含正),即AB=(-2.4). 提示: 设点B(x.y),因为A(2.1),所以AB=(x-2.y-1)= 1$2.因为=0B+B=+-B=0+(B+ (-2.4),所以x=0,y=5.即点B的坐标为(0,5). 8.由平面向量基本定理,且M.D.V三点共线可知 A=AM+1-x)A-AB+(1-)A 13.因为B-3F. $#AB=AB+B=AB+寸B-3AB+寸A 所以-3.r----3. 所以-a+cr-a-. [x= ① 所以 B-3B- (1-x)=- 1 A 高一数学北师大(必修第二册) 第32~35期 所以点D的坐标为(5,-6). 设C(xc,y),则(x-2,ye+1)=(1,-5), (2)因为a=AB=(2.-2)-(1,3)=(1,-5). 所以点C的坐标为(3,-6). $=B=(4.-1)-(2,-2)=(2.1). 又1Cl-1E1,且E在DC的延长线上, 所以r-b=k(1.-5) -(2.1) =(k-2.-5k- +3b=(1,-5)+3(2.1)=(7,-2). 所以CE--. 由a-b与a+3b平行. 得(k-2)x(-2)-(-5k-1)x7=0.解得k=- 19.(1)解:不妨设OM=ma+nb.由于A.D.M三点共线, 解得 得 则存在a(a *-1)使得AM=M.即A+OM=(M +6=- =-7. o).于是o-0+on 故点E的坐标为(8,-7). 1+g ##o-o. 四、解答题 $5.解:B=c-C=(-2i+j)-(i+ +“B 所以oM= ab. =-3i+(1-A)/. 1+0 因为A.B.D三点共线,所以向量AB与BD共线. [m= 1+a' 则 即m+2n=1. ① 因此存在实数n.使得AB=BD. [n=2(1+a) 即3 +2j=-3i+(1-A)j ]=-3{+(1-)j. 因为7与/是两个不共线的向量. 由于B.C,M三点共线,则存在$($*-1)使得CM=B [-3=3, 所以 # 即Co o=B(oB),于是+Bo (1-A)=2,” 1+B ##o-0## 故当A,B.D三点共线时,A=3. 16.解:由题意,知0A=(1.0).0B=(0.1) 4o+B0 设C(xy).则0=(x.y).因为o=AoA+B. 所以0M= 1+B .[m=4(1+B) 1 =. 即4m+n=1. 所以 ② 又因为2A0C-.0C=2. #= 由①②可得-,所以o--a+3b.# 所以A+=③+1. (2)证明:由于E.M.F三点共线,所以存在实数n(n 17.证明:(1)因A.B.C三点共线,则存在实数k,使AC= -1)使得EM=nMF,即E+OM=n(M+0F).于是OM= $A B-A =$B-A0=( $-$ $+$ B$ #+n0f 令$=1-k,=hk.则=oA+B,其中A,{B$ #=00=0B. 且A+=1.结论成立. _ $($2)由A+=1→A=1-{$ 所以o-Ao+ 1+n 则=o+=(1-)+-0= #△。+,_7, 1+n (OB-0A)→AC=AB→A.B.C共线.结论成立. 1+n # 18.解:(1)设D(x.y). 由AB=C,得(2,-2)-(1,3)=(x,y)-(4.-1). 则 #4# 则(1,-5)=(x-4,y+1). 高一数学北师大(必修第二册) 第32~35期 第35期2版 所以△ABC为直角三角形. 4.因为b=c.a”=2b(1-sinA). 专项小练一 由余弦定理得,*=26}-2b^cosA=2b^}-26}sinA$ 1. AC: 2. B: 3. B: 4.2/2: 5.3 所以sinA=cos A.又因为Ae(0.n),所以A=- 6.解:假设存在实数m,使得me,+e与e-e。垂直. 5.因为a,b的夹角为锐角,所以a·b=1x1+(-2)\> 则(me.+e)·(e.-e。)=0. 0且1x(-2)-1xA:0. 所以me{}+(1-m)e.·-e=0 所以Ae(-,-2)(-2.). 因为!e !=2,le.1=3.e 与e、的夹角e为60^. $所以e{=le1^}=4,e=le1^}=9$$ 6.设△ABC外接圆的半径为R. e 'e=le. 1leIcosθ=2x3xcos 60*=3 ## 所以4m+3(1-m)-9=0.解得m=6 sin 20 3=2R 故存在实数m=6.使得me.+e。与e-e。垂直 专项小练二 所以R-23 #3,sinC 1.D; 2.B:3.A;4. - 又C<A.所以C=30*,故(B)正确.(D)错误; 6.证明:由余弦定理得 3 .cosC+- $$os B}-6 3 2ab 2ac #### ③ 3.,故(A)(C)错误. b 一、得 7.如图1所示,其中AS为塔高,设为h. 2c2-6 2ab 甲乙分别在B.C处. 2c 由题意知, ABS=45*,乙ACS=30*$ 整理得a+c-b?=-ac. B(甲 .10. B$C =500, ABC=120* 所以cos B+- 所以在Bt△ABS中.AB=AS=h. 2ac C(乙) 图1 故△ABC是钝角三角形. 在Rt△ACS中,AC=/3h 专项小练三 在△ABC中,由余弦定理,得(3h)=500}+h^*}-2x50$ 1. A; 2.D; 3.ABC: 4.1:3:2: 5. 2. xhxcos 120o. 6.解:根据三角形内角和定理知 BAC=180。}-75*-6 0* 所以h三500(米)(负值含去). BC 8.由正弦定理可得a-6=bc, =45*.根据正弦定理得- sin/BAC sin/ACB 所以a}=b+bc. 3 3sin45。 由余弦定理得a*=b+c-2becosA. sin 600=v. 所以b}+bc=b+c*-2becosA. 第35期3.4版 即b=c-2bcosA. 从力的做功到向量的数量积、平面向量的应用同步核心素养测评 由正弦定理得sin B=sinC-2sin BcosA. 一、单项选择题 1~4 CBAC 5~8 DBDD 因为C="-(A+B). 提示: 所以 sin C =sin(A+B) = sin Acos B+cos Asin B. 1.因为A =(1,2),B=(-4.2). 则sin B = sin Acos B-cos Asin B. 所以A·B=-4+2x2=0.A1B 即sinB=sin(A-B). 则该四边形的面积为s=1A1-1B1-xv5 ×2/5=5. 因为△ABC是锐角三角形. 2.由题意得C=(5.5),AB=(2.1); 所以-A-_# ·A=15.1AB=. 又y=sinx在(-) 上单调递增, 3.因为AB·BC+AB =AB·(BC+AB)=A·A=0 所以B=A-B.则A=2B 所以AB1AC,所以乙BAC=90。 $$$<B-0<A=2B<-0c=-3B<2$ 8 高一数学北师大(必修第二册) 第32~35期 因为a·b=1.所以aIb错误,故(A)错误 sinB=sinB' a·b=I.故(B)正确; # $b (a-b) =a·b-b=1-1=0 所以b1(a-b),故(C)正确; 所以2<R<2. 因为a≠b,所以(a+b)·(a-b) =a}-b}0.故(D) 所以外接圆面积Se(2n,4n). 错误. 二、多项选择题 9. BC; 10.AB;11. BC. 故选(B)(C). 提示: 三,填空题 9.选项(A):因为A=45*$C=70$ 13.2n; 14.1000m. 所以B=65*},三角形的三个角是确定的值,故只有一解; 提示: 选项(B):因为sinC-esinB83 <1,且c>b. 15 b 12.由已知得AB=(2.1).C=(5.5).因此AB在C上的 所以角C有两解: A.C 投影向量为 1c 5/2 选项(C):因为sinB- d 7 13.由题意得0P=0B+BP=0A+AP-x=5c m.$ 所以角B有两解: 0A+0P-AP} 在△A0P中,cosa= bsinA <1.且b<a. 2·0A·0P 选项(D):因为sinB= 0 9+25-49 所以角B仅有一解 2x3x5 故选(B)(C). 因为a=(0,n), $0.因为lal=lbl=1且lb-2al=3 所以a= 所以(b-2 a)$=b$-4á·b+4$=1$-4áa·b+4 =3$ 14.由题图可知,B$A=360*-75*-150*=135^$}$$ 又乙$AB=45^*$-30*$=15^*},所以 ABS$=30$$ =va+2a·b+b AB 所以!a+b1=(a+b)} 在△ABS中,AS .sin300= sin 135' 1+1+1=3,故(A)正确; a在a+b上的投影向量的模长为.(a+b)a}+a.b 所以ABAS·sin135。 la+b1 sin30* ③ 2 -1 所以 BC =AB·sin BAC =1 000/2·sin 45*=$ 3 1000(m). 因为la-bl^{}=^}-2a·b+b$}=A}-+$$ 四、解答题 -()# 15.解;由题意,不妨设他两只胳膊的夹角最大为6.0e (0.m). 则1F.+F$1=mg,即有1F. +F 1}=(mg)} 当$=-1时,a-xb=a+b. 所以F+F+2F ·F:=(mg)^。 此时a-Ab与a+b的夹角为0.不是锐角,故(D)错误 即(mg)+(mg)}+2x(mg)”xcos e=(mg)”, 故选(A)(B). 故coso-,故-. 11.因为对任意的!eR.恒有d(a.tb)>d(a.b). 所以对任意的i=B,la-ibl>la-bl恒成立 16.解:(1)由题意知la+bì^{}=a^}+2a·b+b}=1 2 即对任意的(ER,(a-tb)>(a-b)}恒成立, 又1a1=2,1b1=4. 又因为1b1=1,整理得: 所以a·b=-4. 对任意的t=R,r-2ta·b+2a·b-1>0恒成立 由(2a-kb)1.(ka+b) 得(2a-hb)·(ka+b) =0. 所以A=4(a·b)-4(2a·b-1)<0 即$ ka}+2a·b-ka·b-kb*}=0. 即4(a·b-1)<0,所以a·b=1. 所以8k-8+4k}-16=0. 高一数学北师大(必修第二册) 第32~35期 解得=1+3. $($2)a·(3a+b) =3a}+a·b=8.$ 19.(1)证明:因为e.e。分别为Ox.Oy正方向上的单位向 3+bI=9a^$+6a·b+b$=2$7$$ 量,且夹角为60*, 设a与3a+b的夹角为θ. 所以e ·e =Ie lle!cos 60*= 则cos9-a.(3a+b) 2x2/7 所以x,y·x, =(xe +ye)·(xe +ye) =x.x e+xye.+xye.·+yye} 17.解:如图2,设A在东西基线和南 1 1+1+,-x+x11 1. 北基线的交点处 西 由题意得乙BAC=60o。 过点B作东西基线的垂线,交AC 南 图2 于D,则△ABD为正三角形, (2)解:因为向量a.b的“未来坐标”分别为sinx.1l 1cosx.1. 所以BD=CD=100 km, CBD=. BCD=/ BDA=30°, 所以f(x) =a·b=(sinxe. +e)·(cos xe. +e) ③ = sin xcos xe}+sin xe.·e+cos xe·e+e} 所以 /ABC =90*BC =$ACsin 60*$=2 000 t$$ 10003km.1 B1=10003km. 令(=sinx+ cosx=2sn(x+). 答:飞机从B地到C地的位移大小是1000v3km.方向是 南偏西30。. (#)# ()= 则sin xcosx=- 18.解:(1)由正弦边角关系得 2sin Aeos C 2cosB -2acos C 2osB, 因为xR,所以-2<2sin(x+)<2, sinB 即-2<1<v2. 所以a}-c=2abcos C+2bcos B, 由余弦定理得a}-c=a}+6-^2+2b^}cos B$ 即6(1+2cos B)=0. 因为对称轴为t=- 1,函数图象开口向上, (2)由(1)及题设知,b=a+c-2accos B #(-)-3.## #3+5-2x3xx(-)-7. 当#-2时,g(1)取得最大值g(\2)-x(2++1) -32. 设BM=x.BN=y. 2 所以(x)的最小值为.最大值为32 C 图3 2n =M②= 由余弦定理得?+y2-2xycos 49 3 4' 49 即+y+xy= ## 因为☆,+< 所以+y=249-4 6 7/3 当且仅当x=y= 时取等号, 6 10球速号到 本高海栏端横养玻机 保钢￥国整量装内球 a151-3ys 国低重日量量装摩线 数理相 年2月日-星五 高中数学 32114 北抑大 参修前二番 川的个春 解读考题 点得：通过秀平心真接通脑，金欲化★同名 生，复有型三角通自图审的县别 我的州学家，就型海 制3已知a是箱.湖屏数代，1 帝卡之父 落实考查形 的一生海 仿山案明制 三的用家性国的考直 二.同年高后有等机店属法间积 使权的平 是理解京汤收，角综汤鞋在[0,2=]上的性 目音军他名笔黑限 准，奇准，量大编蜂翼小属，写利健用单4 有人真气 其无，她格上了层 的有左飞完 船，因为h取，3n✉（☑+年1博象夹于 5,02程 的第二个常无论飘 F国= iBib ca cr 点得：未烟专金制两、用品载的用段冷桂 1U》1 有气处，风 想就是透明的会体且y。四+的民零赠包： 又55>45+以维55炉多an4好 有的利听星外，解丰烟采期了排隆读，有需西 或窗高产的 备足水目，转式地风 止了程大有 角 膜型 0+301正+ -10xL41+044量 %51家： 12)的计在旋士 样中有多少天的白自 应用举 创上在一个在口，相次桌解发生为可 司过组3小 关T1阴NA)的网家运从地西说函股 玉带用样，标论柳同 作昌R作的院因： ，无 例1据长期纯事，某格料山4上s纯 如右 H.( 1.00 29, 美由%据大架15件，氧用时达W象4 得八小0,35]上纳国拿上年样12个 干5所即=55与)时的中浦保次华餐 12)h)105, 里和水，写了 +世中，得(3+e)+2-s (44量 (011 (49量 1●112力量 23g-24 实的，具于 求学想，为了国客和 用4转气1《2独， 的议填函检购解所大是y■如（名： 图垃双5川 解得4e。 灯4柱=n+2 品鞋，儿高专中的业组型。是表看文把鸡学的 当115.5月： 0著 N I.B.1.M sEI+·:+16e中 三。！ .已数)正+ 三角函数核心素养综合测评 mt-别 口数理服壮试理明究中心 (6)(30mt-1 Pa) 明下红说住中主确的健 13必4年参首国.C电某天以。 算1翰择前《头8分】 的的服度变山线（加增）近组满民 一，角项透理理：本大班共小轴.身小期3分，共好分 办5的国与右平移之个单位餐室日得到的新函酸或西 1,精-35化图庭制，路的基 章4t短[象，岭的相1量进正 1-7 )-子 - 1B落一益为想指过3七 G湾-时0℃以P纠地为39到 1 )-音 到 人点国引.已划角e白落面区城 内（不合零，角的件位和，身 -子己其使有一与11，同。事值拉国 三，空：本满事小显，畅小5，我5升 14,+x 2业知，4五 g+号w<号+宁人z 二，多通韩圆：本酒共)酒程酒6分，共分 江.已球机直44+一4约图数关干直线：中是对 头乔期。热动经tA代，一2山：。创.则下列结论可 6牙+nn<号+上 称，/小) m景+空<m号+空1x 1用海是算=路凝月 维第二一北大版一心综合 4有找：1置几)量e时a>g)4s坐行交力中 1G4m4-1 ，解本围共多小，共门分 )- og 随，一好鳞议F,析审可有作哥从一个国 0,5 中聘下的扇竹五t,名国4，设国的国 1为5，心为面中分 更演为 4区国号引上约晚大最镇的十 为“更舆刚”，下消转论F诗归0参专性屏，5=上21( tt02-万 某A计在[-品引上的应城 ,1 w÷ 量：想.山？情妈 15度，青，审性1，期名一2 中C的这悦，4P足眼睛与机我真点的电 化)为南“美鲜T,测等=1对 ()矿美”，南的中经，的