河北省承德、张家口市2025届高三下学期统一模拟考试（一）数学试题

2025年普通高等学校招生全国统一模拟考试（一） 数学参考答案及评分标准 2025.3 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.C 【解析】由题意得B=(一8，一1,0,1}，所以A∩B={一1,0,1}，故选C. 2.D 【解析】将这6个数排序为2,2,3,45,8，所以中位数为343.5，平均数为2士2牛3十4十5十84 故选D. 3.C 【解折]由题意知名一干一是-，所以- 0,故选C 2 4.D 【解析】由题意可知，在选出的4个数中必须含有7，以及8,9两个数之一，其他两个数则选自1， 2,3,…6,故其选法种数为CC=30,而从9个数中随机取出4个不同的数共有C=9X8X7X6= 4×3×2 126(种)取法，故所求的概率为P-器-员，故选D, 5. 【解折1因为。为纯角，所以-1<osa<0,放方程。十高。=1又可写为1十。。 y? =1,所以C为双曲线.设双曲线C的实半轴长和虚半轴长分别为a,b,半焦距为c,所以c2 一cosa 1十cosa十（一cosa)=1.因为直线x+y十2=0与双曲线C只有一个公共点，且该直线的斜率为 -1,所以直线必与一条渐近线平行，所以名-1，故a-6-号，所以e=反，故选B. 6.C 【解析】因为直线l的一-个方向向量为(1，tana),且过点F(0,子)，所以l的方程为y=xtan a十 子，将其代人2=y,得x-（ama)x-名-0. 设P,(a),P,),则西十=an,x=一子 所以|P1Pg|=√tana+1·|x1-x2|=tana+1·√(x1+x2)-4x1x2=1+tan2a,故选C. 数学参考答案及评分标准第1页（共9页） 7.A 【解析】由f(1十x)=f(1一x)可知，函数图象关于直线x=1对称，即f(x)=f(2一x). 由f(3+x)十f(3-x)=0可知，函数图象关于点(3,0)对称，即f(x)=-f(6-x), 所以f(2-x)=一f(6-x),即f(x)=-f(4十x),将x替换为x+4得f(x+4)=-f(x十8). 由f(x)=-f(4+x)可得，f(1)=一f(5),f(2)=-f(6),f(3)=-f(7),f(4)=-f(8), 所以f(1)十f(2)+…+f(8)=0. 又因为f(x)=一f(x+4),所以f(x)=一（一f(x十8）)=f(x十8)，因此f(x)是周期为8的周 期函数， 故f(1)+f(2)十…十f(2025)=f(2025)=f(8×253+1)=f(1)=-f(5)=-1,故选A. 8.A 【解析】因为A(一1,0)，B(1,0),所以外心F在y轴上，设其坐标为F(0,b),则|AF1-ICF1, 所以1+8-2+g一，所以6-￡+-三（≠0），即F0,+-马. 2y 2y 设H(x,n),则A方=(x+1,n),B武=(x-1,y).因为A方·BC=0,所以x2-1+ym=0, 所以n=1二，之（≠0，所以Hx,与子）.又因为F-+%A, y 即(，33号)=（贤，0，所以03之-0 2y 1一m 2y 故点C的轨迹方程为x2+苦-1（≠0），所以-1<±0<1，所以m<0,故选A 1一m 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.ACD 【解析】函数fx)的零点个数就等价于方程og(一xP=aH的解的个数，即函数y=1og(一zx)》 与y=a的图象交点的个数，故两个函数的图象有如下三种情况： 3% 方432.河个234 5-4-3-2-10 54-3-202343 234 所以函数f(x)的零点个数为0或2或4，故选ACD. 数学参考答案及评分标准第2页（共9页） 10.AB 【解析】设球O的半径为R,则4πR2=16π，解得R=2,故A正确； 设平面ABC截球面所得小圆的半径为r,又因为AB=BC=CA=3,所以r 号×AB=号 号×3=，故所求小圆的面积为3x,故B正确； 设截面ABC截得的小圆圆心为O',则OO=√R一r=√4一3=1， 又因为点P,O,O共线，PA>AB=3,所以点P到平面ABC的距离为R+OO=2+1=3,故C 错误； 球体挖去四面体PABC后余下部分的体积为号×8x一号×X3=号：-8孕 4 3一 ,放D错误。 故选AB. 11.ACD 【解析】将x换成一x,同时将y换成一y,方程不变，所以曲线C关于原点中心对称； 将x换成一x,y不变；将y换成一y,x不变，两种情况下方程都不变，所以曲线C关于x轴和y 轴都对称，故A正确。 将直线y=kx代入C的方程得x*(1+)2=2c2x2(1一2)，即x2(1十k2)2=2c2(1-2),所以 1一k2>0,所以一1<k<1,故B错误. 令x2=s(s≥0)，y2=t(t≥0)，则(s十t)2=2c2(s-t), 所以s2+2(t-c2)s+t2+2c21=0, 所以△=4(2+c-2c2t)-42-8c2t=4c2(c2-4t)≥0， 所以≤心，所以，即y<, 所以-<≤2c 由上知，s=(c2一t)士c√一4t,即s1=c√一4一t十c2,显然为减函数， =-c-4-计，所以= 40-1= 2c-1=N2-4t 4 -1≥2-1>0，即52 为增函数， 又因为0≤≤，所以∈[，2c],∈0，]，即[0,2] 所以一√2c≤x≤√2c, 所以曲线C在直线x=士区c与y=士c所围成的矩形区域内，故C正确， 数学参考答案及评分标准第3页（共9页） 由上知，曲线上的最高点的坐标为（停c,0)和（一，0。 所以，随若参数c的变化，这些最高点一定在曲线y=士号x(>0)上， 即在曲线y=1x上，故D正确 3 故选ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.4-2 【解析】因为1一G=是+1， 所以a2-a2,=2是+1， 品+1 i-di-+1, 因为a1=2, 所以a片-n=4- 1 2-7… 13.0,) 【解析】因为f(0)=4bc,f(1)=2(1-b)(1-2c),所以f(0)·f(1)=8bc(1-b)(1-2c)>0. 又fo)·f1)=81-01-2)=4·61-0·2a1-2e)≤42+.2+2=是 2 当且仅当6=号，c=号时取等号，但0<<2c<1,所以“=”取不到。 故f(0)·f1)的取值范围是(0，子). 14.510(第一空2分；第二空3分) 【解析】法1：以“马”的初始位置为原点，棋盘的横竖两边为轴建立坐标系. 依题意得“马”每次只能按向量(1,2)或(2,1)行走. 设落点为(a,b)(0<a≤8,0<b≤9)，按上述两向量前进的次数分别为x和y, 数学参考答案及评分标准第4页（共9页） 则x(1,2)+y(2,1)=(a,b), x+y=a十b 3 x+2y=a, 所以 2b-a 2x+y=b, 3 2a-b 3 第一空：因为a=7,b=8,所以x十y-7十8=5. 3 2a≥b, 第二空：因为x≥0，y≥0，所以 2b≥a, 又因为α十b为3的倍数，且该马只能向右前方行走，所以， 当a十b=3时，对应的点为(1,2)，(2,1)： 当a十b=6时，对应的点为(2,4)，(4,2)，(3,3)： 当a十b=9时，对应的点为(3,6)，(4,5)，(5,4)； 当a十b=12时，对应的点为(5,7)，(6,6). 故第二空填10. 法2：根据规则要求，画出树状图，也可得出该马可能落点的个数.（略） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解：(1)如图，作PE⊥AB于点E.因为平面APB⊥平面ABC,平面 APB∩平面ABC=AB, 所以PE⊥平面ABC. 2分 又因为PA⊥PB,∠PAB=30°， B 所以AP=4×=23,所以PE=号AP=5, 即所求的距离为3。 …5分 (2)以E为原点建立坐标系如图， 则P(0,0,W3),A(0,-3,0),B(0,1,0),C(2,-1,0).…6分 因为Q为AC的中点，所以Q(1,一2,0)， 所以PC=(2,一1，-√3)，PB=(0,1,一√3)，P0=(1,-2,一√5).…8分 Pt·m=0,2x-y-3x=0, 设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),则 Pi.m=0,y-√3x=0, 取=1，得x=y=√3， 即m=(W3W3,1),…11分 数学参考答案及评分标准第5页（共9页） 所以PQ与平面PBC所成角0的正弦值为 sin0=|cos(P吃，m=IP·m=V4g |Pm14 …13分 16.解：(1)当a=2时，f(x)=lnx-2(x十1)，所以f(x)=】-2,所以f1)=-1.因为f1)=-4, 所以切点为(1，一4)，所以曲线f(x)在x=1处的切线方程为x十y十3=0.…5分 (2)因为若3x∈(0,2]，使f(x)>0, 即对x6(0,2],使f)=n工az+10>0有解，即a青在z(0,2]有解.…7分 1+1-Inx 令g)-青，则8)=（+ …9分 再令h()=1+士-nx,所以()=一是一士<0，所以h()单调递减，……11分 所以A()≥h(2)=号-lh2>0, …12分 即x∈(0,2]，g(x)>0,g(x)单调递增，故g(x)=g(2)=h2, 3 …14分 即a的取值范图为(-0，子). …15分 17.解：(1)因为7sin2B=√3 bcos B,所以14 sin Bcos B=√3 bcos B, 所以品B局 14 …2分 又因为B为三角形内角，且c0sB-是，所以血B-√一（留- …3分 又snC=inA+B)=sm(经+B)=m经casB+osnB=号×贤+(2）X 5w3 14, 5分 所以，由正弦定理得c= sinB·sinC-14×53 5 14 6分 v3 (2)设△ABC外接圆的半径为r,则 2r= 。=4,所以r= sinB√3 3 8分 又因为A-子，所以a=品B·nA-着×停=7， …9分 3 2 所以△ABC外接圆圆心到边BC的距离为 11分 数学参考答案及评分标准第6页（共9页） 故BC边上的中线最小值为r一d=73-?3-73 3 …13分 6 6 此时△ABC的面积为2BC,一d)-合×7X75-4 12 …15分 6 18.解：(1)设短轴的一个端点为C(0,b),左、右焦点分别为F(-c,0),F2(c,0),其中c>0,则c2+=a2. 因为△F1F2C为直角三角形，所以b=C,…3分 解得a=V2c-√2h,所以e=c=2 …4分 a 2 y2 《2)由(1)知a=26,则椭圆E的方程为行十左=1，…5分 代人直线y=x一3，可得3x2一12x十18-2b=0.……………6分 又直线y=x一3与椭圆E只有一个交点，则△=122一4×3(18一2b)=0,解得6=3， 所以椭圆E的方程为后+苦=1. ……8分 (3)易知点A(2,1)在椭圆上，设点M(x1,y1),N(x2,y2). 因为AM·AN=0,即(x1一2)(x2一2)+(y-1)(y2-1)=0①.…9分 (I)当直线MN的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx十m, 代人椭圆E的方程，消去y并整理得(1十2k2)x2十4kmx十2m2一6=0， 万于20巧五2回。……10分 4km x1十x2=一 根据y1=kx1十m,y2=x2十m,代人①整理可得 (k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0. 将②代人，得（质+1件2求+(m一长-2(-年0）十(m-1+4=0, 所以(2k十3m十1)(2k十m一1)=0.…12分 因为A(2,1)不在直线MN上，所以2k十m-1≠0，所以2k+3m十1=0，k≠1， 故直线MN的方程为y=k(x一号)-了，所以直线MN过定点H(号，-子. …13分 (菲)当直线MN的斜率不存在时，可得N(x,一y), 代入①整理得(x1一2)2十1一y1=0, 结合君+兰-1，解得=2（合去），-号，此时直线MN也过点H(号，-子， 综上可知，直线MN恒过点H(号，一专。 ………15分 因为=，1矿，即为△AMN斜边上的商的长。 MNI -器、1AH1=4g 叉因为直线MN恒过点H(号，-专，所以 3 数学参考答案及评分标准第7页（共9页） 下面验证等号是否成立： 法1：因为此时AH的斜率为1，所以要想等号成立，MN的斜率就应为一1， 故MN的方程为y=一x+子，代人椭圆方程得27x2-12x-52=0,所以x=2生4,10 9 所以M2+4,1-4),N2-4,1+4), 9 9 9 9 所以=2十四，kN=二严，所以kM·k=一1，满足条件，故等号成立， 4-√/10 4+W10 所以的最大值为学 …(不写验证不扣分)17分 法2：因为直线MN的方程为y-(红一子)- 1 所以点A(2,1)到直线MN的距离d=4k-1L 3/1+k 令fk)=-1= 1+k2-2k 2k √1+E√1+k 1-1+及’ 2k 2-2k2 再令g()=1十，当≥0时，8()≥0.当<0时，由g()=1+=0,得=-1，所以 g(k)min=-1, 所以点A到直线N距离的最大值一号×V币-华即等号度立，所以密 的 最大值为 (不写验证不扣分)17分 19.(1)解：由题干可知am,b.,cn分别表示第n次学习后接着学习技能Y,S,W的概率. 由第一次学习Y得，a1=0,a2=寻，所以学习技能Y的次数=1,2，故其分布列为 1 2 P 3 1 3分 所以，E()=1×圣+2×号-号。 4分 (2)解：由题意知， a=+1… 1 3 2aw-1十 4-1, 2a。-1+3 1 C= 6-1, 5分 数学参考答案及评分标准第8页（共9页） 所以a1=子6十6)=[a+61十6-门=41+最1+c, 3 41 所以a1=0,十4a-1, …6分 所以a+1十 即数列a.一号}为公比等于-是的等比数列，…8分 故a-号=(a,-号)X(-子)1=-号×(-子)， 所以a.=号1+（1）]… 9分 所以当n为偶数时0，-号1十)单调递减，所以号<a,<a,- 当n为奇数时，a,=号1-)单调递增，所以a,<号 故a,的最大值为子 10分 (3)证明：结合(2)得，=5a-1·21=·21=2 …11分 又因为y,=2+4十…十2n=2(1十2+…十n)=n(n十1)，所以 名1=√2=√y·x1, 2=√·x1+(√所+√)·x2=√·x2十V2·(x1十x2), =√为·(x十x2)十（√h+√2十√为）·x=√·x十√2·x十√·(x1十x十x), n=√n·(十x2十…十x,-1)+(√+√2十…+ym)·xn=y·x+√2·xn+…+ ya…(无1十x2十…十xw),… …13分 所以S=√仍·(x十x2十…十x)+√h·(x十十…十x)十…+√·(x十x十…十x) =(所+√+…+√)·(x1十2+…+x) =(+++)1+2+++动) =(√+奶+…+√)·2(1-2)<2(+√历+…+).…15分 因为V.=Va(n+D<+n+D_2m+1 2 2， 所以S.<2X3+5+…+(2m+D=(m十2》. …17分 数学参考答案及评分标准第9页（共9页）2025年普通高等学校招生全国统一模拟考试(一) 数 学 2025.3 注意项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上 无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 1.设集合A-(-2,-1,0,1),B-(yly-x,xA),则A0B= A.(0,1) B.(-1,0) C.(-1,0,1) D.(o) 2.数据2,3,8,5,4,2的中位数和平均数分别为 A.3.5和2 B.3和4 C.4和2 D.3.5和4 A# B./2 C. D.3 4.从集合(1,2,3,.,8,9)中随机取出4个不同的数,并将其从大到小依次排列,则第二 个数是7的概率为 C. D 1十cosa cos a 树 C的离心率为 A# B./2 C D2 6.已知抛物线C:x2一y的焦点为F,过点F的直线1交C于P.,P。两点,若1的一个方 向向量为(1,tana),aE(0,),则P.Pl= A.1十cos2a B.1+sin2a C.1十tana D. 数学试题 第1页(共4页) __ 7.已知定义在实数集上的函数f(x)满足以下条件:①f(1十x)=f(1-x);②f(3十x)十 f(3-x)=0;③f(5)-1.则f(1)+f(2)+.+f(2025)= B.0 A.-1 D.2 C.(-~1} B.(-1,o) A.(-oo,0) D.(o,十o) 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项 符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.函数f(x)-log.(-x)}-al(a>1)的零点个数可以为 C.2 B.1 D.4 A.0 10.已知球O的表面积为16x,点P,A,B.C均在球面上,且PA-PB-PC,AB-BC- CA-3,PA>AB,则 A.球O的半径为2 B.平面ABC截球面所得小圆的面积为3 C.点P到平面ABC的距离为2/③ D.球体挖去四面体P-ABC后余下部分的体积为93 11.如图,在平面直角坐标系中,曲线C为伯努利双纽线,其中F(一c,0),F。(c,0)为焦 点,点P(x,y)为C上任意一点,且满足lPFl·lPFl=c^{,曲线C的方程为(x十 y*)?-2c?(x?-y”)-0.则下列说法正确的有 y A.曲线C为中心对称图形和轴对称图形 B.若直线y一kx与曲线C恰有3个交点,则 #-#<## 的矩形区域内 数学试题 第2页(共4页) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 13.已知函数f(x)-2(x-b)(x-2c),0<b<2c<1,则f(0)·f(1)的取值范围是 14.我国历史文化悠久,中国象棋就是国人喜闻乐见的一种娱乐方式.不同棋子行走的 规则各不相同,马走日字象走田,车走直路炮翻山,即“马”只能由“日”字格子的一个 顶点沿“日”字的斜线走到相对的另一个顶点A,A。.,A,如图1.请据此完成如 下填空:如图2,假设一匹马从给定的初始位置出发,且规定其只能向“右前方”行 走,则其运动到点P所需的步数为_;该马运动到点P所有可能落点(不包 括点P)的个数为__. 魏河 图1 图2 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)如图,已知三楼锥P-ABC中,PA|PB,AC1BC,平面APB1平面ABC, PAB-30*, BAC-45*,AB-4 (1)求点P到平面ABC的距离; (2)若Q为AC的中点,求PQ与平面PBC所成角的正弦值 16.(15分)已知f(x)-lnx-a(x十1),aEB (1)若a=2,求曲线f(x)在x一1处的切线方程; (2)若3x。(0,2,使f(x。)>0,求a的取值范围 数学试题 第3页(共4页) (2)当BC边上的中线最小时,求△ABC的面积 18.(17分)已知Fi,F:分别为圆E.+一1(a>b>0)的左、有焦点,C为短轴的一 个端点,△F.F-C是直角三角形. (1)求圆E的离心率; (2)若直线y=x一3恰好与圆E相切,求圆E的方程; (3)在(2)的条件下,设直线1不过点A(2,1)且与E交于两点M,N,若AM·AN-0, AM|AN 求 -的最大值. 1AM-AN1 19.(17分)某研究机构开发了一款智能机器人,该机器人通过交替学习不同技能Y,S. W来提升综合能力.初始时,机器人选择学习技能Y,且每次学习Y后会等可能地 选择学习S或W;每次学习S后,有0.25的概率继续学习Y,0.75的概率学习W; 每次学习W后,有0.25的概率继续学习Y,0.75的概率学习S.设a.,b.,c.分别表 示第x次学习后接着学习技能Y,S,W的概率 (1)若机器人仅进行三次学习,求学习技能Y次数的分布列及其数学期望; (2)求a.及其最大值; (3)已知x=|5a.-1·2*-1,y.-2+4+.+2n. v2,(n-1), 2一 V.(x+x+.+-)+(+十.+5)x.(n>2). 若数列(z.)的前n项和为S.,证明:S.<n(n十2) ,_1 数学试题 第4页(共4页)