2025年中考数学专题训练：角度问题（二次函数综合）

2025年中考九年级数学专题训练：角度问题（二次函数综合） 1．如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点． (1)求二次函数的解析式； (2)若在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标． 2．如图，为已知抛物线经过两点，与轴的另一个交点为，顶点为，连结． （1）求该抛物线的表达式； （2）点为该抛物线上一动点（与点不重合），设点的横坐标为． ①当时，求的值； ②该抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，经过点A（0，-6）的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于B（-2，0），C两点． （1）求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标； （2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线y1，若新抛物线y1的顶点P在△ABC内，求m的取值范围； （3）设点M在y轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，直接写出AM的长． 4．如图1，抛物线交轴于，两点（在的左侧），与轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，，点在抛物线上，且满足，求点的坐标； （3）如图2，直线交轴于点，过直线上的一动点作轴交抛物线于点，直线交抛物线于另一点，直线交轴于点，试求的值． 5．如图，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点．    （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点，使，若存在请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 6．如图，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）设点在第一象限的抛物线上，连接，.试问，在对称轴左侧的抛物线是否存在一点，满足？如果存在，请求出点的坐标：如果不存在，请明理由； （3）存在正实数，（），当时，恰好满足，求，的值． 7．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线的顶点为A，且与y轴的交点为B，过点B作轴交抛物线于点，在CB延长线上取点D，使，连接OC，OD，AC和AD． （1）求抛物线的解析式； （2）试判断四边形ADOC的形状，并说明理由； （3）试探究在抛物线上是否存在点P，使得．若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为C(3，6)，与轴交于点B(0，3)，点A是对称轴与轴的交点．    （1）求抛物线的解析式； （2）如图①所示，直线AB交抛物线于点E，连接BC、CE，求△BCE的面积； （3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E． （1）求这条抛物线对应的函数表达式； （2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是平行四边形OABC的面积的，求点R的坐标； （3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．    10．如图1，抛物线y=ax2-4ax+b交x轴正半轴于A，B两点，交y轴正半轴于C，且OB=OC=3． （1）求抛物线的解析式； （2）点D为抛物线的顶点，点G在直线BC上，若，直接写出点G的坐标； （3）将抛物线向上平移m个单位，交BC于点M，N（如图2），若∠MON=45°，求m的值． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别相交于，两点， (1)求a，b的值； (2)点是第一象限内该抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点． ①求的最大值； ②是的中点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 12．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． (1)求此抛物线的函数解析式． (2)点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 13．抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B． （1）求此抛物线的解析式； （2）已知点D 在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D’的坐标; （3）在（2）的条件下，连结BD，问在x轴上是否存在点P，使，若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由. 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（m＜0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），该抛物线的对称轴与直线相交于点E，与x轴相交于点D，点P在直线上（不与原点重合），连接PD，过点P作PF⊥PD交y轴于点F，连接DF． （1）如图①所示，若抛物线顶点的纵坐标为，求抛物线的解析式； （2）求A、B两点的坐标； （3）如图②所示，小红在探究点P的位置发现：当点P与点E重合时，∠PDF的大小为定值，进而猜想：对于直线上任意一点P（不与原点重合），∠PDF的大小为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由． 15．如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知． （1）求m的值和直线对应的函数表达式； （2）P为抛物线上一点，若，请直接写出点P的坐标； （3）Q为抛物线上一点，若，求点Q的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考九年级数学专题训练：角度问题（二次函数综合）》参考答案 1．(1) (2) 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）求出点坐标，可得是等腰直角三角形，即得，得到， 过点作交抛物线于点，过点作轴于点，可得，得到是等腰直角三角形，即得，设，则，可得，，进而得到，解方程即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把、代入得， ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得(不合，舍去) 或， ∴． 2．（1）；（2）①或或或；②点的坐标为(，)或（0，5） 【分析】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）①先求得直线的表达式为：，利用，解方程即可； ②分点P在直线BC下方、上方两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得： ， 解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）①令，则， 解得或，即点， 如图1，过点作轴的平行线交于点， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入一次函数表达式得， 解得， 并解得：直线的表达式为：， 设点，则点， 则， ∴或， 解得或或或； ②设直线BP与CD交于点H， 当点P在直线BC下方时， ∵∠PBC=∠BCD， ∴点H在BC的中垂线上， 线段BC的中点坐标为， 过该点与BC垂直的直线的k值为-1， 设BC中垂线的表达式为：， 将点代入上式并解得： 直线BC中垂线的表达式为：， 同理直线的表达式为：， 解方程组，得：，即点， 同理可得直线的表达式为：， 解方程组， 得：或（舍去）， 则， 故点P (，)； 当点P（P′）在直线BC上方时， ∵∠PBC=∠BCD， ∴BP′∥CD， 则直线BP′的表达式为：， 将点B坐标代入上式并解得：， 即直线BP′的表达式为：， 解方程组， 得：x=0或-4（舍去-4）， 则， 故点P（0，5）； 故点P的坐标为(，)或（0，5）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏． 3．（1）抛物线的解析式：y=x2-2x-6，顶点D（2，-8）；（2）3＜m＜8．（3）AM的长为4或2． 【详解】试题分析：（1）该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A、B两点坐标代入即可得解． （2）首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，从而用m表示出该函数的顶点坐标，将其代入直线AB、AC的解析式中，即可确定P在△ABC内时m的取值范围． （3）先在OA上取点N，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMB即可，显然在y轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点；以y轴正半轴上的点M为例，先证△ABN、△AMB相似，然后通过相关比例线段求出AM的长． 试题解析：（1）将A（0，-6）、B（-2，0）代入抛物线y=x2+bx+c中，得： ， 解得． ∴抛物线的解析式：y=x2-2x-6=（x-2）2-8，顶点D（2，-8）； （2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：y=（x-2+1）2-8+m， 即：y=（x-2+1）2-8+m．它的顶点坐标P（1，m-8）． 由（1）的抛物线解析式可得：C（6，0）． ∴直线AB：y=-3x-6；直线AC：y=x-6． 当点P在直线AB上时，-3-6=m-8，解得：m=-1； 当点P在直线AC上时，1-6=m-8，解得：m=3； 又∵m＞0， ∴当点P在△ABC内时，3＜m＜8． （3）由A（0，-6）、C（6，0）得：OA=OC=6，且△OAC是等腰直角三角形． 如图，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°． ∴∠ONB=∠NBA+∠OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB， 即∠NBA=∠OMB． 如图，在△ABN、△AM1B中， ∠BAN=∠M1AB，∠ABN=∠AM1B， ∴△ABN∽△AM1B，得：AB2=AN•AM1； 由勾股定理，得AB2=（-2）2+（-6）2=40， 又∵AN=OA-ON=6-2=4， ∴AM1=40÷4=10，OM1=AM1-OA=10-6=4 OM2=OM1=4 AM2=OA-OM2=6-4=2． 综上所述，AM的长为4或2． 考点：二次函数综合题． 4．（1）；（2）；（3）8 【分析】（1）求出点的坐标，由抛物线的解析式可得出的值，则可得出答案； （2）延长、交于点，设点点的坐标为，求出直线的解析式为，解方程组可求出点的坐标，联立直线和抛物线解析，则可得出答案； （3）设点的坐标为，，由题意得出，设直线，由得出，则，可得出，由点的坐标可得出． 【详解】解：（1）对于抛物线，当时，， ∴点的坐标为，即， ∵， ∴，即点的坐标为， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）延长、交于点， 设点点的坐标为， ∵， ∴， ∴，即， 整理得，， 解方程得，，， 则点的坐标为， 设直线的解析式为：， 则， 解得，， ∴直线的解析式为：， ∵点在直线上， ∴， ， 解得，， ∴点点的坐标为， 设直线的解析式为：， 则， 解得，， 则直线的解析式为：， 解方程组，得，， ∴点的坐标为； （3）设点的坐标为，， ∴直线的解析式为， 联立，得， ∴， ∴， 设直线， 联立， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 5．（1）；（2）存在，， 【分析】（1）把点AB的坐标代入即可求解； （2）分点P在轴下方和下方两种情况讨论，求解即可． 【详解】（1）∵二次函数的图象经过点A(-1，0)，B(3，0)， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）存在，理由如下： 当点P在轴下方时， 如图，设AP与轴相交于E，    令，则， ∴点C的坐标为(0，3)， ∵A(-1，0)，B(3，0)， ∴OB=OC=3，OA=1， ∴∠ABC=45， ∵∠PAB=∠ABC=45， ∴△OAE是等腰直角三角形， ∴OA=OE=1， ∴点E的坐标为(0，-1)， 设直线AE的解析式为， 把A(-1，0)代入得：， ∴直线AE的解析式为， 解方程组， 得：(舍去)或， ∴点P的坐标为(4，)； 当点P在轴上方时， 如图，设AP与轴相交于D，    同理，求得点D的坐标为(0，1)， 同理，求得直线AD的解析式为， 解方程组， 得：(舍去)或， ∴点P的坐标为(2，)； 综上，点P的坐标为(2，)或(4，) 【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法，等腰直角三角形的判定和性质，解方程组，分类讨论是解本题的关键． 6．（1）；（2）存在，；（3）， 【分析】（1）根据待定系数法解答即可； （2）由可得，连接，如图，则易得轴，进一步即得，在轴上取点，使，并延长交抛物线于点，然后根据三角形全等即可证明∠PBC＝∠DBC，求出直线BP解析式后与抛物线解析式联立即可求出P点坐标； （3）由已知可变形得，由可得，于是可得m的范围，进而可确定，从而可根据二次函数的性质得：当时，y最大值，当x=n时，y最小值，于是可得关于m、n的方程，解方程并结合题意即得m、n的值． 【详解】解：（1）把点，代入抛物线， 得：，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）存在，理由如下： ∵，点在第一象限的抛物线上， ∴，∴， ∵， ∴， ∴， 连接，如图，则轴， ∴， ∴， 在轴上取点，使，并延长交抛物线于点， 则≌， ∴， 设直线解析式为：，把，代入得：，解得：，， ∴直线解析式为， 解方程组：，得，（舍去）， ∴； （3）由可得：， ∵，当时，恰好， ∴，即， ∴，即， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线，且开口向下， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，y最大值，当x=n时，y最小值． 又，∴ 将①整理，得，变形得：，即． ∵，∴，， 解得：，（舍去），， 同理，由②解得：（舍去），（舍去），； 综上所述，，． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了利用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、全等三角形的判定和性质以及求两个函数的交点等知识，综合性强、难度较大，属于试卷压轴题，其中在轴上取点，使，构造三角形全等是解第（2）小题的关键，熟练掌握二次函数的性质、灵活应用分解因式法解方程是解第（3）小题的关键． 7．（1）；（2）四边形ADOC是平行四边形，见解析；（3）存在，P的坐标是或 【分析】（1）首先求出点B，C的坐标，再代入抛物线即可求出b、c的值即可； （2）求出抛物线顶点A的坐标，再证明AC=OD，AC//OD即可证明四边形ADOC是平行四边形； （3）分点P为抛物线与y轴负半轴的交点和点P为抛物线与x轴负半轴的交点两种情况求解即可． 【详解】解：（1）轴，点C的坐标为， 点B的坐标为， 把B，C两点的坐标代入， 得，解得． 抛物线的解析式为． （2）四边形ADOC是平行四边形，理由如下： 点B的坐标是，点C的坐标为， ，， 由（1）得，抛物线的解析式为， 顶点A的坐标为． 如答图，过点A作于点E， 则，，． ， ， ． 轴， ， ， ，， ， 四边形ADOC是平行四边形． （3）在抛物线上存在点P，使得． 点C的坐标为，轴， ，， ， 点P为抛物线与x轴负半轴或y轴负半轴的交点． 情况1：当点P为抛物线与y轴负半轴的交点时，点P与点B重合， 此时点P的坐标为． 情况2：当点P为抛物线与x轴负半轴的交点时，解方程， 得，．（不合题意，舍去） 此时点P的坐标为， 综上所述，当点P的坐标是或时，． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式，二次函数对称轴顶点坐标的公式，平行四边形的判定和性质等知识，求得A的坐标是解题的关键． 8．（1）；（2）；（3）D点坐标为，存在，Q点坐标为(0，)或(0，) 【分析】（1）通过设顶点式，再用待定系数法求解即可； （2）先求出AB的解析式，进而求出E的坐标，从而利用割补法计算面积即可； （3）作DG垂直于对称轴，在中求解即可得到D的坐标，此时以A为圆心，AC为半径作圆弧，与y轴交于点Q，则满足∠CQD＝60°，从而在 中计算即可得到结果． 【详解】（1）∵抛物线顶点坐标为C（3，6）， ∴设抛物线解析式为， 将B（0，3）代入可得， ∴,即． （2）设直线AB：，      将A(3,0)代入上式并解得， ∴直线AB：． 联立、，得， 解得， ∴E(9,-6)， ∴． （3）设D点的坐标为， 过D作对称轴的垂线，垂足为G，              则， ∴∠ACD＝30°，∴2DG＝DC， 在Rt△CGD中，CG＝DG， ∴， ∴t＝3+3或t＝3（舍） ∴D（3+3，﹣3）， ∴AG＝3，GD＝3， 连接AD，在Rt△ADG中， ∴AD＝＝6， ∴AD＝AC＝6，∠CAD＝120°， ∴在以A为圆心、AC为半径的圆与y轴的交点为Q点， 此时，∠CQD＝∠CAD＝60°， 设Q（0，m），AQ为⊙A的半径， ， ∴， ∴， ∴， 综上所述：Q点坐标为（0，）或（0，）． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，熟练求解函数解析式并进一步求解交点坐标是关键，同时灵活构造辅助线是解题的关键． 9．（1）y＝﹣x2+x+；（2）（，）或（，）或（1+，）或（1﹣，）；（3）点P的坐标为（1，）或（1，3）或（1，-3）． 【分析】（1）根据平行四边形的性质及点A坐标可得抛物线的对称轴为直线x=1，可得﹣＝1，把点A坐标代入抛物线不等式可得0＝4a﹣2b+，解方程组求出a、b的值即可得答案； （2）根据抛物线对称轴方程及点A坐标可得点D坐标，根据△ADR的面积是平行四边形OABC的面积的可得出点R的纵坐标，代入抛物线解析式可求出点R横坐标，即可得答案； （3）作△PEQ的外接圆R，根据圆周角定理可得∠PRE=90°，可得△PRE为等腰直角三角形，由在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°可得⊙R与直线MD相切，可得RQ⊥MD，根据对称轴可得点M坐标，即可得出DE、DE的长，根据勾股定理可求出DM的长，设点P（1，2m），根据等腰直角三角形的性质可得PH＝HE＝HR＝m，即可得出R（1+m，m），利用S△MED＝S△MRD+S△MRE+S△DRE可求出m的值，即可得点P坐标；根据DE=ME可得∠MDE=45°，可得点M符合题意，过点D作DF⊥DM交对称轴于F，可得∠FDE=45°，可得点F符合题意，根据DE=EF可求出点F坐标，综上即可得答案． 【详解】（1）∵A（-2，0），四边形OABC是平行四边形， ∴BC//OA，BC=OA=2， ∵抛物线与y轴交于点B， ∴抛物线的对称轴为直线x＝=1，则x＝﹣＝1①， 将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+②， 联立①②得， 解得， ∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+； （2）∵A（-2，0），抛物线对称轴为直线x＝1， ∴点D（4，0）； ∵△ADR的面积是▱OABC的面积的， ∴×AD×|yR|＝×OA×OB，则×6×|yR|＝×2×， 解得：yR＝±， 当y=时，， 解得：，， ∴R1（，）或R2（，）， 当y=-时，， 解得：x3=，x2=， ∴R3（，）或R4（，） 综上所述：点R的坐标为（，）或（，）或（1+，）或（1﹣，）． （3）作△PEQ的外接圆R，过点R作RH⊥ME于点H， ∵∠PQE＝45°， ∴∠PRE＝90°， ∵RP=RE， ∴△PRE为等腰直角三角形， ∵直线MD上存在唯一的点Q， ∴⊙R与直线MD相切， ∴RQ⊥MD， ∵抛物线对称轴为直线x=1， ∴当x=1时y==3， ∴点M坐标为（1，3）， ∵D（4，0）， ∴ME＝3，ED＝4﹣1＝3， ∴MD＝=， 设点P（1，2m），则PH＝HE＝HR＝m，则圆R的半径为m，则点R（1+m，m）， ∵S△MED＝S△MRD+S△MRE+S△DRE，即×ME•ED＝×MD×RQ+×ED•yR+×ME•RH， ∴×3×3＝××m+×4×m+×3×m， 解得m＝， ∴点P坐标为（1，），    ∵ME=MD=3， ∴∠MDE=45°， ∴点P与点M重合时，符合题意，即P（1，3）， 过点D作DF⊥MD，交对称轴于F，则∠FDE=45°，符合题意， ∴EF=DE=3， ∴点F坐标为（1，-3）， ∴点P坐标为（1，-3），    综上所述：点P的坐标为（1，）或（1，3）或（1，-3）． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质并灵活运用分类讨论的思想是解题关键． 10．（1）y=x2-4x+3；（2）；（3）m= 【详解】试题分析：把 代入 解方程组即可． 直线BC:y=-x+3,设点根据两点之间的距离公式，列出式子，求出的值. （3）如图2中，将△OCM绕点O顺时针旋转90°得到△OBG.首先证明MN2=CM2+BN2，设 则设平移后的抛物线的解析式为由 消去得到 由 ，推出关于直线对称，所以 设 则 利用勾股定理求出以及的长，再根据根与系数关系，列出方程即可解决问题． 试题解析：(1)∵OB=OC=3， 代入 得 解得 ∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3． （2）直线BC:设点 顶点的坐标为： ， ， （3）如图2中，将△OCM绕点O顺时针旋转90°得到△OBG． ∵∠MON=45°， ∴∠MOC+∠NOB=∠NOB+∠BOG=45°， ∴∠MON=∠GON=45°，∵ON=ON，OM=OG， ∴△ONM≌△ONG， ∴MN=NG， ∵∠NBG=∠NBO+∠OBG=45°+45°=90°， ∴NG2=BN2+BG2， ∴MN2=CM2+BN2， 设平移后的抛物线的解析式为y=x2-4x+3+m， M（x1，y1），N（x2，y2）, 则 设平移后的抛物线的解析式为 由 消去得到 ，推出 关于直线对称，所以 设 则∴ (负根已经舍弃)， 11．(1)，； (2)①9；②或． 【分析】（1）将，两点的坐标代入解析式，求出，的值即可； （2）①由，可得直线解析式为，设第一象限，则，可得，即可得的最大值是9； ②由，，得，以点，，为顶点的三角形与相似，只需或，而，，用含的代数式表示，，分情况列出方程即可得的值，从而得到答案． 【详解】（1）将，代入解析式得： ， 解得：， ，； （2）①的值为，的值为， 抛物线的解析式为：； ， 设直线解析式为，将，代入可得：， 解得， 直线解析式为， 设第一象限，则， ，， ， 当时，的最大值是9； ②，，， ，，，， ，， ， 而， ， ， ， 轴于， ， ， 以点，，为顶点的三角形与相似，只需或， 而为中点，，， ，，， 由①知：，， 当时，， 解得或（此时与重合，舍去）， ， 当时，， 解得或（舍去）， ， 综上所述，以点，，为顶点的三角形与相似，则的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查抛物线与坐标轴交点、线段和的最大值、相似三角形的判定等，解题的关键是分类讨论处理相似三角形存在性问题． 12．(1) (2)或 【分析】本题考查二次函数与特殊角度，求二次函数解析式； （1）把、代入计算即可； （2）以为对角线作正方形，则所在直线与抛物线的另一个交点即为点，然后利用全等三角形求坐标，再求出直线解析式，最后求与抛物线交点即可． 【详解】（1）抛物线与轴交于两点，且点坐标为，点坐标为， 此抛物线的函数解析式为； （2）点的坐标为或． 如解图，以为对角线作正方形， ， 所在直线与抛物线的另一个交点即为点， 如解图，过点作轴的平行线交轴于点，过点作于点，则， ， ， ， ， ， ，， 设，则， ， ， ， ， 解得， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 联立 解得或 ， 同理可得， 直线的解析式为， 联立，解得或 ， 综上，点的坐标为或． 13．（1） （2）（0，-1） （3）（1,0）（9,0） 【分析】（1）将A（−1，0）、C（0，−3）两点坐标代入抛物线y＝ax2＋bx−3a中，列方程组求a、b的值即可； （2）将点D（m，−m−1）代入（1）中的抛物线解析式，求m的值，再根据对称性求点D关于直线BC对称的点D'的坐标； （3）分两种情形①过点C作CP∥BD，交x轴于P，则∠PCB＝∠CBD，②连接BD′，过点C作CP′∥BD′，交x轴于P′，分别求出直线CP和直线CP′的解析式即可解决问题． 【详解】解：（1）将A（−1，0）、C（0，−3）代入抛物线y＝ax2＋bx−3a中， 得 ， 解得 ∴y＝x2−2x−3； （2）将点D（m，−m−1）代入y＝x2−2x−3中，得 m2−2m−3＝−m−1， 解得m＝2或−1， ∵点D（m，−m−1）在第四象限， ∴D（2，−3）， ∵直线BC解析式为y＝x−3， ∴∠BCD＝∠BCO＝45°，CD′＝CD＝2，OD′＝3−2＝1， ∴点D关于直线BC对称的点D'（0，−1）； （3）存在．满足条件的点P有两个． ①过点C作CP∥BD，交x轴于P，则∠PCB＝∠CBD， ∵直线BD解析式为y＝3x−9， ∵直线CP过点C， ∴直线CP的解析式为y＝3x−3， ∴点P坐标（1，0）， ②连接BD′，过点C作CP′∥BD′，交x轴于P′， ∴∠P′CB＝∠D′BC， 根据对称性可知∠D′BC＝∠CBD， ∴∠P′CB＝∠CBD， ∵直线BD′的解析式为 ∵直线CP′过点C， ∴直线CP′解析式为， ∴P′坐标为（9，0）， 综上所述，满足条件的点P坐标为（1，0）或（9，0）． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．关键是由已知条件求抛物线解析式，根据抛物线的对称性，直线BC的特殊性求点的坐标，学会分类讨论，不能漏解． 14．（1）；（2）A（﹣5，0）、B（1，0）；（3）∠PDF=60°． 【分析】（1）先提取公式因式将原式变形为，然后令y=0可求得函数图象与x轴的交点坐标，从而可求得点A、B的坐标，然后依据抛物线的对称性可得到抛物线的对称轴为x=﹣2，故此可知当x=﹣2时，y=，于是可求得m的值； （2）由（1）的可知点A、B的坐标； （3）先由一次函数的解析式得到∠PBF的度数，然后再由PD⊥PF，FO⊥OD，证明点O、D、P、F共圆，最后依据圆周角定理可证明∠PDF=60°． 【详解】解：（1）∵， ∴=m（x+5）（x﹣1）． 令y=0得：m（x+5）（x﹣1）=0， ∵m≠0，∴x=﹣5或x=1， ∴A（﹣5，0）、B（1，0）， ∴抛物线的对称轴为x=﹣2． ∵抛物线的顶点坐标为为， ∴﹣9m=，∴m=， ∴抛物线的解析式为； （2）由（1）可知：A（﹣5，0）、B（1，0）； （3）∠PDF=60°．理由如下： 如图所示，∵OP的解析式为， ∴∠AOP=30°， ∴∠PBF=60° ∵PD⊥PF，FO⊥OD， ∴∠DPF=∠FOD=90°， ∴∠DPF+∠FOD=180°， ∴点O、D、P、F共圆， ∴∠PDF=∠PBF，∴∠PDF=60°． 15．（1），；（2），，；（3） 【分析】（1）求出A，B的坐标，用待定系数法计算即可； （2）做点A关于BC的平行线，联立直线与抛物线的表达式可求出的坐标，设出直线与y轴的交点为G，将直线BC向下平移，平移的距离为GC的长度，可得到直线，联立方程组即可求出P； （3）取点，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作于点，得直线对应的表达式为，即可求出结果； 【详解】（1）将代入， 化简得，则（舍）或， ∴， 得：，则． 设直线对应的函数表达式为， 将、代入可得，解得， 则直线对应的函数表达式为． （2）如图，过点A作∥BC，设直线与y轴的交点为G，将直线BC向下平移 GC个单位，得到直线， 由（1）得直线BC的解析式为，， ∴直线AG的表达式为， 联立， 解得：（舍），或， ∴， 由直线AG的表达式可得， ∴，， ∴直线的表达式为， 联立， 解得：，， ∴，， ∴，，． （3）如图，取点，连接，过点作于点， 过点作轴于点，过点作于点， ∵， ∴AD=CD， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，则，． 设， ∵，， ∴． 由，则，即，解之得，． 所以，又， 可得直线对应的表达式为， 设，代入， 得，，， 又，则．所以． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，结合一元二次方程求解是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$