预测卷02-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（天津专用）

2025年高考数学预测卷（二） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 1、 单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．若集合 ，则 （     ） A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，，7，10，11，若该组数据的中位数是这组数据极差的，则该组数据的第45百分位数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 4．要得到函数的图像，只要把函数图像（    ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 5．函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 6．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线l，M，N分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点．若是线段的中点，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 8．如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45°之后，表面积增加了（   ） A． B． C． D． 9．设数列 满足，，，令，则数列的前100项和为（      ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。 10．已知复数，则 . 11．的展开式中，常数项为 . 12．已知动圆C的半径为，其圆心到点的距离为2，点P为圆C上的一点，则点P到直线距离的最大值为 ． 13．甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约.甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定；两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约，设甲面试合格的概率为，乙、丙每人面试合格的概率都是，且三人面试是否合格互不影响.则至少一人签约的概率 . 14．在边长为2的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，，则 ；F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为 . 15．已知函数 ，若方程有三个不同的实数根且 ，则的取值范围是 . 三、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 16．（本题14分） 在中，. (1)求 ； (2)已知， ①若，求的面积； ② 若，求. 17．（本题15分） 在如图所示的几何体中，平面，，F是的中点， ，，. (1)求证: 平面; (2)求平面与平所成夹角的余弦值； (3)求点 A 到平面的距离. 18．（本题15分） 已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且，． (1)求和的通项公式； (2)求． (3)若已知，记数列的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小． 19．（本题15分） 如图，已知：椭圆，椭圆的左、右焦点为，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点， (1)求双曲线的标准方程； (2)过椭圆左焦点作圆的切线，求切线方程． (3)设为（1）中双曲线上异于顶点的任一点，直线和，与椭圆的交点分别为和．是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 20.（本题16分） 设函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)是否存在实数，使得关于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由； (3)证明：不等式． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考数学预测卷（二） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 1、 单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．若集合 ，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，则， 故， 故选：C 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时，，但无意义，故不满足充分性； 当时，则，所以， 则，即，满足必要性， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 3．一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，，7，10，11，若该组数据的中位数是这组数据极差的，则该组数据的第45百分位数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【详解】该组数据的中位数为，极差为， 则有，即， ，则该组数据的第45百分位数是. 故选：A. 4．要得到函数的图像，只要把函数图像（    ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】D 【详解】， 把函数图像向左平移个单位， 可得的图像， 所以要得到函数的图像，只要把函数图像向左平移个单位， 故选：D. 5．函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，函数定义域为R，且， 所以为偶函数，排除A、B； 当，则恒成立，排除D. 故选：C 6．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，， 所以. 故选：C. 7．已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线l，M，N分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点．若是线段的中点，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设双曲线的右焦点，过第一象限的渐近线方程为， 直线与直线交于点，交双曲线于点， 由M是线段的中点，得，则，， 所以C的渐近线方程为. 故选：C 8．如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45°之后，表面积增加了（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设分析  如下图，转动了45°后，此时魔方相对原来多出了16个小三角形的面积， 显然小三角形为等腰直角三角形且周长为3，设其直角边为x， 则斜边为，则，解得． 由几何关系得1个小三角形的面积为， 所以增加的面积为． 故选：A 9．设数列 满足，，，令，则数列的前100项和为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】数列满足，，， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即， 数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即， 因此，显然的周期为4， 则 ， 令，则有， 因为， 所以数列是等差数列， 所以数列的前100项和，即数列的前25项和为. 故选：B. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。 10．已知复数，则 . 【答案】 【详解】, 所以， 故答案为：. 11．的展开式中，常数项为 . 【答案】 【详解】根据题意，的通项为， 则展开式中的项为或， 令或，得或， 从而展开式常数项为． 故答案为： 12．已知动圆C的半径为，其圆心到点的距离为2，点P为圆C上的一点，则点P到直线距离的最大值为 ． 【答案】 【详解】如图， 点到直线的距离为：， 所以点到直线距离的最大值为：. 故答案为：. 13．甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约.甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定；两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约，设甲面试合格的概率为，乙、丙每人面试合格的概率都是，且三人面试是否合格互不影响.则至少一人签约的概率 . 【答案】 【详解】由题意，甲签约，乙、丙没有签约的概率为； 甲未签约，乙、丙都签约的概率为 甲乙丙三人都签约的概率为， 所以至少一人签约的概率为. 故答案为： . 14．在边长为2的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，，则 ；F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】如图： 因为，所以，，所以. 因为在线段上，可设，. 所以， . 所以 因为，， 所以，. 所以当时，取得最小值，为. 故答案为：；. 15．已知函数 ，若方程有三个不同的实数根且 ，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】方程有三个不同的实数根，即直线与函数的图象有3个交点， 则当时，直线与射线有一个交点， 当时，直线与函数有2个交点， 在同一坐标系内作出函数的图象及直线，如图， 令直线与图象相切的切点为，由求导得：， 则，解得，即直线与图象相切时，， 因此当且仅当时，直线与函数的图象有3个交点， 由，解得，由，得， 即，因此，函数在上递减， 当时，，所以的取值范围是. 故答案为： 三、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 16．（本小题14分） 在中，. (1)求 ； (2)已知， ①若，求的面积； ② 若，求. 【详解】（1）在中，， ∴由正弦定理及二倍角公式可得. ，，即. ，. （2）由（1）知，. ①在中，，， ∴由余弦定理可得， 即，解得. . ②，. ，， . 17．（本小题15分） 在如图所示的几何体中，平面，，F是的中点， ，，. (1)求证: 平面; (2)求平面与平所成夹角的余弦值； (3)求点 A 到平面的距离. 【详解】（1）取的中点，连接，由是的中点，得，而，则． 又，于是四边形是平行四边形，， 在中，，，有，由平面， 平面，得，而平面，因此平面， 所以平面. （2）由（1）知平面，而，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 于是，，，，，，， 设是平面的一个法向量，则，令，得， 显然平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值是. （3）由（2）知道平面的一个法向量为，且， 则点 A 到平面EBD的距离. 18．（本小题15分） 已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且，． (1)求和的通项公式； (2)求． (3)若已知，记数列的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小． 【详解】（1）∵数列是公差为1的等差数列，且， ∴，得，故， 设等比数列的公比为，∵，， ∴，解得，∴， 综上，数列和的通项公式分别为，． （2）设， 则即为数列的前项和，设为， 则， ∴， 两式相减得：， ∴， ∴． （3）由，得， 由，知， ∴，而，∴， ∴ ． ∴． 当或时，. 当时，， 当时，， ∴当时，． 综上得，当或时，；当时，；当时，. 19．（本小题15分） 如图，已知：椭圆，椭圆的左、右焦点为，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点， (1)求双曲线的标准方程； (2)过椭圆左焦点作圆的切线，求切线方程． (3)设为（1）中双曲线上异于顶点的任一点，直线和，与椭圆的交点分别为和．是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）由题意设等轴双曲线的标准方程为， 因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点， 又椭圆，则椭圆的左、右焦点为， 所以， 因此双曲线的标准方程为. （2）圆的圆心坐标为，半径， 当切线斜率不存在时，切线方程为， 此时圆心到直线的距离为， 所以直线不是切线； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则圆心到切线的距离为， 化简得，解得， 所以切线方程. （3）设， 设直线的方程为， 由，得， 显然，可得， 由韦达定理得， ∴， 同理可得，则 设．则， ∵点在双曲线上，所以， ∴， ∴， 故， 因此存在，使恒成立． 20．（本小题16分） 设函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)是否存在实数，使得关于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由； (3)证明：不等式． 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，， 则， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）由题意可知：的定义域为，． 若关于的不等式在上恒成立，且， 则，解得， 若，当时，， 可知在上为减函数，则在上恒成立， 综上所述：的取值范围是． （3）由（1）可知：的定义域为，， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减； 则，即， 可得， 由（2）可得，即， 所以， 取得：， 令， 则， 可得， 又因为， 则 ， 可得，即， 所以. 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$