1.5 平行线的性质同步练习2024-2025学年浙教版数学七年级下册

1.5 平行线的性质 一．选择题（共8小题） 1．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝60°，则∠4的度数（　　） A．60° B．120° C．130° D．80° 2．如图，AB∥CD，FE⊥DB于点E，∠1＝52°，则∠2的度数为（　　） A．52° B．48° C．38° D．30° 3．世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．对顶角相等 D．两点确定一条直线 4．一位同学把一副三角板在桌面上摆放成如图所示形状，∠E＝30°，若DE∥AB，则∠1的度数为（　　） A．95° B．85° C．75° D．65° 5．下列说法中正确的有（　　） ①在同一平面内，不重合的两条直线若不相交，则必平行； ②相等的角是对顶角； ③两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等； ④两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行； ⑤经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．下列说理（演绎推理）过程正确的是（　　） A．因为∠B＝∠1，所以AD∥BC（两直线平行，同位角相等） B．因为∠D＝∠1，所以AD∥BC（内错角相等，两直线平行） C．因为AB∥CD，所以∠1＝∠B（两直线平行，同位角相等） D．因为AB∥CD，所以∠1＝∠D（两直线平行，内错角相等） 7．如图，直线a∥b，∠A＝36°，∠1＝42°，则∠2的度数是（　　） A．78° B．86° C．94° D．106° 8．如图，已知AB∥CD，点D在射线AE上，若∠BAE＝40°，则∠CDE的度数为（　　） A．40° B．120° C．130° D．140° 二．填空题（共4小题） 9．如图，已知AB∥CD，∠ABD＝40°，BE平分∠ABC，且交CD于点D，则∠C的度数为 　 　． 10．如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示沿AB折叠，已知∠1＝50°，则∠2＝ 　 　． 11．在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺（CD⊥DE）按如图方式摆放，若AB∥CD，则∠1的大小为 　 　°． 12．如图，直线l1∥l2，将直角三角板按如图方式放置，直角顶点在l2上，若∠1＝40°，则∠2＝ 　 　． 三．解答题（共5小题） 13．如图，已知点E、F在直线AB上，点N在线段CD上，ED与FN交于点M，∠C＝∠1，∠2＝∠3． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠D＝47°，∠EMF＝80°，求∠AEP的度数． 14．读懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）． 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中AB∥CD，点E，M，F在同一直线上，点G，H，N在同一条直线上，且∠AEF＝∠GHD，MG∥FN．求证：∠EFN＝∠G． 证明：如图2，延长EF交CD于点P． ∵AB∥CD（已知）， ∴∠AEF＝∠EPD（ 　 　）． 又∵∠AEF＝∠GHD（ 　 　）， ∴∠EPD＝ 　 　（等量代换）． ∴EP∥GH（ 　 　）． ∴∠EFN+　 　＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵　 　（已知）， ∴∠FNG+∠G＝180°（ 　 　）． ∴∠EFN＝∠G（ 　 　）． 15．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试说明DE∥BC，下面是部分推导过程，请你在括号内填上推导依据或内容： 证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）， ∠1＝∠4（ 　 　）， ∴　 　+　 　＝180°（等量代换）， ∴EH∥AB（ 　 　）， ∴∠B＝ 　 　（ 　 　）， ∴∠3＝ 　 　（ 　 　）， ∴DE∥BC（ 　 　）． 16．在数学活动课上，老师为了让学生理解数学转化思想，设计了下面的问题： 如图，有人想要测量两堵围墙在地面上所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在围墙外．请问如何利用七年级第一学期所学习知识中“与角的数量关系有关的数学定理、基本事实等”设计测量方案？ 方案1：学生甲说，我想到了对顶角相等．所以，可以构造对顶角，如图，将测量∠AOB转化为测量与∠AOB相等的对顶角∠COD． 方案2：学生乙说：我想到了邻补角互补．所以，可以构造邻补角，如图，将测量∠AOB转化为测量与∠AOB互补的邻补角∠AOC或者∠BOD． 方案3：学生丙说：我想到了平行线的性质定理，可以将需要测量的∠AOB转化为与∠AOB有着确定数量关系的其他角，例如内错角、同位角、同旁内角． 请你画出适当的示意图，选择恰当的平行性性质，详细说明方案3的解决办法． 17．【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数． 解：过点A作ED∥BC， ∴∠B＝　 　，∠C＝　 　， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°． ∴∠B+∠BAC+∠C＝　 　． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，求∠B−∠C的度数． （3）如图3，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，请直接写出∠B，∠D，∠BPD之间的关系． 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝60°，则∠4的度数（　　） A．60° B．120° C．130° D．80° 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴a∥b（内错角相等，两直线平行）， ∴∠3+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠3＝60°， ∴∠4＝120°， 故选：B． 2．如图，AB∥CD，FE⊥DB于点E，∠1＝52°，则∠2的度数为（　　） A．52° B．48° C．38° D．30° 【解答】解：∵FE⊥DB， ∴∠FED＝90°， ∴∠D＝180°﹣∠1﹣∠FED＝38°， ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠D＝38°， 故选：C． 3．世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．对顶角相等 D．两点确定一条直线 【解答】解：由题意知，所应用的数学原理是内错角相等，两直线平行， 故选：A． 4．一位同学把一副三角板在桌面上摆放成如图所示形状，∠E＝30°，若DE∥AB，则∠1的度数为（　　） A．95° B．85° C．75° D．65° 【解答】解：依题意得：∠E＝30°，∠F＝90°，∠BAC＝45°， ∴∠D＝180°﹣（∠E+∠F）＝180°﹣（30°+90°）＝60°， ∵DE∥AB， ∴∠BAF＝∠D＝60°， ∴∠1+∠BAC+∠BAF＝180°， ∴∠1+45°+60°＝180°， ∴∠1＝75°． 故选：C． 5．下列说法中正确的有（　　） ①在同一平面内，不重合的两条直线若不相交，则必平行； ②相等的角是对顶角； ③两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等； ④两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行； ⑤经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：（1）在同一平面内，不相交的两条直线必平行， 故正确； （2）相等的角不一定是对顶角， 故错误； （3）两条直线被第三条直线所截，所得到同位角不一定相等， 故错误； （4）两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行， 故正确； （5）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， 故错误； 故选：A． 6．下列说理（演绎推理）过程正确的是（　　） A．因为∠B＝∠1，所以AD∥BC（两直线平行，同位角相等） B．因为∠D＝∠1，所以AD∥BC（内错角相等，两直线平行） C．因为AB∥CD，所以∠1＝∠B（两直线平行，同位角相等） D．因为AB∥CD，所以∠1＝∠D（两直线平行，内错角相等） 【解答】解：A．因为∠B＝∠1，所以AD∥BC（同位角相等，两直线平行），所以此选项错误，不符合题意； B．因为∠D＝∠1，所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行），所以此选项错误，不符合题意； C．因为AD∥BC，所以∠1＝∠B（两直线平行，同位角相等），所以此选项错误，不符合题意； D．因为AB∥CD，所以∠1＝∠D（两直线平行，内错角相等），所以此选项正确，符合题意； 故选：D． 7．如图，直线a∥b，∠A＝36°，∠1＝42°，则∠2的度数是（　　） A．78° B．86° C．94° D．106° 【解答】解：根据题意，a∥b，∠1＝42°， ∴∠ABC＝∠1＝42°， ∵∠2＝∠A+∠ABC，∠A＝36°， ∴∠2＝36°+42°＝78°， 所以∠2的度数是78°， 故选：A． 8．如图，已知AB∥CD，点D在射线AE上，若∠BAE＝40°，则∠CDE的度数为（　　） A．40° B．120° C．130° D．140° 【解答】解：∵∠BAE＝40°，AB∥CD， ∴∠CDA＝∠BAE＝40°， ∴由平角的定义可得，∠CDE＝180°﹣∠CDA＝180°﹣40°＝140°， 所以∠CDE的度数为140°， 故选：D． 二．填空题（共4小题） 9．如图，已知AB∥CD，∠ABD＝40°，BE平分∠ABC，且交CD于点D，则∠C的度数为 　100°　． 【解答】解：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABD， ∵∠ABD＝40°， ∴∠ABC＝2×40°＝80°， ∵AB∥CD， ∴∠C＝180°﹣∠ABC＝180°﹣80°＝100°． 故答案为：100°． 10．如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示沿AB折叠，已知∠1＝50°，则∠2＝ 　100°　． 【解答】解：如图， ∵将一个宽度相等的纸条按如图所示沿AB折叠， ∴∠3＝∠1＝50°， ∴∠2＝∠3+∠1＝100°． 故答案为：100°． 11．在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺（CD⊥DE）按如图方式摆放，若AB∥CD，则∠1的大小为 　30　°． 【解答】解：如图： ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠CDB＝60°， ∵CD⊥DE， ∴∠CDE＝90°， ∴∠1＝180°﹣∠CDB﹣∠CDE＝30°， 故答案为：30． 12．如图，直线l1∥l2，将直角三角板按如图方式放置，直角顶点在l2上，若∠1＝40°，则∠2＝ 　50°　． 【解答】解：∵∠1＝40°， ∴∠3＝90°﹣40°＝50°， ∵直线l1∥l2， ∴∠2＝∠3＝50°． 故答案为：50°． 三．解答题（共5小题） 13．如图，已知点E、F在直线AB上，点N在线段CD上，ED与FN交于点M，∠C＝∠1，∠2＝∠3． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠D＝47°，∠EMF＝80°，求∠AEP的度数． 【解答】（1）证明：∵∠2＝∠3， ∴CE∥NF， ∴∠C＝∠FND， 又∵∠C＝∠1， ∴∠FND＝∠1， ∴AB∥CD． （2）解：∵∠D＝47°，AB∥CD，∠EMF＝80°， ∴∠BED＝∠D＝47°，∠2＝EMF＝∠3＝80°， ∴∠BEC＝80°+47°＝127°， ∴∠AEP＝∠BEC＝127°． 14．读懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）． 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中AB∥CD，点E，M，F在同一直线上，点G，H，N在同一条直线上，且∠AEF＝∠GHD，MG∥FN．求证：∠EFN＝∠G． 证明：如图2，延长EF交CD于点P． ∵AB∥CD（已知）， ∴∠AEF＝∠EPD（ 　两直线平行，内错角相等　）． 又∵∠AEF＝∠GHD（ 　已知　）， ∴∠EPD＝ 　∠GHD　（等量代换）． ∴EP∥GH（ 　同位角相等，两直线平行　）． ∴∠EFN+　∠FNG　＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵　MG∥FN　（已知）， ∴∠FNG+∠G＝180°（ 　两直线平行，同旁内角互补　）． ∴∠EFN＝∠G（ 　同角的补角相等　）． 【解答】证明：如图2，延长EF交CD于点P． ∵AB∥CD（已知）， ∴∠AEF＝∠EPD（两直线平行，内错角相等）． 又∵∠AEF＝∠GHD（已知）， ∴∠EPD＝∠GHD（等量代换）． ∴EP∥GH（同位角相等，两直线平行）． ∴∠EFN+∠FNG＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵MG∥FN（已知）， ∴∠FNG+∠G＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∴∠EFN＝∠G（同角的补角相等）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；已知；∠GHD；同位角相等，两直线平行；∠FNG；MG∥FN；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等． 15．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试说明DE∥BC，下面是部分推导过程，请你在括号内填上推导依据或内容： 证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）， ∠1＝∠4（ 　对顶角相等　）， ∴　∠2　+　∠4　＝180°（等量代换）， ∴EH∥AB（ 　同旁内角互补，两直线平行　）， ∴∠B＝ 　∠EHC　（ 　两直线平行，同位角相等　）， ∴∠3＝ 　∠B　（ 　已知　）， ∴DE∥BC（ 　内错角相等，两直线平行　）． 【解答】解：∵∠1+∠2＝180°（已知），∠1＝∠4（对顶角相等）， ∴∠2+∠4＝180°（等量代换）， ∴EH∥AB（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠B＝∠EHC（两直线平行，同位角相等）， ∵∠3＝∠B（已知）， ∴∠3＝∠EHC（等量代换）， ∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：对顶角相等；∠2；∠4；同旁内角互补，两直线平行；∠EHC；两直线平行，同位角相等；∠B；已知；内错角相等，两直线平行． 16．在数学活动课上，老师为了让学生理解数学转化思想，设计了下面的问题： 如图，有人想要测量两堵围墙在地面上所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在围墙外．请问如何利用七年级第一学期所学习知识中“与角的数量关系有关的数学定理、基本事实等”设计测量方案？ 方案1：学生甲说，我想到了对顶角相等．所以，可以构造对顶角，如图，将测量∠AOB转化为测量与∠AOB相等的对顶角∠COD． 方案2：学生乙说：我想到了邻补角互补．所以，可以构造邻补角，如图，将测量∠AOB转化为测量与∠AOB互补的邻补角∠AOC或者∠BOD． 方案3：学生丙说：我想到了平行线的性质定理，可以将需要测量的∠AOB转化为与∠AOB有着确定数量关系的其他角，例如内错角、同位角、同旁内角． 请你画出适当的示意图，选择恰当的平行性性质，详细说明方案3的解决办法． 【解答】解：如图，过点D作EF∥BC，测量∠EDO的度数，根据两直线平行，同位角相等，即可得出∠AOB的度数． 由题意可知，BC∥EF， 所以∠AOB＝∠ODE（两直线平行，同位角相等）． 17．【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数． 解：过点A作ED∥BC， ∴∠B＝　∠EAB　，∠C＝　∠DAC　， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°． ∴∠B+∠BAC+∠C＝　180°　． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，求∠B−∠C的度数． （3）如图3，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，请直接写出∠B，∠D，∠BPD之间的关系． 【解答】解：（1）过点A作ED∥BC， ∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°， ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°， 故答案为：∠EAB；∠DAC；180°； （2）过点E作EF∥AB， ∴∠B+∠BEF＝180°， ∴∠BEF＝180°﹣∠B， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FEC＝∠C， ∵∠BEC＝80°， ∴∠BEF+∠FEC＝80°， ∴180°﹣∠B+∠C＝80°， ∴∠B﹣∠C＝100°； （3）∠BPD＝∠B﹣∠D， 理由：过点P作PE∥CD， ∴∠D＝∠DPE， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE， ∴∠B＝∠BPE， ∵∠BPD＝∠BPE﹣∠DPE， ∴∠BPD＝∠B﹣∠D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$