精品解析：北京市第十三中学2024-2025学年下学期九年级数学2月测试

2024-2025学年北京十三中九年级（下）月考数学试卷（2月份） 一、选择题（共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平面直角坐标系中，与关于成中心对称，已知点的坐标为，则点的坐标是（ ） A B. C. D. 3. 不透明盒子中有6张卡片，除所标注文字不同外无其他差别．其中，写有“珍稀濒危植物种子”的卡片有1张，写有“人工种子”的卡片有5张．随机摸出一张卡片写有“珍稀濒危植物种子”的概率为（） A. B. C. D. 4. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，若点，在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 质监局对一批口罩进行质量抽检的相关数据统计如下： 抽检数量个 合格数量个 口罩合格率 下面四个推断合理的是（ ） A. 当抽检口罩的数量是个时，口罩合格的数量是个，所以这批口罩中口罩合格的概率是 B. 由于抽检口罩的数量分别是和个时，口罩合格率均是，所以可以估计这批口罩中口罩合格的概率是 C. 随着抽检数量的增加，“口罩合格”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，所以可以估计这批口罩中“口罩合格”的概率是 D. 当抽检口罩的数量达到个时，“口罩合格”的频率一定是 8. 如图，点A是上一点，点，为上与点A不重合的两点．若再从下列三个表述中选取一个作为题设，以作为结论，则所有能组成真命题的表述的序号是（ ） ①垂直平分； ②四边形是平行四边形； ③． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 请写出一个开口向下，且经过点的二次函数的表达式_______． 10. 的直径为，若圆心与直线的距离为，则与的位置关系是______（填“相交”、“相切”或“相离”）． 11. 数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为______________米．（结果精确到1米，参考数据：，） 12. 据国家统计局公布的《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》，我国原油产量从2021年到2023年增长了，设这两年的平均增长率为x，依题意可列方程为_______． 13. 如图，分别与相切于A，B两点，，则的半径为 ________________． 14. 如图，点，在上，，若为上任一点不与点，重合，则的大小为_______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，．给出下面三个结论：①；②；③关于的一元二次方程有两个异号实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 16. 如图，是正方形内一点，满足，连接，若，则长的最小值为_____． 三、解答题（共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17 计算：． 18. 解方程：x2+8x= 9． 19. 已知，求代数式的值． 20. 下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图，． 求作：直线BD，使得． 作法：如图， ①分别作线段AC，BC的垂直平分线，，两直线交于点O； ②以点O圆心，OA长为半径作圆； ③以点A圆心，BC长为半径作弧，交于点D； ④作直线BD．所以直线BD就是所求作的直线． 根据小石设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：连接AD， ∵点A，B，C，D上，， ∴______． ∴（______）（填推理的依据）． ∴． 21. 已知二次函数． （1）将化成的形式，并写出其图象的顶点坐标； （2）求此函数图象与轴交点的坐标； （3）在平面直角坐标系中，画出此函数的图象． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值． 23. 2023年7月31日，北京遭遇年以来最大的暴雨，房山地区受灾严重．为了做好防汛救灾工作，某社区特招募志愿工作者，小东和小北积极报名参加，根据社区安排，志愿者被随机分到组(信息登记)，组(物资发放)，组(垃圾清运)的其中一组． （1）小东被分配到组是 事件 (填“必然”，“随机”或“不可能”)； 小东被分配到组的概率是 ． （2）请用列表或画树状图的方法，求出小东和小北被分配到同一组的概率． 24. 如图，，分别与相切于，两点，的延长线交弦于点，，连接． （1）求证：； （2）若，的半径为，求的长． 25. 某兴趣小组通过实验研究发现：当音量（单位：dB）满足时，听觉舒适度与音量之间满足二次函数关系．当音量为时，听觉舒适度为6；当音量为时，听觉舒适度达到最大值． （1）求该二次函数的解析式，并在图1的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （2）在家听音乐时，小明听到的音量与所坐位置到音箱的距离（单位：）的关系如图2所示．若她希望听觉舒适度不小于9，根据此实验研究结果，请写出小明所坐位置到音箱的距离的取值范围______（结果保留小数点后一位）． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求该抛物线的对称轴； （2）已知点，在抛物线上．对于，都有，求的取值范围． 27. 在正方形中，E为射线上一点不与点A，B重合，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，作交射线于点． （1）如图1，当点E在线段上时， ①依题意补全图形，并证明； ②用等式表示线段和之间的数量关系，并证明； （2）已知，能否是等腰三角形？若能，直接写出使是等腰三角形的的长度；若不能，说明理由． 28. 对于平面直角坐标系中的点P和图形W、给出如下定义：若图形W上存在点Q，使得点P绕着点Q旋转得到的对应点在图形W上，则称点P为图形W的“关联点”． （1）图形W是线段，其中点A的坐标为，点B的坐标为， ①如图1，在点，，，中，线段的“关联点”是 ； ②如图2，若直线上存在点P，使点P为线段的“关联点”，求b的取值范围； （2）图形W是以为圆心，1为半径的．已知点，．若线段上存在点P，使点P为的“关联点”，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年北京十三中九年级（下）月考数学试卷（2月份） 一、选择题（共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抛物线顶点坐标．根据抛物线顶点式顶点坐标公式可直接得到答案．抛物线顶点式顶点坐标为． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 2. 如图，在平面直角坐标系中，与关于成中心对称，已知点的坐标为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点D是线段AA′的中点以及中点坐标公式解答． 【详解】解：设点A'的坐标是（a，b）， 根据题意知：，． 解得a=1，b=2． 即点A'的坐标是（1，2）， 故选：B． 【点睛】本题综合考查了中心对称，坐标与图形的变化，难度不大，掌握对称中心的性质是解题的关键． 3. 不透明盒子中有6张卡片，除所标注文字不同外无其他差别．其中，写有“珍稀濒危植物种子”的卡片有1张，写有“人工种子”的卡片有5张．随机摸出一张卡片写有“珍稀濒危植物种子”的概率为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 直接根据概率公式求解即可． 【详解】解：随机摸出一张卡片写有“珍稀濒危植物种子”的概率为， 故选：A． 4. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次函数图象与几何变换，解题关键是熟练掌握二次函数图象平移规律． 二次函数图象平移规律：（横坐标）左加右减，（纵坐标）上加下减．根据此规律即可求得新解析式． 【详解】解：依题得：抛物线向左平移个单位长度可得：； 再向上平移个单位长度可得， 故选：． 5. 如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，由直径所对圆周角是得出，根据直角三角形的两个锐角互余结合圆周角定理计算即可． 【详解】∵在中，为直径， ∴， ∵， ∴， 故选D． 6. 在平面直角坐标系中，若点，在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据所给的函数解析式确定函数的开口方向，对称轴和最小值，再结合函数图象的特点进行判定即可，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，函数有最小值， ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∴， 故选：． 7. 质监局对一批口罩进行质量抽检的相关数据统计如下： 抽检数量个 合格数量个 口罩合格率 下面四个推断合理的是（ ） A. 当抽检口罩的数量是个时，口罩合格的数量是个，所以这批口罩中口罩合格的概率是 B. 由于抽检口罩的数量分别是和个时，口罩合格率均是，所以可以估计这批口罩中口罩合格的概率是 C. 随着抽检数量的增加，“口罩合格”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，所以可以估计这批口罩中“口罩合格”的概率是 D. 当抽检口罩的数量达到个时，“口罩合格”的频率一定是 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率及概率的意义等知识，解题的关键是了解大量重复试验中频率的稳定值估计概率，观察表格，利用大量重复试验中频率的稳定值估计概率即可． 【详解】解：观察表格发现：随着试验的次数的增多，口罩合格率的频率逐渐稳定在附近， 所以可以估计这批口罩中合格的概率是． 故选：C． 8. 如图，点A是上一点，点，为上与点A不重合的两点．若再从下列三个表述中选取一个作为题设，以作为结论，则所有能组成真命题的表述的序号是（ ） ①垂直平分； ②四边形是平行四边形； ③． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】①根据线段垂直平分线的性质可证和都为等边三角形，得出，即，即说明原命题为真命题；②根据题意易证平行四边形是菱形，即可证和都为等边三角形，得出，即，即说明原命题为真命题；③分类讨论：当点A在优弧上时，由圆周角定理可直接得出；当点A在劣弧上时，在优弧取点D，连接，，由圆周角定理得出，再根据圆内接四边形的性质得出，即说明原命题为假命题． 【详解】解：①题设：垂直平分；结论：． 如图，连接，， ∵垂直平分，， ∴， ∴和都为等边三角形， ∴， ∴，即此时为真命题； ②题设：四边形是平行四边形；结论：． 如图， ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形， ∴． ∵， ∴和都为等边三角形， ∴， ∴，即此时为真命题； ③题设：；结论：． 分类讨论：当点A在优弧上时，如图， ∴； 当点A在劣弧上时，如图，在优弧取点D，连接，， ∴， ∴． 综上可知当时，或，故原命题为假命题． 故选：A． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，判断真假命题等知识．熟练掌握上述知识是解题关键． 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 请写出一个开口向下，且经过点的二次函数的表达式_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的概念，图像和性质，熟练掌握二次函数的概念，图像和性质是解题的关键；根据开口方向及经过点的坐标，即可求解． 【详解】解：因为二次函数的图像开口向下，且经过点， 所以二次项系数， 所以该函数图像可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 10. 的直径为，若圆心与直线的距离为，则与的位置关系是______（填“相交”、“相切”或“相离”）． 【答案】相切 【解析】 【分析】此题重点考查直线与圆的位置关系，由的直径为，求得的半径为，而圆心与直线的距离为，则圆心与直线的距离等于的半径，所以与相切，于是得到问题的答案． 【详解】解：的直径为，， 的半径为， 圆心与直线的距离为， 圆心与直线的距离等于的半径， 与相切， 故答案为：相切． 11. 数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为______________米．（结果精确到1米，参考数据：，） 【答案】14． 【解析】 【分析】利用无人机所在水平线与旗杆所在竖直线所成的直角三角形，求出BC，再用40去减即可． 【详解】解：如图，无人机所在水平线与旗杆所在竖直线交于点B，旗杆为CD，无人机为点A，由题意可知，AB=45米，∠BAC=30°，BD=40米， （米）， （米）； 故答案为：14． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是熟练运用解直角三角形的知识，准确进行计算． 12. 据国家统计局公布的《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》，我国原油产量从2021年到2023年增长了，设这两年的平均增长率为x，依题意可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用2023年原油产量=2021年原油产量×（1+这两年的平均增长率），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：，即． 故答案为：． 13. 如图，分别与相切于A，B两点，，则的半径为 ________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质，三角形全等的判定和性质，特殊角的三角函数，连接，证明，得到，利用三角函数即可求解，由三角形全等得到是解题的关键． 详解】解：连接， ∵，分别与相切于两点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，点，在上，，若为上任一点不与点，重合，则的大小为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，根据为上优弧或劣弧上点时，分情况即可求解，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或． 15. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，．给出下面三个结论：①；②；③关于的一元二次方程有两个异号实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】本题主要考查图像与二次函数系数之间的关系，由函数图象过点，列方程组判断①，由顶点的性质即可判断②，根据直线在直线的下面，即可判断③． 【详解】∵二次函数的图象经过点，． ∴， 解得，故①错误； ∵， ∴， ∴直线， ∴当时，有最大值， ∴， 即，故②正确； ∵，， ∴直线在直线的下面， ∵当时，， ∴直线于抛物线的交点的在轴的两侧， 故关于的一元二次方程有两个异号实数根，故③正确， 故答案为：②③． 16. 如图，是正方形内一点，满足，连接，若，则长的最小值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理和圆周角定理，根据题意得到点的运动轨迹，结合圆的性质得到最小时的情形，再利用正方形的性质和勾股定理求解，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，勾股定理和圆周角定理的应用． 【详解】如图， ∵， ∴点在以中点为圆心，为直径的圆上， 则长的最小时，点三点共线， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握相关运算的法则．根据特殊角三角函数值，零指数幂，绝对值的代数意义，二次根式的化简分别计算即可得到答案． 【详解】解： ． 18. 解方程：x2+8x= 9． 【答案】 【解析】 【分析】根据因式分解法即可求解． 【详解】x2+8x=9 x2+8x-9=0 (x+9)(x-1)=0 ∴x+9=0或x-1=0 解得x1=-9,x2=1． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知因式分解法的运用． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值．原式利用单项式乘以多项式，平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ∵ ∴ ∴原式 20. 下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图，． 求作：直线BD，使得． 作法：如图， ①分别作线段AC，BC的垂直平分线，，两直线交于点O； ②以点O为圆心，OA长为半径作圆； ③以点A为圆心，BC长为半径作弧，交于点D； ④作直线BD．所以直线BD就是所求作的直线． 根据小石设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：连接AD， ∵点A，B，C，D在上，， ∴______． ∴（______）（填推理的依据）． ∴． 【答案】（1）作图见解析；（2）在同圆中，等弧所对的圆周角相等 【解析】 【分析】（1）根据题干的作图步骤依次作图即可； （2）由作图可得，证明，利用圆周角定理可得，从而可得答案. 【详解】解：（1）如图，直线BD就是所求作的直线 （2）证明：连接AD， ∵点A，B，C，D在上，， ∴． ∴（在同圆中，等弧所对的圆周角相等）． ∴． 故答案为：在同圆中，等弧所对的圆周角相等 【点睛】本题考查是作线段的垂直平分线，三角形的外接圆，平行线的作图，圆周角定理的应用，掌握“圆周角定理”是理解作图的关键. 21. 已知二次函数． （1）将化成的形式，并写出其图象的顶点坐标； （2）求此函数图象与轴交点的坐标； （3）在平面直角坐标系中，画出此函数的图象． 【答案】（1），； （2），； （3）画图见解析． 【解析】 【分析】（）用配方法把二次函数化为顶点式，从而可得出答案； （）令转化成一元二次方程，解出方程即可； （）根据画函数图象的步骤，画出图象即可； 本题考查二次函数的性质，抛物线与轴的交点，配方法，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 由， ∴顶点坐标； 【小问2详解】 令，即， 解得：，， ∴函数图象与轴交点的坐标为，； 【小问3详解】 列表： 描点、连线， 如图， 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值． 【答案】（1） 证明：， ∵， ∴该方程总有两个实数根． （2）a的值为3 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程，根的判别式为△=，进行化简即可证明； （2）根据根与系数的关系，以及根的倍数关系，列方程，解方程可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设该方程的一个根为x1，则另外一个根为2 x1， 则， 由①得， 代入②可得：， 解之得，， 又因为该方程的两个实数根都是整数， 所以． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据题意，灵活运用所学知识是解题的关键． 23. 2023年7月31日，北京遭遇年以来最大的暴雨，房山地区受灾严重．为了做好防汛救灾工作，某社区特招募志愿工作者，小东和小北积极报名参加，根据社区安排，志愿者被随机分到组(信息登记)，组(物资发放)，组(垃圾清运)的其中一组． （1）小东被分配到组是 事件 (填“必然”，“随机”或“不可能”)； 小东被分配到组的概率是 ． （2）请用列表或画树状图的方法，求出小东和小北被分配到同一组的概率． 【答案】（1）随机； （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、随机事件、概率公式 （1）根据随机事件的定义可得答案；由概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小东和小北被分配到同一组的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，小东被分配到组是随机事件． 小东被分配到组的概率是． 故答案为：随机；． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小东和小北被分配到同一组的结果有3种， 小东和小北被分配到同一组的概率为． 24. 如图，，分别与相切于，两点，的延长线交弦于点，，连接． （1）求证：； （2）若，的半径为，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）连接，根据垂径定理得到，求得，根据切线的性质得到，推出，等量代换得到； （2）过作于，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，，根据平行线的性质得到，推出，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接，如图， 的延长线交弦于点，， ， ， ， ，分别与相切于，两点， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：过作于，如图， 则四边形是矩形， ，，， ， ， ，， 由（1）可得， ， ， ， ， ． 25. 某兴趣小组通过实验研究发现：当音量（单位：dB）满足时，听觉舒适度与音量之间满足二次函数关系．当音量为时，听觉舒适度为6；当音量为时，听觉舒适度达到最大值． （1）求该二次函数的解析式，并在图1的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （2）在家听音乐时，小明听到的音量与所坐位置到音箱的距离（单位：）的关系如图2所示．若她希望听觉舒适度不小于9，根据此实验研究结果，请写出小明所坐位置到音箱的距离的取值范围______（结果保留小数点后一位）． 【答案】（1），图象见解析； （2） 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、画二次函数图象、从函数图象获取信息等知识． （1）利用待定系数法求出二次函数解析式，再画出二次函数的图象即可； （2）当时，，解得或，由图2可得，当时，，当时，，即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意可设，， 当音量为时，听觉舒适度为6； ∴， 解得， ∴该二次函数的解析式为； 图象如下： 【小问2详解】 当时，， 解得或， 由图2可得，当时，，当时，， ∴小明所坐位置到音箱的距离的取值范围， 故答案为： 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求该抛物线的对称轴； （2）已知点，在抛物线上．对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，求解二次函数的对称轴； （1）直接利用对称轴公式求解对称轴即可； （2）设点关于对称轴的对称点为，可得，再分与分析求解即可. 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为：． 【小问2详解】 解：点，在抛物线上． 设点关于对称轴的对称点为， 则． ∴． ∴． ①若，则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． （i）当时， ∵对于，，都有， ∴． ∴． ∴，不符合题意． （ii）当时， ∵对于，，都有， ∴，即． ∴． ∴． ②若，则当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． （i）当时， ∵对于，，都有， ∴． ∴． ∴． ∴； （ii）当时， ∵对于，，都有， ∴，即． ∴． ∴．不符合题意舍去； 综上所述，a的取值范围是或． 27. 在正方形中，E为射线上一点不与点A，B重合，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，作交射线于点． （1）如图1，当点E在线段上时， ①依题意补全图形，并证明； ②用等式表示线段和之间的数量关系，并证明； （2）已知，能否是等腰三角形？若能，直接写出使是等腰三角形的的长度；若不能，说明理由． 【答案】（1）①见解析，②，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识． （1）①由得出，由得出，从而； ②作，交于H，交于R，可证得，从而得出，，可证得，从而得出四边形是平行四边形，进而推出，进而证得，从而，进一步得出结果； （2）可推出当点E在上时，不能是等腰三角形；当点E在的延长线上时，作于H，当时，可推出，从而得出． 【小问1详解】 解：①如图1， 四边形是正方形， ， ， 线段绕点E顺时针旋转得到线段， ， ， ； ②如图2， 作，交于H，交于R， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， 线段绕点E顺时针旋转得到线段， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 由①知，， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图2， 当点E在上时， 由（1）②得，≌， ，， ，， ， ， ， ， ， 不能是等腰三角形， 如图3， 当点E在的延长线上时， 作于H， ， ，， ， ，， ， ， 当时，， ， ， 当时，是等腰三角形． 28. 对于平面直角坐标系中的点P和图形W、给出如下定义：若图形W上存在点Q，使得点P绕着点Q旋转得到的对应点在图形W上，则称点P为图形W的“关联点”． （1）图形W是线段，其中点A的坐标为，点B的坐标为， ①如图1，在点，，，中，线段的“关联点”是 ； ②如图2，若直线上存在点P，使点P为线段的“关联点”，求b的取值范围； （2）图形W是以为圆心，1为半径的．已知点，．若线段上存在点P，使点P为的“关联点”，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）①、；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据“关联点”的定义进行判断即可； ②当直线经过点时，可得b的最小值，当直线经过点时，可得b的最大值，由此可解； （2）当线段与的“关联点”轨迹有交点时，t取得最大值，当线段与的“关联点”轨迹相切时，t取得最小值，列出不等式分别求得t的最小值和最大值即可． 【小问1详解】 解：①如图1，∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴绕着点逆时针旋转得到的对应点在线段上， 绕着点顺时针旋转得到的对应点在线段上， 线段上不存在点Q，使得，绕着点Q旋转得到的对应点在线段上， ∴、是线段的“关联点”， ，不是线段的“关联点”， 故答案为：、； ②如图2，当直线经过点时，可得b的最小值， 当直线经过点时，可得b的最大值， 把代入，得， 解得； 把代入，得； 解得； ∴b的取值范围为； 【小问2详解】 解：根据“关联点”的定义可知：当线段与的“关联点”轨迹有交点时，t取得最大值，当线段与的“关联点”轨迹相切时，t取得最小值， 则， 解得 ∴t的取值范围为． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了旋转变换，圆的性质，“关联点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $