特训03 相交线与平行线 压轴题（六大题型，2025上海新编）-2024-2025学年七年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版2024，上海专用）

特训03 相交线与平行线 压轴题（六大题型，2025上海新编） 目录： 题型1：笔尖、类笔尖型 题型2：分类讨论—三角板问题 题型3：分类讨论—三角板+综合实践活动 题型4：分类讨论—情景应用 题型5：新定义题 题型6：其他不同模型综合 题型1：笔尖、类笔尖型 1．（2025七年级下·上海·名校新编）如图1，已知AB∥CD，直线AB、CD把平面分成①、②、③三个区域（直线AB、CD不属于①、②、③中任何一个区域）．点P是直线AB、CD、AC外一点，联结PA、PC，可得∠PAB、∠PCD、∠APC． (1)如图2，当点P位于第①区域一位置时，请填写∠APC＝∠PAB+∠PCD的理由． 解：过点P作PE//AB， 因为AB//CD，PE//AB， 所以PE//CD（　 　）． 因为PE//AB， 所以∠APE＝∠PAB（　 　）． 同理∠CPE＝∠PCD． 因此∠APE+∠CPE＝∠PAB+∠PCD． 即∠APC＝∠PAB+∠PCD． (2)在第（1）小题中改变点P的位置，如图3所示，求∠APC+∠PAB+∠PCD等于多少度？为什么？ (3)当点P在第②区域时，∠PAB、∠PCD、∠APC有怎样的数量关系？请画出图形，并直接写出相应的结论． 2．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）已知． (1)如图1，若垂足为点F，，则 ． (2)如图2，垂足为点F，过点F作于点H，说明； (3)如图3，的角平分线交于点H，若，则 （用含α的式子表示）． 3．（2025七年级下·上海·名校新编）请回答下列各题． (1)探究：如图1，AB∥CD∥EF，试说明∠BCF＝∠B＋∠F． (2)应用：如图2，AB∥CD，点F在AB、CD之间，FE与AB交于点M，FG与CD交于点N．若∠EFG＝115°，∠EMB＝55°，则∠DNG的大小是多少？ (3)拓展：如图3，直线CD在直线AB、EF之间，且AB∥CD∥EF，点G、H分别在直线AB、EF上，点Q是直线CD上的一个动点，且不在直线GH上，连结QG、QH．若∠GQH＝70°，则∠AGQ＋∠EHQ＝ 度（请直接写出答案）． 4．（20-21七年级下·上海·期中）已知，直线AB∥CD （1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，则∠AGC的度数是多少？ （2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，则∠AGC的度数是多少？ （3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论． 5．（2025七年级下·上海·统考新编）（1）探究：如图1，ABCDEF，试说明． （2）应用：如图2，ABCD，点在、之间，与交于点，与交于点．若，，则的大小是多少？ （3）拓展：如图3，直线在直线、之间，且ABCDEF，点、分别在直线、上，点是直线上的一个动点，且不在直线上，连接、．若，则　　度（请直接写出答案）． 6．（2025七年级下·上海·名校新编）如图,直线ABCD,点E在直线AB上,点G在直线CD上,点P在直线AB.CD之间,∠AEP=40°,∠EPG=90° (1)填空:∠PGC=_________°； (2)如图, 点F在直线AB上,联结FG,∠EFG的平分线与∠PGD的平分线相交于点Q，当点F在点E的右侧时,如果∠EFG=30°,求∠FQG的度数； 解:过点Q作QMCD 因为∠PGC+∠PGD=180° 由(1)得∠PGC=______°,     所以∠PGD=1800-∠PGC=_______°, 因为GQ平分∠PGD, 所以∠PGQ=∠QGD=∠PGD=________° (下面请补充完整求∠FQG度数的解题过程) (3)点F在直线AB上,联结FG,∠EFG的平分线与∠PGD的平分线相交于点Q.如果∠FQG=2∠BFG,请直接写出∠EFG的度数. 7．（2025七年级下·上海·统考新编）问题情境：如图1，，，，求度数． 小明的思路是：过作，如图2，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，易求得的度数为　 　；请说明理由； 问题迁移： （2）如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，则、、之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你直接写出、、间的数量关系． 题型2：分类讨论—三角板问题 8．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图所示，他们将两个直角三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，． (1)猜想与存在怎样的数量关系，并说明理由； (2)若，则的度数为 ； (3)若按住三角板不动，绕顶点转动三角板，当的度数为 时，．（直接在横线上写出答案） 9．（2025七年级下·上海·名校新编）将两块直角三角板(即两个直角三角形，其中，，；的直角顶点O按图1方式叠放在一起．绕着点O顺时针旋转一周，旋转的速度为每秒，若旋转时间为t秒，请回答下列问题∶    (1)当时，直线与的位置关系是_______当时，（如图2及其简化图），的度数为________（用含的代数式表示） (2)当边时，t的值是_______． (3)当边时，求t的值． 题型3：分类讨论—三角板+综合实践活动 10．（2025七年级下·上海·名校新编）综合与实践： 问题情境： 如图，直线，一副三角尺按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． 问题解决： （1）求的度数． （2）如图②，若将三角形绕点B以每秒4度的速度逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为（； ①在旋转过程中，若边，求t的值； ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒3度的速度顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）请直接写出当边时，求t的值． 题型4：分类讨论—情景应用 11．（2025七年级下·上海·名校新编）自“中欧铁路——上海号”发车以来，中欧班列逐渐开辟了一条以上海为起点，连接欧洲及“一带一路”沿线地区的商贸流通的全新通道．“中欧铁路”为了安全起见需要在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即且． (1)填空： °； (2)如图2，若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动．在转动过程中，灯B射线与交于点．在灯B射线到达之前，设灯A转动t秒． ①当时，则 °， （用含t的式子表示）． ②当灯A转动 秒时，两灯的光束可以互相平行？ (3)如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，过C作交于点D，且，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 12．（2025七年级下·上海·统考新编）长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在笔直且平行的长江两岸河堤上安置了两盏激光探照灯如下图所示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转．    (1)如果两灯同时开始转动，光线和光线旋转时间为秒， ①如图1，请用含的代数式表示光线转动的角度，即_________°；用含的代数式表示光线转动的角度，即_________°． ②如图2，当光线与光线垂直，垂足为H时，求的值． (2)如果光线先转动20秒，光线才开始转动，在光线第一次到达之前，求光线旋转几秒时，与光线平行？ 题型5：新定义题 13．（23-24七年级下·上海金山·期中）探索题： 问题1：如图1，已知，点P夹在和之间，联结和，形如一个“V”字，那么、和之间有怎样的数量关系？请你说明理由． 问题2：在问题1中，如果在点P的右上方增加一个点Q，形如一个“V”字再加半个“V”，如图2，为了表述方便，我们将开口方向朝下的角的度数用x表示，开口方向朝上的角的度数用y表示，，，，，求的值． 问题3：如果在和之间依次增加点的个数，有n个P点和n个Q点，形如n个“V”再加半个“V”，如图3，那么的值是________． 题型6：其他不同模型综合 14．（2025七年级下·上海·名校新编）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N=360°，则称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M=90°，∠N=45°，则∠N为∠M的6系补周角． (1)若∠H=120°，则∠H的4系补周角的度数为　　°； (2)在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE，DE； ①如图1，∠D=60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数； ②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）． 15．（2025七年级下·上海·名校新编）已知：直线分别与直线，相交于点，，平分，，，分别为直线和线段上的点． (1)如图，平分，若，求的度数． (2)如图，平分交于点，于点，当在直线上运动（不与点重合）时，探究与的关系，并证明你的结论． 16．（2025七年级下·上海·名校新编）已知AB∥CD，点M为平面内的一点，∠AMD＝90°． (1)当点M在如图1的位置时，求∠MAB与∠D的数量关系（写出说理过程）； (2)当点M在如图2的位置时，则∠MAB与∠D的数量关系是　 　（直接写出答案）； (3)在（2）条件下，如图3，过点M作ME⊥AB，垂足为E，∠EMA与∠EMD的角平分线分别交射线EB于点F、G，回答下列问题（直接写出答案）：图中与∠MAB相等的角是　 　，∠FMG＝　 　度． 17．（2025七年级下·上海·名校新编）已知，直角的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E、F点，． （1）将直角如图1位置摆放，如果，则______； （2）将直角如图2位置摆放，N为AC上一点，，请写出与之间的等量关系，并说明理由． （3）将直角如图3位置摆放，若，延长AC交直线b于点Q，点P是射线GF上一动点，探究，与的数量关系，请直接写出结论． 18．（2025七年级下·上海·统考新编）已知，点为平面内的一点，． (1)当点在如图①的位置时，求与的数量关系． 解： ．（根据如图填射线的画法） 因为， 所以 （ ）． 所以（两直线平行，内错角相等）； （请继续完成接下去的说理过程） (2)当点在如图②的位置时，与的数量关系是 （直接写出答案）； (3)在（2）的条件下，如图③，过点作，垂足为点，与的平分线分别交射线于点、，回答下列问题（直接写出答案）：图中与相等的角是 ， 度． 19．（2025七年级下·上海·名校新编）已知，点B为平面内一点，于B． (1)如图，直接写出和之间的数量关系． (2)如图，过点B作于点D，求证：． (3)如图，在（2）问的条件下，点E，F在DM上，连接BE，BF，CF，BF平分，BE平分，若，，求的度数． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训03 相交线与平行线 压轴题（六大题型，2025上海新编） 目录： 题型1：笔尖、类笔尖型 题型2：分类讨论—三角板问题 题型3：分类讨论—三角板+综合实践活动 题型4：分类讨论—情景应用 题型5：新定义题 题型6：其他不同模型综合 题型1：笔尖、类笔尖型 1．（2025七年级下·上海·名校新编）如图1，已知AB∥CD，直线AB、CD把平面分成①、②、③三个区域（直线AB、CD不属于①、②、③中任何一个区域）．点P是直线AB、CD、AC外一点，联结PA、PC，可得∠PAB、∠PCD、∠APC． (1)如图2，当点P位于第①区域一位置时，请填写∠APC＝∠PAB+∠PCD的理由． 解：过点P作PE//AB， 因为AB//CD，PE//AB， 所以PE//CD（　 　）． 因为PE//AB， 所以∠APE＝∠PAB（　 　）． 同理∠CPE＝∠PCD． 因此∠APE+∠CPE＝∠PAB+∠PCD． 即∠APC＝∠PAB+∠PCD． (2)在第（1）小题中改变点P的位置，如图3所示，求∠APC+∠PAB+∠PCD等于多少度？为什么？ (3)当点P在第②区域时，∠PAB、∠PCD、∠APC有怎样的数量关系？请画出图形，并直接写出相应的结论． 【答案】(1)平行的传递性；两直线平行，内错角相等； (2)360°，理由见解析； (3)∠PCD =∠PAB+∠APC，见解析． 【分析】（1）根据平行线的性质解题； （2）过点P作PE//AB，由两直线平行，同旁内角相等解得∠APE+∠PAB=180°，∠EPC+∠PCD=180°，再根据∠APC+∠PAB+∠PCD=∠APE+∠EPC+∠PAB+∠PCD解题； （3）根据题意，画出图形，再由两直线平行，内错角相等得到∠APE=∠PAB，∠PCD=∠CPE，结合∠CPE=∠APE+∠APC解题． 【解析】（1）解：因为AB//CD，PE//AB， 所以PE//CD(平行的传递性) 因为PE//AB， 所以∠APE＝∠PAB（两直线平行，内错角相等）． 故答案为：平行的传递性；两直线平行，内错角相等； （2）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°， 见解析： 过点P作PE//AB， 所以∠APE+∠PAB=180°， 因为PE//CD， 所以∠EPC+∠PCD=180°， 所以∠APC+∠PAB+∠PCD=∠APE+∠EPC+∠PAB+∠PCD=180°+180°=360°； （3）∠PCD =∠PAB+∠APC，理由如下， 当点P在第②区域时，如图， 过点P作PE//AB， 所以∠APE=∠PAB， 因为PE//CD， 所以∠PCD=∠CPE 因为∠CPE=∠APE+∠APC 所以∠PCD =∠PAB+∠APC． 【点睛】本题考查平行线的拐角问题、平行线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 2．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）已知． (1)如图1，若垂足为点F，，则 ． (2)如图2，垂足为点F，过点F作于点H，说明； (3)如图3，的角平分线交于点H，若，则 （用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质可求出，然后利用平角定义可得，即可解答； （2）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用（1）的结论可得：，然后利用同角的余角相等可得：，即可解答； （3）利用（1）的结论可得：，，再利用角平分线的定义可得，，然后利用等量代换可得，即可解答． 【解析】（1）解：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， 由（1）可得：， ； （3）解：由（1）可得：，， 平分，平分， ，， ， 故答案为：． 3．（2025七年级下·上海·名校新编）请回答下列各题． (1)探究：如图1，AB∥CD∥EF，试说明∠BCF＝∠B＋∠F． (2)应用：如图2，AB∥CD，点F在AB、CD之间，FE与AB交于点M，FG与CD交于点N．若∠EFG＝115°，∠EMB＝55°，则∠DNG的大小是多少？ (3)拓展：如图3，直线CD在直线AB、EF之间，且AB∥CD∥EF，点G、H分别在直线AB、EF上，点Q是直线CD上的一个动点，且不在直线GH上，连结QG、QH．若∠GQH＝70°，则∠AGQ＋∠EHQ＝ 度（请直接写出答案）． 【答案】(1)证明见解析 (2)60° (3)70或290 【分析】（1）由 可得，∠B=∠BCD，∠F=∠DCF，从而可以证明结论成立； （2）由∠MFN=∠AMF+∠CNF，则可得∠CNF的度数为60°，由对顶角相等可得； （3）分两种情况讨论，即∠AGQ是钝角与∠AGQ是锐角时． 【解析】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠BCD．（两直线平行内错角相等）， 同理可证，∠F＝∠DCF． ∵∠BCF＝∠BCD＋∠DCF， ∴∠BCF＝∠B＋∠F．（等量代换） （2）解：由探究可知：∠MFN＝∠AMF＋∠CNF，∠MFN＝115°，， ∴∠CNF＝∠DNG＝115°－55°＝60°． 故答案为：60°． （3）如图3中，当点Q在直线GH的右侧时， ∵AB∥CD∥EF， ∴∠AGQ+∠GQC=180°，∠CQH+∠EHQ=180°， 即∠AGQ+∠GQH+∠EHQ=180°， ∴∠AGQ＋∠EHQ＝360°－70°＝290°， 当点Q在直线GH的左侧时，由（1）的结论可得： ． 故答案为：70或290． 【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练运用平行线的性质是解题关键． 4．（20-21七年级下·上海·期中）已知，直线AB∥CD （1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，则∠AGC的度数是多少？ （2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，则∠AGC的度数是多少？ （3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论． 【答案】（1）70°；（2）∠AGC=（x+y）°；（3）∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC． 【分析】（1）过点G作GE∥AB，利用平行线的性质即可进行转化求解． （2）过点G作GF∥AB，利用平行线的性质即可进行转化求解． （3）过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD，利用平行线的性质即可进行转化找到角的关系． 【解析】解：（1）如图，过点G作GE∥AB， ∵AB∥GE， ∴∠A+∠AGE=180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∵∠A=140°， ∴∠AGE=40°． ∵AB∥GE，AB∥CD， ∴GE∥CD． ∴∠C+∠CGE=180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∵∠C=150°， ∴∠CGE=30°． ∴∠AGC=∠AGE+∠CGE=40°+30°=70°． （2）如图，过点G作GF∥AB ∵AB∥GF， ∴∠A=AGF（两直线平行，内错角相等）． ∵AB∥GF，AB∥CD， ∴GF∥CD． ∴∠C=∠CGF． ∴∠AGC=∠AGF+∠CGF=∠A+∠C ． ∵∠A=x°，∠C=y°， ∴∠AGC=（x+y）°． （3）如图所示，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD． ∴∠BAE=∠AEM，∠MEF=∠EFN，∠NFG=∠FGQ，∠QGC=∠GCD（两直线平行，内错角相等）． ∴∠AEF=∠BAE+∠EFN，∠FGC=∠NFG+GCD． ∵∠EFN+∠NFG=∠EFG， ∴∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，本题构造辅助线利用平行线的传递性结合平行线性质是解题关键． 5．（2025七年级下·上海·统考新编）（1）探究：如图1，ABCDEF，试说明． （2）应用：如图2，ABCD，点在、之间，与交于点，与交于点．若，，则的大小是多少？ （3）拓展：如图3，直线在直线、之间，且ABCDEF，点、分别在直线、上，点是直线上的一个动点，且不在直线上，连接、．若，则　　度（请直接写出答案）． 【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）70或290 【分析】（1）由可得，，，则； （2）利用（1）中的结论可知，，则可得的度数为，由对顶角相等可得； （3）结合（1）中的结论可得，注意需要讨论是钝角或是锐角时两种情况． 【解析】解：（1）如图1，， ，， ， ． （2）由（1）中探究可知，， ，且， ， ； （3）如图，当为钝角时， 由（1）中结论可知，， ； 当为锐角时，如图， 由（1）中结论可知，， 即， 综上，或． 故答案为：70或290． 【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，难度适中，观察图形，推出角之间的和差关系是解题关键． 6．（2025七年级下·上海·名校新编）如图,直线ABCD,点E在直线AB上,点G在直线CD上,点P在直线AB.CD之间,∠AEP=40°,∠EPG=90° (1)填空:∠PGC=_________°； (2)如图, 点F在直线AB上,联结FG,∠EFG的平分线与∠PGD的平分线相交于点Q，当点F在点E的右侧时,如果∠EFG=30°,求∠FQG的度数； 解:过点Q作QMCD 因为∠PGC+∠PGD=180° 由(1)得∠PGC=______°,     所以∠PGD=1800-∠PGC=_______°, 因为GQ平分∠PGD, 所以∠PGQ=∠QGD=∠PGD=________° (下面请补充完整求∠FQG度数的解题过程) (3)点F在直线AB上,联结FG,∠EFG的平分线与∠PGD的平分线相交于点Q.如果∠FQG=2∠BFG,请直接写出∠EFG的度数. 【答案】（1）50；（2）50，130，65；；（3）∠FQG的度数为. 【分析】（1）过点P作PLAB，利用平行线的性质可得∠1=∠AEP，∠2=∠PGC，由∠EPG=∠1+∠2，等量代换可得结论； （2）过点Q作QMCD，利用平行线的性质以及角平分线的定义计算即可； （3）当点F在点E右侧时，设∠EFG=x°，则∠BFG=（180-x）°，利用（2）的结论即可求解． 当点F在点E左侧时，同理可得结论． 【解析】（1）如图1，过点P作PLAB， ∵ABCD， ∴PLABCD， ∴∠1=∠AEP=40°，∠2=∠PGC， ∵∠EPG=∠1+∠2=90°， ∴∠PGC=90°-40°=50°． 故答案为：50； （2）解：过点Q作QMCD． 因为∠PGC+∠PGD=180°， 由（1）得∠PGC=50°， 所以∠PGD=180°-∠PGC=130°， 因为GQ平分∠PGD， 所以∠PGQ=∠QGD=∠PGD=65°． 因为QMCD， 所以∠MQG=180°-∠QGD=180°-65°=115°， 因为QMCD，ABCD， 所以QMABCD， 所以∠FQM=∠EFQ， 因为FQ平分∠EFG，∠EFG=30°， 所以∠EFQ=∠FQM=∠EFG=15°． 所以∠FQG=∠MQG+∠FQM=115°+15°=130°； 故答案为：50，130，65； （3）当点F在点右侧时，如图3， 设∠EFG=x°，则∠BFG=（180-x）°， ∵QF平分∠EFG， ∴∠EFQ=x°， 由（2）可知∠MQG=115°，∠FQM=∠EFQ=x°， ∠FQG=（115+x）°， ∵∠FQG=2∠BFG， ∴115+x=2（180-x）， 解得：x=98°， 故∠EFG的度数是98°， 此时两条角平分线没有交点，故舍去； 当点F在点E左侧时，如图4， 由（1）知，∠DGP=130°， ∵PQ平分∠DGP， ∴∠DGQ=∠DGP=65°， 延长FQ交CD于H，则∠FHG=∠HFE， ∵FQ平分∠EFG， ∴∠EFG=2∠EFH=2∠GFH， ∵∠FQG=2∠BFG， ∴∠FQG=4∠EFH， ∵ABCD， ∴∠EFH=∠FHG， ∴∠DGQ=∠FQG-∠FHG=3∠EFH=65°， ∴∠EFH=， ∴∠EFG=2∠EFH=． 综上所述，∠EFG=． 【点睛】本题考查平行线间的角度计算，需要灵活进行角度的转换，建立等量关系，从而求解. 7．（2025七年级下·上海·统考新编）问题情境：如图1，，，，求度数． 小明的思路是：过作，如图2，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，易求得的度数为　 　；请说明理由； 问题迁移： （2）如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，则、、之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你直接写出、、间的数量关系． 【答案】（1），理由见解析； （2），理由见解析； （3）当在延长线时，；当在延长线时，； 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，熟悉平行线的性质，作出合适的辅助线是解决问题的关键． （1）过作，通过平行线性质求即可； （2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （3）画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【解析】解：（1）过点作，如图2所示， ， ， ，， ，， ，， ． （2）， 理由是：如图3，过作交于， ， ， ，， ； （3）当在延长线时，如图所示， ， ，， ． 当在延长线时，如图所示， ， ，， ． 题型2：分类讨论—三角板问题 8．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图所示，他们将两个直角三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，． (1)猜想与存在怎样的数量关系，并说明理由； (2)若，则的度数为 ； (3)若按住三角板不动，绕顶点转动三角板，当的度数为 时，．（直接在横线上写出答案） 【答案】(1)，理由见解析； (2)； (3)或． 【分析】（）．由已知可得，即得，即可得到； （）由，，可得，进而得到，即可得到，得到，即可求解； （）画出图形，分两种情况解答即可求解； 本题考查了角的和差，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 【解析】（1）解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， 即； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：分两种情况： 如图所示， 当时，， ∴， ∵， ∴； 如图所示， 当时，， ∵， ∴； 综上，当的度数为或时，， 故答案为：或． 9．（2025七年级下·上海·名校新编）将两块直角三角板(即两个直角三角形，其中，，；的直角顶点O按图1方式叠放在一起．绕着点O顺时针旋转一周，旋转的速度为每秒，若旋转时间为t秒，请回答下列问题∶    (1)当时，直线与的位置关系是_______当时，（如图2及其简化图），的度数为________（用含的代数式表示） (2)当边时，t的值是_______． (3)当边时，求t的值． 【答案】(1)垂直，； (2)或； (3)为秒或秒． 【分析】（1）求得的度数，即可求解； （2）分两种情况，利用平行线的性质，求出旋转角，即可求解； （3）分两种情况，利用平行线的性质，求出旋转角，即可求解． 【解析】（1）解：当时， ∴ 当时，，则 故答案为：垂直，； （2）如图3-1中，时，    ∴ ∴ ∴（秒）； 如图3-2中，当时    ∴ ∵ ∴ ∴（秒） 综上，满足条件的为秒或秒； 故答案为：或； （3）如图4-1中，当时，延长交于点，    ∴ ∴ ∵ ∴ ∴（秒）； 如图4-2中，当时，设交于点，    ∴ ∵ ∴ ∴ ∴（秒） 综上，满足条件的为秒或秒 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，与三角板有关的计算，解题的关键是掌握有关性质，学会利用分类讨论的思想求解问题． 题型3：分类讨论—三角板+综合实践活动 10．（2025七年级下·上海·名校新编）综合与实践： 问题情境： 如图，直线，一副三角尺按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． 问题解决： （1）求的度数． （2）如图②，若将三角形绕点B以每秒4度的速度逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为（； ①在旋转过程中，若边，求t的值； ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒3度的速度顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）请直接写出当边时，求t的值． 【答案】（1）；（2）①t的值为；②满足条件的t的值为或． 【分析】（1）利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题． （2）①首先证明，由此构建方程即可解决问题． ②分两种情形：如图③中，当时，延长交于．根据构建方程即可解决问题．如图③中，当时，延长交于．根据构建方程即可解决问题． 本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义是解题的关键． 【解析】解：（1）如图①中， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）①如图②中， ， ， ， ， ， ， 在旋转过程中，若边，的值为； ②如图③中，当时，延长交于， ∵， ， ，， ， ， ； 如图③中，当时，延长交于， ∵， ， ，， ， ， ． 综上所述，满足条件的的值为或． 题型4：分类讨论—情景应用 11．（2025七年级下·上海·名校新编）自“中欧铁路——上海号”发车以来，中欧班列逐渐开辟了一条以上海为起点，连接欧洲及“一带一路”沿线地区的商贸流通的全新通道．“中欧铁路”为了安全起见需要在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即且． (1)填空： °； (2)如图2，若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动．在转动过程中，灯B射线与交于点．在灯B射线到达之前，设灯A转动t秒． ①当时，则 °， （用含t的式子表示）． ②当灯A转动 秒时，两灯的光束可以互相平行？ (3)如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，过C作交于点D，且，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】(1)60 (2)①；；②30 (3)不发生变化， 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）根据，，即可得到的度数； （2）①根据路程速度时间即可求出； ②若，则，又，所以，所以，进而求解； （3）设灯射线转动时间为秒，根据，，即可得出，据此可得和关系不会变化． 【解析】（1）解：，， ， 故答案为：60． （2）解：①设灯转动秒， 则，， 故答案为：；． ②若，则， 又， ， ， ， ， ， 故答案为：30． （3）解：不发生变化，，理由如下： 设灯射线转动时间为秒， ， ， 又， ， 而， ， ， 即． 12．（2025七年级下·上海·统考新编）长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在笔直且平行的长江两岸河堤上安置了两盏激光探照灯如下图所示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转．    (1)如果两灯同时开始转动，光线和光线旋转时间为秒， ①如图1，请用含的代数式表示光线转动的角度，即_________°；用含的代数式表示光线转动的角度，即_________°． ②如图2，当光线与光线垂直，垂足为H时，求的值． (2)如果光线先转动20秒，光线才开始转动，在光线第一次到达之前，求光线旋转几秒时，与光线平行？ 【答案】(1)①t，；② (2)光线旋转10秒或85秒时，与光线平行 【分析】（1）①根据题意求出和即可； ②过点H作，根据平行线的性质得出，，得出，即，求出t的值即可； （2）分两种情况讨论，当秒时，当秒时，分别画出图形，进行求解即可． 【解析】（1）解：①∵光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转，光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转， ∴；； 故答案为：t，； ②过点H作，如图所示：    ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即． 解得． （2）解：设光线旋转时间为t秒， 当秒时，如图所示：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴时， ∴， 解得； 当秒时，如图所示：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 综上分析可知，光线旋转10秒或85秒时，与光线平行． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，并注意进行分类讨论． 题型5：新定义题 13．（23-24七年级下·上海金山·期中）探索题： 问题1：如图1，已知，点P夹在和之间，联结和，形如一个“V”字，那么、和之间有怎样的数量关系？请你说明理由． 问题2：在问题1中，如果在点P的右上方增加一个点Q，形如一个“V”字再加半个“V”，如图2，为了表述方便，我们将开口方向朝下的角的度数用x表示，开口方向朝上的角的度数用y表示，，，，，求的值． 问题3：如果在和之间依次增加点的个数，有n个P点和n个Q点，形如n个“V”再加半个“V”，如图3，那么的值是________． 【答案】问题1：，理由见解析；问题2：；问题3： 【分析】本题考查了平行线的性质，平行线的公理，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和公理 根据平行线的性质和公理即可解答 【解析】解：问题1： ，理由如下： 过点P作，如图所示： ， ， 又， ， ， ； 问题2：过点Q作如图所示： ，， ， 由问题1结论可知：， ， ， ， ； 问题3： 过点作如图所示： , 同理可得：， 故答案为： 14．（2025七年级下·上海·名校新编）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N=360°，则称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M=90°，∠N=45°，则∠N为∠M的6系补周角． (1)若∠H=120°，则∠H的4系补周角的度数为　　°； (2)在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE，DE； ①如图1，∠D=60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数； ②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）． 【答案】(1)60 (2)①∠B=75°，②当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，此时k=2n． 【分析】（1）设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义列出方程求解便可； （2）①过E作EF∥AB，得∠B+∠D=∠BED，再由已知∠D=60°，∠B是∠E的3系补周角，列出∠B的方程，求得∠B便可； ②根据k系补周角的定义先确定P点的位置，再结合∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE求解k与n的关系即可求解． 【解析】（1）解：设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义得，120+4x=360， 解得，x=60， ∠H的4系补周角的度数为60°， 故答案为：60； （2）解：①过E作EF∥AB，如图1， ∴∠B=∠BEF， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD，∠D=60°， ∴∠D=∠DEF=60°， ∵∠B+60°=∠BEF+∠DEF， 即∠B+60°=∠BED， ∵∠B是∠BED的3系补周角， ∴∠BED=360°-3∠B， ∴∠B+60°=360°-3∠B， ∴∠B=75°； ②当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，此时k=2n． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，理解题意是解题的关键． 题型6：其他不同模型综合 15．（2025七年级下·上海·名校新编）已知：直线分别与直线，相交于点，，平分，，，分别为直线和线段上的点． (1)如图，平分，若，求的度数． (2)如图，平分交于点，于点，当在直线上运动（不与点重合）时，探究与的关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)或，证明见解析 【分析】（1）首先作，根据平行线的性质，推得；然后根据，推得，据此求出的度数即可． （2）①首先判断出，然后根据，可得，推得，再根据，推得即可． ②首先判断出，然后根据，可得，推得，再根据，推得即可． 【解析】（1）解：如图，作， ， ，， ，， ，， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ． （2）解：①如图， ， ，理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ． ②如图， ， ，理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ． 综上，可得 当在直线上运动（不与点重合）时，或． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①定理：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．②定理：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 16．（2025七年级下·上海·名校新编）已知AB∥CD，点M为平面内的一点，∠AMD＝90°． (1)当点M在如图1的位置时，求∠MAB与∠D的数量关系（写出说理过程）； (2)当点M在如图2的位置时，则∠MAB与∠D的数量关系是　 　（直接写出答案）； (3)在（2）条件下，如图3，过点M作ME⊥AB，垂足为E，∠EMA与∠EMD的角平分线分别交射线EB于点F、G，回答下列问题（直接写出答案）：图中与∠MAB相等的角是　 　，∠FMG＝　 　度． 【答案】(1)∠MAB+∠D＝90°；见解析 (2)∠MAB﹣∠D＝90° (3)∠MAB＝∠EMD；45 【分析】（1）在题干的基础上，通过平行线的性质可得结论； （2）仿照（1）的解题思路，过点M作MN∥AB，由平行线的性质可得结论； （3）利用（2）中的结论，结合角平分线的性质可得结论． 【解析】（1）解：如图①，过点M作MN∥AB， ∵AB∥CD， ∴MN∥AB∥CD（如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行）． ∴∠D＝∠NMD． ∵MN∥AB， ∴∠MAB+∠NMA＝180°． ∴∠MAB+∠AMD+∠DMN＝180°． ∵∠AMD＝90°， ∴∠MAB+∠DMN＝90°． ∴∠MAB+∠D＝90°； （2）解：如图②，过点M作MN∥AB， ∵MN∥AB， ∴∠MAB+∠AMN＝180°． ∵AB∥CD， ∴MN∥AB∥CD． ∴∠D＝∠NMD． ∵∠AMD＝90°， ∴∠AMN＝90°﹣∠NMD． ∴∠AMN＝90°﹣∠D． ∴90°﹣∠D+∠MAB＝180°． ∴∠MAB﹣∠D＝90°． 即∠MAB与∠D的数量关系是：∠MAB﹣∠D＝90°． 故答案为：∠MAB﹣∠D＝90°． （3）解：如图③， ∵ME⊥AB， ∴∠E＝90°． ∴∠MAE+∠AME＝90° ∵∠MAB+∠MAE＝180°， ∴∠MAB﹣∠AME＝90°． 即∠MAB＝90°+∠AME． ∵∠AMD＝90°， ∴∠MAB＝∠AMD+∠AME＝∠EMD． ∵MF平分∠EMA， ∴∠FME＝∠FMA＝∠EMA． ∵MG平分∠EMD， ∴∠EMG＝∠GMD＝∠EMD． ∵∠FMG＝∠EMG﹣∠EMF， ∴∠FMG＝∠EMD﹣∠EMA＝（∠EMD﹣∠EMA）． ∵∠EMD﹣∠EMA＝90°， ∴∠FMG＝45°． 故答案为：∠MAB＝∠EMD；45． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点M作MN∥AB是解题的关键． 17．（2025七年级下·上海·名校新编）已知，直角的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E、F点，． （1）将直角如图1位置摆放，如果，则______； （2）将直角如图2位置摆放，N为AC上一点，，请写出与之间的等量关系，并说明理由． （3）将直角如图3位置摆放，若，延长AC交直线b于点Q，点P是射线GF上一动点，探究，与的数量关系，请直接写出结论． 【答案】（1）136°；（2）∠AOG+∠NEF＝90°，理由见解析；（3）当点P在GF上时，∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF；当点P在线段GF的延长线上时，140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF． 【分析】（1）如图1，作CP∥a，则CP∥a∥b，根据平行线的性质可得∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，然后利用∠ACP+∠BCP＝90°即可求得答案； （2）如图2，作CP∥a，则CP∥a∥b，根据平行线的性质可得∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，然后结合已知条件可得∠BCP＝∠NEF，然后利用∠ACP+∠BCP＝90°即可得到结论； （3）分两种情况，如图3，当点P在GF上时，过点P作PN∥OG，则NP∥OG∥EF，根据平行线的性质可推出∠OPQ＝∠GOP+∠PQF，进一步可得结论；如图4，当点P在线段GF的延长线上时，同上面方法利用平行线的性质解答即可． 【解析】解：（1）如图1，作CP∥a， ∵， ∴CP∥a∥b， ∴∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°， ∴∠BCP＝180°﹣∠CEF， ∵∠ACP+∠BCP＝90°， ∴∠AOG+180°﹣∠CEF＝90°， ∵∠AOG＝46°， ∴∠CEF＝136°， 故答案为136°； （2）∠AOG+∠NEF＝90°． 理由如下：如图2，作CP∥a， 则CP∥a∥b， ∴∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°， 而∠NEF+∠CEF＝180°， ∴∠BCP＝∠NEF， ∵∠ACP+∠BCP＝90°， ∴∠AOG+∠NEF＝90°； （3）如图3，当点P在GF上时，过点P作PN∥OG， ∴NP∥OG∥EF， ∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ， ∴∠OPQ＝∠GOP+∠PQF， ∴∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF； 如图4，当点P在线段GF的延长线上时，过点P作PN∥OG， ∴NP∥OG∥EF， ∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ， ∵∠OPN＝∠OPQ+∠QPN， ∴∠GOP＝∠OPQ+∠PQF， ∴140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及平行公理的推论等知识，属于常考题型，正确添加辅助线、灵活应用平行线的判定和性质是解题的关键． 18．（2025七年级下·上海·统考新编）已知，点为平面内的一点，． (1)当点在如图①的位置时，求与的数量关系． 解： ．（根据如图填射线的画法） 因为， 所以 （ ）． 所以（两直线平行，内错角相等）； （请继续完成接下去的说理过程） (2)当点在如图②的位置时，与的数量关系是 （直接写出答案）； (3)在（2）的条件下，如图③，过点作，垂足为点，与的平分线分别交射线于点、，回答下列问题（直接写出答案）：图中与相等的角是 ， 度． 【答案】(1)过点作；；；；如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行；见解析 (2) (3)，45 【分析】（1）过点作，先根据平行线的判定与性质可得，，再根据角的和差、等量代换即可得出结论； （2）过点作，先根据平行线的判定与性质可得，，再根据、角的和差即可得出结论； （3）过点作，先根据平行线的判定与性质可得，从而可得，再结合（2）的结论可得，然后根据角平分线的定义可得，最后根据即可得出答案 【解析】（1）解：如图①，过点作， ， （如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行）． ． ， ． ． ， ． ． （2）解：如图②，过点作， ． ， ． ． ， ． ． ． 故答案为：． （3）解：如图③，过点作， ， ， ． ， ， ． ． ， 由（2）已得：， ； 平分， ． 平分， ． ， 故答案为：，45． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键． 19．（2025七年级下·上海·名校新编）已知，点B为平面内一点，于B． (1)如图，直接写出和之间的数量关系． (2)如图，过点B作于点D，求证：． (3)如图，在（2）问的条件下，点E，F在DM上，连接BE，BF，CF，BF平分，BE平分，若，，求的度数． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线的性质及直角三角形的性质证明即可； （2）过点B作，根据同角的余角相等得出，再根据平行线的性质得到，即可得到； （3）过点B作，根据角平分线的定义得出，设，，可得，再根据，得到，解方程得到，继而得出，． 【解析】（1）如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故答案为：； （2）如图2，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，． （3）如图3，过点B作， ∵BF平分，BE平分， ∴，， 由（2）知， ∴，设，， 则，，， ， ∴ ∵，， ∴， 中，由得 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质与应用、角平分线的性质、方程思想等知识，学会添加辅助线，掌握相关知识是解题关键． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 ?PNG � $$