精品解析：湖南省衡阳市衡东县第一中学2025年中考一模数学试题

湖南省衡阳市衡东县第一中学2025年中考一模数学试题 注意事项： 1．本卷为试题卷，考生应在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证分别在试题卷和答题卡上填写清楚． 3．答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌子上，由监考老师统一收回． 本试卷共三道答题，26道小题，满分120分，时量共120分钟． 一、单选题（本大题12个小题，每小题3分，共36分，请将每个小题所给四个选项中唯一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上） 1. 刘慈欣科幻巨作《三体》中所描述的三体文明距地球大约42000000光年，它们之间被大量氢气和暗物质纽带连接，看起来似乎是连在一起的“三体星系”．其中数字42000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将42000000写成的形式即可，其中，n为整数． 【详解】解：， 故选A． 【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是注意中n的值与小数点移动的位数相等． 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义（绕某一点旋转，旋转后的图形能与原图形重合，那么这个图形是中心对称图形）结合轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么就是轴对称图形）对选项逐一判断即可求解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确； 故选：D 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了整式的乘除法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据单项式乘多项式、完全平方公式、平方差公式、单项式除单项式可以解出． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意， 故选：C． 4. 下面计算正确是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的运算法则及性质进行运算即可求解，掌握二次根式的运算法则和性质是解题的关键． 【详解】解：、，该选项计算正确，符合题意； 、与不是同类二次根式，不能合并，该选项计算错误，不符合题意； 、和不是同类项，不能合并，该选项计算错误，不符合题意； 、，该选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 5. 如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：物理中经常使用的U型磁铁其左视图是B ． 6. 不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 将不等式的解集表示在数轴上，如图所示， 故选：A． 【点睛】本题主要考查数轴上表示不等式的解集，熟练掌握数轴上表示不等式组的解集的方法是解题的关键． 7. 观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为（ ） 的解 的解 0 1 … 1 5 … 6 4 2 … 3 2 0 … A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解是能使得等式成立的值，观察表格得知能使得两个方程都成了，即可得出答案． 【详解】解：通过观察表格知，与有一组公共解为， 故二元一次方程组的解为， 故选：A． 8. 为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表，则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是（ ） 时间小时 7 8 9 10 人数 7 9 11 3 A. 9，8 B. 9，9 C. 11，8 D. 11，8．5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数和众数，把一组数据按照一定的顺序排列，处在最中间的那个数据或最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，据此求解即可． 【详解】解：把这名学生的睡眠时间从低到高排列，处在第15名和第16名的睡眠时间都是8小时， ∴中位数为小时， ∵睡眠时间为9小时的人数最多， ∴众数为9小时， 故选：A． 9. 一副三角板和如图所示放置．，点在边上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先利用平行线的性质可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而利用对顶角相等可得，即可解答． 【详解】解：如图： ∵， ， ， ， ， 故选：A． 10. 如图，与是位似图形，点O为位似中心，且，若的周长为8，则的周长为（ ） A. 4 B. C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查位似图形性质，相似三角形的性质，根据位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比进行求解即可． 【详解】解：∵与是位似图形，点O为位似中心，且， ∴，且相似比为， ∴与的周长比为：， ∵的周长为8， ∴的周长为16． 故选：C． 11. 如图，AB为的直径，BC为的切线，弦AD∥OC，直线CD交的BA延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是的切线；②；③；④．其中正确结论的个数有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】由切线的性质得，首先连接，易证得，然后由全等三角形的对应角相等，求得，即可证得直线是的切线，根据全等三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的判定定理得到即，故②正确；根据余角的性质得到，等量代换得到，根据相似三角形的判定定理得到，故③正确；根据相似三角形的性质得到，于是得到，故④正确． 【详解】解：连结． 为的直径，为的切线， ， ， ，． 又， ， ． 在和中，， ， ． 又点在上， 是的切线；故①正确， ， ， ， 垂直平分， 即，故②正确； 为的直径，为的切线， ， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； ， ， ， ， ， ，故④正确； 故选A． 【点睛】本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键． 12. 如图，是抛物线图象，根据图象信息分析下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】采用数形结合的方法解题，根据抛物线的开口方向，对称轴，与x、y轴的交点，通过推算进行判断． 【详解】①根据抛物线对称轴可得 ，，正确； ②当 ， ，根据二次函数开口向下和得， 和 ，所以，正确； ③二次函数与x轴有两个交点，故 ，正确； ④由题意得，当 和时，y的值相等，当， ，所以当， ，正确； 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和判断，掌握二次函数的性质是解题的关键． 二、填空题（本答题共6个小题，每小题3分，共18分，请将正确答案写在答题卡相应的横线上） 13. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式中被开方数是非负数这一条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，由此建立关于的不等式，求解不等式得到的取值范围． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，二次根式中被开方数须大于等于， ∴， 解不等式得：． 故答案为： ． 14. 分解因式：_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，先提取公因数，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 圆锥的母线长为，其侧面展开图的圆心角为，则圆锥的底面圆半径长是______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据弧长公式求出圆锥的底面圆周长，再利用圆的周长公式算出底面圆半径即可． 【详解】解：圆锥的底面圆周长为， 则圆锥的底面圆半径为， 故答案为：5． 【点睛】本题考查圆锥的有关计算，弧长公式，关键在于熟练掌握圆锥的展开图． 16. 如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，，以此类推，若，（为正整数），则n的值为____． 【答案】4047 【解析】 【分析】本题考查图形变化的规律．根据所给图形，依次求出，，，，发现为正整数）的特征，建立关于的方程即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， ，，，，，为正整数）， 所以，，，，． 因为， 所以， ， ， 解得或4047， 因为为正整数， 所以． 故答案为：4047． 17. 如图，是的直径，是的两条弦，且，则所对的圆周角的度数是______． 【答案】90°##90度 【解析】 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，圆周角定理，根据是的直径，得到的度数为，再根据，进而得到，得到的度数为，即可得出结果． 【详解】解：∵是的直径， ∴的度数为， ∵， ∴， 即：， ∴的度数为， ∴所对的圆周角的度数是； 故答案为：． 18. 如图，菱形中，，对角线，E为上一点且，连接交于点F，过点F作于点G，则的长度为______． 【答案】4 【解析】 【分析】连接，交于点O，根据菱形的性质及勾股定理得出，再由相似三角形的判定和性质得出，再由正弦函数求解即可． 【详解】解：连接，交于点O， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】题目主要考查菱形的性质，相似三角形的判定和性质，正弦函数的定义等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每题10分，共66分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明的主要步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的计算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂与零指数幂，先将各式的值化简，然后按照实数的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 20. 如图，在中，对角线AC与BD相交于点O，E，F分别是和的中点． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若四边形面积为2，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）4 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质和三角形面积关系即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点是的中点， ∴，， 同理得：，， ∵， ， ∴． 21. 2023年全国教育工作会议提出要把开展读书活动作为一件大事来抓．引导学生爱该书．读好书，善读书，贵阳市某校为了推进这项工作，对全校学生一周内平均读书时间进行抽样调查．将调查结果的数据分成A、B、C、D、E五个等级并绘制成表格和扇形统计图如下． 等级 周平均读书时间t（单位：小时） 人数 A 4 B a C 20 D 15 E 5 每个等级人数扇形统计图 （1）求统计图表中______，______． （2）已知该校共有2800名学生，试估计该校每周读书时间至少3小时的人数为______． （3）请写出一条你对读书的建议． 【答案】（1）6，40 （2）1120 （3）全校学生一周内平均读书时间(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，样本估计总体等知识． （1）由等级得到学生总数，即可得出a，再求C等级的占比即可； （2）用样本估计总体即可得出结果； （3）根据表格可题建议合理即可． 【小问1详解】 解：由等级D得到学生总数人， ∴， ，， 故答案为：6，40． 【小问2详解】 人， 故该校2800名学生每周读书时间至少3小时的人数为1120人． 故答案为：1120． 【小问3详解】 根据表格可建议：全校学生一周内平均读书时间． 22. 如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角．综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点处测得灯管支架底部的仰角为，在点处测得灯管支架顶部的仰角为，测得，（在同一条直线上）．请解答下列问题： （1）求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）； （2）求灯管支架的长度（结果精确到，参考数据：）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，根据特殊三角函数值的计算方法即可求解； （2）如图所示，延长交于点，可得是等边三角形，再计算出的长度，在中，根据特殊三角函数值的计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：在中，，， ， ∴灯管支架底部距地面高度的长为． 【小问2详解】 解：如图所示，延长交于点， ，， ∴， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， 在中，， ， ∴灯管支架的长度约为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际运用、等边三角形的判定与性质，掌握仰俯角求直角三角形，特殊三角函数值求边长是解题的关键． 23. 随着人民生活水平的不断提高，家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，奥林花园A区2008年底拥有家庭轿车144辆，2010年底家庭轿车的拥有量达到225辆． （1）若该小区2008年底到2010年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2011年底家庭轿车将达到多少辆？ （2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资25万元再建造若干个停车位．据测算，建造费用分别为室内车位6000元/个，露天车位2000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的3倍，但不超过室内车位的倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案． 【答案】（1）小区到2011年底家庭轿车将达到辆； （2）该小区最多可建两种车位的方案有4种，分别是：①建室内车位17个，室外车位74个，②建室内车位18个，室外车位71个，③建室内车位19个，室外车位68个，④建室内车位20个，室外车位65个． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键； （1）设年平均增长率为x，根据题意得：，再解方程并进一步的求解即可； （2）设可建室内车位个，室外车位个，则，再建立不等式组，结合不等式组的正整数解可得答案． 【小问1详解】 解：设年平均增长率为x， 根据题意得： 解得∶，(不合题意，舍去)， 答：小区到2011年底家庭轿车将达到辆； 【小问2详解】 设可建室内车位个，室外车位个，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵，为整数， ∴，，，； ∴该小区最多可建两种车位的方案有4种，分别是： ①建室内车位17个，室外车位74个， ②建室内车位18个，室外车位71个， ③建室内车位19个，室外车位68个， ④建室内车位20个，室外车位65个． 24. 如图，在中，，的平分线交边于点．以上一点为圆心作，使经过点和点． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由． （2）若，． ①求的半径； ②设与边的另一个交点为，求线段，与劣弧所围成的阴影部分的面积．（结果保留根号和） 【答案】 （1）相切，理由如下： 如图，连接， 平分， ， ， ， ， ， ∵， ， 与相切； （2）①2；② 【解析】 【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，证明OD⊥BC，根据切线的判定即可证明； （2）①根据含有30°角的直角三角形的性质得出OB=2OD=2r，从而求得半径r的值； ②根据S阴影=S△BOD-S扇形ODE求出即可. 【详解】解：（1）略 （2）①在和中， ，， ，， ∵， ， ， 解得，即的半径是； ②在Rt△ACB中，∠B=30°， ∴∠BOD=60°， ∴S扇形ODE=， ∵∠B=30°，OD⊥BC， ∴OB=2OD， ∴AB=3OD， ∵AB=2AC=6， ∴，， S△BOD=， S阴影=S△BOD-S扇形ODE. 【点睛】本题是对圆知识的考查，熟练掌握圆的切线，扇形的面积公式是解决本题的关键. 25. 如图，在中，直径，弦，点在的延长线上，线段交于点，过点作分别交，于点，，连结． （1）求证：． （2）当为等腰三角形时，求的长． （3）当当，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）长为6或4或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据同弧所对的圆周角相等，得出，即可得证； （2）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据（1）的结论分别分析讨论即可求解； （3）由（1）得．进而得出，是等腰直角三角形，根据，得出，，证明，求得，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴ 当为等腰三角形时，分三种情况： ①当时， ∴． 连接，则，根据等腰三角形三线合一得． ②当时， ∴． ∵， ∴， ∴． ③当时， ∴． 连接，∵， ∴由等腰三角形三线合一得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上可得，当为等腰三角形时，长为6或4或． 【小问3详解】 解：由（1）得． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得：． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵ ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 26. 已知，二次函数y＝﹣x2＋x＋2图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC． （1）如图1，请判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如图2，D为线段AB上一动点，作DP∥AC交抛物线于点P，过P作PE⊥x轴，垂足为E，交BC于点F，过F作FG⊥PE，交DP于G，连接CG，OG，求阴影部分面积S的最大值和D点坐标； （3）如图3，将抛物线沿射线AC方向移动个单位得到新的抛物线y′＝ax2＋bx＋c（a≠0），是否在新抛物线对称轴上存在点M，在坐标平面内存在点N，使得以C、B、M、N为顶点的四边形是以CB为边的矩形？若存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直角三角形，理由： 令，则， ， 令，则， 解得：， ， ， 在中，， 同理，， 又， ， ， 即为直角三角形； （2）最大值为3，； （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）此题根据抛物线解析式，可以令和，分别求出、、点坐标，继而求得、、长度，利用勾股定理逆定理，来判定三角形为直角三角形，此题也可以根据相似三角形的判定来解决； （2）根据轴，判定轴，根据，判定轴，阴影部分面积可以看作与的面积之和，当底边为时，阴影部分面积转化为，由于长已知，所以当取最大值时，阴影部分面积最大，根据，可以得到，从而得到，设，则，得到的长度，继而得到长度，从而求得表达式，根据的取值范围，确定函数在顶点处取得最大值； （3）根据三边关系，将斜向平移分解成两次平移，即水平移动和竖直移动，从而得到新抛物线解析式，由于为边，在对称轴上，所以可以得到或者，根据分类，画出图形，利用直角，构造一线三等角相似，即可求得点坐标． 【详解】（1）略； （2）设直线为， 代入点，得，， 直线为， 同理，直线为， 轴， 轴， 设， ， ， ，轴， 轴，， ， ， 又， ， ， ， ， ， 当最大时，取得最大值， ， 又， 当时，最大值为，最大值为3， ， ， 可设直线为， 代入点，得， 直线为：， 令，解得， ， 此时最大值为3； （3）存在这样点，使以、、、为顶点的四边形为矩形， ， 当抛物线沿射线方向平移个单位，可以分解为水平向右平移个单位，竖直向上平移3个单位， ， 平移后得抛物线为：， 对称轴为直线， ①当，为对角线，构成矩形时，如图1， 过作轴于点， ， 又， ， ， ， 又， ， ， 由坐标与平移关系可得， ， ②当，为对角线，构成矩形时，如图2， ， ， ， ， ， ， ， ， 由坐标与平移关系可得， ， 综上所述，为或． 【点睛】此题是一道二次函数综合题，即考查了直角三角形的判定，又考查了面积最值问题，还考查了平面直角坐标系中直角的应用，设参解决问题是基本功，考虑函数最值问题，一定要根据取值范围，数形结合来讨论，讨论特殊四边形存在性问题，一定要数形结合，分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省衡阳市衡东县第一中学2025年中考一模数学试题 注意事项： 1．本卷为试题卷，考生应在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证分别在试题卷和答题卡上填写清楚． 3．答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌子上，由监考老师统一收回． 本试卷共三道答题，26道小题，满分120分，时量共120分钟． 一、单选题（本大题12个小题，每小题3分，共36分，请将每个小题所给四个选项中唯一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上） 1. 刘慈欣科幻巨作《三体》中所描述的三体文明距地球大约42000000光年，它们之间被大量氢气和暗物质纽带连接，看起来似乎是连在一起的“三体星系”．其中数字42000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 下面计算正确的是（　　） A. B. C D. 5. 如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为（ ） 的解 的解 0 1 … 1 5 … 6 4 2 … 3 2 0 … A. B. C. D. 8. 为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表，则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是（ ） 时间小时 7 8 9 10 人数 7 9 11 3 A. 9，8 B. 9，9 C. 11，8 D. 11，8．5 9. 一副三角板和如图所示放置．，点在边上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，与是位似图形，点O为位似中心，且，若的周长为8，则的周长为（ ） A. 4 B. C. 16 D. 32 11. 如图，AB为的直径，BC为的切线，弦AD∥OC，直线CD交的BA延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是的切线；②；③；④．其中正确结论的个数有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 12. 如图，是抛物线图象，根据图象信息分析下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本答题共6个小题，每小题3分，共18分，请将正确答案写在答题卡相应的横线上） 13. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 14. 分解因式：_________________． 15. 圆锥的母线长为，其侧面展开图的圆心角为，则圆锥的底面圆半径长是______． 16. 如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，，以此类推，若，（为正整数），则n的值为____． 17. 如图，是的直径，是的两条弦，且，则所对的圆周角的度数是______． 18. 如图，菱形中，，对角线，E为上一点且，连接交于点F，过点F作于点G，则的长度为______． 三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每题10分，共66分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明的主要步骤） 19. 计算：． 20. 如图，在中，对角线AC与BD相交于点O，E，F分别是和的中点． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若四边形面积为2，求的面积． 21. 2023年全国教育工作会议提出要把开展读书活动作为一件大事来抓．引导学生爱该书．读好书，善读书，贵阳市某校为了推进这项工作，对全校学生一周内平均读书时间进行抽样调查．将调查结果的数据分成A、B、C、D、E五个等级并绘制成表格和扇形统计图如下． 等级 周平均读书时间t（单位：小时） 人数 A 4 B a C 20 D 15 E 5 每个等级人数扇形统计图 （1）求统计图表中______，______． （2）已知该校共有2800名学生，试估计该校每周读书时间至少3小时的人数为______． （3）请写出一条你对读书的建议． 22. 如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角．综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点处测得灯管支架底部的仰角为，在点处测得灯管支架顶部的仰角为，测得，（在同一条直线上）．请解答下列问题： （1）求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）； （2）求灯管支架的长度（结果精确到，参考数据：）． 23. 随着人民生活水平不断提高，家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，奥林花园A区2008年底拥有家庭轿车144辆，2010年底家庭轿车的拥有量达到225辆． （1）若该小区2008年底到2010年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2011年底家庭轿车将达到多少辆？ （2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资25万元再建造若干个停车位．据测算，建造费用分别为室内车位6000元/个，露天车位2000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的3倍，但不超过室内车位的倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案． 24. 如图，在中，，的平分线交边于点．以上一点为圆心作，使经过点和点． （1）判断直线与位置关系，并说明理由． （2）若，． ①求的半径； ②设与边的另一个交点为，求线段，与劣弧所围成的阴影部分的面积．（结果保留根号和） 25. 如图，在中，直径，弦，点在的延长线上，线段交于点，过点作分别交，于点，，连结． （1）求证：． （2）当为等腰三角形时，求的长． （3）当当，求的值． 26. 已知，二次函数y＝﹣x2＋x＋2图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC． （1）如图1，请判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如图2，D为线段AB上一动点，作DP∥AC交抛物线于点P，过P作PE⊥x轴，垂足为E，交BC于点F，过F作FG⊥PE，交DP于G，连接CG，OG，求阴影部分面积S的最大值和D点坐标； （3）如图3，将抛物线沿射线AC方向移动个单位得到新的抛物线y′＝ax2＋bx＋c（a≠0），是否在新抛物线对称轴上存在点M，在坐标平面内存在点N，使得以C、B、M、N为顶点的四边形是以CB为边的矩形？若存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $