精品解析：河北省沧州市五县2024-2025学年高三下学期第一次模拟联考数学试题

2025届3月第一次模拟考试 数学试卷 一、选择题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的始边为x轴非负半轴，终边经过点，则（ ） A. 3 B. C. D. 3. 已知向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足：，，则（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 5. 在正三棱锥中，O为外接圆圆心，则（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的焦点坐标为( ) A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 对任意的，都有 B. 当时，有两个实根 C. 若关于的方程在上只有一个解，则的取值范围为 D. 若方程有两个不同的根，且恒成立，则 二、多项选择题 9. 过抛物线的焦点的直线与C相交于，两点，直线PQ的倾斜角为，若的最小值为4，则（ ） A. 的坐标为 B. 若，则 C. 若，则的最小值为3 D. 面积的最小值为2 10. 已知实数a，b满足等式，则下列可能成立的关系式为（ ） A. B. C. D. 11. 泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式 由此可以判断下列各式正确的是（ ）． A. （i是虚数单位） B. （i是虚数单位） C. D. 三、填空题 12. 已知三棱锥的棱长均为2，且是BC的中点，则______. 13. 已知在正四棱台中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 14. 已知双曲线与平行于轴的动直线交于两点，点在点左侧，双曲线的左焦点为，且当时，.则双曲线的离心率是__________；当直线运动时，延长至点使，连接交轴于点，则的值是__________. 四、解答题 15. 已知幂函数是定义在R上的偶函数． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最大值，并求对应的自变量的值． 16. 已知中，内角所对的边分别为，且满足． （1）求角的值； （2）若点为的中点，求的值． 17. 如图，在三棱台中，平面平面，，，. （1）证明：； （2）当直线与平面所成的角最大时，求三棱台的体积. 18. 已知圆，直线过点. （1）当直线与圆相切时，求直线的斜率； （2）线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 19. 若圆与圆相交于P，Q两点，，且为线段PQ的中点，则称是的m等距共轭圆.已知点，均在圆上，圆心在直线上. （1）求圆的标准方程. （2）若圆是圆的8等距共轭圆，设圆心的轨迹为. （i）求的方程. （ii）已知点，直线l与曲线交于异于点H的E，F两点，若直线HE与HF的斜率之积为3，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届3月第一次模拟考试 数学试卷 一、选择题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数定义域化简集合M，然后求解 【详解】由，解得，所以， 又因为，所以. 故选：A. 2. 已知角的始边为x轴非负半轴，终边经过点，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，求得的值，再利用同角三角函数的基本关系化弦为切，代入即可求解. 【详解】由三角函数的定义可得， 所以. 故选：C. 3. 已知向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用数量积的运算律求出，进而求出夹角. 【详解】由，得，而，则， ，而， 所以与的夹角. 故选：C 4. 已知数列满足：，，则（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设有，累加可得，即可求结果. 【详解】由题设，则， 即，则. 故选：B 5. 在正三棱锥中，O为外接圆圆心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取中点，连接，利用空间向量的线性运算即可得解. 【详解】如图，在正三棱锥中，取中点，连接， 则点为底面中心，且在上， 所以 . 故选：D. 6. 抛物线的焦点坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将方程化成标准式，即可求解. 【详解】由可得，故，则， 故焦点坐标为， 故选：C. 7. 已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，根据题设条件，求得，得到函数在内的单调递减函数，再把不等式化为，结合单调性和定义域，即可求解. 【详解】由题意，函数满足， 令，则 函数是定义域内的单调递减函数， 由于，关于的不等式可化为， 即，所以且，解得， 不等式的解集为. 故选：B 【点睛】方法点睛：构造法求解与共存问题的求解策略： 对于不给出具体函数的解析式，只给出函数和满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，常见类型：（1）型；（2）型；（3）为常数型. 8. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 对任意的，都有 B. 当时，有两个实根 C. 若关于的方程在上只有一个解，则的取值范围为 D. 若方程有两个不同的根，且恒成立，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了特殊的复合函数的求导及极值点分析；A选项利用代值法判断；B选项利用图像判断，注意当趋于时，函数值趋于；C选项构造函数，利用图像判断；D选项利用对数不等式，进行判断； 【详解】，利用复合函数求导，可得，当时，，所以在区间上单调递增；当时，，所以在区间上单调递减；在处，取到极大值点，.函数图像如下： 对于选项A：当时，不满足，故A错误； 对于选项B：由上分析得，当趋于时，函数值趋于， 当时，有两个实数根； 当时，有一个实数根； 故B错误； 对于选项C：方程，两边取对数得，即，令，则， 令，则，当时，， 所以在区间上单调递增；当趋于时，函数值趋于； 当时，，所以在区间上单调递减；当趋于时，函数值趋于； 故，如图所示： 当时，，与只有一个交点， 当时，，与有2个交点， 当时，与只有一个交点； 当时，，与有2个交点， 故在上只有一个解，则的取值范围为， 故C错误； 对于选项D：若方程有两个不同的根，则，设两根为， 则，由函数的单调性知，因为恒成立，所以同时是方程的两根；根据韦达定理得，因为，两边取对数得， ，两式做差，，根据对数不等式， ，即； ，即； 所以，选项D正确； 故选：D 【点睛】此题难度很高，考点也非常全面； （1）考查了特殊的复合函数的变形、求导和极值点分析； （2）考查了的图像与性质； （3）通过性质，判断出图像，特别需要注意当趋于时，函数值趋于； （4）考查了双变量含参问题中对数不等式的运用； 二、多项选择题 9. 过抛物线的焦点的直线与C相交于，两点，直线PQ的倾斜角为，若的最小值为4，则（ ） A. 的坐标为 B. 若，则 C. 若，则的最小值为3 D. 面积的最小值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】设直线，联立直线方程和抛物线方程后消元结合最小弦长可求的值，再逐项判断后可得正确的选项. 【详解】由题设有，直线的斜率不为零，故设直线， 则由可得，， 所以，所以 而， 当且仅当时等号成立，故，故， 故，故A正确； 若，则，故，故的斜率为， 其倾斜角为或，故B错误； 若，则过作准线的垂线，垂足为，连接， 则，当且仅当三点共线时等号成立， 故的最小值为3，故C正确； ， 当且仅当时等号成立，故面积的最小值为2，故D成立. 故选：ACD. 10. 已知实数a，b满足等式，则下列可能成立的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先由等式，得出；对于选项A和B，分析的情形即可；对于选项C，分析的情形即可；对于选项D，分析的情形即可. 【详解】因为，所以． 对于选项A和B，当时，，只能，选项A不成立，选项B正确； 对于选项C，当时，，只能，选项C正确； 对于选项D，当时，且，只能，等式成立，选项D正确； 故选：BCD． 11. 泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式 由此可以判断下列各式正确的是（ ）． A. （i是虚数单位） B. （i是虚数单位） C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A、B，将关于的泰勒展开式两边求导得的泰勒展开式，再验证结论是否正确； 对于C，由，再代入关于的泰勒展开式验证是否成立； 对于D，由，证明 即可. 【详解】对于A、B，由， 两边求导得， ， ， 又， ， ，故A正确，B错误； 对于C，已知，则. 因为，则，即成立，故C正确； 故C正确； 对于D，,， ， 当，；；； ，, 所以，所以成立，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】利用泰勒公式证明不等式方法点睛： 应用泰勒公式时要选好，有时可能需要结合题目给出信息进行相关变形，再代入验证，利用展开项的特征进行适当的放缩，证明不等式成立. 三、填空题 12. 已知三棱锥的棱长均为2，且是BC的中点，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】由，再利用数量积运算求解. 【详解】解：， ， . 故答案为：1 13. 已知在正四棱台中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求得，根据向量的夹角公式可求异面直线与所成角的余弦值. 【详解】， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 14. 已知双曲线与平行于轴的动直线交于两点，点在点左侧，双曲线的左焦点为，且当时，.则双曲线的离心率是__________；当直线运动时，延长至点使，连接交轴于点，则的值是__________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】根据条件，设，代入双曲线方程得，再根据条件即可得，从而求出结果；利用，得到，设，则有，，，代入化简即可得出结果. 【详解】当时，设， 则有，解得，又，所以， 又，所以，两边同除，得到， 解得或（舍）， 因为，有， 设，则，，，， 所以， 又，所以， 故答案为：；. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第二空，利用，得到，设，，求出，化简并结合双曲线定义，即可求解. 四、解答题 15. 已知幂函数是定义在R上的偶函数． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最大值，并求对应的自变量的值． 【答案】（1） （2）当时，函数的最大值为7 【解析】 【分析】（1）由幂函数的定义和函数的奇偶性，求出的值，得函数解析式； （2）求出函数的解析式，由定义域结合解析式，利用配方法求最值. 【小问1详解】 根据题意可得，即， 所以，解得，又函数是定义在上的偶函数， 所以，即函数的解析式为． 【小问2详解】 由（1）可知 因，所以，当时，，函数的最大值为7． 16. 已知中，内角所对的边分别为，且满足． （1）求角的值； （2）若点为的中点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，则，，利用余弦定理即可求得，进而得到结果； （2）设，则，，利用平面向量的线性运算和数量积公式，即可求得结果. 【小问1详解】 设，则，， 利用余弦定理可得， 又因为，所以． 【小问2详解】 设，则，， 因为点为的中点，所以， 两边平方可得， 即， 所以，可 得，所以． 17. 如图，在三棱台中，平面平面，，，. （1）证明：； （2）当直线与平面所成的角最大时，求三棱台的体积. 【答案】（1）证明：在三棱台中，取的中点，连接， 由，得，由平面平面，平面平面， 平面，得平面，而平面，则， 又，则四边形是菱形，， 而平面，因此平面，又平面， 所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质，线面垂直的判定性质推理得证. （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法，再结合棱台体积公式计算得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，则，由平面平面，平面平面， 平面，则平面，直线两两垂直， 以点原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则，， ， 设平面的法向量，则，取，得， 设直线与平面所成的角为， ，当且仅当，即时取等号， 所以三棱台的体积 . 18. 已知圆，直线过点. （1）当直线与圆相切时，求直线的斜率； （2）线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，解出即可；（2）建立点和点之间的关系式，再利用点的坐标满足的关系式得到点的坐标满足的条件，即可求出. 【小问1详解】 已知的圆心是，半径是， 设直线斜率为 则直线方程是，即， 则圆心到直线距离为， 解得直线的斜率. 【小问2详解】 设点则， 由点是的中点得， 所以① 因为在圆上运动，所以② ①代入②得， 化简得点的轨迹方程是. 19. 若圆与圆相交于P，Q两点，，且为线段PQ的中点，则称是的m等距共轭圆.已知点，均在圆上，圆心在直线上. （1）求圆的标准方程. （2）若圆是圆的8等距共轭圆，设圆心的轨迹为. （i）求的方程. （ii）已知点，直线l与曲线交于异于点H的E，F两点，若直线HE与HF的斜率之积为3，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）直线过定点 【解析】 【分析】（1）设，根据解得，即可得圆心和半径，进而可得圆的方程； （2）（i）分析可知，可知圆心的轨迹为是以为圆心，半径的圆；（ii）分类讨论直线l的斜率是否存在，根据斜率公式以及韦达定理分析求解即可. 【小问1详解】 因为圆心在直线上，设， 且点，均在圆上，则， 可得，解得， 即圆心为，半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 （i）因为，由题意可得：， 可知圆心的轨迹为是以为圆心，半径的圆， 所以的方程为； （ⅱ）若直线l的斜率存在，设直线l：，， 联立方程，消去y可得， 则，且， 因为， 整理可得， 则 可得，即或， 当，直线过定点； 当，直线过定点，不合题意； 可知直线过定点； 若直线l的斜率不存在，设， 则，即， 且在圆上，则， 即，解得，不合题意； 综上所述：直线过定点. 【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 1.动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将b用k表示为，得，故动直线过定点； 2.动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $