精品解析：2025年湖南省长沙市一中教育集团中考一模数学试题

2024-2025-2初三第一次数学试卷 一、单选题 1. 下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原重图合．根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解． 【详解】解：A、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意； B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意； C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意； D、既不是中心对称图形也不是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 下列各数中，是有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数的定义和无理数的定义，有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称；无理数就是无限不循环小数，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等数，也考查了绝对值，零指数幂． 【详解】， 故选：D． 3. 如图几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形.注意所看到的线都要用实线表示出来．找到从几何体的上面看所得到图形即可． 【详解】解：从几何体的上面看到的图形即俯视图如图所示， 故选：A 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式，幂的运算，整式的减法，二次根式的乘法．分别利用幂的乘方、积的乘方，完全平方公式，合并同类项法则计算判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：C． 5. 如图，，，这样可以证明．其依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 6. 某校为了解同学们课外阅读名著的情况，在九年级随机抽查了名同学在一年内的课外阅读名著的情况，调查结果如表所示：关于这名同学课外阅读名著的情况，下列说法正确的是（ ） 课外名著阅读量本 学生数 A. 极差是1本 B. 中位数是10本 C. 众数是本 D. 阅读量多于本的同学占 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了极差、众数和中位数，根据极差、中位数、众数的定义解答即可．极差是最大的数与最小的数的差；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．众数是一组数据中出现次数最多的数． 【详解】解：A、极差是本，故本选项错误； B、把这20名周学课外阅读经典名著的本书按从小到大的顺序排列，则中位数是，故本选项错误； C、众数是11，此选项符合题意； D、阅读量多10本的同学所占百分比为，此选项不符合题意； 故选：C． 7. 如图，点、、在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理，求出的度数，等边对等角求出的度数即可． 【详解】解：∵点、、在上，， ∴，， ∴； 故选B． 8. 如图，已知直线，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确列出比例式是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 9. 在正方形网格中，的位置如图所示，点、、均在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，解题的关键在于根据根据题意构造直角三角形求解．过点作垂直的延长线于点，得出为等腰直角三角形，再根据角的余弦值即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点作垂直的延长线于点， ，， 为等腰直角三角形， ， ， 故选：B． 10. 如图，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数的图象在第一象限的分支交于点，交于点，直线交轴于点，交轴于点，连接．则下列结论： ①； ②四边形为平行四边形； ③若，则； ④若，，则． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设，，则点，，，从而求出直线的解析式，点的坐标，可判断四边形是平行四边形，求出，结合平行四边形面积即可判断①；根据平行四边形的判定可判定②正确；再根据和点坐标特征求出、的长，可判断③；根据，得出，再结合，得出，即可判断④． 【详解】解：四边形是矩形，反比例函数， 设，，则点，，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 解得， ， 则， ， ， 则， 四边形是矩形， ， 四边形是平行四边形， ，故①正确； 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形，故②正确； ， ， ， ，且，则， ， ， 直线的解析式为， ，且， ， ，故③错误； ， ， 解得， ， 即， ， ， （舍去）或，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，共3个 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，一次函数的图象与性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，解一元二次方程，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象和性质是解题的关键． 二、填空题 11. 二次根式有意义的条件是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义则被开方数必须大于等于零． 根据题意得出，得到． 【详解】解：由题意得， ∴， 故答案为： ． 12. 已知点，在函数的图象上，则_____________．（填、或） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比较一次函数值的大小，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键：一次函数的性质主要是指函数的增减性，即随的变化情况，它只和的符号有关，与的符号无关：，随的增大而增大；，随的增大而减小．根据该性质，只要知道两个点的大小结合的符号，就可判断的大小，反之亦然． 根据一次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：， 随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 13. 已知一个扇形的半径为，圆心角为，则扇形的面积等于__________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积，掌握扇形面积的计算公式是解题的关键． 根据扇形面积的计算公式（为扇形圆心角的度数）计算即可． 【详解】解：一个扇形的半径为，圆心角为， ∴， 故答案为： ． 14. 把多项式分解因式的结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法或公式法求因式分解，掌握提公因式或公式法分解因式是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为： ． 15. 如图，在菱形中，，则的长为___________． 【答案】10 【解析】 【分析】由菱形中，，易证得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记菱形的性质并推出等边三角形是解题的关键． 16. 如果关于x的方程无解，则m的值是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的知识，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．解分式方程，根据其无解，得出，即可得到答案． 【详解】方程去分母，得：， ∴， ∵关于x的方程无解， ∴， ∴， ∴ 故答案为：2． 三、解答题 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的综合运算，握特殊角的三角函数值，负整数指数幂性质，零指数幂性质，二次根式性质，实数的混合运算法则是关键．根据60°的正弦值，负整数幂，零次幂，二次根式性质化简，而后合并即可． 【详解】原式 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，14 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算及乘法公式，可利用平方差公式计算，利用完全平方公式计算． 先算乘方和乘法，再合并同类项，最后代入求值． 【详解】解：原式 当时， 原式． 19. 某校数学兴趣小组的同学在教学楼顶端B处测得实验楼顶部点A的仰角为，已知两楼的间距为50米，教学楼高为16米（图中所有点均在同一平面内），求实验楼的高度．（参考数据） 【答案】实验楼的高度为25米． 【解析】 【分析】利用正切函数的定义求得的长，即可求解． 【详解】解：由题意得，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴（米）， ∴（米）， 答：实验楼的高度为25米． 【点睛】本题考查解直角三角形－仰角俯角问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 20. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校组织全校学生进行了党史知识竞赛，参赛学生均获奖．为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次被抽取的部分人数是 名； （2）把条形统计图补充完整； （3）某班有4名获特等奖的学生小利、小芳、小明、小亮，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求小利被选中的概率． 【答案】（1）60名； （2）补全条形统计图为： （3） 【解析】 【分析】（1）由C 级的人数和所占百分比即可求解； （2）求出条形图中，D级人数，把条形图补充完整即可； （3）画树状图，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）本次被抽取的人数是（名）． 故填：60； （2）条形图中，D级人数为： （名）； （3）把小利、小芳、小明、小亮分别记为A，画树状图如图： 共有12个等可能的结果，小利被选中的结果有6个， ∴小利被选中的概率为：． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，理解两种统计图的公共信息和会画树状图是解题关键． 21. 如图，在中，是边的中点，是上一点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是边的中点， ∴ ． 又∵，  ∴，，  在与中， ， ∴  ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一般，平行线的性质，等角对等边以及中点定义，熟练掌握三角形全等的性质和判定方法是解题的关键． （1）由是边的中点，得 ，由，得，，可得，即可证明结论成立； （2）由是边的中点，，得 ，进而，由（1），，由，得，从而，进而即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是边的中点，， ∴ ． ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. “广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱种盐皮蛋和6箱种盐皮蛋共需390元；若购买5箱种盐皮蛋和8箱种盐皮蛋共需310元． （1）种盐皮蛋、种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？ （2）若某公司购买两种盐皮蛋共30箱，且种的数量至少比种的数量多5箱，又不超过种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】（1）种盐皮蛋每箱价格是30元，种盐皮蛋每箱价格是20元 （2）购买种盐皮蛋18箱，种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元 【解析】 【分析】（1）设种盐皮蛋每箱价格是元，种盐皮蛋每箱价格是元，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）设购买种盐皮蛋箱，则购买种盐皮蛋箱，根据题意建立不等式组，解不等式组可得的取值范围，再结合为正整数可得所有可能的取值，然后根据（1）的结果逐个计算总费用，找出总费用最少的购买方案即可． 【小问1详解】 解：设种盐皮蛋每箱价格是元，种盐皮蛋每箱价格是元， 由题意得：， 解得， 答：种盐皮蛋每箱价格是30元，种盐皮蛋每箱价格是20元． 【小问2详解】 解：设购买种盐皮蛋箱，则购买种盐皮蛋箱， 购买种的数量至少比种的数量多5箱，又不超过种的2倍， ， 解得， 又为正整数， 所有可能的取值为18，19，20， ①当，时，购买总费用为（元）， ②当，时，购买总费用为（元）， ③当，时，购买总费用为（元）， 所以购买种盐皮蛋18箱，种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和不等式组是解题关键． 23. 如图，已知为的直径，是的切线，连接交于点取的中点，连接交于点，过点作于点． （1）求证：； （2）若，，求和的长． 【答案】 （1）为的直径，是的切线， ，又，， ． （2）， 【解析】 【分析】（1）利用切线的性质得AB⊥AC，则可判断EH∥AC，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （2）连接AF，如图，利用圆周角定理得到∠AFB=90°，则可判定△CAF∽△CBA，利用相似比可计算出CA=12，再利用D点为弧BF的中点得到∠BAD=∠FAD，根据角平分线的性质定理得到EF=EH，设EH=x，则EF=x，BE=10-x，由于△HBE∽△ABC，则利用相似比求出x即可． 【详解】（1）略 （2）连接， 为的直径， ，， 又，， ，，． 为的中点，， 又，，． 设，则，， 由（1）知， ，， ，即． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；利用相似比计算线段的长是几何计算常用的方法．也考查了圆周角定理和切线的性质． 24. 我们定义：点P在一次函数上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点P称为“幸福点”．例如：点在上，点在上，P、Q两点关于y轴对称，此时二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点是“幸福点”． （1）判断一次函数和反比例函数是否存在“向光函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不存在，请说明理； （2）若一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式； （3）已知一次函数与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函数”与x轴交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件： ①②“向光函数”经过点，③ ，记四边形ACBD的面积为S，求的取值范围． 【答案】（1）存在；“幸福点”坐标为，； （2）“向光函数”的解析式为：或； （3） 【解析】 【分析】（1）假设存在“向光函数”，设“幸福点”坐标为，则，分别代入一次函数和反比例函数，得到关于的一元二次方程，解方程可得，，根据向光函数的定义，即可得到“幸福点”坐标； （2因为一次函数和反比例函数只有一个“幸福点”，则一次函数与反比例函数只有一个交点，联立一次函数与反比例函数得到关于的一元二次方程，得到关于的一元二次方程，令，求出的值，即可求出“向光函数”的解析式； （3）一次函数与反比例函数有两个“幸福点”、（在左侧），则、关于轴对称的点、一定在，上，根据“向光函数”满足的条件可以得出，，进而表示边形的面积为，即可求的取值范围． 【小问1详解】 假设一次函数和反比例函数是存在“向光函数”，设“幸福点”坐标为，则 ∴， 解并检验得：，， ∴一次函数和反比例函数是存在“向光函数”， “幸福点”坐标为，； 【小问2详解】 ∵一次函数关于y轴对称的直线函数解析式为，而且一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”， 所以与反比例函数只有一个交点， ∴，， 整理得：， ， 解得：，， 当时，则一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”， 向光函数”的解析式为：， 当时，则一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”， 向光函数”的解析式为：， ∴“向光函数”的解析式为：或． 【小问3详解】 ∵一次函数与反比例函数有两个“幸福点”、（在左侧），则、关于轴对称的点、一定在上， ∴、关于轴对称的点、是与的交点坐标， ∴， 整理得：， 又∵“向光函数”为， ∴与“向光函数”为关于轴对称， ∴， ∵“向光函数”与轴交于、两点（在左侧），若有以下条件：①②“向光函数”经过点，③， ∴， ∴， ∴， 即“向光函数”为 又∵， ∴， ∴， 又∵“向光函数”与轴交于、两点（在左侧），与“向光函数”为关于轴对称， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， 令“向光函数”中，得即， 解得，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的取值范围是：． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到一次函数、反比例函数，理解题意是解答新定义题型的关键． 25. 如图，在半径为3的作内接矩形，点E是弦的中点，，连结并延长交于点F，点G是的中点，连结分别交于点H、点P． （1）证明：； （2）求的长； （3）若存在一个实数m，使得，试求出m的值． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ， ． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得出，证明，即可证明． （2）连接，利用垂径定理求得，利用相似三角形的判定和性质求得，再证明，利用勾股定理求得的长，据此求解即可； （3）用勾股定理求得的长，证明，再证明，推出，连接，推出，利用勾股定理分别求得和的长，据此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，分别交、于点、， ∵是的中点， ∵矩形内接于， 为的直径， ∵是弦的中点，， ∴， ∴， ∵半径为3， ∵， 【小问3详解】 解：∵， 连接， ∵为的直径， 又， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，解直角三角形，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025-2初三第一次数学试卷 一、单选题 1. 下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各数中，是有理数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，这样可以证明．其依据是（ ） A. B. C. D. 6. 某校为了解同学们课外阅读名著的情况，在九年级随机抽查了名同学在一年内的课外阅读名著的情况，调查结果如表所示：关于这名同学课外阅读名著的情况，下列说法正确的是（ ） 课外名著阅读量本 学生数 A. 极差是1本 B. 中位数是10本 C. 众数是本 D. 阅读量多于本的同学占 7. 如图，点、、在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知直线，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 9. 在正方形网格中，的位置如图所示，点、、均在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数的图象在第一象限的分支交于点，交于点，直线交轴于点，交轴于点，连接．则下列结论： ①； ②四边形为平行四边形； ③若，则； ④若，，则． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 11. 二次根式有意义的条件是_______． 12. 已知点，在函数的图象上，则_____________．（填、或） 13. 已知一个扇形的半径为，圆心角为，则扇形的面积等于__________．（结果保留） 14. 把多项式分解因式的结果是_______． 15. 如图，在菱形中，，则的长为___________． 16. 如果关于x的方程无解，则m的值是_______． 三、解答题 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 某校数学兴趣小组的同学在教学楼顶端B处测得实验楼顶部点A的仰角为，已知两楼的间距为50米，教学楼高为16米（图中所有点均在同一平面内），求实验楼的高度．（参考数据） 20. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校组织全校学生进行了党史知识竞赛，参赛学生均获奖．为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次被抽取的部分人数是 名； （2）把条形统计图补充完整； （3）某班有4名获特等奖的学生小利、小芳、小明、小亮，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求小利被选中的概率． 21. 如图，在中，是边的中点，是上一点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 22. “广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱种盐皮蛋和6箱种盐皮蛋共需390元；若购买5箱种盐皮蛋和8箱种盐皮蛋共需310元． （1）种盐皮蛋、种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？ （2）若某公司购买两种盐皮蛋共30箱，且种的数量至少比种的数量多5箱，又不超过种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 23. 如图，已知为的直径，是的切线，连接交于点取的中点，连接交于点，过点作于点． （1）求证：； （2）若，，求和的长． 24. 我们定义：点P在一次函数上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点P称为“幸福点”．例如：点在上，点在上，P、Q两点关于y轴对称，此时二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点是“幸福点”． （1）判断一次函数和反比例函数是否存在“向光函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不存在，请说明理； （2）若一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式； （3）已知一次函数与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函数”与x轴交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件： ①②“向光函数”经过点，③ ，记四边形ACBD的面积为S，求的取值范围． 25. 如图，在半径为3的作内接矩形，点E是弦的中点，，连结并延长交于点F，点G是的中点，连结分别交于点H、点P． （1）证明：； （2）求的长； （3）若存在一个实数m，使得，试求出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $