第10章 二元一次方程组（思维导图+易错知识+11大考点讲练+易错真题难度拔尖练 共59题）-2024-2025学年苏科版数学七年级下册章节易错考点培优讲练（新教材）

2024-2025学年苏科版数学七年级下册章节培优易错知识讲练（新教材） 第10章 二元一次方程组 （思维导图+易错知识+11大考点讲练+易错真题难度拔尖练 共59题） 目 录 讲义编写说明 2 思维导图指引 2 易错知识点梳理精讲 2 易错知识点梳理01：方程组的概念与构成 2 易错知识点梳理02：方程组的解法 3 易错知识点梳理03：方程组的解的应用 3 易错知识点梳理04：方程组的解的检验 3 易错考点优选题讲练 4 易错考点讲练01：二元一次方程的定义 4 易错考点讲练02：二元一次方程的解 4 易错考点讲练03：解二元一次方程 5 易错考点讲练04：二元一次方程组的定义 6 易错考点讲练05：二元一次方程组的解 6 易错考点讲练06：解二元一次方程组 8 易错考点讲练07：由实际问题抽象出二元一次方程组 9 易错考点讲练08：二元一次方程组的应用 10 易错考点讲练09：解三元一次方程组 13 易错考点讲练10：同解方程组 14 易错考点讲练11：三元一次方程组的实际应用 14 易错真题拔尖训练 17 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，易错知识点梳理，易错考点真题汇编，精选易错题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 易错知识点梳理01：方程组的概念与构成 易错点： 学生可能混淆二元一次方程与二元一次方程组的概念，忘记方程组是由至少两个方程组成的。 在列出方程组时，可能会遗漏某个方程或错误地设置未知数。 解题技巧： 明确二元一次方程组是由两个或两个以上含有两个未知数的线性方程组成的。 在列出方程组时，要仔细审题，确保所有条件都被转化为方程，并且未知数设置正确。 易错知识点梳理02：方程组的解法 代入法易错点： 在选择一个方程解出一个未知数时，可能会选择复杂的方程，导致后续计算困难。 代入后得到的方程可能不是一元一次方程，或者解出的未知数不符合原方程组的条件。 解题技巧： 优先选择容易解出一个未知数的方程。 代入后得到的方程应简化为一元一次方程，并检查解是否符合原方程组的条件。 加减法（消元法）易错点： 在选择两个方程进行加减消元时，可能会选择系数不成比例的未知数项，导致无法消元。 消元后得到的方程可能无解或有多解，或者解出的未知数不符合原方程组的条件。 解题技巧： 选择两个方程中未知数项系数成比例的项进行加减消元。 消元后得到的方程应简化为一元一次方程，并检查解是否符合原方程组的条件。如果无解或多解，应检查原方程组是否矛盾或有无穷多解。 易错知识点梳理03：方程组的解的应用 易错点： 在将方程组的解应用到实际问题中时，可能会忽略问题的实际背景，导致解不符合实际情况。 在求解实际问题时，可能会遗漏某些条件或设置错误的未知数。 解题技巧： 仔细审题，理解问题的实际背景，确保解符合实际情况。 在求解实际问题时，要全面考虑所有条件，并正确设置未知数。 易错知识点梳理04：方程组的解的检验 易错点： 在检验方程组的解时，可能会遗漏某个方程或错误地代入解进行检验。 检验后可能会得出错误的结论，即认为解不正确或方程组无解。 解题技巧： 将求得的解代入原方程组中的每个方程进行检验。 如果代入后每个方程都成立，则解是正确的；否则，解是错误的或方程组无解。在检验过程中要仔细计算并核对结果。 易错考点讲练01：二元一次方程的定义 【典例易错题】（2021春•莱州市期中）下列方程中是二元一次方程的是　　 A． B． C． D． 【易错训练1】（2024春•文山市期末）如果方程是关于、的二元一次方程，则　　 A． B．5 C．1 D． 【易错训练2】（2024春•梓潼县期末）若是关于，的二元一次方程，则　　． 【易错训练3】（2021春•铜仁市期末）若是二元一次方程，则　　，　　． 易错考点讲练02：二元一次方程的解 【典例易错题】（2024春•玄武区校级月考）关于，的二元一次方程，不论取何值，方程总有一组固定不变的解，这组解为 　　． 【易错训练1】（2024秋•青羊区校级月考）已知关于，的二元一次方程，无论实数取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则这个相同的解是　　． 【易错训练2】（2024春•泰兴市月考）对于二元一次方程的任意一个解，给出如下定义：若，则称为方程的“和谐值”；若，则称或为方程的“和谐值”，此时的“和谐值”又称为“和谐平衡值”；若，则称为方程的“和谐值”． （1）当时，此方程的“和谐值”是 　　，二元一次方程的“和谐平衡值”是 　　； （2）若二元一次方程的“和谐值”为5，写出所有满足条件的方程的解； （3）当时，探究方程是否有最小“和谐值”，若有，求出最小“和谐值”，若没有，请说明理由． 【易错训练3】（2024春•无锡期末）我们把关于、的二元一次方程的系数、、称为该方程的伴随数，记作，，．例如：二元一次方程的伴随数是，，． （1）二元一次方程的伴随数是 　　； （2）已知关于、的二元一次方程的伴随数是，，． ①若，是该方程的两组解，求、的值； ②若是该方程的一组解，且满足，求代数式的值的范围． 易错考点讲练03：解二元一次方程 【典例易错题】（2022秋•槐荫区校级期末）二元一次方程的非负整数解共有　　对． A．1 B．2 C．3 D．4 【易错训练1】（2021秋•新华区校级期中）方程的非负整数解有　　 A．4组 B．5组 C．6组 D．无数组 【易错训练2】（2020春•安陆市期末）在方程中，用含的代数式表示的正确表达为　　． 【易错训练3】（2022春•市中区期末）若一个两位数十位、个位上的数字分别为、，我们可将这个两位数记为，即：． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 易错考点讲练04：二元一次方程组的定义 【典例易错题】（2023春•襄州区期中）下列不是二元一次方程组的是　　 A． B． C． D． 【易错训练1】（2024秋•张家口期末）下列方程组是二元一次方程组的是　　 A． B． C． D． 【易错训练2】（2022春•永年区校级期末）下列方程组是二元一次方程组的有　　 ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【易错训练3】（2021春•长兴县期末）下列属于二元一次方程组的是　　 A． B． C． D． 易错考点讲练05：二元一次方程组的解 【典例易错题】（2024春•杭州期中）已知关于，的方程组给出下列结论： ①当时，方程组的解也是的解： ②无论取何值，，的值不可能是互为相反数； ③，都为自然数的解有4对； ④若，则．其中正确的有　　 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【易错训练1】（2024春•蜀山区校级期中）已知关于、的方程组，给出下列说法： ①当时，方程组的解也是方程的解； ②当时，、的值互为相反数： ③若，则是方程组的解，其中说法正确的是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【易错训练2】．（2024春•朝阳区校级月考）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． （1）求，的值； （2）若，求的值； （3）若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； （4）若关于，的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． 【易错训练3】（2024春•三河市期末）关于，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”，请完成下面问题： （1）方程组的解与是否具有“邻好关系”？请说明理由； （2）方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 易错考点讲练06：解二元一次方程组 【典例易错题】（2024春•巴彦县校级月考）已知，则等于　　 A．5 B．4 C．3 D．2 【易错训练1】（2022春•南关区期末）已知．当时，；当时，．则方程的解可能是　　 A．1.45 B．1.64 C．1.92 D．2.05 【易错训练2】（2024春•黔南州期末）小杰在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用①②消去，则的值是　　 A． B．2 C． D．5 【易错训练3】（2024春•工业园区校级期中）解二元一次方程： （1） ； （2）． 易错考点讲练07：由实际问题抽象出二元一次方程组 【典例易错题】（2018秋•太原月考）太原市城乡居民用电价格按用电需求分为三个档次，电价分档递增：第一档电量为170千瓦时及以下，第二档电量为171千瓦时至260千瓦时，第三档电量为261千瓦时及以上，小颖家7月用电量为210千瓦时，交电费102.17元；8月用电量为180千瓦时，交电费86.36元．若第一档电价为元千瓦时，第二档电价为元千瓦时，则可得方程　　 A． B． C． D． 【易错训练1】（2024春•中山市期末）如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，设每块小长方形墙砖的长为 ，宽为 ，则下列所列方程组正确的是　　 A． B． C． D． 【易错训练2】（2019秋•昌平区校级期末）体育馆的环形跑道长400米，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和骑自行车．如果同向而行80秒乙追上甲一次；如果反向而行，他们每隔30秒相遇一次；求甲、乙的速度分别是多少？如果设甲的速度是米秒，乙的速度是米秒，所列方程组是　　． 【易错训练3】．（2019春•广饶县期中）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：时是一个两位数，数字之和为7；时十位与个位数字与时所看到的正好互换了；时比时看到的两位数中间多出一个0．如果设小明在看到的数的十位数字是，个位数字是，根据题意可列方程组为　　 ． 易错考点讲练08：二元一次方程组的应用 【典例易错题】（2024春•洮北区期末）某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下型与型两种板材．如图所示，（单位： （1）列出方程（组，求出图甲中与的值． （2）在试生产阶段，若将张标准板材用裁法一裁剪，张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的型与型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒． ①两种裁法共产生型板材 　　张，型板材 　　张（用、的代数式表示）； ②当时，所裁得的型板材和型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是 　　个．（在横线上直接写出所有可能答案，无需书写过程） 【易错训练1】（2024春•天河区期末）李老师有一辆电动汽车，为了充电方便，他安装了家庭充电桩．该充电桩峰时充电的电价为0.7元度，谷时充电的电价为0.3元度，某月李老师的电动汽车在家庭充电桩的充电量合计为180度，共花去电费74元．求这个月李老师的电动汽车峰时和谷时的充电量． 【易错训练2】（2023春•江岸区校级月考）如图，和的度数一定，绕点旋转，如图1，当平分时，，如图2，当平分时，． （1）请直接写出　　，　　； （2）旋转到如图3的位置，在外，且，平分，求； （3）射线从图2的位置以每秒8度的速度逆时针旋转，同时，射线从图2的位置以每秒10度的速度逆时针旋转，旋转时间为秒，在旋转过程中，平分，当时，直接写出的值为 　　． 【易错训练3】（2023春•沙坪坝区校级期中）重庆市某景点的门票价格如下表： 购票人数人 100以上 每人门票价元 12 10 8 重庆某中学七年级有甲、乙两个班级计划去游览该景点，其中甲班的人数少于50人，如果两个班都以班为单位单独购票，则甲班需支付588元；如果两个班级联合起来作为一个团体购票，则只需花费816元． （1）两个班各有多少人？ （2）小明和小红分别代表两个班级提前去超市购置一些旅途所需物品，发现超市正在对顾客实行优惠促销，规定如下： Ⅰ．若一次购物少于100元，则不予优惠； Ⅱ．若一次购物满100元，但不超过300元，按标价给予九折优惠； Ⅲ．若一次购物超过300元，其中300元部分给予九折优惠，超过300元部分按八折优惠． ①若小明和小红分开两次付款，一共消费377.3元，其中小明的付款费小于100元；同样的物品，若小明与小红一起一次付款，则只需付款366.8元，请问分开付款时小明支付了多少元？ ②小明和小红需要购买、、三种商品，他们若购买商品3件、商品7件、商品1件共需24元；若购买商品4件、商品10件、商品1件共需33元，则他们购买、、各一件共需要多少元？ 易错考点讲练09：解三元一次方程组 【典例易错题】（2023春•任城区校级期中）若对于有理数和，定义一种运算“△”，△，其中、、为常数，例如：3△．已知1△，4△，9△，则5△7的值为 　　． 【易错训练2】（2024春•应城市期末）解方程组． （1） ； （2）． 【易错训练3】（2024春•夹江县期末）【教材呈现】华东师大版7.2二元一次方程组的解法 例1：解方程组 解：由①得③ 将③代入②得 解得 将代入③，得 所以 小明同学受到上述解法的启示，认为可以采用同样的思想解决三元一次方程组，因此他做了如下尝试： （1）如图是一个正方体的平面展开图，如果正方体相对的两个面上的式子的值相等，则可以列出方程组 　　． （2）求解出上述、、的值． 易错考点讲练10：同解方程组 【典例易错题】（2024春•邯山区期末）已知方程组和有相同的解，求的值． 【易错训练1】（2024春•龙亭区校级期末）已知方程组和方程组有相同的解，求的值． 【易错训练2】（2021春•平凉期末）已知方程组与方程组的解相同，则，的值分别为　　 A． B． C． D． 【易错训练3】（2024春•栖霞市期末）与方程组的解相同的方程是　　 A． B． C． D． 易错考点讲练11：三元一次方程组的实际应用 【典例易错题】（2023春•汉阳区期末）有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件、乙7件、丙1件，共30元；若购买甲4件、乙10件、丙1件，共35元，现在购买甲、乙、丙各1件，共需 　　元． 【易错训练1】（2024春•铜梁区期末）问题提出 已知实数，满足，求的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①②可得．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 利用上面的知识解答下面问题： （1）已知方程组，则的值为 　　． 问题探究 （2）请说明在关于，的方程组中，无论取何值，的值始终不变． 问题解决 （2） 甲、乙、丙三种商品，如果购买甲1件、乙2件、丙2件共需135元，购买甲3件、乙1件、丙1件共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各2件共需多少元？ 【易错训练2】（2023春•宁波期末）数学活动：探究不定方程 小北，小仑两位同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出，，的具体数值，但可以解出的值． （1） 小北的方法：②①，整理可得：　　； ①②，整理可得：　　，． 第5页（共6页） 小仑的方法：①②：　　③；　　得：． （2）已知，试求解的值． （3）学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购4本英语簿，5本数学簿，2本作文本需要6元；采购4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要7.2元，那么采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要多少钱？ 【易错训练3】（2022春•南川区期末）为了表彰本学期表现优秀的同学，学校计划订购、、三种不同的奖品共100枚，其中奖品的数量高于奖品的数量，奖品的数量不高于60枚．已知奖品每枚40元，奖品每枚30元，奖品每枚25元．实际购买时，奖品每枚降低了5元，其他奖品价格不变，学校实际订购的三种奖品数量也均有所改变，奖品的数量是计划的，奖品的数量是计划的，结果实际购进三种奖品共74枚，实际花费比计划少了940元，则学校原计划购进奖品 　　枚． 1．（2025•池州开学）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为　　 A．0 B．1 C．2 D． 2．（2024春•赣州期末）如图，约定：上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．有以下两个结论，结论Ⅰ：若的值为3，则的值为4；结论Ⅱ：不论，取何值，的值一定为3．下列说法正确的是　　 A．Ⅰ，Ⅱ都对 B．Ⅰ对，Ⅱ不对 C．Ⅰ不对，Ⅱ对 D．Ⅰ，Ⅱ都不对 3．（2024春•上城区校级期中）已知关于，的方程组，则下列结论中正确的是　　 ①当时，方程组的解也是方程的解； ②当时，； ③不论取何值，的值始终不变； ④设，则的最大值为3． A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 4．（2024春•东兴区校级期中）关于、的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为　　 A． B． C． D． 5．（2021春•嘉兴期中）小雯去文具店购买了笔和本子共5件，已知两种文具的单价均为正整数，且本子的单价比笔的单价贵．在付账时，小雯问是不是27元，但收银员却说一共48元，小雯仔细看了看后发现自己将两种商品的单价记反了，那么小雯实际的购买情况是　　 A．1支笔，4本本子 B．2支笔，3本本子 C．3支笔，2本本子 D．4支笔，1本本子 6．（2024春•玄武区校级月考）已知方程组的解是，则方程组的解为 　　． 7．（2024春•和平区校级期末）已知关于，的方程组，给出下列说法：①若方程组的解也是的解，则；②若方程组与有相同的解，则；③无论取何值，，的值不可能互为相反数；④，都为自然数的解有2对．以上说法中正确的有 　　． 8．（2024春•正定县期末）七年级（6）班有50名学生参加军训．军训基地有6人间和4人间两种客房，若每个房间都住满，则安排这个班的学生入住的方案共有 　　种． 9．（2021春•沙坪坝区期末）端午节有吃粽子的习惯，某商店购进肉粽、蛋黄粽、豆沙粽的数量之比为．为促进销售，将全部粽子包装成、、三种礼盒．礼盒有2个肉粽、4个蛋黄粽；礼盒有1个肉粽、3个蛋黄粽、1个豆沙粽；礼盒有4个肉粽、2个豆沙粽．则礼盒、礼盒、礼盒的盒数之比为 　　． 10．（2021春•巴南区校级月考）为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合果仁．其中，甲种混合果仁每袋装有3千克原料，1千克原料，1千克原料；乙种混合果仁每袋装有1千克原料，2千克原料，2千克原料．甲、乙两种袋装混合果仁每袋成本价分别为袋中的，，三种原料的成本价之和．已知每袋甲种混合果仁的成本是每千克种原料成本的10倍，每袋乙种混合果仁售价比每袋甲种混合果仁售价高，乙种袋混合果仁的销售利润为，当电商销售甲乙两种混合果仁的袋数之比为时，求销售这两款袋装混合果仁的销售利润率为 　　． 11．（2024春•五华区校级期中）先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组：， 由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． 原方程组的解为． 这种方法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组：． 12． （2024春•汝州市校级期末）甲、乙两人同时解方程组，甲看错了，求得的解为，乙看错了，求得的解为，求原方程的正确的解． 13．（2024春•东海县期末）打折前，买50件商品和40件商品用了960元，买30件商品和5件商品用了500元． （1）求打折前，每件商品和商品分别多少元？ （2）打折后，买100件商品和100件商品用了1700元，求比不打折少花了多少钱？ （3）在（2）打折的条件下，设、两种商品的打折率相同．某单位需要购买商品和商品共300件，且商品不少于商品的2倍，要使本次购买商品总费用最少，商品和商品各需购买多少件？ 14．（2024春•仁寿县校级月考）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： （1）用加减消元法解方程组； （2）如何解方程组呢，我们可以把，分别看成一个整体，设，，请补全过程求出原方程组的解； （3）已知关于，的二元一次方程组的解是，求解关于，的二元一次方程组：． 15．（2019春•长春期中）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） （1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片 张，正方形铁片 张； （2）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ （3）把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．该如何充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学七年级下册章节培优易错知识讲练（新教材） 第10章 二元一次方程组 （思维导图+易错知识+11大考点讲练+易错真题难度拔尖练 共59题） 目 录 讲义编写说明 1 思维导图指引 2 易错知识点梳理精讲 2 易错知识点梳理01：方程组的概念与构成 2 易错知识点梳理02：方程组的解法 2 易错知识点梳理03：方程组的解的应用 3 易错知识点梳理04：方程组的解的检验 3 易错考点优选题讲练 3 易错考点讲练01：二元一次方程的定义 3 易错考点讲练02：二元一次方程的解 5 易错考点讲练03：解二元一次方程 9 易错考点讲练04：二元一次方程组的定义 11 易错考点讲练05：二元一次方程组的解 13 易错考点讲练06：解二元一次方程组 18 易错考点讲练07：由实际问题抽象出二元一次方程组 20 易错考点讲练08：二元一次方程组的应用 22 易错考点讲练09：解三元一次方程组 28 易错考点讲练10：同解方程组 33 易错考点讲练11：三元一次方程组的实际应用 34 易错真题拔尖训练 39 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，易错知识点梳理，易错考点真题汇编，精选易错题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 易错知识点梳理01：方程组的概念与构成 易错点： 学生可能混淆二元一次方程与二元一次方程组的概念，忘记方程组是由至少两个方程组成的。 在列出方程组时，可能会遗漏某个方程或错误地设置未知数。 解题技巧： 明确二元一次方程组是由两个或两个以上含有两个未知数的线性方程组成的。 在列出方程组时，要仔细审题，确保所有条件都被转化为方程，并且未知数设置正确。 易错知识点梳理02：方程组的解法 代入法易错点： 在选择一个方程解出一个未知数时，可能会选择复杂的方程，导致后续计算困难。 代入后得到的方程可能不是一元一次方程，或者解出的未知数不符合原方程组的条件。 解题技巧： 优先选择容易解出一个未知数的方程。 代入后得到的方程应简化为一元一次方程，并检查解是否符合原方程组的条件。 加减法（消元法）易错点： 在选择两个方程进行加减消元时，可能会选择系数不成比例的未知数项，导致无法消元。 消元后得到的方程可能无解或有多解，或者解出的未知数不符合原方程组的条件。 解题技巧： 选择两个方程中未知数项系数成比例的项进行加减消元。 消元后得到的方程应简化为一元一次方程，并检查解是否符合原方程组的条件。如果无解或多解，应检查原方程组是否矛盾或有无穷多解。 易错知识点梳理03：方程组的解的应用 易错点： 在将方程组的解应用到实际问题中时，可能会忽略问题的实际背景，导致解不符合实际情况。 在求解实际问题时，可能会遗漏某些条件或设置错误的未知数。 解题技巧： 仔细审题，理解问题的实际背景，确保解符合实际情况。 在求解实际问题时，要全面考虑所有条件，并正确设置未知数。 易错知识点梳理04：方程组的解的检验 易错点： 在检验方程组的解时，可能会遗漏某个方程或错误地代入解进行检验。 检验后可能会得出错误的结论，即认为解不正确或方程组无解。 解题技巧： 将求得的解代入原方程组中的每个方程进行检验。 如果代入后每个方程都成立，则解是正确的；否则，解是错误的或方程组无解。在检验过程中要仔细计算并核对结果。 易错考点讲练01：二元一次方程的定义 【典例易错题】（2021春•莱州市期中）下列方程中是二元一次方程的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据二元一次方程的定义逐项判定即可． 【规范解答】解：、，含未知数的项的次数最高是2次，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； 、该方程不是整式方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； 、，是二元一次方程，故此选项符合题意 、，含未知数的项的次数最高是2次，不是二元一次方程，故此选项不符合题意． 故选：． 【考点评析】本题考查二元一次方程的定义，熟练掌握其定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都为1的整式方程即为二元一次方程是解题的关键． 【易错训练1】（2024春•文山市期末）如果方程是关于、的二元一次方程，则　　 A． B．5 C．1 D． 【思路点拨】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面考虑求常数、的值，求值后代入计算即可． 【规范解答】解：方程是关于、的二元一次方程， 可得，解得， 则． 故选：． 【考点评析】本题考查了二元一次方程的定义，注意二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程． 【易错训练2】（2024春•梓潼县期末）若是关于，的二元一次方程，则　　． 【思路点拨】根据二元一次方程的定义可得且，然后进行计算即可解答． 【规范解答】解：由题意得： 且， 或且， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了绝对值，二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 【易错训练3】（2021春•铜仁市期末）若是二元一次方程，则　1　，　　． 【思路点拨】利用二元一次方程的定义判断即可． 【规范解答】解：方程是二元一次方程， ，， 解得：，， 故答案为：1，2． 【考点评析】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键． 易错考点讲练02：二元一次方程的解 【典例易错题】（2024春•玄武区校级月考）关于，的二元一次方程，不论取何值，方程总有一组固定不变的解，这组解为 　　． 【思路点拨】将可化为，由“不论取何值，方程总有一组固定不变的解”得，解这个方程组即可． 【规范解答】解：可化为， 不论取何值，方程总有一组固定不变的解， ，解得． 故答案为：． 【考点评析】本题考查二元一次方程的解，将可化为并掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【易错训练1】（2024秋•青羊区校级月考）已知关于，的二元一次方程，无论实数取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则这个相同的解是　　． 【思路点拨】将方程整理成关于的一元一次方程，若无论实数取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则与无关，从而令的系数为0，从而得关于和的二元一次方程组，求解即可． 【规范解答】解：将方程整理得： 无论实数取何值，此二元一次方程都有一个相同的解 解得： 故答案为：． 【考点评析】本题考查了含参数的二元一次方程有相同解问题，转化思想是解答本题的关键，当然，本题也可以采用特殊值法来求解，即取两个不同的值，解两次二元一次方程组，但此法比较麻烦， 【易错训练2】（2024春•泰兴市月考）对于二元一次方程的任意一个解，给出如下定义：若，则称为方程的“和谐值”；若，则称或为方程的“和谐值”，此时的“和谐值”又称为“和谐平衡值”；若，则称为方程的“和谐值”． （1）当时，此方程的“和谐值”是 　1　，二元一次方程的“和谐平衡值”是 　　； （2）若二元一次方程的“和谐值”为5，写出所有满足条件的方程的解； （3）当时，探究方程是否有最小“和谐值”，若有，求出最小“和谐值”，若没有，请说明理由． 【思路点拨】（1）依据题意，当时，即，可得，从而，进而可以判断得解；当二元一次方程存在“和谐平衡值”时，，即，则，从而分两种情形分析计算可以得解； （2）依据题意，结合二元一次方程的“和谐值”为5，可分、、和四种情况讨论分析，进而计算可以得解； （3）依据题意，当时，可得，再结合，可得，，及，从而分和进行分析判断可以得解． 【规范解答】解：（1）由题意，当时，即， ． ． ． 当时，此方程的“和谐值”是1； 由题意，当二元一次方程存在“和谐平衡值”时，， ． ． ①当时，， ． ． 此时二元一次方程的“和谐平衡值”是3． ②当时，， ，． ． 此时二元一次方程的“和谐平衡值”是1． 综上，二元一次方程的“和谐平衡值”是1或3． 故答案为：1；1或3． （2）由题意，①当时，即，解得， 又， 是方程的“和谐值”，符合题意；此时方程的解为． ②当时，即，解得， 又， 是方程的“和谐值”，符合题意；此时方程的解为． ③当时，即，解得， 又， 是方程的“和谐值”，不符合题意； ④当，即，解得， 又， 是方程的“和谐值”，不符合题意． 综上所述，所有满足条件的方程的解为，． （3）当时， ． ， ，． ，， 又， ． ①当时，，即， 此时方程的“和谐值”为3． ②当时，，即， 此时方程的“和谐值”为，此时． 方程最小“和谐值”为3． 【考点评析】本题主要考查了二元一次方程的解、绝对值，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【易错训练3】（2024春•无锡期末）我们把关于、的二元一次方程的系数、、称为该方程的伴随数，记作，，．例如：二元一次方程的伴随数是，，． （1）二元一次方程的伴随数是 　，2，　； （2）已知关于、的二元一次方程的伴随数是，，． ①若，是该方程的两组解，求、的值； ②若是该方程的一组解，且满足，求代数式的值的范围． 【思路点拨】（1）将方程化为的形式，再根据伴随数的定义作答即可； （2）①将方程写成，将两组解分别代入并解方程组即可； ②将解代入，得到和的数量关系，将用含的代数式表示出来并代入和，求出的取值范围，从而求出的值的范围． 【规范解答】解：（1）二元一次方程可整理为， 二元一次方程的伴随数是，2，． 故答案为：，2，． （2）①关于、的二元一次方程的伴随数是，，， 该二元一次方程为， 将和分别代入， 得， 解得， ，． ②将代入， 得，整理得， ， ，解得， 且， ， 且． 【考点评析】本题考查二元一次方程的解，掌握二元一次方程和一元一次不等式的解法是解题的关键． 易错考点讲练03：解二元一次方程 【典例易错题】（2022秋•槐荫区校级期末）二元一次方程的非负整数解共有　　对． A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】由于二元一次方程中的系数是1，可先用含的代数式表示，然后根据此方程的解是非负整数，那么把最小的非负整数代入，算出对应的的值，再把代入，再算出对应的的值，依此可以求出结果． 【规范解答】解：， ， 、都是非负整数， 时，； 时，； 时，； 时，． 二元一次方程的非负整数解共有4对． 故选：． 【考点评析】由于任何一个二元一次方程都有无穷多个解，求满足二元一次方程的非负整数解，即此方程中两个未知数的值都是非负整数，这是解答本题的关键． 注意：最小的非负整数是0． 【易错训练1】（2021秋•新华区校级期中）方程的非负整数解有　　 A．4组 B．5组 C．6组 D．无数组 【思路点拨】分别列举出方程的非负整数即可解答． 【规范解答】解：二元一次方程的所有非负整数解有： ，； ，； ，； ，． ，； ，． 故选：． 【考点评析】本题考查的是解二元一次方程，分别列举出此方程的非负整数解是解答此题的关键． 【易错训练2】（2020春•安陆市期末）在方程中，用含的代数式表示的正确表达为　　． 【思路点拨】将看作已知数求出即可． 【规范解答】解：方程， 解得：， 故答案为：． 【考点评析】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看作已知数求出． 【易错训练3】（2022春•市中区期末）若一个两位数十位、个位上的数字分别为、，我们可将这个两位数记为，即：． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【思路点拨】（1）按定义列出方程求出的值即可； （2）按定义列出方程求出、的值，代入计算即可． 【规范解答】解：（1），， ， ； （2），， ， 解得， ， ，或，或， 或22或31． 【考点评析】本题考查了一次方程的解法．明确新的定义是解题的关键． 易错考点讲练04：二元一次方程组的定义 【典例易错题】（2023春•襄州区期中）下列不是二元一次方程组的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据二元一次方程组的定义判断即可． 【规范解答】解：、该方程组中的第一个方程是分式方程，所以不是二元一次方程组，符合题意； 、该方程组是二元一次方程组，不符合题意； 、该方程组是二元一次方程组，不符合题意； 、该方程组是二元一次方程组，不符合题意． 故选：． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的定义，二元一次方程组要满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程． 【易错训练1】（2024秋•张家口期末）下列方程组是二元一次方程组的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据二元一次方程组的定义求解即可．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 【规范解答】解：．是二元一次方程组，故此选项符合题意； ．有一个方程含有分式，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； ．有一个方程的次数是2，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； ．有一个方程的次数是2，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题主要考查了二元一次方程的定义．解题时一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”． 【易错训练2】（2022春•永年区校级期末）下列方程组是二元一次方程组的有　　 ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据二元一次方程组的定义求解即可． 【规范解答】解：经过观察可发现方程组③有三个未知数，不是二元一次方程组，方程组①②④都是二元一次方程组，共有3个． 故选：． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组，利用二元一次方程组的定义是解题关键．二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 【易错训练3】（2021春•长兴县期末）下列属于二元一次方程组的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据二元一次方程组的定义求解即可．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 【规范解答】解：．是二元二次方程，故不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； ．有三个未知数，故不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； ．是二元一次方程组，故此选项符合题意； ．方程中含有分式，故不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题主要考查了二元一次方程的定义．一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”． 易错考点讲练05：二元一次方程组的解 【典例易错题】（2024春•杭州期中）已知关于，的方程组给出下列结论： ①当时，方程组的解也是的解： ②无论取何值，，的值不可能是互为相反数； ③，都为自然数的解有4对； ④若，则．其中正确的有　　 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【思路点拨】①当时求出原方程组的解，将其解和代入，若使方程成立，则正确，否则，则不正确； ②求出原方程组的解，当时，求的值即可； ③使和均不小于0，求出的取值范围，从而得到的所能可能整数值，分别将的值代入原方程组的解求出具体解即可； ④将原方程组的解代入求出的值即可． 【规范解答】解：①当时，原方程组的解为，将它代入， 左边为，右边为， ①正确； ②解原方程组，得， 当，的值互为相反数时，得，即， 解得， 当时，当，的值互为相反数， ②不正确； ③原方程组的解为，且，都为自然数， ，其解集为， ，0，1，2，将它们分别代入，得，，，． ③正确； ④原方程组的解为， 若，得，解得， ④正确． 综上，①③④正确． 故选：． 【考点评析】本题考查二元一次方程及方程组的解，掌握其解法是本题的关键． 【易错训练1】（2024春•蜀山区校级期中）已知关于、的方程组，给出下列说法： ①当时，方程组的解也是方程的解； ②当时，、的值互为相反数： ③若，则是方程组的解，其中说法正确的是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【思路点拨】本题考查二元一次方程组的解，代入不同的值求解即可． 【规范解答】解：①当时，方程变为， 解得：， 将，代入， 得：， 左边等于右边， 当时，方程组的解也是方程的解， ①正确； ②当时，方程变为， 解得：， 当时，、的值互为相反数， ②正确； ③解原方程得：， 当时，对应不同的、的值， ③错误； 故选：． 【考点评析】本题掌握二元一次方程组的解法，代入数值认真求解即可． 【易错训练2】．（2024春•朝阳区校级月考）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． （1）求，的值； （2）若，求的值； （3）若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； （4）若关于，的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． 【思路点拨】（1）利用新定义列出关于、方程组，解方程组求出、的值． （2）将、的值代入转化为的一元一次方程，解方程求出的值． （3）将、的值代入，得出关于、的方程组，消去，再与组成新的方程组，求出、的值，再求出即可． （4）将代入得出新的方程组，整体代入得出新方程组的解． 【规范解答】解：（1）由题意，，， ． ． （2）由题意，， ． ． 又， ． （3）由题意，方程组可化为， ． 又， ． ． （4）由题意，方程组可化为，而方程组可化为， 即， 又方程组的解为， ． ． 方程组的解为． 【考点评析】本题二元一次方程组的解、二元一次方程的解，解题时要熟练掌握新定义运算，并准确计算是关键． 【易错训练3】（2024春•三河市期末）关于，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”，请完成下面问题： （1）方程组的解与是否具有“邻好关系”？请说明理由； （2）方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【思路点拨】（1）解方程组，判断是否成立即可； （2）将方程组的两个方程左、右分别相减，得到的值，当时求出的值即可． 【规范解答】解：（1）与具有“邻好关系”．理由如下： ， 将①代入②，得， 解得③， 将③代入①，得， 原方程组的解为， ， 与具有“邻好关系”． （2）将方程组的两个方程左、右分别相减， 得， 与具有“邻好关系”， ， ， ． 【考点评析】本题考查二元一次方程组的解，掌握其解法是解题的关键． 易错考点讲练06：解二元一次方程组 【典例易错题】（2024春•巴彦县校级月考）已知，则等于　　 A．5 B．4 C．3 D．2 【思路点拨】通过两个方程相加，运用整体思想进行求解． 【规范解答】解：， ，得． 故选：． 【考点评析】此题考查了含有字母参数二元一次方程组问题的求解能力，关键是能准确理解并运用整体思想进行求解． 【易错训练1】（2022春•南关区期末）已知．当时，；当时，．则方程的解可能是　　 A．1.45 B．1.64 C．1.92 D．2.05 【思路点拨】由题意可以断定是一次函数，又因为当时，；当时，．根据一次函数图象的增减性可以知道直线与轴的交点在、之间，从而得出方程的解的取值范围在1.5与1.8之间． 【规范解答】解：由题意可以断定是一次函数， 当时，；当时，； 时，的取值范围是； 故选：． 【考点评析】本题考查了一次函数图象的增减性，关键要掌握函数增减性以及函数图象与轴的交点关系． 【易错训练2】（2024春•黔南州期末）小杰在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用①②消去，则的值是　　 A． B．2 C． D．5 【思路点拨】利用加减消元法进行计算，即可解答． 【规范解答】解：， ②得：③， ①③得：， 利用①②消去，则的值是5， 故选：． 【考点评析】本题考查了解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【易错训练3】（2024春•工业园区校级期中）解二元一次方程： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【规范解答】解：（1）， ①②，得， 解得， 将代入①，得， 解得， 原方程的解为． （2）， ①②，得， 解得， 将代入①，得， 解得， 原方程的解为． 【考点评析】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组的方法是解题的关键． 易错考点讲练07：由实际问题抽象出二元一次方程组 【典例易错题】（2018秋•太原月考）太原市城乡居民用电价格按用电需求分为三个档次，电价分档递增：第一档电量为170千瓦时及以下，第二档电量为171千瓦时至260千瓦时，第三档电量为261千瓦时及以上，小颖家7月用电量为210千瓦时，交电费102.17元；8月用电量为180千瓦时，交电费86.36元．若第一档电价为元千瓦时，第二档电价为元千瓦时，则可得方程　　 A． B． C． D． 【思路点拨】首先根据总价单价数量，分别用每档电费的价格乘以每档的用电量，求出第一档、第二档、第三档的电费各是多少元；然后把它们求和，得出应付电费的钱数． 【规范解答】解：小颖家7月电费：，① 小颖家8月电费：，② ①和②联立可得方程组． 故选：． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【易错训练1】（2024春•中山市期末）如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，设每块小长方形墙砖的长为 ，宽为 ，则下列所列方程组正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】每块小长方形墙砖的长为 ，宽为 ，根据图形，比较图形中的高度，找到两个等量关系，列出方程组为即可． 【规范解答】解：每块墙砖的长为 ，宽为 ， 根据题意得：． 故选：． 【考点评析】本题考查了从实际问题抽象出二元一次方程组，关键是根据题意找到等量关系式． 【易错训练2】（2019秋•昌平区校级期末）体育馆的环形跑道长400米，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和骑自行车．如果同向而行80秒乙追上甲一次；如果反向而行，他们每隔30秒相遇一次；求甲、乙的速度分别是多少？如果设甲的速度是米秒，乙的速度是米秒，所列方程组是　　． 【思路点拨】根据环形跑道问题，同向而行80秒乙追上甲一次可得用乙跑路程减去甲跑路程等于400米；反向而行，他们每隔30秒相遇一次可得甲、乙路程和等于400米列出方程组即可． 【规范解答】解：根据题意，得 ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是掌握行程问题应用题．列方程时注意乙跑一圈之和才追上甲的实际意义． 【易错训练3】．（2019春•广饶县期中）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：时是一个两位数，数字之和为7；时十位与个位数字与时所看到的正好互换了；时比时看到的两位数中间多出一个0．如果设小明在看到的数的十位数字是，个位数字是，根据题意可列方程组为　　． 【思路点拨】根据一个两位数，数字之和为7，时十位与个位数字与是所看到的正好互换了；时比时看到的两位数中间多出一个0列出方程组即可． 【规范解答】解：看到的数的十位数字是，个位数字是， 根据题意可列方程组为： 故答案为：． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是理解题意找到等量关系． 易错考点讲练08：二元一次方程组的应用 【典例易错题】（2024春•洮北区期末）某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下型与型两种板材．如图所示，（单位： （1）列出方程（组，求出图甲中与的值． （2）在试生产阶段，若将张标准板材用裁法一裁剪，张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的型与型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒． ①两种裁法共产生型板材 　　张，型板材 　　张（用、的代数式表示）； ②当时，所裁得的型板材和型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是 　　个．（在横线上直接写出所有可能答案，无需书写过程） 【思路点拨】（1）由图示利用板材的长列出关于、的二元一次方程组求解； （2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生型板材和型板材的张数； ②根据竖式与横式礼品盒所需要的、两种型号板材的张数构建方程求解． 【规范解答】解：由题意得：， 解得； （2）①由图示裁法一产生型板材为：，裁法二产生型板材为：， 所以两种裁法共产生型板材为（张， 由图示裁法一产生型板材为：，裁法二产生型板材为：， 所以两种裁法共产生型板材为张； ②当时，所裁得的型板材和型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是24或27或30个． 由图可知，做一个横式无盖礼品盒需型板材3张，型板材2张． 所裁得的板材恰好用完， ，化简得． ，皆为整数， 为4的整数倍， 又， 可取32，36，40， 此时，分别为8，9，10，可做成的礼品盒个数分别为24，27，30． 故答案为：；；24或27或30． 【考点评析】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． 【易错训练1】（2024春•天河区期末）李老师有一辆电动汽车，为了充电方便，他安装了家庭充电桩．该充电桩峰时充电的电价为0.7元度，谷时充电的电价为0.3元度，某月李老师的电动汽车在家庭充电桩的充电量合计为180度，共花去电费74元．求这个月李老师的电动汽车峰时和谷时的充电量． 【思路点拨】依据题意，设这个月李老师的电动汽车峰时为度，谷时的充电量为度，根据某月李老师的电动汽车在家庭充电桩的充电量合计为180度，共花电费74元．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【规范解答】解：设这个月李老师的电动汽车峰时为度，谷时的充电量为度， ． ． 答：这个月李老师的电动汽车峰时为50度，谷时的充电量为130度． 【考点评析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题时要熟练掌握并能找准等量关系，正确列出二元一次方程组是关键． 【易错训练2】（2023春•江岸区校级月考）如图，和的度数一定，绕点旋转，如图1，当平分时，，如图2，当平分时，． （1）请直接写出　110　，　　； （2）旋转到如图3的位置，在外，且，平分，求； （3）射线从图2的位置以每秒8度的速度逆时针旋转，同时，射线从图2的位置以每秒10度的速度逆时针旋转，旋转时间为秒，在旋转过程中，平分，当时，直接写出的值为 　　． 【思路点拨】（1）依据题意，设为，为．由平分，从而，则，又平分，故，可得，进而建立方程组计算可以得解； （2） 依据题意，由，从而，又平分，故，结合，则 ，进而计算可以得解； （3）依据题意，，，从而，故，又，则，进而计算可以得解． 【规范解答】解：（1）由题意，设为，为． 平分， ． ， ． 平分， ． ， ． ． ． ，． 故答案为：110；60． （2）由题意，， ． 平分， ． ， ． （3）由题意，，， ． ． 又， ． ． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、角平分线的定义、角的计算，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【易错训练3】（2023春•沙坪坝区校级期中）重庆市某景点的门票价格如下表： 购票人数人 100以上 每人门票价元 12 10 8 重庆某中学七年级有甲、乙两个班级计划去游览该景点，其中甲班的人数少于50人，如果两个班都以班为单位单独购票，则甲班需支付588元；如果两个班级联合起来作为一个团体购票，则只需花费816元． （1）两个班各有多少人？ （2）小明和小红分别代表两个班级提前去超市购置一些旅途所需物品，发现超市正在对顾客实行优惠促销，规定如下： Ⅰ．若一次购物少于100元，则不予优惠； Ⅱ．若一次购物满100元，但不超过300元，按标价给予九折优惠； Ⅲ．若一次购物超过300元，其中300元部分给予九折优惠，超过300元部分按八折优惠． ①若小明和小红分开两次付款，一共消费377.3元，其中小明的付款费小于100元；同样的物品，若小明与小红一起一次付款，则只需付款366.8元，请问分开付款时小明支付了多少元？ ②小明和小红需要购买、、三种商品，他们若购买商品3件、商品7件、商品1件共需24元；若购买商品4件、商品10件、商品1件共需33元，则他们购买、、各一件共需要多少元？ 【思路点拨】（1）根据甲班的人数少于50人，甲班需支付588元即可求出甲班人数，进而根据两个班级联合起来作为一个团体购票，花费816元可判断两个班的人数超过100人，求得两个班的总人数，即可求出乙班人数； （2）①设分开付款时小明支付了元，则小红支付了元，那么可得， 小红购物原价超过300元． Ⅰ．小明支付的钱可能未享受优惠，那么小明和小红一起付款时，小明支付的那部分钱一定享受了八折优惠， 根据优惠的钱数．把相关数值代入求解即可； Ⅱ．小明支付的钱可能享受了9折优惠．根据一起付优惠的金额为366.8，列方程即可作答； ②设商品的单价为元件，商品的单价为元件，商品的单价为元件．根据购买商品3件、商品7件、商品1件共需24元；若购买商品4件、商品10件、商品1件共需33元可得两个方程，相减后消去，由第一个方程可得的值，进而求的值即可． 【规范解答】解：（1）甲班人数为：（人． 不是10的倍数， 两个班的人数超过了100人． 乙班人数为（人． 答：甲班有49人，乙班有53人； （2）① Ⅰ．设分开付款时小明支付了元（没有任何优惠），则小红支付了元． ， ， ， 小红购物原价超过300元． ． 解得：． Ⅱ．设分开付款时小明支付了元（享受了九折优惠），小红支付了元． ． 解得：． 分开付款时小明支付了52.5元或94.5元． ②设商品的单价为元件，商品的单价为元件，商品的单价为元件，则 ． ②①得：． 由①，得：． ． 答：他们购买、、各一件共需要6元． 【考点评析】本题综合考查了一次方程（方程组）的知识．理解题意，得到能解决问题的相等关系是解决本题的关键． 易错考点讲练09：解三元一次方程组 【典例易错题】（2023春•任城区校级期中）若对于有理数和，定义一种运算“△”，△，其中、、为常数，例如：3△．已知1△，4△，9△，则5△7的值为 　　． 【思路点拨】按照定义的新运算可得，然后解三元一次方程组可得，从而再按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【规范解答】解：由题意得：， ②①得：④， ③②得：， 即⑤， ④⑤得：， 解得：， 把代入④得：， 解得：， 把，代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：， △， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了解三元一次方程组，有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【易错训练1】（2023春•遂宁期末）解下列方程组： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）利用加减消元法进行计算，即可解答； （2）利用加减消元法进行计算，即可解答． 【规范解答】解：（1）， ①得：③， ③②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：； （2）， ①得：④， ①得：⑤， ④②得：⑥， ⑤③得：⑦， ⑥得：⑧， ⑧⑦得：， 解得：， 把代入⑥得：， 解得：， 把，代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：． 【考点评析】本题考查了解三元一次方程组，解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 【易错训练2】（2024春•应城市期末）解方程组． （1）； （2）． 【思路点拨】（1）利用加减消元法进行计算，即可解答； （2）利用加减消元法进行计算，即可解答． 【规范解答】解：（1）， ①得：③， ②③得：， 解得：， 把代入①中得：， 解得：， 原方程组的解为：； （2）， ②①得：， 即④， ③①得：， 即⑤， ⑤④得：， 解得：， 把代入④得：， 解得：， 把，代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：． 【考点评析】本题考查了解二元一次方程组，解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 【易错训练3】（2024春•夹江县期末）【教材呈现】华东师大版7.2二元一次方程组的解法 例1：解方程组 解：由①得③ 将③代入②得 解得 将代入③，得 所以 小明同学受到上述解法的启示，认为可以采用同样的思想解决三元一次方程组，因此他做了如下尝试： （1）如图是一个正方体的平面展开图，如果正方体相对的两个面上的式子的值相等，则可以列出方程组 　　． （2）求解出上述、、的值． 【思路点拨】（1）根据相对的两个面上的式子的值相等列方程组即可； （2）利用代入消元法求解即可． 【规范解答】解：（1）由题意得：， 故答案为：； （2）， 由①得④， 将②和④代入③得， 解得， 将代入①、②得：，， ，， ． 【考点评析】本题考查了正方体的展开图，解三元一次方程组，①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“”合写在一起即可 易错考点讲练10：同解方程组 【典例易错题】（2024春•邯山区期末）已知方程组和有相同的解，求的值． 【思路点拨】先求出已知方程组（1）的解，再代入方程组（2）即可求出、的值，进一步即可求解． 【规范解答】解：解方程组得， 把代入第二个方程组得，解得， 则． 【考点评析】考查了同解方程组，解答此题的关键是要弄清题意，方程组有相同的解及说明方程组（1）的解也适合（2），不要盲目求解，造成解题过程复杂化． 【易错训练1】（2024春•龙亭区校级期末）已知方程组和方程组有相同的解，求的值． 【思路点拨】根据题意建立关于，的二元一次方程组，求出和的值，进而得出关于，的二元一次方程组，据此可解决问题． 【规范解答】解：由题知， ， 解得， 所以， 所以． 【考点评析】本题主要考查了同解方程组及二元一次方程组的解，能根据题意建立关于，的二元一次方程组及熟知解二元一次方程组的步骤是解题的关键． 【易错训练2】（2021春•平凉期末）已知方程组与方程组的解相同，则，的值分别为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】先求出第二个方程组的解，把代入方程组得出，再求出方程组的解即可． 【规范解答】解：解方程组得：， 方程组与方程组的解相同， 把代入方程组得：， 解得：， 故选：． 【考点评析】本题考查了同解方程组和解二元一次方程组，能得出关于、的方程组是解此题的关键． 【易错训练3】（2024春•栖霞市期末）与方程组的解相同的方程是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据同解方程的所有解都相同可得出答案． 【规范解答】解：由题意得只有同时满足和才符合条件， 故排除、、． 故选：． 【考点评析】本题考查同解方程组的定义，属于基础题，关键是基本概念的掌握． 易错考点讲练11：三元一次方程组的实际应用 【典例易错题】（2023春•汉阳区期末）有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件、乙7件、丙1件，共30元；若购买甲4件、乙10件、丙1件，共35元，现在购买甲、乙、丙各1件，共需 　20　元． 【思路点拨】等量关系为：甲3件的总价乙7件的总价丙1件的总价，4件的总价乙10件的总价丙1件的总价，把相关数值代入，都整理为等式左边为的等式，设法消去等号右边含未知数的项，可得甲、乙、丙各1件共需的费用． 【规范解答】解：设购买甲、乙、丙各1件分别需要，，元，则依题意得，， 由①②得，， 即现在购买甲、乙、丙各1件，共需20元． 故答案为：20． 【考点评析】本题考查了三元一次方程组的应用；根据总价得到2个等量关系是解决本题的关键；难点是把2个等式整理为只含的等式． 【易错训练1】（2024春•铜梁区期末）问题提出 已知实数，满足，求的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①②可得．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 利用上面的知识解答下面问题： （1）已知方程组，则的值为 　2　． 问题探究 （2）请说明在关于，的方程组中，无论取何值，的值始终不变． 问题解决 （3）甲、乙、丙三种商品，如果购买甲1件、乙2件、丙2件共需135元，购买甲3件、乙1件、丙1件共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各2件共需多少元？ 【思路点拨】（1）依据题意，由可得①②得，，进而判断得解； （2）依据题意，由，可得①②得，，进而，再把代入②得，，故可得，再计算可以判断得解； （3）依据题意，设购买甲1件元，乙1件元，丙1件元，则，可得①②得，，故，进而可以得解． 【规范解答】解：（1）， ①②得，． 故答案为：2． （2）， ①②得，， ． 把代入②得， ， ． ． 无论取何值，的值始终不变． （3）由题意，设购买甲1件元，乙1件元，丙1件元， 则， ①②得，， ． 答：购买甲、乙、丙三种商品各2件共需150元． 【考点评析】本题主要考查了三元一次方程组的应用、二元一次方程组的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【易错训练2】（2023春•宁波期末）数学活动：探究不定方程 小北，小仑两位同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出，，的具体数值，但可以解出的值． （1）小北的方法：②①，整理可得：　　； ①②，整理可得：　　，． 第5页（共6页） 小仑的方法：①②：　　③；　　得：． （2）已知，试求解的值． （3）学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购4本英语簿，5本数学簿，2本作文本需要6元；采购4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要7.2元，那么采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要多少钱？ 【思路点拨】（1）依据题意，根据三元一次方程组的解法进行计算可以得解； （2）依据题意，仿照（1）进行消元可以得解； （3）依据题意，设1本英语簿元，1本数学簿元，1本作文本元，从而，变形可得，进而可得，故可得解． 【规范解答】解：（1）由题意，小北的方法：②①，整理可得：； ①②，整理可得：， ． 小仑的方法：①②：③； ③得：． 故答案为：；；；③． （2）由题意，， ①②，整理得：； ①②，整理得，， ． （3）由题意，设1本英语簿元，1本数学簿元，1本作文本元， 可得方程组， ②①得，， ． 又①②，整理得，． ． ． 答：采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要320元． 【考点评析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，解题时需要熟练掌握并能灵活运用． 【易错训练3】（2022春•南川区期末）为了表彰本学期表现优秀的同学，学校计划订购、、三种不同的奖品共100枚，其中奖品的数量高于奖品的数量，奖品的数量不高于60枚．已知奖品每枚40元，奖品每枚30元，奖品每枚25元．实际购买时，奖品每枚降低了5元，其他奖品价格不变，学校实际订购的三种奖品数量也均有所改变，奖品的数量是计划的，奖品的数量是计划的，结果实际购进三种奖品共74枚，实际花费比计划少了940元，则学校原计划购进奖品 　32　枚． 【思路点拨】设学校原计划订购奖品枚，奖品枚，则购进奖品枚，根据题意列方程，再根据题意讨论方程的解，确定原计划购进奖品的数量． 【规范解答】解：设学校原计划购进奖品枚，奖品枚，则奖品为枚，根据题意列等式方程得， ， 化简整理得， 奖品的数量高于奖品的数量，奖品的数量不高于60枚， ， ， 、都是正整数， ， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，不合题意，舍去， 学校原计划购进奖品32枚． 故答案为：32． 【考点评析】本题主要考查二元一次方程的实际应用以及一元一次不等式的实际应用，找准等量关系得出关于、的二元一次方程是解题的关键． 1．（2025•池州开学）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为　　 A．0 B．1 C．2 D． 【思路点拨】将二元一次方程组的解代入，得到关于的一元一次方程并求解即可． 【规范解答】解：， ①②，得， 解得③， 将③代入②，得， 解得， 原二元一次方程组是解为， ， ， ． 故选：． 【考点评析】本题考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组和一元一次方程的解法是解题的关键． 2．（2024春•赣州期末）如图，约定：上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．有以下两个结论，结论Ⅰ：若的值为3，则的值为4；结论Ⅱ：不论，取何值，的值一定为3．下列说法正确的是　　 A．Ⅰ，Ⅱ都对 B．Ⅰ对，Ⅱ不对 C．Ⅰ不对，Ⅱ对 D．Ⅰ，Ⅱ都不对 【思路点拨】结论：根据的值为3，求出的值，根据已知关系即可求出的值；结论Ⅱ：根据已知得①，②，所以①②得：，再根据，即可得出的值为定值，即可判断得解． 【规范解答】解：结论：若的值为3，则， ． ． ，故不正确． 结论Ⅱ：①，②， ①②得：， ， ， ， 的值为定值2，故Ⅱ不正确． 故选：． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 3．（2024春•上城区校级期中）已知关于，的方程组，则下列结论中正确的是　　 ①当时，方程组的解也是方程的解； ②当时，； ③不论取何值，的值始终不变； ④设，则的最大值为3． A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 【思路点拨】本题考查二元一次方程组的解法，利用二次函数求最值等知识点，综合性提高，需要将含有的式子利用配方法配成顶点式，求最值，或者利用顶点坐标公式求最值． 【规范解答】解：①当时，方程组变为， 解得， 把代入得9， 左边右边， 当时，方程组的解不是方程的解， 故①错； ②解原方程组得， 当时， 故②正确； ③， 不论取何值，的值始终不变， 故③正确； ④， ， ， 故④正确． 故选． 【考点评析】本题综合性较强，考查范围广，需要学生认真审题，仔细答题． 4．（2024春•东兴区校级期中）关于、的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】首先设，，则方程组可以转化为，由此可得解， 进而得，解此方程组即可得出，的值． 【规范解答】解：设，， 则关于，的二元一次方程组可以转化为， 关于、的二元一次方程组的解为， 关于、的二元一次方程组的解， ， ①②得：，解得， 将代入①得：， ． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，通过观察两个方程组的特征得出是解决问题的关键． 5．（2021春•嘉兴期中）小雯去文具店购买了笔和本子共5件，已知两种文具的单价均为正整数，且本子的单价比笔的单价贵．在付账时，小雯问是不是27元，但收银员却说一共48元，小雯仔细看了看后发现自己将两种商品的单价记反了，那么小雯实际的购买情况是　　 A．1支笔，4本本子 B．2支笔，3本本子 C．3支笔，2本本子 D．4支笔，1本本子 【思路点拨】设购买了笔件，则购买了本子件，笔的单价为元，本子的单价为元，根据题意可得，然后分类讨论解方程，即可解答． 【规范解答】解：设购买了笔件，则购买了本子件，笔的单价为元，本子的单价为元， 由题意得： ， 当时，原方程组为：， 解得：，符合题意； 当时，原方程组为：， 解得：，不符合题意，舍去； 当时，原方程组为：， 解得：，不符合题意，舍去； 当时，原方程组为：， 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 小雯购买了1支笔，4本本子， 故选：． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组，并分类讨论解方程组是解题的关键． 6．（2024春•玄武区校级月考）已知方程组的解是，则方程组的解为 　　． 【思路点拨】先把代入方程组，可得，再将方程组变形为，即可得出，求解即可得出结果． 【规范解答】解：把代入方程组， 得， 将方程组变形为， ， 解得：， 故答案为：． 【考点评析】本题考查的是二元一次方程组的解和解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤和方法是解题的关键． 7．（2024春•和平区校级期末）已知关于，的方程组，给出下列说法：①若方程组的解也是的解，则；②若方程组与有相同的解，则；③无论取何值，，的值不可能互为相反数；④，都为自然数的解有2对．以上说法中正确的有 　①②③　． 【思路点拨】求出方程组的解． ①将方程组的解代入求出的值即可； ②将原方程组的解代入方程组求出的值即可； ③计算的值即可； ④根据“，都为自然数”，列不等式组并求出的取值范围，再分别求出自然数的解即可． 【规范解答】解：解方程组，得． ①是的解， ，整理得，解得， ①正确，符合题意； ②将代入， 得， 解得， ②正确，符合题意； ③， 无论取何值，，的值不可能互为相反数， ③正确，符合题意； ④当，都为自然数时，得， 解得． 当时，得； 当时，得，不符合题意，舍去； 当时，得，不符合题意，舍去； 当时，得； 当时，得，不符合题意，舍去； 当时，得，不符合题意，舍去； 当时，得； 当时，得，不符合题意，舍去； 当时，得，不符合题意，舍去； 当时，得． 综上，，都为自然数的解有4对，分别是，，，． ④不正确，不符合题意． 综上，①②③正确． 故答案为：①②③． 【考点评析】本题考查二元一次方程及方程组的解，掌握它们的解法是解题的关键． 8．（2024春•正定县期末）七年级（6）班有50名学生参加军训．军训基地有6人间和4人间两种客房，若每个房间都住满，则安排这个班的学生入住的方案共有 　4　种． 【思路点拨】依据题意，设入住间6人间，间4人间，根据该班共有50人且每个房间都住满，可列出关于，的二元一次方程，再结合，均为非负整数，进而计算可以判断得解． 【规范解答】解：由题意，设入住间6人间，间4人间， ． ． 又，均为非负整数， 或或或． 安排这个班的学生入住的方案共有4种． 故答案为：4． 【考点评析】本题主要考查了二元一次方程的应用，解题时要能熟练掌握并找准等量关系，正确列出二元一次方程是关键． 9．（2021春•沙坪坝区期末）端午节有吃粽子的习惯，某商店购进肉粽、蛋黄粽、豆沙粽的数量之比为．为促进销售，将全部粽子包装成、、三种礼盒．礼盒有2个肉粽、4个蛋黄粽；礼盒有1个肉粽、3个蛋黄粽、1个豆沙粽；礼盒有4个肉粽、2个豆沙粽．则礼盒、礼盒、礼盒的盒数之比为 　　． 【思路点拨】根据题干中肉粽、蛋黄粽、豆沙粽的数量之比，将这三种粽子的数量分别设为个、个、个，礼盒、礼盒的盒数分别为盒、盒、盒．抓住题干中将粽子包装成各种礼盒，但各类粽子的总数量是不变的这一等量关系，从而列出关系式，进而解决该题． 【规范解答】解：设该商店购进肉粽、蛋黄粽、豆沙粽的数量分别为个、个、个，礼盒、礼盒、礼盒的盒数分别为盒、盒、盒． 由题意，可得： 解得： ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查三元一次方程组的应用，运用方程的思想解决问题，关键找到题干中的等量关系并列出三元一次方程组，从而破解此题． 10．（2021春•巴南区校级月考）为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合果仁．其中，甲种混合果仁每袋装有3千克原料，1千克原料，1千克原料；乙种混合果仁每袋装有1千克原料，2千克原料，2千克原料．甲、乙两种袋装混合果仁每袋成本价分别为袋中的，，三种原料的成本价之和．已知每袋甲种混合果仁的成本是每千克种原料成本的10倍，每袋乙种混合果仁售价比每袋甲种混合果仁售价高，乙种袋混合果仁的销售利润为，当电商销售甲乙两种混合果仁的袋数之比为时，求销售这两款袋装混合果仁的销售利润率为 　　． 【思路点拨】首先根据题意设出原料的成本价，再表示出甲乙每袋的成本，利用甲与原料的关系以及甲乙售价的关系，表示出甲乙的售价，再利用利润率公式进行求解即可． 【规范解答】解：设、、的成本分别为、、， 甲，乙， 甲， ， ， 乙， 再设甲每袋售价为元， 则乙每袋售价元， ， ， 甲，乙， 当甲，乙销售袋数比为时， 利润率为． 【考点评析】本题考查三元一次方程组的应用，利润、成本与利润率之间的关系的应用，理解题意得出等量关系是解题的关键． 11．（2024春•五华区校级期中）先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组：， 由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． 原方程组的解为． 这种方法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组：． 【思路点拨】将②中的分子前两项提取公因式，将①变形后代入即可得到关于的一元一次方程，从而求出原方程组的解即可． 【规范解答】解：由①，得③， ②可化为④， 将③代入④，得，解得； 将代入③，得，解得． 原方程组的解为． 【考点评析】本题考查二元一次方程组的解，用整体代入法把二元一次方程组转化成一元一次方程是解题的关键． 12．（2024春•汝州市校级期末）甲、乙两人同时解方程组，甲看错了，求得的解为，乙看错了，求得的解为，求原方程的正确的解． 【思路点拨】将代入①，求出的值；将代入②，求出的值，从而得到该方程组并求解即可． 【规范解答】解：将代入①，得，解得； 将代入②，得，解得， 将，代入方程组，得 该方程组为． ①②，得，解得； 将代入②，得，解得， 原方程的正确的解是． 【考点评析】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 13．（2024春•东海县期末）打折前，买50件商品和40件商品用了960元，买30件商品和5件商品用了500元． （1）求打折前，每件商品和商品分别多少元？ （2）打折后，买100件商品和100件商品用了1700元，求比不打折少花了多少钱？ （3）在（2）打折的条件下，设、两种商品的打折率相同．某单位需要购买商品和商品共300件，且商品不少于商品的2倍，要使本次购买商品总费用最少，商品和商品各需购买多少件？ 【思路点拨】（1）依据题意，设打折前，每件商品为元，商品为元，进而建立方程组可以判断得解； （2）依据题意，结合（1）可得，不打折买100件商品和100件商品要用：，再与打折后的费用比较即可计算得解； （3）依据题意，先求出打几折，然后设商品购买了件，则商品购买了件，又商品不少于商品的2倍，求出的范围，从而可得本次购买商品总费用，最后结合一次函数的性质即可判断得解． 【规范解答】解：（1）由题意，设打折前，每件商品为元，商品为元， ． ． 答：打折前，每件商品为16元，商品为4元． （2）由题意，结合（1）可得，不打折买100件商品和100件商品要用：， 又（元， 比不打折少花了300元． （3）由题意，， 打85折． 设商品购买了件，则商品购买了件． 又商品不少于商品的2倍， ． ． 又本次购买商品总费用， ， 总费用随的增大而增大． 当时，本次购买商品的总费用最小． 此时商品购买了150件，商品购买了150件． 【考点评析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 14．（2024春•仁寿县校级月考）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： （1）用加减消元法解方程组； （2）如何解方程组呢，我们可以把，分别看成一个整体，设，，请补全过程求出原方程组的解； （3）已知关于，的二元一次方程组的解是，求解关于，的二元一次方程组：． 【思路点拨】（1）用加减消元法解方程组即可； （2）利用换元法，得到关于和的二元一次方程组，它具有与（1）中的方程组完全相同的形式，故关于和的二元一次方程组具有与（1）中的方程组完全相同的解，从而得到关于和的二元一次方程并求解即可； （3）设，，求解方法同（2）． 【规范解答】解：（1）， ①②，得，解得； 将代入①，得，解得， 原方程组的解为． （2）原方程组可化为， 根据（1），它的解为， ， 解得． （3）设，，则原方程组可化为，它的解为， ， 解得． 【考点评析】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法及换元法解二元一次方程组是本题的关键． 15．（2019春•长春期中）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） （1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片 　7　张，正方形铁片 张； （2）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ （3）把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．该如何充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 【思路点拨】（1）一个竖式长方体铁容器需要4个长方形铁皮和1个正方形铁皮；一个横式长方体铁容器需要3个长方形铁皮和2个正方形铁皮； （2）设加工的竖式铁容器有个，横式铁容器有个，由题意得：①两种容器共需长方形铁皮2014张；②两种容器共需正方形铁皮1176张，根据等量关系列出方程组即可； （3）设做长方形铁片的铁板为块，做正方形铁片的铁板为块，由铁板的总数量及所需长方形铁片的数量为正方形铁皮的2倍，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，取其整数部分再将剩余铁板按一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片处理，即可得出结论． 【规范解答】解：（1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张； （2）设加工的竖式铁容器有个，横式铁容器有个，根据题意得， 解得 答：竖式铁容器加工100个，横式铁容器加工538个； （3）设做长方形铁片的铁板为块，做正方形铁片的铁板为块， 依题意，得：， 解得：． 在这35块铁板中，25块做长方形铁片可做（张，9块做正方形铁片可做（张，剩下1块可裁出1张长方形铁片和2张正方形铁片， 共做长方形铁片（张，正方形铁片（张， 可做铁盒（个． 答：最多可以加工成19个铁盒． 【考点评析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$