第10章二元一次方程组（知识梳理+易错点拨+27大考点讲练+优选真题难度分层练 共73题）-2024-2025学年苏科版数学七年级下册章节培优复习知识讲练（2024.新教材）

2024-2025学年苏科版数学七年级下册章节培优复习重点难点知识讲练（2024 新教材） 第10章 二元一次方程组 （思维导图+知识梳理+27大考点讲练+优选真题难度分层练 共73题） 同学你好，本套讲义针对最新本课本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 3 知识精讲 复习回顾 3 知识点梳理01：二元一次方程组的相关概念 3 知识点梳理02：二元一次方程组的解法 4 知识点梳理03：实际问题与二元一次方程组 5 知识点梳理04：三元一次方程组 6 易错点拨 查漏补缺 7 易错知识点01：概念理解偏差 7 易错知识点02：解法操作失误 8 易错知识点03：解的验证疏漏 8 易错知识点04：参数题型处理不当 8 易错知识点05：应用题建模错误 8 易错知识点06：三元一次方程组消元策略错误 8 易错知识点07：符号处理与变形错误 9 易错知识点08：特殊题型应对策略 9 重点难点 考点讲练 9 考向一：一次方程 9 考点讲练01二元一次方程的定义 9 考点讲练02 二元一次方程的解 10 考向二：二元一次方程组的概念 11 考点讲练03 判断是否是二元一次方程组 11 考点讲练04 判断是否是二元一次方程组的解 11 考向三 解二元一次方程组 12 考点讲练05 代入消元法 12 考点讲练06 加减消元法 13 考点讲练07 二元一次方程组的特殊解法 13 考点讲练08 二元一次方程组的错解复原问题 14 考点讲练09 构造二元一次方程组求解 15 考点讲练10 已知二元一次方程组的解的情况求参数 15 考点讲练11 方程组相同解问题 16 考向四 三元一次方程组 17 考点讲练12 三元一次方程组的定义及解 17 考点讲练13 三元一次方程组的应用 17 考向五 用二元一次方程组解决问题 19 考点讲练14 根据实际问题列二元一次方程组 19 考点讲练15 根据几何图形列二元一次方程组 19 考点讲练16方案问题(二元一次方程组的应用) 20 考点讲练17行程问题(二元一次方程组的应用) 21 考点讲练18工程问题(二元一次方程组的应用) 22 考点讲练19 数字问题(二元一次方程组的应用) 23 考点讲练20 年龄问题(二元一次方程组的应用) 23 考点讲练21 分配问题(二元一次方程组的应用) 24 考点讲练22 销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 25 考点讲练23 和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 26 考点讲练24 几何问题(二元一次方程组的应用) 26 考点讲练25 图表信息题(二元一次方程组的应用) 27 考点讲练26 古代问题(二元一次方程组的应用) 29 考点讲练27 其他问题(二元一次方程组的应用) 30 培优拔尖 分层训练 31 基础夯实真题练 31 培优拔尖真题练 33 知识点梳理01：二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【易错点剖析】 （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【易错点剖析】 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 3. 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 【易错点剖析】 （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 4. 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错点剖析】 （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个. 知识点梳理02：二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 【易错点剖析】 (1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形； (2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程； (3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 【易错点剖析】 当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单. 知识点梳理03：实际问题与二元一次方程组 【高频考点精讲】 【易错点剖析】 （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 知识点梳理04：三元一次方程组 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 【易错点剖析】 （1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法． （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解． 3. 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 【易错点剖析】 (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 易错知识点01：概念理解偏差 易错点1：混淆方程与方程组 错误表现：将单个二元一次方程误认为方程组，或忽略“两个一次方程组合”这一条件 正确认知：方程组必须包含两个独立的二元一次方程，且两方程需用大括号联立表示（如{x+y=5; 2x-y=1}） 易错点2：忽略定义中的限制条件 典型错误：认为方程xy=3或1/x + y=2是二元一次方程 键点：二元一次方程需满足：①整式方程；②含两个未知数；③未知数最高次数为1 易错知识点02：解法操作失误 代入法常见错误 1. 代入不彻底：仅替换一个未知数后未继续代入原方程 示例：解{y=2x; 3x+y=10}时，代入后应为3x+2x=10，而非保留y 2. 符号处理错误：代入含负号的表达式时漏写括号 加减法典型错误 1. 未对齐系数直接加减：未将两方程同一未知数系数调整为相等或相反数 示例：解{2x+3y=11; 3x-2y=4}时，应先分别乘系数使x或y的系数相同/相反 2. 加减方向混淆：系数相反时用“加”，相同时用“减” 易错知识点03：解的验证疏漏 易错表现： 求出解后未代入所有原方程验证 将非整数解误判为无解 示例：解{x+y=3; 2x+2y=6}得无穷解时，需说明两方程实为同一方程 易错知识点04：参数题型处理不当 易错类型： 1. 忽略系数不为零条件：如已知方程(m-2)x + y=5是二元一次方程，需保证m-2≠0，即m≠2 2. 同解方程问题：已知两方程组同解时，未先解其中一个方程组再代入另一个求参数 例题：若{x+y=3; ax+by=4}与{x-y=1; bx+ay=5}同解，需先求x=2,y=1再代入求a,b 易错知识点05：应用题建模错误 易错表现： 1. 设元不当：未用两个不同字母表示两个未知量（如设“男生x人，女生(50-x)人”导致方程退化为一元一次） 2. 等量关系遗漏：应用题中含两个独立条件却只列出一个方程 示例：鸡兔同笼问题需同时满足“头数总和”与“脚数总和” 易错知识点06：三元一次方程组消元策略错误 易错点： 1. 消元目标不明确：未优先消去系数较简单的未知数 2. 步骤跳步导致错误：三元转二元时，未保留中间方程组直接求解 正确步骤： ① 消去同一未知数得两个新二元方程； ② 解新方程组后再回代45 易错知识点07：符号处理与变形错误 常见错误： 1. 移项时符号错误：如将-2x + y = 4移项得y = 2x +4（正确应为y=2x+4） 2. 去括号漏乘系数：解3(x-2y) = 2y+1时误展开为3x-2y = 2y+1（正确应为3x-6y=2y+1） 易错知识点08：特殊题型应对策略 易错题型1：系数轮换问题 示例：解{ax+by=c; bx+ay=d}时未利用对称性简化计算 技巧：两式相加得(a+b)(x+y)=c+d，两式相减得(a-b)(x-y)=c-d 易错题型2：错解问题 题目：甲解方程组{ax+by=2; cx-7y=8}时误抄c得解x=3,y=2，乙未抄错得解x=-2,y=2，求正确值 策略：甲的错解满足第一个方程，乙的正确解满足所有方程，联立求a,b,c 考向一：一次方程 考点讲练01二元一次方程的定义 【典例精讲】（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）关于，的二元一次方程均可以变形为的形式（其中，，均为常数且，），规定：(，，)为方程的“关联系数”． (1)二元一次方程的“关联系数”为__________； (2)已知关于，的二元一次方程的“关联系数”为，若为该方程的一组解，且，均为正整数，求，的值． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）运算能力  我们把（a，b为常数，x，y为未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中的x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为．请你判断是否存在常数n，使得“雅系二元一次方程”与的“完美值”相同．若存在，求出n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由． 考点讲练02 二元一次方程的解 【典例精讲】（24-25九年级上·山东·期末）某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是120元，足球单价是150元．若该社团用2400元购买这两种球（篮球、足球都购买）且2400元恰好用完，则该社团共有几种购买方案（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】（24-25七年级下·浙江·阶段练习）如图，在趣味数学拓展课中，小红在的方格中填入了一些表示数的代数式，使得每一行、每一列以及对角线上的个代数式的和都相等． (1)用含的代数式表示的值； (2)求右下角的值． 考向二：二元一次方程组的概念 考点讲练03 判断是否是二元一次方程组 【典例精讲】（23-24六年级下·上海闵行·期末）下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练】（22-23七年级下·重庆铜梁·期中）下列方程组是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 考点讲练04 判断是否是二元一次方程组的解 【典例精讲】（23-24七年级下·河南周口·期末）解为 的方程组可以是（      ） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）已知下列三组数值：，， (1)哪几组数值是方程的解？ (2)哪几组数值是方程的解？ (3)哪几组数值是方程组的解？ 考向三 解二元一次方程组 考点讲练05 代入消元法 【典例精讲】24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）观察发现： 材料：解方程组． 将①整体代入②，得. 解得． 把代入①得， 所以． 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， (1)请直接写出方程组的解为________． (2)实践运用：请用“整体代入法”解方程组． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）（1）解方程组 （2）①解方程组 ②直接写出方程组的解是_________． 考点讲练06 加减消元法 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的方程组． (1)无论实数取何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个公共解． (2)若方程组的解满足，求的值； 【变式训练】（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）解下列方程或方程组 (1) (2) (2) (4)； 考点讲练07 二元一次方程组的特殊解法 【典例精讲】（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是 ； (2)若关于、的方程组为共轭方程组，则 ， ； (3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组时，可以采用下面的解法： ②+①得：，所以③ ③得：④ ①-④得：，从而得 所以原方程组的解是 用上述方法求共轭方程组的解． 【变式训练】（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段练习）若方程组的解是，则方程组的解为 ． 考点讲练08 二元一次方程组的错解复原问题 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）甲乙两人共同解关于，的方程组由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为则关于，的方程组的正确解为 ． 【变式训练】（24-25七年级下·山东聊城·阶段练习）甲、已两位同学在解方程组时，甲看错了，解得，乙将一个方程中的写成了相反数，解得，则正确的 ，正确的 ． 考点讲练09 构造二元一次方程组求解 【典例精讲】（24-25八年级上·重庆大足·期末）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，则结论正确的个数为（    ） ；若，、取整数，则或或或； 若对任意有理数都成立（这里和均有意义），则． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练】（2025七年级下·全国·专题练习）当，，，，0，1，3，23，124，1000时，等式可以得到10个关于和的二元一次方程，问：这10个方程有无公共解？若有，求出公共解；若没有，求出其中两个方程的公共解． 考点讲练10 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【典例精讲】（24-25七年级下·安徽池州·开学考试）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D． 考点讲练11 方程组相同解问题 【典例精讲】（24-25七年级下·山东潍坊·阶段练习）计算： (1)解方程组： (2)解方程组： (3)如果关于x，y的方程组的解适合方程，求k的值． (4)关于x，y的方程组与有相同的解，求的值． 【变式训练】（24-25七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知关于的方程组． (1)若方程组的解满足，求的值； (2)无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解？ 考向四 三元一次方程组 考点讲练12 三元一次方程组的定义及解 【典例精讲】（23-24七年级下·四川眉山·期中）已知等式，且当时；当时；当时； (1)求a、b、c的值； (2)当时，y的值又是多少？ 【变式训练】（24-25七年级下·重庆九龙坡·阶段练习）一个四位正整数m，各数位上的数字均不为0，若千位上的数字和百位上的数字之和，等于十位数字与个位数字之差的k倍（k为整数），称m为“k型数”，即例如，4275：，则4275为“3型数”；3526：，则3526为“型数”． （1）最小的“2型数”是 ． （2）若四位数m是“3型数”，是“型数”，将m的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数，也是“3型数”，求满足条件的m的最大值是 ． 考点讲练13 三元一次方程组的应用 【典例精讲】（2024七年级下·全国·专题练习）某汽车在相距的两地往返行驶，因为从A到B的行程中有一坡度均匀的小山，所以该汽车从A地到B地需要，而从B地回到A地需要．假设汽车在平地上的平均速度为，上坡的平均速度为，下坡的平均速度为，从A地到B地的行程中，平路、上坡路、下坡路各是多少千米？ 【变式训练】（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想． （1）问题：某班在购买啦啦操比赛的物资时，准备购买红色、黄色，蓝色三种颜色的啦啦球，其颜色不同则价格不同，第一次买了15个红色啦啦球、7个黄色啦啦球、11个蓝色啦啦球共用1084元，第二次买了2个红色啦啦球、4个黄色啦啦球、3个蓝色啦啦球共用304元，试问第三次买了红、黄、蓝啦啦球各一个共需多少元？（假定三次购买红、黄、蓝啦啦球单价不变） 解：设购买红、黄、蓝啦啦球的单价分别为x、y、z元，依题意得： ， 上述方程组可变形为：， 我们可以把看成一个整体，设，上述方程组又可化为：， 消去n，则可求得m的值，即 ； 阅读后，细心的你，一定体会到了其中的数学思想，试解决下列问题： （2）某同学买11支黑笔、3支红笔、7个笔记本，共用去元；如果买8支黑笔、2支红笔、5个笔记本，则共用去元，试问只买一支黑笔、一支红笔、一个笔记本，共需多少钱？ （3）若关于m，n的方程组的解与有相同的解，求a、b的值． 考向五 用二元一次方程组解决问题 考点讲练14 根据实际问题列二元一次方程组 【典例精讲】（24-25七年级下·浙江·阶段练习）春暖花开时节，小江一家人去郊外露营．小江准备了一些草莓，如果每人分个，则多出个；如果每人分个，则有一人少一个．设这一行人共有人，草莓一共有个，则下列方程组中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）某地需要将一段长为米的河道进行整修，整修任务由，两个工程队先、后接力完成．已知工程队每天整修米，工程队每天整修米，共用时天．问，两个工程队整修河道分别工作了多少天？ (1)以下是甲同学的做法： 设工程队整修河道工作了天，工程队整修河道工作了天．根据题意，得方程组：________， 解得， 请将甲同学的上述做法补充完整； (2)乙同学说：本题还有另外一种解法，他列出了不完整的方程组如下：， 在乙同学的做法中，表示________，表示________； 请将乙同学所列方程组补充完整． 考点讲练15 根据几何图形列二元一次方程组 【典例精讲】（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）如图，9个大小，形状完全相同的小长方形，组成了一个周长为46的大长方形，若设小长方形的长为，宽为，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（22-23七年级下·河南新乡·阶段练习）如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.    (1)小长方形的长和宽各是多少？ (2)求阴影部分的面积. 考点讲练16方案问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案． (3)若型车每辆租金1000元/次，型车每辆租金1200元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金费． 【变式训练】（23-24七年级下·全国·课后作业）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱物资打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下（假设每辆车均满载）： 车型 甲 乙 丙 每辆汽车运载量 5 8 10 每辆汽车运费/元 400 500 600 (1)若全部物资都用乙、丙两种车型来运送，需运费8200元，乙、丙两种车型各需几辆？ (2)为了节约运费，该市政府决定一共安排16辆运送车辆，且甲、乙、丙三种车型都参与运送，请你用列方程组的方法求三种车型各有多少辆． (3)哪种方案的运费最少？最少是多少元？ 考点讲练17行程问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）平泽唯搭乘电车外出游玩，电车正要经过一条长的桥，电车从车头上桥到车尾离桥共用时，整列电车完全在桥上的时间为，则电车的行驶速度为 ． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）兄弟二人骑车同时从甲地到乙地，弟弟在前一半路程每小时行4千米，后一半路程每小时行6千米．哥哥按时间分段行驶，前时间每小时行4千米，中间时间每小时行5千米，后时间每小时行6千米，结果哥哥比弟弟早到20分钟．甲乙两地相距多少千米？ 考点讲练18工程问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项工程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天． (1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天； (2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的． 【变式训练】．（24-25七年级下·全国·课后作业）有一段长为180m的河道整治任务由甲，乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治8m，乙工程队每天整治12m，共用20天．甲，乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明，小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设甲工程队整治河道，乙工程队整治河道．根据题意，得；小华同学：设表示________，表示________．根据题意，得．请你补全小明，小华两位同学的解题思路； (3) 请从（1）中任选一个解题思路写出完整的解答过程． (4) 考点讲练19 数字问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（24-25七年级下·山东济宁·阶段练习）算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产．以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个位，不拨出空档表示0．小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数． 【变式训练】（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）某两位数，已知十位数字与个位数字之和为11，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45． (1)试通过列一元一次方程的方法求出原来的两位数； (2)若设原来的两位数的个位数字为x，十位数字为y，依据题意列出关于x，y的方程组（无需求解），并检验（1）中求得的结果是否满足所列的方程组． 考点讲练20 年龄问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（23-24七年级下·全国·假期作业）小明问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这样大时你才出生，你到我这么大时我已经39岁了．”老师年龄为 岁，小明年龄为 岁． 【变式训练】（2022八年级上·全国·专题练习）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 考点讲练21 分配问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西咸阳·开学考试）优秀文化是文创产品的灵魂．西安肉夹馍、天水麻辣烫本身就是“圈粉”需求的地方代表性特色美食，以其为原型和载体创新文创产品“绒馍馍”和“麻辣烫”，生动展示了本土美食的独特韵味．一盒“绒馍馍”234元，一锅“麻辣烫”108元，某网友一次购买相应规格的“绒馍馍”和“麻辣烫”共10盒（锅），两种产品均享受七五折的优惠，共花费1188元，则该网友购买“绒馍馍”多少盒，购买“麻辣烫”多少锅？ 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）（应用意识）用如图①所示的长方形和正方形纸板作为侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒． (1)若有正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，则当竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个时，恰好能将这些纸板全部用完？ (2)若一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，请求出a所有可能的值． 考点讲练22 销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（2025·山西晋中·一模）春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》在某影院推出了和三种放映版式．小颖调查了解到多数人选择版或版，在该影院购买某时段的《哪吒之魔童闹海》电影票，5张电影票的费用和4张电影票的费用一样；2张电影票和1张电影票共需130元．请你帮助小颖求出该影院《哪吒之魔童闹海》该时段的版和版的电影票单价． 【变式训练】（2025七年级下·全国·专题练习）为了进一步加强学生的校园安全意识，某班开展校园安全知识竞赛活动，去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖品．若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A款奶茶，10杯B款奶茶，共需270元．奶茶店为了满足市场的需求，推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． (1)求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元； (2)在不加料的情况下，购买A，B两种款式的奶茶（两种都买），刚好用了220元，请问有几种购买方案？ (3)若小华恰好用了380元购买A，B两款奶茶，其中A款不加料的数量是总数量的，则B款加料的奶茶买了多少杯？ 考点讲练23 和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）某货运公司临时接到一个任务，从工厂同时运送A，B两种货物各20箱到展馆．货运公司调派甲货车运送A种货物，乙货车运送B种货物，A种货物每箱，B种货物每箱．因为两种货物包装箱完全一样，装运工人一时疏忽，使得两车虽然所装货物数量正确，但部分货物却装混了．运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重，则甲车有（ ）箱货物装错． A．5 B．4 C．3 D．2 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）某景点的门票价格如下表： 购票人数 90及以上 门票单价/元 48 45 42 (1)某校七年级（1）（2）两个班共有82人去游览该景点，其中（1）班人数少于40，（2）班人数多于40且少于90．若两班都以班为单位单独购票，则一共支付3807元，两个班各有多少名学生？ (2)该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过40，九年级的报名人数超过40，但不超过80．若两个年级分别购票，总计支付门票费4434元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4032元．问八年级、九年级各报名多少人． 考点讲练24 几何问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在长方形中，放入六个形状、大小相同的小长方形，经测量，，．图中阴影部分的总面积为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）用图①中的长方形木板和正方形木板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖木箱．现仓库里有块长方形木板和块正方形木板，经过工人组装发现，正方形木板恰好用完，而长方形木板余下块，则，的值可以是（   ） A． B． C． D． 考点讲练25 图表信息题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（23-24七年级下·全国·课后作业）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息如下：（水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 每户每月用水量 每吨自来水销售价格/元 每吨污水处理价格/元 及以下 a 0.80 超过不超过的部分 b 0.80 超过的部分 6.0 0.80 已知小王家2024年4月份用水，交水费83元；5月份用水，交水费108元． (1)求的值； (2)6月份小王家用水，应交水费多少元？ 【变式训练】（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）太原五中计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小琪在某文体用品店购买完毕回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图所示． 货物或应税劳务、服务名称 篮球 钢笔 笔记本 合计 规格型号 单位 个 支 本 数量 6 46 单价 100.00 15.00 5.00 金额 600.00 900.0 税率 税额 价税合计（大写）   玖佰元整                               （小写）900.00 请根据发票中现有的信息，帮助小琪复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 考点讲练26 古代问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（23-24七年级下·福建福州·期中）《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在改为横排，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，若图2所表示的方程组中x与y的值相等，则被墨水所覆盖的图形为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级上·山东菏泽·期末）阅读下列材料，解决问题． 《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．” 译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (1)【尝试】若设公鸡有x只，母鸡有y只． ①小鸡有________只，买小鸡一共花费________文钱（用含x，y的式子表示）． ②根据题意，列出一个含有x，y的方程________． (2)【探索】若对“百鸡问题”增加一个条件：公鸡数量是母鸡数量的3倍，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (3)【拓展】除了问题（2）中的解之外，请写出两组符合“百鸡问题”的解，并简要说明理由． 考点讲练27 其他问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）为了提倡节约用水，某市根据居民每月的用水量实行阶梯水价：每户每月用水量不超过时，按一级单价收费；超过时，超过的部分按二级单价收费．五月份张华家用水，缴费37.6元；李明家用水，缴费47.2元． (1)那么这个市一级水费、二级水费的单价分别是多少？ (2)若小丽家3月份缴费95.2元，那么小丽家三月份用水多少立方米？ 【变式训练】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）中国学生营养促进会确定了每年5月20日为中国学生营养日，其目的在于广泛、深入宣传学生时期营养的重要性，大力普及营养知识．在某400克早餐套餐中，蛋白质总含量为，包括一个谷物面包，一盒牛奶和一个去壳鸡蛋，其中一个去壳鸡蛋的质量为56克，这个鸡蛋的蛋白质含量为11.2克；谷物面包和牛奶的部分营养成分如表所示．求400克早餐套餐中谷物面包和牛奶的质量． 谷物面包（每100克） 牛奶（每100克） 蛋白质10克 脂肪33.6克 碳水化合物52.8克 钠290毫克 蛋白质3.2克 脂肪3.6克 碳水化合物4.5克 钠100毫克 基础夯实真题练 1．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组和关于x，y的二元一次方程组有相同的解，则的平方根为（    ） A．4 B．±4 C．﹣2 D． 2．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）下列方程组中，是二元一次方程组的是（  ） A． B． C． D． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形，与的差为4，小长方形的周长为16，则图中阴影部分的面积为（   ） A．26 B．28 C．30 D．32 4．（2025七年级下·全国·专题练习）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 5．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点A，B，C，D对应的数分别是数a，b，c，d，且，那么数轴的原点是点 ． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）若关于的方程组中的相等，则的值为 ． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）某工厂有名工人，每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，其中某产品每套由4个型零件和3个型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则的值为 ． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) (4)． 9．（2025·安徽·一模）某天，蔬菜经营户张老板用218元，从蔬菜批发市场批发了豆角和西红柿到市场去卖，豆角和西红柿这天每千克的批发价与零售价如下表所示： 品名 豆角 西红柿 批发价/元 零售价/元 请通过计算说明张老板卖出这些豆角和西红柿的盈亏情况． 10．（23-24七年级下·全国·课后作业）根据电力部门统计，每天至是用电的高峰期，简称“峰时”， 至次日是用电的低谷时期，简称“谷时”．为了缓解供电需求紧张的矛盾，某市电力部门于2023年10月统一换装“峰谷分时”电表，对用电实行“峰谷分时电价”新政策，具体见下表： 时间 换表前 换表后 电价 峰时 谷时（次日） 小李家12月份用电，经测算比换表前用电节省了6.4元，小李家12月份使用“峰时电”和“谷时电”分别是多少千瓦时？ 培优拔尖真题练 11．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）若关于、的二元一次方程组的解为，则关于、的二元一次方程组的解为（ ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）下面四组数值中，是二元一次方程组的解的是（　　） A． B． C． D． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　）    A．b的值为6 B．a为奇数 C．乘积结果可以表示为 D．a的值小于3 14．（23-24七年级下·重庆·期末）甲、乙、丙三家艺术中心为表彰进步学生，准备去文具店采购签字笔、笔记本、钢笔三种文具，签字笔、笔记本、钢笔单价分别为8元、10元、25元．乙艺术中心采购签字笔数量是甲的6倍，笔记本数量是甲的12倍，钢笔数量是甲的8倍，丙采购的签字笔数量是甲的3倍，笔记本数量是甲的9倍，钢笔数量和甲相同．三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，则甲艺术中心采购总费用为（    ）元 A．237 B．350 C．425 D．901 15．（2025七年级下·全国·专题练习）满足的，的值分别为 ． 16．（24-25七年级下·重庆·开学考试）元宵节将至，各种口味的汤圆纷纷上市，某商家从汤圆生产商处采购了花生、芝麻、奥巧三种口味的汤圆进行销售，其每袋进价分别是20元，25元，30元，其中花生与奥巧味汤圆每袋的销售利润率相同，每袋芝麻味汤圆的利润比每袋奥巧味汤圆的利润少，经统计，在今年元宵当天，该商家花生、芝麻、奥巧口味的汤圆销量是，其中销售花生与芝麻味汤圆的总利润率是，且芝麻味汤圆销售额比奥巧味汤圆销售额多2000元，则今年元宵当天该商家销售这三种口味的汤圆的总利润是 元． 17．（2025七年级下·全国·专题练习）2024年5月3日，嫦娥六号探测器准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功，有两个旅游团去某航天科技馆参观，第一个旅游团有15名成人和10名儿童，共花费门票850元；第二个旅游团有40名成人和50名儿童，由于人数较多，成人票打八折，儿童票打六折，共花费2030元．则成人票每张原价为 元，儿童票每张原价 元． 18．（2025七年级下·全国·专题练习）某蔬果经营户花232元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价/（元） 2.4 2.2 零售价/（元） 3.6 3.2 该蔬菜经营户当天卖完这些黄瓜和茄子可赚多少元？ 解：设该蔬菜经营户从蔬菜市场批发黄瓜，批发茄子． 请列方程组求出x，y，并求出该蔬菜经营户当天卖完这些黄瓜和茄子能赚的钱数． 19．（24-25七年级下·浙江温州·阶段练习）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到m张小长方形和n张小正方形，做成x个横式叠盖纸盒和y个竖式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． 【任务1】若， 求n， x， y的值； 【任务2】求的最大值． 20．（24-25七年级上·福建三明·期末）问题情景：某数学兴趣小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动． (1)综合实践小组利用边长为30厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为______平方厘米； ②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，已知，求该长方体纸盒的体积； (2)小明按照图1的方式用边长为30厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为156厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况） 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学七年级下册章节培优复习重点难点知识讲练（2024 新教材） 第10章 二元一次方程组 （思维导图+知识梳理+27大考点讲练+优选真题难度分层练 共73题） 同学你好，本套讲义针对最新本课本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 3 知识精讲 复习回顾 3 知识点梳理01：二元一次方程组的相关概念 3 知识点梳理02：二元一次方程组的解法 4 知识点梳理03：实际问题与二元一次方程组 5 知识点梳理04：三元一次方程组 6 易错点拨 查漏补缺 7 易错知识点01：概念理解偏差 7 易错知识点02：解法操作失误 8 易错知识点03：解的验证疏漏 8 易错知识点04：参数题型处理不当 8 易错知识点05：应用题建模错误 8 易错知识点06：三元一次方程组消元策略错误 8 易错知识点07：符号处理与变形错误 9 易错知识点08：特殊题型应对策略 9 重点难点 考点讲练 9 考向一：一次方程 9 考点讲练01二元一次方程的定义 9 考点讲练02 二元一次方程的解 11 考向二：二元一次方程组的概念 12 考点讲练03 判断是否是二元一次方程组 12 考点讲练04 判断是否是二元一次方程组的解 13 考向三 解二元一次方程组 16 考点讲练05 代入消元法 16 考点讲练06 加减消元法 18 考点讲练07 二元一次方程组的特殊解法 21 考点讲练08 二元一次方程组的错解复原问题 23 考点讲练09 构造二元一次方程组求解 24 考点讲练10 已知二元一次方程组的解的情况求参数 26 考点讲练11 方程组相同解问题 27 考向四 三元一次方程组 30 考点讲练12 三元一次方程组的定义及解 30 考点讲练13 三元一次方程组的应用 32 考向五 用二元一次方程组解决问题 35 考点讲练14 根据实际问题列二元一次方程组 35 考点讲练15 根据几何图形列二元一次方程组 37 考点讲练16方案问题(二元一次方程组的应用) 38 考点讲练17行程问题(二元一次方程组的应用) 41 考点讲练18工程问题(二元一次方程组的应用) 42 考点讲练19 数字问题(二元一次方程组的应用) 44 考点讲练20 年龄问题(二元一次方程组的应用) 46 考点讲练21 分配问题(二元一次方程组的应用) 47 考点讲练22 销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 48 考点讲练23 和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 51 考点讲练24 几何问题(二元一次方程组的应用) 52 考点讲练25 图表信息题(二元一次方程组的应用) 54 考点讲练26 古代问题(二元一次方程组的应用) 56 考点讲练27 其他问题(二元一次方程组的应用) 58 培优拔尖 分层训练 60 基础夯实真题练 60 培优拔尖真题练 67 知识点梳理01：二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【易错点剖析】 （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【易错点剖析】 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 3. 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 【易错点剖析】 （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 4. 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错点剖析】 （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个. 知识点梳理02：二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 【易错点剖析】 (1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形； (2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程； (3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 【易错点剖析】 当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单. 知识点梳理03：实际问题与二元一次方程组 【高频考点精讲】 【易错点剖析】 （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 知识点梳理04：三元一次方程组 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 【易错点剖析】 （1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法． （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解． 3. 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 【易错点剖析】 (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 易错知识点01：概念理解偏差 易错点1：混淆方程与方程组 错误表现：将单个二元一次方程误认为方程组，或忽略“两个一次方程组合”这一条件 正确认知：方程组必须包含两个独立的二元一次方程，且两方程需用大括号联立表示（如{x+y=5; 2x-y=1}） 易错点2：忽略定义中的限制条件 典型错误：认为方程xy=3或1/x + y=2是二元一次方程 键点：二元一次方程需满足：①整式方程；②含两个未知数；③未知数最高次数为1 易错知识点02：解法操作失误 代入法常见错误 1. 代入不彻底：仅替换一个未知数后未继续代入原方程 示例：解{y=2x; 3x+y=10}时，代入后应为3x+2x=10，而非保留y 2. 符号处理错误：代入含负号的表达式时漏写括号 加减法典型错误 1. 未对齐系数直接加减：未将两方程同一未知数系数调整为相等或相反数 示例：解{2x+3y=11; 3x-2y=4}时，应先分别乘系数使x或y的系数相同/相反 2. 加减方向混淆：系数相反时用“加”，相同时用“减” 易错知识点03：解的验证疏漏 易错表现： 求出解后未代入所有原方程验证 将非整数解误判为无解 示例：解{x+y=3; 2x+2y=6}得无穷解时，需说明两方程实为同一方程 易错知识点04：参数题型处理不当 易错类型： 1. 忽略系数不为零条件：如已知方程(m-2)x + y=5是二元一次方程，需保证m-2≠0，即m≠2 2. 同解方程问题：已知两方程组同解时，未先解其中一个方程组再代入另一个求参数 例题：若{x+y=3; ax+by=4}与{x-y=1; bx+ay=5}同解，需先求x=2,y=1再代入求a,b 易错知识点05：应用题建模错误 易错表现： 1. 设元不当：未用两个不同字母表示两个未知量（如设“男生x人，女生(50-x)人”导致方程退化为一元一次） 2. 等量关系遗漏：应用题中含两个独立条件却只列出一个方程 示例：鸡兔同笼问题需同时满足“头数总和”与“脚数总和” 易错知识点06：三元一次方程组消元策略错误 易错点： 1. 消元目标不明确：未优先消去系数较简单的未知数 2. 步骤跳步导致错误：三元转二元时，未保留中间方程组直接求解 正确步骤： ① 消去同一未知数得两个新二元方程； ② 解新方程组后再回代45 易错知识点07：符号处理与变形错误 常见错误： 1. 移项时符号错误：如将-2x + y = 4移项得y = 2x +4（正确应为y=2x+4） 2. 去括号漏乘系数：解3(x-2y) = 2y+1时误展开为3x-2y = 2y+1（正确应为3x-6y=2y+1） 易错知识点08：特殊题型应对策略 易错题型1：系数轮换问题 示例：解{ax+by=c; bx+ay=d}时未利用对称性简化计算 技巧：两式相加得(a+b)(x+y)=c+d，两式相减得(a-b)(x-y)=c-d 易错题型2：错解问题 题目：甲解方程组{ax+by=2; cx-7y=8}时误抄c得解x=3,y=2，乙未抄错得解x=-2,y=2，求正确值 策略：甲的错解满足第一个方程，乙的正确解满足所有方程，联立求a,b,c 考向一：一次方程 考点讲练01二元一次方程的定义 【典例精讲】（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）关于，的二元一次方程均可以变形为的形式（其中，，均为常数且，），规定：(，，)为方程的“关联系数”． (1)二元一次方程的“关联系数”为__________； (2)已知关于，的二元一次方程的“关联系数”为，若为该方程的一组解，且，均为正整数，求，的值． 【答案】(1) (2)或 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，解二元一次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）把x、y的系数都化为整数，再根据“关联系数”的定义可得答案； （2）根据“关联系数”的定义可得，再根据二元一次方程的解的定义得到，据此解方程即可得到答案． 【完整解答】（1）解：整理得， ∴二元一次方程的“关联系数”为； （2）解：∵关于，的二元一次方程的“关联系数”为， ∴， ∵为该方程的一组解， ∴， ∴， ∴， ∵m、n都为正整数， ∴当时，； 当时，； ∴或． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）运算能力  我们把（a，b为常数，x，y为未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中的x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为．请你判断是否存在常数n，使得“雅系二元一次方程”与的“完美值”相同．若存在，求出n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，“完美值”为． 【思路引导】本题考查二元一次方程的解，理解新定义，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 根据“雅系二元一次方程”的“完美值”的定义得，解得；，解得；再根据两方程的“完美值”相同，得出，再求解即可． 【完整解答】解：存在． 根据题意，把代入“雅系二元一次方程”，得，解得． 把代入“雅系二元一次方程”，得，解得． 又∵这两个方程的“完美值”相同， ，解得． 把代入，得． 综上所述，存在，使得“雅系二元一次方程”与的“完美值”相同，此时的“完美值”为． 考点讲练02 二元一次方程的解 【典例精讲】（24-25九年级上·山东·期末）某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是120元，足球单价是150元．若该社团用2400元购买这两种球（篮球、足球都购买）且2400元恰好用完，则该社团共有几种购买方案（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系式．根据题意，设购买了个篮球，购买了个足球，根据题意，列出方程，分类讨论即可． 【完整解答】解：根据题意，设购买了个篮球，购买了个足球， ， 整理得：且，为正整数， 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，该社团共有3种购买方案． 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级下·浙江·阶段练习）如图，在趣味数学拓展课中，小红在的方格中填入了一些表示数的代数式，使得每一行、每一列以及对角线上的个代数式的和都相等． (1)用含的代数式表示的值； (2)求右下角的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． （1）根据最后一行的三个数之和等于最后一列的三个数之和，即可得出等式，整理后即可得结果； （2）由（1）得，结合，即可求解． 【完整解答】（1）解：由题意得：， ； （2）由（1）得， ， 解得：． 考向二：二元一次方程组的概念 考点讲练03 判断是否是二元一次方程组 【典例精讲】（23-24六年级下·上海闵行·期末）下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组，逐项进行分析即可判断求解，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 【完整解答】解：方程组中是二元二次方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组是二元一次方程组，故符合题意； 方程组中不是整式方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组中含有个未知数，故不是二元一次方程组，不合题意； ∴是二元一次方程组的有个， 故选：． 【变式训练】（22-23七年级下·重庆铜梁·期中）下列方程组是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据二元一次方程组的条件：由两个一次方程组成，且含有两个未知数的方程组，进行判断即可． 【完整解答】解：A、含有三个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； B、不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意； C、符合二元一次方程组条件，是二元一次方程组，符合题意； D、最高次次数为2，不是二元一次方程组，不符合题意； 故选：C． 【考点点拨】本题考查了二元一次方程组的定义；数量掌握二元一次方程组的概念是解题的关键． 考点讲练04 判断是否是二元一次方程组的解 【典例精讲】（23-24七年级下·河南周口·期末）解为 的方程组可以是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的解，将代入各选项进行排除即可，正确理解二元一次方程组的解得定义是解题的关键． 【完整解答】解：、将代入可知，，不符合题意； 、将代入可知，，不符合题意； 、将代入可知，，符合题意； 、将代入可知，，不符合题意； 故选：． 【变式训练】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）已知下列三组数值：，， (1)哪几组数值是方程的解？ (2)哪几组数值是方程的解？ (3)哪几组数值是方程组的解？ 【答案】(1)和是是方程的解 (2)和是是方程的解 (3)是方程组的解 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程和二元一次方程组的解，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，二元一次方程组的解是使方程组左右两边相等的未知数的值是解题的关键． （1）分别把三组值代入方程，计算出方程左边和右边的值，看是否相等即可； （2）同（1）求解即可； （3）根据（1）（2）所求同时满足是方程和方程的解即为方程组的解． 【完整解答】（1）解：把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边不相等，则不是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边相等，则是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边相等，则是方程的解； 综上所述，和是是方程的解； （2）解：把代入方程中可得方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解； 综上所述，和是是方程的解； （3）解；由（1）（2）得只有同时满足是方程和方程的解， ∴只有是方程组的解． 考向三 解二元一次方程组 考点讲练05 代入消元法 【典例精讲】24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）观察发现： 材料：解方程组． 将①整体代入②，得. 解得． 把代入①得， 所以． 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， (1)请直接写出方程组的解为________． (2)实践运用：请用“整体代入法”解方程组． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）由第一个方程求出的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解． （2）由第一个方程求出的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x值，即可确定出方程组的解． 此题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【完整解答】（1）由①得：③， 将③代入②得：，即， 将代入③得：， 则方程组的解为 ． 故答案为 ． （2）由①得：③， 将③代入②得：， 解得：， 将代入③得：， 解得：， 故原方程组的解为 【变式训练】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）（1）解方程组 （2）①解方程组 ②直接写出方程组的解是_________． 【答案】（1）；（2）①；② 【思路引导】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）①利用加减消元法解方程组即可； ②令，则原方程组可化为，根据前面所求可得，据此可得答案． 【完整解答】解：（1） 把①代入②得：，解得， 把代入①得：， ∴原方程组的解为； （2）① 得， 把代入①得， 解得， ∴原方程组的解为； ②令，则原方程组可化为， ∴由（2）①得方程组的解为， ∴， ∴， ∴方程组的解是． 考点讲练06 加减消元法 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的方程组． (1)无论实数取何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个公共解． (2)若方程组的解满足，求的值； 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）根据题意得到，求解即可； （2）根据题意得到，解得，代入求解即可． 【完整解答】（1）解：方程，整理， 由于无论取任何实数，该二元一次方程都有一个固定的解， ∴列出方程组， 解得：； （2）解：解方程组，得， 将代入得， 解得． 【变式训练】（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）解下列方程或方程组 (1) (2) (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了解一元一次方程和二元一次方程组，熟练掌握方程和方程组的解法是解题关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得； （3）利用加减消元法解二元一次方程组即可得； （4）第二个方程的两边同乘以2，再利用加减消元法解二元一次方程组即可得． 【完整解答】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 方程两边同乘以6去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （3）解：， 由①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为． （4）解：， 由④③得：， 解得， 将代入③得：， 解得， 所以方程组的解为． 考点讲练07 二元一次方程组的特殊解法 【典例精讲】（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是 ； (2)若关于、的方程组为共轭方程组，则 ， ； (3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组时，可以采用下面的解法： ②+①得：，所以③ ③得：④ ①-④得：，从而得 所以原方程组的解是 用上述方法求共轭方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了新定义，解二元一次方程组，理解新定义是解题的关键． （1）根据共轭二元一次方程的定义即可求解； （2）根据共轭二元一次方程组的定义得到，，然后解方程组即可求解； （3）根据拓展的解法即可求解． 【完整解答】（1）解：根据共轭二元一次方程的定义，方程的共轭二元一次方程是 故答案为：； （2）解：根据共轭二元一次方程组的定义，得，， 解得，， 故答案为：； （3）解： 得 ， ， ，得 ， ，得 ， 把代入③，得， ∴原方程组的解为． 【变式训练】（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段练习）若方程组的解是，则方程组的解为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查换元法求方程组的解，根据题意，易得方程组的解为，进行求解即可． 【完整解答】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解为， 解得：； 故答案为：． 考点讲练08 二元一次方程组的错解复原问题 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）甲乙两人共同解关于，的方程组由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为则关于，的方程组的正确解为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的知识；求解的关键是熟练掌握求解方法从而准确计算得到答案． 由于甲看错了，将甲计算得到的解代入等式（2），可求得的值；同理，由于乙看错了，将乙计算得到的解代入等式（1），可计算得的值，然后代入即可求出方程组的解． 【完整解答】解：将代入方程组中的． 得，解得：． 将代入方程组中的， 得，解得：． 所以原方程组， 解得：． 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·山东聊城·阶段练习）甲、已两位同学在解方程组时，甲看错了，解得，乙将一个方程中的写成了相反数，解得，则正确的 ，正确的 ． 【答案】 3 【思路引导】本题考查二元一次方程组错解复原问题，将错就错，将解代入到未看错的方程中，进行求解即可． 【完整解答】解：把，代入，得：， 解得：； 把代入，得：，解得：， ∴乙将中的写成了相反数，即：， 把代入，得：， 解得：； 故答案为：3，． 考点讲练09 构造二元一次方程组求解 【典例精讲】（24-25八年级上·重庆大足·期末）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，则结论正确的个数为（    ） ；若，、取整数，则或或或； 若对任意有理数都成立（这里和均有意义），则． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【思路引导】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，解决本题的关键是根据新定义运算得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，然后再根据新定义运算的规则计算即可． 【完整解答】解：， ， ， ， 解方程组， 得到：， 故正确； 由可知， ， ， 又、取整数， 有或或或， 故正确； 对任意有理数都成立， ， ， ， ， 故正确． 正确的有三个． 故选：D ． 【变式训练】（2025七年级下·全国·专题练习）当，，，，0，1，3，23，124，1000时，等式可以得到10个关于和的二元一次方程，问：这10个方程有无公共解？若有，求出公共解；若没有，求出其中两个方程的公共解． 【答案】有公共解， 【思路引导】本题主要考查二元一次方程的性质和求解方法，解题关键在于理解方程结构，采用合理的方法寻找公共解，并进行验证； 选取两个特定的值得到两个方程组成方程组求解，然后将解代入原方程进行验证，并且通过验证确保得到的解是所有方程的公共解． 【完整解答】解：设当，时，有，这两个方程的公共解， 解得：， 把代入等式，得 左边， ∴无论m取何值恒为0， ∴是原方程的解， ∴这 10 个方程有公共解，公共解为． 考点讲练10 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【典例精讲】（24-25七年级下·安徽池州·开学考试）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】B 【思路引导】本题考查的是二元一次方程组的特殊解法，利用方程①加上方程②，得到，再利用整体代入法求解即可． 【完整解答】解：， 得， 将代入上式，得：， 解得：， 故选：B． 考点讲练11 方程组相同解问题 【典例精讲】（24-25七年级下·山东潍坊·阶段练习）计算： (1)解方程组： (2)解方程组： (3)如果关于x，y的方程组的解适合方程，求k的值． (4)关于x，y的方程组与有相同的解，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【思路引导】（1）用代入消元法直接求解二元一次方程即可； （2）方程组整理后，用加减消元法直接求解二元一次方程即可； （3）先解方程组，求得x，y的值，再代入求解即可； （4）由题意可知两个二元一次方程组的解相同，可以把不含参数的两个二元一次方程组在一起，把含有参数的两个二元一次方程组在一起，分别求解即可． 【完整解答】（1）解：， 将代入得，， 解得， 将代入得，， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：方程组整理得， 得， 解得， 将代入①得，， 解得， ∴方程组的解为； （3）解：由题意得， 得， 解得， 将代入②得，， 解得， ∴方程组的解为； 将代入得，， 解得； （4）解：由题意得， 得，即③， 得， 解得， 将代入得，， 解得， 将，代入得 解得， ∴． 【变式训练】（24-25七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知关于的方程组． (1)若方程组的解满足，求的值； (2)无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解？ 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程及同解方程，解题的关键是熟练掌握加减消元法． （1）依题意得，解得，然后代入，解得，即可作答． （2）由无论实数取何值，方程总有一个固定的解，可得含的项的系数为，可得出，即可求出的值，从而得出这个方程的公共解． 【完整解答】（1）解：∵方程组的解满足，且关于x，y的方程组， ∴联立， 解得， 把代入， 可得， 解得． （2）解： 无论实数取何值，方程总有一个公共解， ∴方程的解与无关， ∴， 将代入， 可得． ∴这个公共解为． 考向四 三元一次方程组 考点讲练12 三元一次方程组的定义及解 【典例精讲】（23-24七年级下·四川眉山·期中）已知等式，且当时；当时；当时； (1)求a、b、c的值； (2)当时，y的值又是多少？ 【答案】(1)a、b、c的值分别是2，，1 (2)当时， 【思路引导】本题考查了三元一次方程组的运用，需要注意对应代值． （1），得，，得，然后求出a、b的值，再代入①即可求出c的值； （2）把a、b、c的值代入等式，得到，再将x的值代入计算即可． 【完整解答】（1）解：由题意得，， ，得， ，得，即， ④与⑤组成方程组得， 解得， 把代入①，得， ∴a、b、c的值分别是2，，1； （2）解：由（1）知a、b、c的值分别是2，，1， ∴， 当时，． 【变式训练】（24-25七年级下·重庆九龙坡·阶段练习）一个四位正整数m，各数位上的数字均不为0，若千位上的数字和百位上的数字之和，等于十位数字与个位数字之差的k倍（k为整数），称m为“k型数”，即例如，4275：，则4275为“3型数”；3526：，则3526为“型数”． （1）最小的“2型数”是 ． （2）若四位数m是“3型数”，是“型数”，将m的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数，也是“3型数”，求满足条件的m的最大值是 ． 【答案】 【思路引导】本题是一个新定义阅读题，主要考查整式的加减和三元一次方程组，考查了学生阅读、归纳材料的能力；重点是理解题目意思，熟练掌握整式的加减 （1）根据“k型数”直接求解即可； （2）根据题目中的要求进行整式的加减运算，分情况讨论即可． 【完整解答】解：（1）设这个四位数（其中，b，c，且均为整数），若，且k为整数，称m为“k型数”， ∵，b，c，且均为整数 ∴,，即， ∴当时，有最小的“2型数”为， 故答案为：； （2）设四位数， ∵四位数m是“型数”， ∴，则， 是“型数”，则十位数与个位数的差是个负数， ∴，或， 当时，，与矛盾，舍去， 当时，， ∴可取、两个数，则， 将m的百位数字与十位数字交换位置，得到新四位数， 也是“型数”，则， 联立上述式子得：， ①当时，， 解得，则四位数； ②当时，， 解得，则四位数； 满足条件的所有四位数m有和． 则满足条件的m的最大值是． 故答案为：． 考点讲练13 三元一次方程组的应用 【典例精讲】（2024七年级下·全国·专题练习）某汽车在相距的两地往返行驶，因为从A到B的行程中有一坡度均匀的小山，所以该汽车从A地到B地需要，而从B地回到A地需要．假设汽车在平地上的平均速度为，上坡的平均速度为，下坡的平均速度为，从A地到B地的行程中，平路、上坡路、下坡路各是多少千米？ 【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡各是 【思路引导】本题考查了三元一次方程组的应用，本题还需注意去时的上坡路是回时的下坡路，去时的下坡路是回时的上坡路，平路不变．正确找到三个等量关系是解题关键设从地到地的行程中，平路为千米，上坡路为千米，下坡路为千米，根据从甲地到乙地，平路所用时间加上坡所用时间加下坡所用时间等于；从乙地到甲地：平路所用时间加上坡所用时间加下坡所用时间等于；平路加上坡路加下坡路等于千米，列方程组求出、、的值即可得答案 【完整解答】设从地到地的行程中，平路为千米，上坡路为千米，下坡路为千米，则 ∴， 解得：，，， 答：平路千米、上坡路千米、下坡路千米 【变式训练】（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想． （1）问题：某班在购买啦啦操比赛的物资时，准备购买红色、黄色，蓝色三种颜色的啦啦球，其颜色不同则价格不同，第一次买了15个红色啦啦球、7个黄色啦啦球、11个蓝色啦啦球共用1084元，第二次买了2个红色啦啦球、4个黄色啦啦球、3个蓝色啦啦球共用304元，试问第三次买了红、黄、蓝啦啦球各一个共需多少元？（假定三次购买红、黄、蓝啦啦球单价不变） 解：设购买红、黄、蓝啦啦球的单价分别为x、y、z元，依题意得： ， 上述方程组可变形为：， 我们可以把看成一个整体，设，上述方程组又可化为：， 消去n，则可求得m的值，即 ； 阅读后，细心的你，一定体会到了其中的数学思想，试解决下列问题： （2）某同学买11支黑笔、3支红笔、7个笔记本，共用去元；如果买8支黑笔、2支红笔、5个笔记本，则共用去元，试问只买一支黑笔、一支红笔、一个笔记本，共需多少钱？ （3）若关于m，n的方程组的解与有相同的解，求a、b的值． 【答案】（1）100；（2）元；（3）， 【思路引导】（1）由关于m，n的方程组，利用可求出，进而可得出，此问得解； （2）设购买1支黑笔需要x元，购买1支红笔需要y元，购买1个笔记本需要z元，根据“买11支黑笔、3支红笔、7个笔记本，共用去元：买8支黑笔、2支红笔、5个笔记本，则共用去元”，即可得出关于x，y，z的三元一次方程组，将其拆解换元后可得出关于m，n的二元一次方程组，利用可求出m的值，及的值，此题得解． （3）先求出，把代入②求出，把代入③求出，把，代入②求出，把，，代入①求出即可． 【完整解答】（1）解：∵， ∴得：， 解得：，即， 答：第三次购买红、黄、蓝啦啦球各一个共需100元； （2）设购买1支黑笔需要x元，购买1支红笔需要y元，购买1个笔记本需要z元，依题意得： ， 上述方程组可变形为：， 设，，上述方程组又可化为：， 得：， 即， 答：只买一支黑笔、一支红笔、一个笔记本共需元． （3）关于m，n的方程组的解与有相同的解， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， 把，代入②得：， 解得：， 把，，代入①得：， 解得：． 【考点点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，利用换元法将原三元一次方程组转化为二元一次方程组是解题的关键． 考向五 用二元一次方程组解决问题 考点讲练14 根据实际问题列二元一次方程组 【典例精讲】（24-25七年级下·浙江·阶段练习）春暖花开时节，小江一家人去郊外露营．小江准备了一些草莓，如果每人分个，则多出个；如果每人分个，则有一人少一个．设这一行人共有人，草莓一共有个，则下列方程组中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 根据“如果每人分个，则多出个；如果每人分个，则有一人少一个”，列出二元一次方程组即可． 【完整解答】解：设这一行人共有人，草莓一共有个，则 ， 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）某地需要将一段长为米的河道进行整修，整修任务由，两个工程队先、后接力完成．已知工程队每天整修米，工程队每天整修米，共用时天．问，两个工程队整修河道分别工作了多少天？ (1)以下是甲同学的做法： 设工程队整修河道工作了天，工程队整修河道工作了天．根据题意，得方程组：________， 解得， 请将甲同学的上述做法补充完整； (2)乙同学说：本题还有另外一种解法，他列出了不完整的方程组如下：， 在乙同学的做法中，表示________，表示________； 请将乙同学所列方程组补充完整． 【答案】(1) ， ，； (2)工程队在整修河道中整修的米数，工程队在整修河道中工作的天数； 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找到合适的等量关系是解题的关键． （）根据工程队与工程队的工作时间共天，工程队与工程队共修河道米，列方程组进行求解即可； （）观察乙所列的方程，可知乙把每个队整修的河道长作为了未知数，由此进行分析即可得到的答案； 【完整解答】（1）解：设工程队整修河道工作了天，工程队整修河道工作了天， 根据题意，得方程组： ， 解得， 故答案为： ， ，； （2）解：在乙同学的做法中，表示工程队在整修河道中整修的米数，表示工程队在整修河道中工作的天数， 故答案为：工程队在整修河道中整修的米数，工程队在整修河道中工作的天数， 根据上面可列方程，， 故答案为：． 考点讲练15 根据几何图形列二元一次方程组 【典例精讲】（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）如图，9个大小，形状完全相同的小长方形，组成了一个周长为46的大长方形，若设小长方形的长为，宽为，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查二元一次方程组的应用，根据图形列出相关代数式并得到等量关系是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，则大长方形的长为或，即；大长方形的宽为，再根据长方形的周长公式可得即可解答． 【完整解答】解：设小长方形的长为，宽为，则大长方形的长为或，即； 由图形可知：大长方形的宽为，则大长方形的周长为， 综上所述，可列方程组． 故选：A． 【变式训练】（22-23七年级下·河南新乡·阶段练习）如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.    (1)小长方形的长和宽各是多少？ (2)求阴影部分的面积. 【答案】(1)小长方形的长为，宽为； (2)． 【思路引导】（）设小长方形的长为，宽为，观察图形即可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值， （）根据阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积，即可求出结论． 【完整解答】（1）设小长方形的长为，宽为， 根据图形可知：， 解得：， 答：小长方形的长为，宽为； （2）由（）得：小长方形的长为，宽为， ∴长方形的宽为， 则阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积， ， ， 答：阴影部分的面积为． 【考点点拨】此题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于、的二元一次方程组是解题的关键． 考点讲练16方案问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案． (3)若型车每辆租金1000元/次，型车每辆租金1200元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金费． 【答案】(1)一辆型车装满货物一次可运货3吨，一辆型车装满货物一次可运货4吨 (2)可租用型车9辆，型车1辆；租用型车5辆，型车4辆；租用型车1辆，型车7辆 (3)最省钱的租车方案为：租用型车1辆，型车7辆，费用为9400元 【思路引导】本题考查了二元一次方程组与方案问题．解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和二元一次方程． （1）设一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货吨，吨，根据题意建立二元一次方程组即可求解； （2）根据货物总重量可得，即可求解； （3）由（2）中的结论即可计算各方案所用费用，即可求解． 【完整解答】（1）解：设一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货吨，吨， 由题意可得，， 解得：， 答：一辆型车装满货物一次可运货3吨，一辆型车装满货物一次可运货4吨； （2）由题意得：， ，只能取整数 ， 答：可租用型车9辆，型车1辆；租用型车5辆，型车4辆；租用型车1辆，型车7辆； （3）解：由题意可得， ①（元； ②（元； ③（元； 最省钱的租车方案为：租用型车1辆，型车7辆，费用为9400元． 【变式训练】（23-24七年级下·全国·课后作业）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱物资打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下（假设每辆车均满载）： 车型 甲 乙 丙 每辆汽车运载量 5 8 10 每辆汽车运费/元 400 500 600 (1)若全部物资都用乙、丙两种车型来运送，需运费8200元，乙、丙两种车型各需几辆？ (2)为了节约运费，该市政府决定一共安排16辆运送车辆，且甲、乙、丙三种车型都参与运送，请你用列方程组的方法求三种车型各有多少辆． (3)哪种方案的运费最少？最少是多少元？ 【答案】(1)乙车型8辆，丙车型7辆 (2)有两种运送方案：①甲车型2辆，乙车型8辆，丙车型6辆；②甲车型4辆，乙车型3辆，丙车型9辆 (3)甲车型2辆，乙车型8辆，丙车型6辆，最少运费是8400元 【思路引导】本题主要考查二元一次方程组的实际应用问题，根据题意准确的列出方程组是求解本题的关键. （1）设需要乙车辆，丙车辆，根据运费元，总吨数134吨，列出方程组求解即可； （2）设甲车有辆，乙车有辆，丙车有辆，列出方程组，再根据均为正整数，求出的值，即可求解； （3）分别求出两种方案的运费即可求解； 【完整解答】（1）解：设需要乙车辆，丙车辆 由题意可得： 解得： 需要乙车8辆，丙车7辆 （2）解：设甲车有辆，乙车有辆，丙车有辆 由题意可得： 消去可得： 由于是正整数，且小于16，则： 由是正整数，解得 有两种运送方案： ①甲车型4辆，乙车型3辆，丙车型9辆； ②甲车型2辆，乙车型8辆，丙车型6辆； （3）解：两种方案得运费分别是： ①； ②； 甲车型2辆，乙车型8辆，丙车型6辆时，最少运费是8400元. 考点讲练17行程问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）平泽唯搭乘电车外出游玩，电车正要经过一条长的桥，电车从车头上桥到车尾离桥共用时，整列电车完全在桥上的时间为，则电车的行驶速度为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查二元一次方程组的实际应用，设电车的行驶速度为，电车的长为，根据过桥总路程为桥长加车长，整列车在桥上，总路程等于桥长减去车长，列出方程组进行求解即可． 【完整解答】解：设电车的行驶速度为，电车的长为，由题意，得： ，解得：； 则电车的行驶速度为． 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）兄弟二人骑车同时从甲地到乙地，弟弟在前一半路程每小时行4千米，后一半路程每小时行6千米．哥哥按时间分段行驶，前时间每小时行4千米，中间时间每小时行5千米，后时间每小时行6千米，结果哥哥比弟弟早到20分钟．甲乙两地相距多少千米？ 【答案】甲乙两地相距40千米 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． 设甲乙两地相距千米，哥哥所用的时间为，根据“弟弟在前一半路程每小时行4千米，后一半路程每小时行6千米．哥哥按时间分段行驶，前时间每小时行4千米，中间时间每小时行5千米，后时间每小时行6千米，结果哥哥比弟弟早到20分钟”，列二元一次方程，求解即可得出答案． 【完整解答】解：设甲乙两地相距千米，哥哥所用的时间为． ， 解得， 答：甲乙两地相距40千米． 考点讲练18工程问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项工程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天． (1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天； (2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的． 【答案】(1)甲队单独完成此项工程需要40天，乙队单独完成此项工程需要15天 (2)与公司派来的乙工程队再合作6天可完成此项工程 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程（组）． （1）设甲队单独完成此项工程需要天，乙队单独完成此项工程需要天，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解； （2）设与公司派来的乙工程队再合作天可完成此项工程的，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【完整解答】（1）解：设甲队单独完成此项工程需要天，乙队单独完成此项工程需要天， 根据题意得 解得 答：甲队单独完成此项工程需要40天，乙队单独完成此项工程需要15天 （2）解：设与公司派来的乙工程队再合作天可完成此项工程的， 根据题意得， 解得， 答：与公司派来的乙工程队再合作6天可完成此项工程． 【变式训练】．（24-25七年级下·全国·课后作业）有一段长为180m的河道整治任务由甲，乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治8m，乙工程队每天整治12m，共用20天．甲，乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明，小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设甲工程队整治河道，乙工程队整治河道．根据题意，得；小华同学：设表示________，表示________．根据题意，得．请你补全小明，小华两位同学的解题思路； (2)请从（1）中任选一个解题思路写出完整的解答过程． 【答案】(1)180，，，甲工程队整治河道的天数，乙工程队整治河道的天数； (2)见解析． 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．根据甲、乙两队共完成120米的整治河道任务且共同时20天，即可得出关于x，y的二元一次方程组；小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出m，n表示的意义； （2）根据题意，解方程组即可得出结论． 【完整解答】（1）解：小明同学： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得 ； 小华同学： 设整治任务完成后，m表示甲工程队工作的时间，n表示乙工程队工作的时间． 根据题意，得： ． 故答案为：180；；甲工程队工作的时间；乙工程队工作的时间． （2）选择小明同学的解题思路： 设甲工程队整治河道，乙工程队整治河道， 根据题意，得， 解得， 故甲工程队整治河道120m，乙工程队整治河道60m． （或选择小华同学的解题思路）： 设甲工程队整治河道天，乙工程队整治河道天． 根据题意，得，， 解得， ． 故甲工程队整治河道120m，乙工程队整治河道60m． 考点讲练19 数字问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（24-25七年级下·山东济宁·阶段练习）算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产．以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个位，不拨出空档表示0．小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数． 【答案】 【思路引导】本题考查二元一次方程组的实际应用，设个位数字为，十位数字为，根据个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字减2等于十位数字加2，列出方程组进行求解即可． 【完整解答】解：设个位数字为，十位数字为，由题意，得： ，解得：， ∴这个三位数为：． 【变式训练】（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）某两位数，已知十位数字与个位数字之和为11，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45． (1)试通过列一元一次方程的方法求出原来的两位数； (2)若设原来的两位数的个位数字为x，十位数字为y，依据题意列出关于x，y的方程组（无需求解），并检验（1）中求得的结果是否满足所列的方程组． 【答案】(1)原来的两位数为； (2)，检验见解析． 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设原来的两位数的十位数字为，个位数字为，根据“把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据“十位数字与个位数字之和为11，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45”，即可得出关于的二元一次方程组，再代入值，验证即可． 【完整解答】（1）解：设原来的两位数的个位数字为，则十位数字为，依题意，得： ， 解得：， ， ∴原来的两位数为； （2）解：依题意，得： ， 由（1）知， ∴， ∴是方程组的解， ∴（1）中求得的结果满足所列的方程组． 考点讲练20 年龄问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（23-24七年级下·全国·假期作业）小明问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这样大时你才出生，你到我这么大时我已经39岁了．”老师年龄为 岁，小明年龄为 岁． 【答案】 26 13 【解析】略 【变式训练】（2022八年级上·全国·专题练习）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 【答案】大头儿子现在的年龄为10岁 【思路引导】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可． 【完整解答】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁， 由题意得：， 解得：， 答：大头儿子现在的年龄为10岁． 【考点点拨】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组． 考点讲练21 分配问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西咸阳·开学考试）优秀文化是文创产品的灵魂．西安肉夹馍、天水麻辣烫本身就是“圈粉”需求的地方代表性特色美食，以其为原型和载体创新文创产品“绒馍馍”和“麻辣烫”，生动展示了本土美食的独特韵味．一盒“绒馍馍”234元，一锅“麻辣烫”108元，某网友一次购买相应规格的“绒馍馍”和“麻辣烫”共10盒（锅），两种产品均享受七五折的优惠，共花费1188元，则该网友购买“绒馍馍”多少盒，购买“麻辣烫”多少锅？ 【答案】该网友购买“绒馍馍”4盒，购买“麻辣烫”6锅 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．设该网友购买“绒馍馍”盒，购买“麻辣烫”锅，根据题意建立方程组，解方程组即可得． 【完整解答】解：设该网友购买“绒馍馍”盒，购买“麻辣烫”锅， 由题意得：， 解得， 答：该网友购买“绒馍馍”4盒，购买“麻辣烫”6锅． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）（应用意识）用如图①所示的长方形和正方形纸板作为侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒． (1)若有正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，则当竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个时，恰好能将这些纸板全部用完？ (2)若一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，请求出a所有可能的值． 【答案】(1)当竖式纸盒加工500个，横式纸盒加工480个时，恰好能将这些纸板全部用完 (2)所有可能的值为155，160，165 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程或方程组求解． （1）设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1460张、长方形纸板3440张，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板80张、长方形纸板a张，列出m、n的二元一次方程组，解之即可用含a的代数式表示出n值，再根据n、a为正整数结合求出a的值，即可解决问题． 【完整解答】（1）解：设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个．根据题意，得： ， 解得， 故当竖式纸盒加工500个，横式纸盒加工480个时，恰好能将这些纸板全部用完． （2）解：设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个．根据题意，得： ， ，得 ， 均为正整数， 为5的倍数． 又， 所有可能的值为155，160，165． 考点讲练22 销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（2025·山西晋中·一模）春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》在某影院推出了和三种放映版式．小颖调查了解到多数人选择版或版，在该影院购买某时段的《哪吒之魔童闹海》电影票，5张电影票的费用和4张电影票的费用一样；2张电影票和1张电影票共需130元．请你帮助小颖求出该影院《哪吒之魔童闹海》该时段的版和版的电影票单价． 【答案】3D版电影票单价为40元，IMAX版电影票单价为50元 【思路引导】本题考查二元一次方程组的应用．根据题意设该影院《哪吒之魔童闹海》该时段版电影票单价为x元，版电影票单价为y元，再列式计算即可． 【完整解答】解：设该影院《哪吒之魔童闹海》该时段版电影票单价为x元，版电影票单价为y元， 根据题意，得： 解得： 答：设该影院《哪吒之魔童闹海》该时段版电影票单价为40元，版电影票单价为50元． 【变式训练】（2025七年级下·全国·专题练习）为了进一步加强学生的校园安全意识，某班开展校园安全知识竞赛活动，去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖品．若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A款奶茶，10杯B款奶茶，共需270元．奶茶店为了满足市场的需求，推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． (1)求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元； (2)在不加料的情况下，购买A，B两种款式的奶茶（两种都买），刚好用了220元，请问有几种购买方案？ (3)若小华恰好用了380元购买A，B两款奶茶，其中A款不加料的数量是总数量的，则B款加料的奶茶买了多少杯？ 【答案】(1)A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元 (2)见解析 (3)3杯 【思路引导】（1）设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，根据在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，列出二元一次方程，求出正整数解即可； （3）设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯，则B款加料的奶茶买了杯，根据小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【完整解答】（1）解：设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元； （2）设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯， 由题意得：， 整理得：， ∵m、n均为正整数， ∴或或， ∴有3种购买方案： ①购买A种款式的奶茶16杯，购买B种款式的奶茶5杯； ②购买A种款式的奶茶10杯，购买B种款式的奶茶10杯； ③购买A种款式的奶茶4杯，购买B种款式的奶茶15杯； （3）解：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯， 则B款加料的奶茶买了杯，即杯， 由题意得：， 整理得：， ∵a、b、均为正整数， ∴， ∴， 答：B款加料的奶茶买了3杯． 考点讲练23 和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）某货运公司临时接到一个任务，从工厂同时运送A，B两种货物各20箱到展馆．货运公司调派甲货车运送A种货物，乙货车运送B种货物，A种货物每箱，B种货物每箱．因为两种货物包装箱完全一样，装运工人一时疏忽，使得两车虽然所装货物数量正确，但部分货物却装混了．运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重，则甲车有（ ）箱货物装错． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【思路引导】本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲车装A种货物x箱，B种货物y箱，根据从工厂同时运送A，B两种货物各20箱到展馆，运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重，列出方程组进行求解即可． 【完整解答】解：设甲车装A种货物x箱，B种货物y箱，则乙车装A种货物箱，B种货物箱，根据题意得： ， 解得：， ∴甲车装了18箱A和2箱B，乙车装了2箱A和18箱B， 所以，甲车有2箱货物装错． 故选：D． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）某景点的门票价格如下表： 购票人数 90及以上 门票单价/元 48 45 42 (1)某校七年级（1）（2）两个班共有82人去游览该景点，其中（1）班人数少于40，（2）班人数多于40且少于90．若两班都以班为单位单独购票，则一共支付3807元，两个班各有多少名学生？ (2)该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过40，九年级的报名人数超过40，但不超过80．若两个年级分别购票，总计支付门票费4434元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4032元．问八年级、九年级各报名多少人． 【答案】(1)七（1）班有39名学生，七（2）班有43名学生 (2)八年级报名38人，九年级报名58人 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程的应用． （1）设七（1）班有x名学生，七（2）班有y名学生，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设八年级报名a人，九年级报名b人，分两种情况：①若，②若，由题意分别列出方程组，解方程组即可． 【完整解答】（1）解：设七（1）班有x名学生，七（2）班有y名学生， 由题意，得， 解得， 答：七（1）班有39名学生，七（2）班有43名学生； （2）解：设八年级报名a人，九年级报名b人，分两种情况： ①若，由题意，得， 解得（不合题意，舍去）， ②若，由题意，得， 解得， 答：八年级报名38人，九年级报名58人． 考点讲练24 几何问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在长方形中，放入六个形状、大小相同的小长方形，经测量，，．图中阴影部分的总面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数混合运算的实际应用，设小长方形的长为，宽为，根据题意列出方程组求出的值，进而根据图形列式计算即可求解，由方程组求出小长方形的长和宽是解题的关键． 【完整解答】解：设小长方形的长为，宽为， 由题意得，， 解得， ∴小长方形的长为，宽为， ∴， 故选：． 【变式训练】（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）用图①中的长方形木板和正方形木板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖木箱．现仓库里有块长方形木板和块正方形木板，经过工人组装发现，正方形木板恰好用完，而长方形木板余下块，则，的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查二元一次方程组，设竖式纸盒个，横式纸盒个，由题意列出方程组可求解．根据题意列出正确的方程组是本题的关键． 【完整解答】解：设竖式纸盒个，横式纸盒个， 依题意，得：， ∴， 即， ∴是的倍数， A．，此时不是的倍数，故此选项不符合题意； B．，此时不是的倍数，故此选项不符合题意； C．，此时是的倍数，故此选项符合题意； D．，此时不是的倍数，故此选项不符合题意． 故选：C． 考点讲练25 图表信息题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（23-24七年级下·全国·课后作业）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息如下：（水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 每户每月用水量 每吨自来水销售价格/元 每吨污水处理价格/元 及以下 a 0.80 超过不超过的部分 b 0.80 超过的部分 6.0 0.80 已知小王家2024年4月份用水，交水费83元；5月份用水，交水费108元． (1)求的值； (2)6月份小王家用水，应交水费多少元？ 【答案】(1)a值为值为4.2 (2)146.6元 【思路引导】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组． （1）根据题意和表格可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出a、b的值； （2）根据题意可以列式计算即可． 【完整解答】（1）解：根据题意可得， ， 解得，， 即a值为值为4.2； （2）根据题意知，吨的水费为：， 答：6月份小王家用水，应交水费元． 【变式训练】（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）太原五中计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小琪在某文体用品店购买完毕回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图所示． 货物或应税劳务、服务名称 篮球 钢笔 笔记本 合计 规格型号 单位 个 支 本 数量 6 46 单价 100.00 15.00 5.00 金额 600.00 900.0 税率 税额 价税合计（大写）   玖佰元整                               （小写）900.00 请根据发票中现有的信息，帮助小琪复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 【答案】钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元 【思路引导】本题考查二元一次方程组的应用，设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本，根据数量总和为46，金额综合为900元，列出方程组进行求解即可． 【完整解答】解：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本， 由题意得， 解得， 则（元），（元）， 答：钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元． 考点讲练26 古代问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（23-24七年级下·福建福州·期中）《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在改为横排，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，若图2所表示的方程组中x与y的值相等，则被墨水所覆盖的图形为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的解法及实际应用，根据已知方程组，结合图可判断出：（1）前面两列为方程的左边，后两列表示一个数，为方程的右边；（2）“|”表示1，“—”表示10；根据图2中第一个方程求出x，y的值代入第二个代数式求值是解题关键． 【完整解答】解：设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意得， 又∵， 解得：，， 把，代入得，， 故选：B． 【变式训练】（24-25八年级上·山东菏泽·期末）阅读下列材料，解决问题． 《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．” 译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (1)【尝试】若设公鸡有x只，母鸡有y只． ①小鸡有________只，买小鸡一共花费________文钱（用含x，y的式子表示）． ②根据题意，列出一个含有x，y的方程________． (2)【探索】若对“百鸡问题”增加一个条件：公鸡数量是母鸡数量的3倍，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (3)【拓展】除了问题（2）中的解之外，请写出两组符合“百鸡问题”的解，并简要说明理由． 【答案】(1)①，；② (2)公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只 (3)①公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；③公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只．理由见解析 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）①由购买鸡的只数找出购买小鸡的只数；②找准等量关系，正确列出二元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）结合、均为整数求出二元一次方程的解． （1）①根据共买鸡100只，即可求出小鸡购买的只数，结合小鸡的价格即可求出购买小鸡的总花费； ②根据总价单价数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于、的二元一次方程； （2）根据（1）中②的结论结合公鸡数量是母鸡数量的3倍，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）根据总价单价数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于、的二元一次方程，结合、均为整数，即可求出结论． 【完整解答】（1）解：①要买100只鸡，且小鸡每三只值一文钱， 买了只小鸡，买小鸡花了文钱． 故答案为：；． ②根据题意得：． 故答案为：． （2）解：设公鸡有只，母鸡有只，则小鸡有只， 根据题意得：， 解得：， ． 答：公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只． （3）解：根据题意得：， 化简得：， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，舍去． 故除了问题（2）中的解之外，以下三组答案，写出其中任意两组即可：①公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；③公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只． 考点讲练27 其他问题(二元一次方程组的应用) 【典例精讲】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）为了提倡节约用水，某市根据居民每月的用水量实行阶梯水价：每户每月用水量不超过时，按一级单价收费；超过时，超过的部分按二级单价收费．五月份张华家用水，缴费37.6元；李明家用水，缴费47.2元． (1)那么这个市一级水费、二级水费的单价分别是多少？ (2)若小丽家3月份缴费95.2元，那么小丽家三月份用水多少立方米？ 【答案】(1)一级水费2.6元，二级水费3.2元 (2) 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程组是解题的关键． （1）设一级水费单价为x元，二级水费单价为y元，根据五月份张华家用水，缴费元；李明家用水，缴费元，列出方程组，解方程组即可． （2）设小丽家三月份用水立方米，根据小丽家3月份缴费95.2元列出方程，解方程即可． 【完整解答】（1）解，设一级水费单价为x元，二级水费单价为y元， 根据题意列方程组：， 解得：， 答：一级水费单价为元，二级水费单价为元． （2）设小丽家三月份用水立方米， 则 解得 答：小丽家三月份用水立方米． 【变式训练】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）中国学生营养促进会确定了每年5月20日为中国学生营养日，其目的在于广泛、深入宣传学生时期营养的重要性，大力普及营养知识．在某400克早餐套餐中，蛋白质总含量为，包括一个谷物面包，一盒牛奶和一个去壳鸡蛋，其中一个去壳鸡蛋的质量为56克，这个鸡蛋的蛋白质含量为11.2克；谷物面包和牛奶的部分营养成分如表所示．求400克早餐套餐中谷物面包和牛奶的质量． 谷物面包（每100克） 牛奶（每100克） 蛋白质10克 脂肪33.6克 碳水化合物52.8克 钠290毫克 蛋白质3.2克 脂肪3.6克 碳水化合物4.5克 钠100毫克 【答案】该份早餐中谷物面包的质量为144克，牛奶的质量为200克 【思路引导】设该份早餐中谷物面包的质量为x克，牛奶的质量为y克，根据这份早餐的总质量及蛋白质的总含量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【完整解答】解：设该份早餐中谷物面包的质量为x克，牛奶的质量为y克， 根据题意得： 解得： 答：该份早餐中谷物面包的质量为144克，牛奶的质量为200克． 基础夯实真题练 1．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组和关于x，y的二元一次方程组有相同的解，则的平方根为（    ） A．4 B．±4 C．﹣2 D． 【答案】B 【思路引导】由题意可得，解得x，y的值后分别代入及中求得a，b的值，然后求得的值后求得其平方根即可． 【完整解答】解：由题意得， 解得：， 则， 解得：， 那么，其平方根为. 故选：B． 2．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）下列方程组中，是二元一次方程组的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了二元一次方程组“方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组”，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题关键．根据二元一次方程组的定义逐项判断即可得． 【完整解答】解：A、，含有三个未知数，不是二元一次方程组，则此项不符合题意； B、是二元一次方程组，则此项符合题意； C、中和都是分式，不是二元一次方程组，则此项不符合题意； D、中的次数是2，不是二元一次方程组，则此项不符合题意； 故选：B． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形，与的差为4，小长方形的周长为16，则图中阴影部分的面积为（   ） A．26 B．28 C．30 D．32 【答案】D 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，整式乘法与图形面积，找出等量关系列出方程跟组是解答本题的关键．设小长方形的长为x、宽为y，根据与的差为4，小长方形的周长为16，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【完整解答】解：设小长方形的长为x、宽为y， 由题意得：， 解得：， ∴， 故选：D． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了解二元一次方程组．根据题意，第二个方程减去第一个方程，得出，即，结合已知，即可得出答案． 【完整解答】解：， ②①，得，即， ∵， ∴． 故选：B． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点A，B，C，D对应的数分别是数a，b，c，d，且，那么数轴的原点是点 ． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了代入法解二元一次方程组，数轴上的两点之间的距离，数轴上的点表示的数， 根据两点之间的距离及已知条件得出二元一次方程组，求出解，再根据数轴上各个点所表示的数依次计算即可． 【完整解答】解：由A、B、C、D在数轴上的位置可知，， 根据题意，得 解得， 即点B所表示的数是，点A表示的数是， ∴点C表示的数是， ∴点D表示的数是. 即原点是点D． 故答案为：D． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）若关于的方程组中的相等，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查的是解二元一次方程组，熟知代入消元法是解答此题的关键． 根据题意得到，求出，代入②求解即可． 【完整解答】∵方程组中的x、y相等， ∴原方程组可化为 由①得，， 代入②得，， 解得． 故答案为：． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）某工厂有名工人，每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，其中某产品每套由4个型零件和3个型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则的值为 ． 【答案】40 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程组，是解题的关键．设安排x名工人加工A型零件，则安排名工人加工B型零件，根据每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，每套由4个型零件和3个型零件配套组成，50天恰好完成1200套产品，列出方程组，解方程组即可． 【完整解答】解：设安排x名工人加工A型零件，则安排名工人加工B型零件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 则工厂有40名工人， 故答案为：40． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题主要考查了代入法二元一次方程组，先找一个简单的方程，用一个未知数表示另一个未知数，再用代入法求解． 对于（1），直接将①代入②求出x，再将x的值代入①求出y即可； 对于（2），将①整理为，再代入②，求出y，再将y值代入③可得解； 对于（3），仿照（1）去解； 对于（4），将②整理为，再代入求出解. 【完整解答】（1）解：, 把①代入②得，， 解得， 把代入①得， ． ∴原方程组的解为； （2）解：， 由①，得， 把③代入②，得， 解得， 把代入③，得 ， ∴原方程组的解为； （3）解：， 把②代入①得，， 解得，， 把代入②得， ， ∴原方程组的解为； （4）解：， 由②得，， 把③代入①得，， 解得， 把代入③，得 ， ∴原方程组的解为． 9．（2025·安徽·一模）某天，蔬菜经营户张老板用218元，从蔬菜批发市场批发了豆角和西红柿到市场去卖，豆角和西红柿这天每千克的批发价与零售价如下表所示： 品名 豆角 西红柿 批发价/元 零售价/元 请通过计算说明张老板卖出这些豆角和西红柿的盈亏情况． 【答案】共能赚140元 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．设张老板批发了豆角，西红柿，根据豆角和西红柿、共用218元建立方程组，解方程组求出的值，再根据零售价和批发价计算利润即可得． 【完整解答】解：设张老板批发了豆角，西红柿， 由题意得：， 解得：， 则（元）， 因为， 所以张老板卖出这些豆角和西红柿共能赚140元． 10．（23-24七年级下·全国·课后作业）根据电力部门统计，每天至是用电的高峰期，简称“峰时”， 至次日是用电的低谷时期，简称“谷时”．为了缓解供电需求紧张的矛盾，某市电力部门于2023年10月统一换装“峰谷分时”电表，对用电实行“峰谷分时电价”新政策，具体见下表： 时间 换表前 换表后 电价 峰时 谷时（次日） 小李家12月份用电，经测算比换表前用电节省了6.4元，小李家12月份使用“峰时电”和“谷时电”分别是多少千瓦时？ 【答案】峰时用电，谷时用电 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设小李家12月份使用“峰时电”是x千瓦时，“谷时电”是y千瓦时，根据题意列出方程组即可求解． 【完整解答】解：设小李家12月份使用“峰时电”是x千瓦时，“谷时电”是y千瓦时， 根据题意得， 解得： 答：小李家12月份使用“峰时电”是70千瓦时，“谷时电”是50千瓦时． 培优拔尖真题练 11．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）若关于、的二元一次方程组的解为，则关于、的二元一次方程组的解为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解是解题关键．将代入方程组可得，由此即可得． 【完整解答】解：∵关于、的二元一次方程组的解为， ∴， ∴关于、的二元一次方程组的解，即， 故选：D． 12．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）下面四组数值中，是二元一次方程组的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的解，解答本题的关键是明确解二元一次组的方法． 方程组的解即为能使方程组中每个方程都成立的未知数的值．利用加减消元法求出方程组的解，即可作出判断． 【完整解答】解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 则方程组的解为 ． 故选：D． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　）    A．b的值为6 B．a为奇数 C．乘积结果可以表示为 D．a的值小于3 【答案】D 【思路引导】本题考查了有理数的乘法和一元一次方程组．解题的关键熟练掌握用格子的方法计算两个数相乘的“铺地锦”，建立一元一次方程组． 设的十位数字是m，个位数字是n，根据“铺地锦”的方法将图2补全完整，由此建立方程组，求解，逐一判断即可． 【完整解答】如图，设的十位数字是m，个位数字是n，    ∴， ∴， ∴D正确； ∴， ∴B正确，D不正确； ∴乘积结果可以表示为． ∴C正确． 故选：D． 14．（23-24七年级下·重庆·期末）甲、乙、丙三家艺术中心为表彰进步学生，准备去文具店采购签字笔、笔记本、钢笔三种文具，签字笔、笔记本、钢笔单价分别为8元、10元、25元．乙艺术中心采购签字笔数量是甲的6倍，笔记本数量是甲的12倍，钢笔数量是甲的8倍，丙采购的签字笔数量是甲的3倍，笔记本数量是甲的9倍，钢笔数量和甲相同．三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，则甲艺术中心采购总费用为（    ）元 A．237 B．350 C．425 D．901 【答案】A 【思路引导】本题考查了三元一次方程组的应用，解本题的关键在找出数量关系，列出方程组． 设甲采购签字笔x个、笔记本y个、钢笔z个，根据数量单价总价，分别表示出乙采购和并采购的费用，然后根据三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，列方程组，解方程组，再根据签字笔、笔记本、钢笔均为整数，求出答案即可． 【完整解答】解：设甲采购签字笔x个、笔记本y个、钢笔z个，则费用分别为元，元，元； 乙采购采购签字笔个、笔记本个、钢笔个，则费用分别为元，元，元； 丙采购采购签字笔个、笔记本个、钢笔个，则费用分别为元，元，元； 根据题意得 整理，得   由②得：， ∵x、y都是正整数， ∴y可能为1、2、3、4、5， 把③代入①整理，得 ， ， ∵z为正整数，y可能为1、2、3、4、5， ∴当时，（不符合题意）， 当时，（符合题意）， 当时，（不符合题意）， 当时，（不符合题意）， 当时，（不符合题意）， 把代入②得：， 甲艺术中心采购总费用为元， 故选：A． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）满足的，的值分别为 ． 【答案】，． 【思路引导】本题主要考查了平方的非负性和绝对值的非负性、解二元一次方程组，首先根据平方的非负性和绝对值的非负性，可得关于，的二元一次方程组，解方程组即可求出，的值． 【完整解答】解：， ， 解得：， 故答案为：，． 16．（24-25七年级下·重庆·开学考试）元宵节将至，各种口味的汤圆纷纷上市，某商家从汤圆生产商处采购了花生、芝麻、奥巧三种口味的汤圆进行销售，其每袋进价分别是20元，25元，30元，其中花生与奥巧味汤圆每袋的销售利润率相同，每袋芝麻味汤圆的利润比每袋奥巧味汤圆的利润少，经统计，在今年元宵当天，该商家花生、芝麻、奥巧口味的汤圆销量是，其中销售花生与芝麻味汤圆的总利润率是，且芝麻味汤圆销售额比奥巧味汤圆销售额多2000元，则今年元宵当天该商家销售这三种口味的汤圆的总利润是 元． 【答案】4000 【思路引导】本题主要考查了一次方程的应用．设奥巧味的利润为，则花生味的利润为，芝麻味的利润为，再设花生、芝麻、奥巧口味的汤圆销量分别是，，，根据销售花生与芝麻味汤圆的总利润率是，列出方程，求得，得到单包各种口味的汤圆的利润，再根据芝麻味汤圆销售额比奥巧味汤圆销售额多2000元，列出方程，求解即可． 【完整解答】解：设奥巧味的利润为，则花生味的利润为，芝麻味的利润为， 再设花生、芝麻、奥巧口味的汤圆销量分别是，，， 依题意得， 解得， 则单包花生味的利润为元，芝麻味的利润为元，奥巧味的利润为元， 由题意得， 解得， 所以总利润：（元）， 故答案为：4000． 17．（2025七年级下·全国·专题练习）2024年5月3日，嫦娥六号探测器准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功，有两个旅游团去某航天科技馆参观，第一个旅游团有15名成人和10名儿童，共花费门票850元；第二个旅游团有40名成人和50名儿童，由于人数较多，成人票打八折，儿童票打六折，共花费2030元．则成人票每张原价为 元，儿童票每张原价 元． 【答案】 40 25 【思路引导】本题考查二元一次方程组的实际应用，设成人票每张原价x元，儿童票每张原价y元，根据第一个旅游团有15名成人和10名儿童，共花费门票850元；第二个旅游团有40名成人和50名儿童，由于人数较多，成人票打八折，儿童票打六折，共花费2030元，列出方程组进行求解即可． 【完整解答】解：设成人票每张原价x元，儿童票每张原价y元，由题意得： ， 解得：， 所以，成人票每张原价40元，儿童票每张原价25元． 故答案为：40，25． 18．（2025七年级下·全国·专题练习）某蔬果经营户花232元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价/（元） 2.4 2.2 零售价/（元） 3.6 3.2 该蔬菜经营户当天卖完这些黄瓜和茄子可赚多少元？ 解：设该蔬菜经营户从蔬菜市场批发黄瓜，批发茄子． 请列方程组求出x，y，并求出该蔬菜经营户当天卖完这些黄瓜和茄子能赚的钱数． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系列出方程跟组是解答本题的关键．设该蔬菜经营户从蔬菜市场批发黄瓜，批发茄子，利用进货总价＝进货单价×购进数量，结合该蔬果经营户花232元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共100kg，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入中，即可求出结论． 【完整解答】解：设该蔬菜经营户从蔬菜市场批发黄瓜，批发茄子， 根据题意得：， 解得：， ∴（元）． 答：该蔬菜经营户当天卖完这些黄瓜和茄子可赚112元． 19．（24-25七年级下·浙江温州·阶段练习）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到m张小长方形和n张小正方形，做成x个横式叠盖纸盒和y个竖式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． 【任务1】若， 求n， x， y的值； 【任务2】求的最大值． 【答案】[任务1]，，；[任务2]35 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）33张标准卡纸通过剪裁得到158张小长方形，而一张可以剪裁6个小长方形，先算出总的小长方形，减去158，即为剩余的小长方形，一个小长方形可剪裁两个小正方形，再乘以2即可求解n，根据1个竖式叠盖纸盒可以需要4个小长方形和3个正方形，1个横式叠盖纸盒5个小长方形和2个小正方形，即可建立二元一次方程组求解； （2）由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形，则，求其整数解，判断的最大值即可． 【完整解答】解：任务1：由题意得，， ， 解得：； 任务2：由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形， ∴， ∴整数解为：或， ∵， ∴的最大值为35． 20．（24-25七年级上·福建三明·期末）问题情景：某数学兴趣小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动． (1)综合实践小组利用边长为30厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为______平方厘米； ②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，已知，求该长方体纸盒的体积； (2)小明按照图1的方式用边长为30厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为156厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况） 【答案】(1)①484；②立方厘米； (2)4厘米，或7厘米，或8厘米 【思路引导】本题考查展开图折叠成几何体，二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，长方体的底面积，长方形的体积等知识点，运用了分类讨论的思想．解题的关键根据展开图得出长方体长宽高． （1）①根据题意，首先求得长方体纸盒底的长与宽，再根据长方形面积公式计算即可； ②设，，根据长方体展开图的性质，列二元一次方程组并求解，即可得到答案； （2）长方体展开图的性质，分5种情况分析，列一元一次方程并求解即可． 【完整解答】（1）解：①结合题意，得长方体纸盒底的长宽均为（厘米）， ∴长方体纸盒的底面积（平方厘米）； 故答案为：484； ②如图，设，， ∵能折成一个无盖长方体纸盒，且， ∴， ∴，， 即， ∴， ∴， ∴该长方体纸盒的体积为立方厘米； （2）解：设小明剪去的小正方形的边长为m厘米， 展开方式1如下图： ∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米， ∴， 该方程无解； 展开方式2如下图： ∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米， ∴， ∴； 展开方式3如下图： ∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米， ∴， ∴， 展开方式4如下图： ∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米， ∴， ∴， 展开方式5如下图： ∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米， ∴， ∴， 综上所述，小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长为4厘米，或7厘米，或8厘米． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$