第7章 幂的运算（思维导图+易错知识+10大考点讲练+易错真题难度拔尖练 共45题）-2024-2025学年苏科版数学七年级下册章节易错考点培优讲练（新教材）

2024-2025学年苏科版数学七年级下册章节培优易错知识讲练（新教材） 第7章 幂的运算 （思维导图+易错知识+10大考点讲练+易错真题难度拔尖练 共45题） 目 录 讲义编写说明 2 思维导图指引 2 易错知识点梳理精讲 2 易错知识点梳理01：同底数幂的乘法 2 易错知识点梳理02：幂的乘方 2 易错知识点梳理03：积的乘方 2 易错知识点梳理04：同底数幂的除法 3 易错知识点梳理05：零指数幂与负整数指数幂 3 易错知识点梳理06：运算顺序与括号的使用 3 易错知识点梳理07：符号的处理 3 易错知识点梳理08：实际应用问题 3 易错考点优选题讲练 3 考向一：同底数幂的乘法 3 易错考点讲练01：同底数幂相乘 3 易错考点讲练02：同底数幂乘法的逆用 4 易错考点讲练03：用科学记数法表示数的乘法 4 考向二：幂的乘方与积的乘方 5 易错考点讲练04：幂的乘方运算 5 易错考点讲练05：幂的乘方的逆用 5 易错考点讲练06：积的乘方运算 6 易错考点讲练07：积的乘方的逆用 7 考向三：同底数幂的除法 8 易错考点讲练08：同底数幂的除法运算 8 易错考点讲练09：同底数幂的除法的逆用 8 易错考点讲练10：幂的混合运算 9 易错真题拔尖训练 11 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，易错知识点梳理，易错考点真题汇编，精选易错题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 易错知识点梳理01：同底数幂的乘法 混淆乘法法则：am×an=am+n，学生可能会错误地将其记作am×an=am×n。 忽略底数相同：在进行同底数幂的乘法时，必须确保底数相同，否则不能直接应用该法则。 易错知识点梳理02：幂的乘方 混淆乘方法则：(am)n=am×n，学生可能会错误地将其记作(am)n=am+n。 计算错误：在进行幂的乘方运算时，容易在计算指数时出错，如(a3)4错误地计算为a12以外的结果。 易错知识点梳理03：积的乘方 混淆积的乘方法则：(ab)n=an×bn，学生可能会错误地将其记作(ab)n=an+bn。 忽略每个因子都要乘方：在应用积的乘方法则时，必须确保每个因子都进行乘方运算。 易错知识点梳理04：同底数幂的除法 混淆除法法则：am÷an=am−n（a≠0，m和n都是正整数，且m>n），学生可能会错误地将其记作am÷an=am÷n。 忽略底数相同：在进行同底数幂的除法时，必须确保底数相同，否则不能直接应用该法则。 忽略零指数幂的定义：当m=n时，am÷an=a0=1（a≠0），学生可能会忽略这一点。 易错知识点梳理05：零指数幂与负整数指数幂 混淆零指数幂的定义：a0= 1（a≠0），学生可能会错误地认为任何数的零次幂都等于0或该数本身。 混淆负整数指数幂的定义：a−n=1/an（a≠0，n是正整数）学生可能会错误地将其记作a−n=−an或a−n=1/a−n 易错知识点梳理06：运算顺序与括号的使用 混淆运算顺序：在进行幂的运算时，必须遵循先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序，否则容易出错。 忽略括号的作用：括号在幂的运算中起着非常重要的作用，可以改变运算顺序。学生可能会忽略括号，导致运算结果错误。 易错知识点梳理07：符号的处理 混淆负数的幂的符号：当底数为负数时，幂的符号取决于指数的奇偶性。学生可能会在处理负数幂时忽略这一点，导致符号错误。 忽略分数和负数的幂：在处理分数和负数的幂时，学生可能会因为对幂的运算法则理解不透彻而出错。 易错知识点梳理08：实际应用问题 无法将实际问题转化为幂的运算：在实际应用问题中，学生可能会因为无法准确理解题意或无法将问题转化为幂的运算而出错。 计算结果与实际不符：即使学生能够正确地将问题转化为幂的运算，也可能因为计算错误或单位换算错误而导致结果与实际不符。 考向一：同底数幂的乘法 易错考点讲练01：同底数幂相乘 【典例易错题】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）杨辉三角是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示是一种变异的“杨辉三角”，按箭头方向依次记为：，，，，，，，则等于（   ）    A． B． C． D． 【易错训练1】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【易错训练2】（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 易错考点讲练02：同底数幂乘法的逆用 【典例易错题】（2024七年级上·上海·专题练习）已知，则x的值为 ． 【易错训练1】（23-24七年级下·河北承德·期中）规定． （1）求 ； （2）若，求 ． 【易错训练2】（22-23七年级下·江苏无锡·期中）如果，则，例如，则． (1)根据上述规定，若，则　　； (2)记，，，求之间的数量关系． 易错考点讲练03：用科学记数法表示数的乘法 【典例易错题】（八年级上·重庆万州·阶段练习）光在真空中的速度约为米秒，太阳光照射到地球上大约需要秒，地球与太阳的距离约为 米． 【易错训练1】（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为 （结果用科学记数法表示）． 【易错训练2】（22-23九年级下·山西大同·阶段练习）月球到地球的平均距离约为千米，而地球到太阳的平均距离约是月球到地球的平均距离的390倍，由此可知，地球到太阳的平均距离约是（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 考向二：幂的乘方与积的乘方 易错考点讲练04：幂的乘方运算 【典例易错题】（2025七年级下·全国·专题练习）若为正整数．且，则的值为 ． 【易错训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列算式：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）． 【易错训练2】（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）阅读下列材料，回答问题． 下面是底数大于1的数比较大小的两种方法． ①比较和的大小． 当时，，即当底数相同时，指数越大值越大． ②比较和的大小． 解：，，，，． 即指数相同时，底数越大值越大． (1)比较和的大小； (2)已知，，则a___________b．（选填“>”“=”或“<”） 易错考点讲练05：幂的乘方的逆用 【典例易错题】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【易错训练1】（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 【易错训练2】（22-23七年级下·广西贵港·期中）阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 易错考点讲练06：积的乘方运算 【典例易错题】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列结论中，正确的个数是（   ） ①当m为正整数时，等式一定成立；②等式，无论m为何值，都不成立；③等式，，都不成立；④等式，都不一定成立． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【易错训练1】（2024七年级上·上海·专题练习）用简便方法计算： 【易错训练2】（23-24七年级上·福建泉州·期中）计算并认真观察： (1)计算： ①___________；___________；②___________；___________． (2)根据以上两组计算结果的规律，猜想：___________（是正整数）； (3)根据你发现的规律与猜想，简便计算：． 易错考点讲练07：积的乘方的逆用 【典例易错题】（24-25七年级上·陕西西安·期中）计算的结果为（   ） A． B． C． D．2 【易错训练1】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算：（1） ；（2） ． 【易错训练2】（23-24八年级上·天津滨海新·期末）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 考向三：同底数幂的除法 易错考点讲练08：同底数幂的除法运算 【典例易错题】（24-25七年级下·全国·课后作业）运算能力计算： (1) (2) (3) 【易错训练1】（23-24七年级下·广东深圳·期末）“黑洞”是恒星演化的最后阶段．根据有关理论，当一颗恒星衰老时，其中心的燃料(氢)已经被耗尽，在外壳的重压之下，核心开始坍缩，直到最后形成体积小、密度大的星体．如果这一星体的质量超过太阳质量的三倍，那么就会引发另一次大坍缩．当这种收缩使得它的半径达到施瓦氏(Schwarzschild)半径后，其引力就会变得相当强大，以至于光也不能逃脱出来，从而成为一个看不见的星体----黑洞．施瓦氏半径(单位：米)的计算公式是．，其中牛•米千克，为万有引力常数；M表示星球的质量(单位：千克)； 米/秒，为光在真空中的速度．已知某恒星质量M为千克，则该恒星的施瓦氏半径为 米． 【易错训练2】（23-24七年级下·安徽六安·期末）（1）已知，，求的值； （2） 已知，求t的值． 易错考点讲练09：同底数幂的除法的逆用 【典例易错题】（24-25七年级上·湖南长沙·期中）【概念学习】我们规定两数、之间的一种运算，记作：如果，那么；例如，记作． 【初步探究】（1）根据以上规定求出： ； ； 【深入思考】对于相同底数的幂的乘法运算，我们有， 例如． （2）小明发现也成立，并证明如下 设：，则 因为，所以，所以， 根据以上证明，请计算，请写清楚计算过程． （3） 猜想，并说明理由． 【易错训练1】（23-24七年级下·江苏苏州·期中）若，，则的值为（　　） A．14 B．24 C．6 D．10 【易错训练2】（23-24七年级下·河北邢台·期中）计算： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 易错考点讲练10：幂的混合运算 【典例易错题】（2025七年级下·全国·专题练习）（1）计算： （2）计算： 【易错训练1】（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算或化简： (1) ； (2)； (2) ； (4) 【易错训练2】（23-24八年级上·河南南阳·期中）化简： (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中，． 1．（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知，，，，则 a、b、c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 2．（17-18六年级下·山东烟台·期中）的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级下·湖南娄底·阶段练习）已知实数满足，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·山东菏泽·阶段练习）我们知道，同底数幂的乘法法则为：（其中，m，为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数，的一种新运算：，若，那么 （用含和的代数式表示，其中为正整数）． 6．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）计算式子的结果用科学记数法表示为 . 7．（23-24八年级上·浙江台州·期末）定义一种新运算：若，则．例如：，则．已知，则的值为 ． 8．（22-23七年级下·江苏镇江·阶段练习）现有若干张卡片，分别写有1，，4，，16，，……，小明从中取出三张卡片，要满足三张卡片上的数字乘积为，其中三数之和的最大值记为A，最小值记为B，则的值等于 ． 9．（23-24八年级上·山西长治·阶段练习）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，；（，为正整数）． 请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)已知，，，请把，，用“”连接起来： ； (2)若，，求的值； (3)计算：． 10．（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）我们规定两数a、b之间的一种运算，记作：如果，那么． 例如，对于任意自然数n，可以证明． 理由如下：设，则，∴，∴，∴，∴． (1)根据以上规定求出： _____； _____； (2)①说明等式成立的理由； ②并计算； (3) 类比猜想：． 11．（22-23七年级下·江苏连云港·阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么，例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：①_______，_______；②若，则_______． (2)小艺在研究这种运算时发现一个特征，，小艺给出了如下的证明： 设，则，即，所以，即，所以． 试解决下列问题： ①计算_______； ②若，，，请直接写出a，b，c之间的数量关系：_______ 12．（23-24七年级下·山东济南·期中）“已知，，求的值．”对于这个问题，我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，可得，所以，所以． 请利用这样的思考方法解决下列问题．已知，，求下列代数的值： (1)___________，___________； (2)； (3)． 13．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：我们知道，个相同的因数相乘可记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即，一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． (1)计算以下各对数的值： ， ， ． (2)观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？、、之间又满足怎样的关系式？ (3)根据（2）的结果，我们可以归纳出：且，，，请你根据幂的运算法则：以及对数的定义证明该结论． 14．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）“已知，，求的值．”对于这个问题，我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，可得，所以，所以． 请利用这样的思考方法解决下列问题． 已知，，求下列代数的值： (1)； (2)． 15．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）某银行去年新增居民存款3亿元人民币． (1)经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚，如果将总额为3亿元的这种纸币摞起来，大约有多高？（结果用科学记数法表示） (2)一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍总额为3亿元的这种纸币，点钞机大约要点多少天？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学七年级下册章节培优易错知识讲练（新教材） 第7章 幂的运算 （思维导图+易错知识+10大考点讲练+易错真题难度拔尖练 共45题） 目 录 讲义编写说明 1 思维导图指引 2 易错知识点梳理精讲 2 易错知识点梳理01：同底数幂的乘法 2 易错知识点梳理02：幂的乘方 2 易错知识点梳理03：积的乘方 2 易错知识点梳理04：同底数幂的除法 2 易错知识点梳理05：零指数幂与负整数指数幂 3 易错知识点梳理06：运算顺序与括号的使用 3 易错知识点梳理07：符号的处理 3 易错知识点梳理08：实际应用问题 3 易错考点优选题讲练 3 考向一：同底数幂的乘法 3 易错考点讲练01：同底数幂相乘 3 易错考点讲练02：同底数幂乘法的逆用 5 易错考点讲练03：用科学记数法表示数的乘法 6 考向二：幂的乘方与积的乘方 7 易错考点讲练04：幂的乘方运算 7 易错考点讲练05：幂的乘方的逆用 9 易错考点讲练06：积的乘方运算 11 易错考点讲练07：积的乘方的逆用 14 考向三：同底数幂的除法 15 易错考点讲练08：同底数幂的除法运算 15 易错考点讲练09：同底数幂的除法的逆用 17 易错考点讲练10：幂的混合运算 19 易错真题拔尖训练 22 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，易错知识点梳理，易错考点真题汇编，精选易错题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 易错知识点梳理01：同底数幂的乘法 混淆乘法法则：am×an=am+n，学生可能会错误地将其记作am×an=am×n。 忽略底数相同：在进行同底数幂的乘法时，必须确保底数相同，否则不能直接应用该法则。 易错知识点梳理02：幂的乘方 混淆乘方法则：(am)n=am×n，学生可能会错误地将其记作(am)n=am+n。 计算错误：在进行幂的乘方运算时，容易在计算指数时出错，如(a3)4错误地计算为a12以外的结果。 易错知识点梳理03：积的乘方 混淆积的乘方法则：(ab)n=an×bn，学生可能会错误地将其记作(ab)n=an+bn。 忽略每个因子都要乘方：在应用积的乘方法则时，必须确保每个因子都进行乘方运算。 易错知识点梳理04：同底数幂的除法 混淆除法法则：am÷an=am−n（a≠0，m和n都是正整数，且m>n），学生可能会错误地将其记作am÷an=am÷n。 忽略底数相同：在进行同底数幂的除法时，必须确保底数相同，否则不能直接应用该法则。 忽略零指数幂的定义：当m=n时，am÷an=a0=1（a≠0），学生可能会忽略这一点。 易错知识点梳理05：零指数幂与负整数指数幂 混淆零指数幂的定义：a0= 1（a≠0），学生可能会错误地认为任何数的零次幂都等于0或该数本身。 混淆负整数指数幂的定义：a−n=1/an（a≠0，n是正整数）学生可能会错误地将其记作a−n=−an或a−n=1/a−n 易错知识点梳理06：运算顺序与括号的使用 混淆运算顺序：在进行幂的运算时，必须遵循先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序，否则容易出错。 忽略括号的作用：括号在幂的运算中起着非常重要的作用，可以改变运算顺序。学生可能会忽略括号，导致运算结果错误。 易错知识点梳理07：符号的处理 混淆负数的幂的符号：当底数为负数时，幂的符号取决于指数的奇偶性。学生可能会在处理负数幂时忽略这一点，导致符号错误。 忽略分数和负数的幂：在处理分数和负数的幂时，学生可能会因为对幂的运算法则理解不透彻而出错。 易错知识点梳理08：实际应用问题 无法将实际问题转化为幂的运算：在实际应用问题中，学生可能会因为无法准确理解题意或无法将问题转化为幂的运算而出错。 计算结果与实际不符：即使学生能够正确地将问题转化为幂的运算，也可能因为计算错误或单位换算错误而导致结果与实际不符。 考向一：同底数幂的乘法 易错考点讲练01：同底数幂相乘 【典例易错题】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）杨辉三角是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示是一种变异的“杨辉三角”，按箭头方向依次记为：，，，，，，，则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查数字的变化规律，根据图中的数据，可以发现数字的变化特点，从而可以计算出的值． 【规范解答】解：∵，，，，，，， ∴当为偶数时，，当为奇数时，， ∴ ， 故选：C． 【易错训练1】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了同底数幂的乘法运算，由得，进而由同底数幂的乘法即可求解，掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 【易错训练2】（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键． 先化简得，代入数值即可解答． 【规范解答】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 易错考点讲练02：同底数幂乘法的逆用 【典例易错题】（2024七年级上·上海·专题练习）已知，则x的值为 ． 【答案】3 【思路点拨】本题主要考查同底数幂的乘法运算以及提取公因式法分解因式，熟练并正确掌握相关运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， 故， 解得： 故答案为：3． 【易错训练1】（23-24七年级下·河北承德·期中）规定． （1）求 ； （2）若，求 ． 【答案】 125 1 【思路点拨】本题主要考查同底数幂的乘法及运用： （1）根据新定义列式计算即可； （2）根据新定义列方程求解即可． 【规范解答】解：（1）∵ ∴, 故答案为：125； （2）∵， ∴ ∴ ∴ 解得，， 故答案为：1 【易错训练2】（22-23七年级下·江苏无锡·期中）如果，则，例如，则． (1)根据上述规定，若，则　　； (2)记，，，求之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)． 【思路点拨】（）根据新定义列式计算即可求解； （）根据新定义列式，再根据同底数幂乘法的逆运算计算即可求解； 本题考查了乘方及同底数幂乘法的逆运算，理解新定义运算是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵，则， ∴，则， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 易错考点讲练03：用科学记数法表示数的乘法 【典例易错题】（八年级上·重庆万州·阶段练习）光在真空中的速度约为米秒，太阳光照射到地球上大约需要秒，地球与太阳的距离约为 米． 【答案】 【思路点拨】此题考查了科学记数法的表示方法和同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则和科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值，熟练掌握运算法则． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【易错训练1】（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为 （结果用科学记数法表示）． 【答案】 【思路点拨】此题考查了科学记数法，单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 根据题意列出代数式，再根据单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质进行计算即可． 【规范解答】解：计算机工作秒运算的次数为： ． 故答案为：． 【易错训练2】（22-23九年级下·山西大同·阶段练习）月球到地球的平均距离约为千米，而地球到太阳的平均距离约是月球到地球的平均距离的390倍，由此可知，地球到太阳的平均距离约是（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】C 【思路点拨】直接利用有理数的乘法运算法则求出即可． 【规范解答】解：， 地球到太阳的平均距离约为千米． 故选：C． 【考点评析】此题主要考查了有理数的乘法，正确掌握运算法则是解题关键． 考向二：幂的乘方与积的乘方 易错考点讲练04：幂的乘方运算 【典例易错题】（2025七年级下·全国·专题练习）若为正整数．且，则的值为 ． 【答案】0 【思路点拨】本题考查幂的乘方及其逆用，将变形为，再将代入求值即可 【规范解答】解：， 故答案为：0． 【易错训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列算式：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）． 【答案】②③ 【思路点拨】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方法则是解题关键．根据幂的乘方法则逐个判断即可得． 【规范解答】解：①，则原算式错误； ②，则原算式正确； ③，则原算式正确； ④，则原算式错误； 综上，正确的是②③， 故答案为：②③． 【易错训练2】（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）阅读下列材料，回答问题． 下面是底数大于1的数比较大小的两种方法． ①比较和的大小． 当时，，即当底数相同时，指数越大值越大． ②比较和的大小． 解：，，，，． 即指数相同时，底数越大值越大． (1)比较和的大小； (2)已知，，则a___________b．（选填“>”“=”或“<”） 【答案】(1) (2)> 【思路点拨】本题主要考查了实数的大小比较以及乘方的运用，解题关键是熟练掌握幂的乘方法则． （1）先把底数9写成底数是3的幂，然后比较指数的大小，从而比较这两个数的大小； （2）先逆用幂的乘方法则，把幂写成指数相同的幂，然后根据底数越大，幂就越大，进行比较即可． 【规范解答】（1）解：（1）∵， ∴， ∴； （2）解：∵， 又， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 易错考点讲练05：幂的乘方的逆用 【典例易错题】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题考查了幂的乘方，根据幂的乘方法则得到，根据同底数幂的大小即可得到答案． 【规范解答】解：， ∵， ∴． 故选C． 【易错训练1】（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1)72 (2)3 【思路点拨】本题考查同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算： （1）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为，即可求解； （2）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， 解得． 【易错训练2】（22-23七年级下·广西贵港·期中）阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 【答案】(1)指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大 (2)① ；② 【思路点拨】本题考查了幂的大小比较，熟练掌握比较大小的基本方法是解题的关键． （1）根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大解答即可． （2）①化成，，根据底数相同，指数大的幂大解答即可； ②，根据指数相同，底数大的幂大解答即可． 【规范解答】（1）解：根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大， 故答案为：指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大． （2）解：①∵，， 根据底数相同，指数大的幂大 ∴， ∴． ②解：∵， 根据指数相同，底数大的幂大， ∴， ∴． 易错考点讲练06：积的乘方运算 【典例易错题】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列结论中，正确的个数是（   ） ①当m为正整数时，等式一定成立；②等式，无论m为何值，都不成立；③等式，，都不成立；④等式，都不一定成立． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【思路点拨】本题考查了积的乘方，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 分为正奇数、为正偶数两种情况进行讨论，即可判断结论①；分为奇数、为偶数两种情况进行讨论，即可判断结论②；当时，等式成立，无论取何值，等式，均成立，由此即可判断结论③；分别对为偶数、为奇数以及为偶数、为奇数两种情况进行讨论，即可判断结论④；综上，即可得出所有正确的结论． 【规范解答】解：①当为正奇数时，等式一定成立， 当为正偶数时，，等式不成立， 故结论①错误； ②当为奇数时，，等式不成立， 当为偶数时，等式成立， 故结论②错误； ③当时，等式成立， 无论取何值，等式，均成立， 故结论③错误； ④当为偶数时，， 当为奇数时，， 等式不一定成立， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 等式不一定成立， 故结论④正确； 综上，正确的结论为，共个， 故选：． 【易错训练1】（2024七年级上·上海·专题练习）用简便方法计算： 【答案】 【思路点拨】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对积的乘方的法则的掌握与灵活运用．先将式子拆分成同次数的形式，再利用进行求解即可． 【规范解答】解：原式 ． 【易错训练2】（23-24七年级上·福建泉州·期中）计算并认真观察： (1)计算： ①___________；___________；②___________；___________． (2)根据以上两组计算结果的规律，猜想：___________（是正整数）； (3)根据你发现的规律与猜想，简便计算：． 【答案】(1)①；；②； (2) (3) 【思路点拨】本题考查数与式的变化规律， （1）①通过计算得出结论；②通过计算得出结论； （2）根据（1）计算结果的规律猜想得出结论； （3）根据发现的规律与猜想进行计算； 根据算式中数的变化找出变化规律是解题的关键． 【规范解答】（1）解：①；， 故答案为：；； ②；， 故答案为：；； （2）根据以上两组计算结果的规律，猜想：， 故答案为：； （3） ． 易错考点讲练07：积的乘方的逆用 【典例易错题】（24-25七年级上·陕西西安·期中）计算的结果为（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【思路点拨】本题考查积的乘方的逆用，将原式变形为，再利用积的乘方的逆运算求解． 【规范解答】解：， 故选D． 【易错训练1】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算：（1） ；（2） ． 【答案】 【思路点拨】（）根据积的乘方逆用即可求解； （）根据积的乘方逆用，同底数幂乘法的逆用和幂的乘方运算即可求解； 本题考查了同底数幂乘法，积的乘方，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：（） 故答案为：； （） 故答案为：． 【易错训练2】（23-24八年级上·天津滨海新·期末）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查积的乘方的逆用，熟练掌握积的乘方是解题的关键；由题意得，进而求解即可． 【规范解答】解： ． 故选：A． 考向三：同底数幂的除法 易错考点讲练08：同底数幂的除法运算 【典例易错题】（24-25七年级下·全国·课后作业）运算能力计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】（1）根据幂的乘方，同底数幂相除法则进行计算即可； （2）根据合并同类项法则，同底数幂相乘法则进行计算即可； （3）根据积的乘方，同底数幂相除法则进行计算即可． 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式， ， ． 【考点评析】本题考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂相除，同底数幂相乘等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 【易错训练1】（23-24七年级下·广东深圳·期末）“黑洞”是恒星演化的最后阶段．根据有关理论，当一颗恒星衰老时，其中心的燃料(氢)已经被耗尽，在外壳的重压之下，核心开始坍缩，直到最后形成体积小、密度大的星体．如果这一星体的质量超过太阳质量的三倍，那么就会引发另一次大坍缩．当这种收缩使得它的半径达到施瓦氏(Schwarzschild)半径后，其引力就会变得相当强大，以至于光也不能逃脱出来，从而成为一个看不见的星体----黑洞．施瓦氏半径(单位：米)的计算公式是．，其中牛•米千克，为万有引力常数；M表示星球的质量(单位：千克)； 米/秒，为光在真空中的速度．已知某恒星质量M为千克，则该恒星的施瓦氏半径为 米． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了同底数幂的运算和科学记数法．掌握运算法则是解题关键．先根据施瓦氏半径的计算公式是计算出的值，再用科学记数法表示出来即可． 【规范解答】解：(米) 故答案为：． 【易错训练2】（23-24七年级下·安徽六安·期末）（1）已知，，求的值； （2）已知，求t的值． 【答案】（1）（2） 【思路点拨】本题考查同底数幂的除法和乘法运算和整式的加减运算， （1）根据同底数幂除法的运算法则进行计算即可得到答案； （2）根据同底数幂乘法和整式的加减运算法则进行化简，得到一元一次方程，解方程即可得到答案． 【规范解答】解：（1）， ∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 易错考点讲练09：同底数幂的除法的逆用 【典例易错题】（24-25七年级上·湖南长沙·期中）【概念学习】我们规定两数、之间的一种运算，记作：如果，那么；例如，记作． 【初步探究】（1）根据以上规定求出： ； ； 【深入思考】对于相同底数的幂的乘法运算，我们有， 例如． （2）小明发现也成立，并证明如下 设：，则 因为，所以，所以， 根据以上证明，请计算，请写清楚计算过程． （3）猜想，并说明理由． 【答案】（1）3，0；（2）42；（3）2，理由见解析 【思路点拨】本题考查有理数的乘方、同底数幂的乘除法的逆用，理解题中运算方法是解答的关键． （1）根据题中运算方法，结合有理数的乘方求解即可； （2）类比题中例题解法步骤结合同底数幂的乘法运算求解即可； （3）类比题中例题解法步骤结合同底数幂的除法运算求解即可． 【规范解答】解：（1），， ，， 故答案为：3，0； （2）设：，则， ， ， ， 故答案为：42； （3）猜想，理由如下： 设：，则， ， ， ． 故答案为：2． 【易错训练1】（23-24七年级下·江苏苏州·期中）若，，则的值为（　　） A．14 B．24 C．6 D．10 【答案】C 【思路点拨】此题主要考查了同底数幂的除法的性质的逆运用，根据同底数幂相除，底数不变，指数相减的逆用进行计算即可． 【规范解答】∵，， ∴． 故选：C． 【易错训练2】（23-24七年级下·河北邢台·期中）计算： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（）利用同底数幂的乘法和幂的乘方运算，再转换为一元一次方程即可； （）利用幂的乘方和同底数幂的除法即可求解； 此题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则的逆用是解题的关键． 【规范解答】（1）∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）∵，， ∴，， ∴． 易错考点讲练10：幂的混合运算 【典例易错题】（2025七年级下·全国·专题练习）（1）计算： （2）计算： 【答案】（1）；（2）0 【思路点拨】本题考查了同底数幂的除法：底数不变，指数相减，即（是正整数，）．也考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． （1）应用同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可得出答案． （2）应用同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可得出答案． 【规范解答】解：（1）原式 ． （2）解：原式 ． 【易错训练1】（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算或化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】本题考查了同底数幂的乘法，幂的除法运算，实数的加减运算，解题的关键是熟练掌握相关的幂的运算法则， 根据有理数指数幂的运算法则进行计算或化简即可得到结论． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 【易错训练2】（23-24八年级上·河南南阳·期中）化简： (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2)，0 【思路点拨】本题考查了整式的化简求值，幂的乘方，熟记“有括号先去括号，然后合并同类项，最后代入求值；同底数幂相乘底数不变指数相加，同底数幂相除底数不变指数相减，”是解题关键． 【规范解答】（1）解：（1） ； （2）（2） 当，时，原式． 1．（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知，，，，则 a、b、c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查有理数乘方的应用，解决本题的关键是熟记有理数的乘方法则．应先将化为指数都为11的乘方形式，再比较底数的大小，即可确定出的大小． 【规范解答】解：， ， 故选：A 2．（17-18六年级下·山东烟台·期中）的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了有理数的大小比较和幂的乘方，先根据幂的乘方进行变形，再比较即可，能正确根据幂的乘方进行变形是解题的关键． 【规范解答】解：， ， ， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．（22-23九年级下·湖南娄底·阶段练习）已知实数满足，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查整式幂的混合运算及代数式求值，根据题意得，，进而得到，由同底数幂的运算法则及积的乘方逆运算法则推出，即可得出结果． 【规范解答】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 4．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查同底数幂的除法，幂的乘方，求代数式的值，利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应值运算即可．解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【规范解答】解：∵，， ∴ ． 故选：D． 5．（23-24七年级下·山东菏泽·阶段练习）我们知道，同底数幂的乘法法则为：（其中，m，为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数，的一种新运算：，若，那么 （用含和的代数式表示，其中为正整数）． 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查的是同底数幂的乘法，新定义运算，根据题中的新定义化简，计算即可求出值． 【规范解答】解：∵，， ∴，，…… ∴ ∴原式， 故答案为：． 6．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）计算式子的结果用科学记数法表示为 . 【答案】 【思路点拨】本题主要考查科学记数法-表示较小的数，利用单项式乘单项式的法则，进行计算即可解答； 【规范解答】解： ， 故答案为： 7．（23-24八年级上·浙江台州·期末）定义一种新运算：若，则．例如：，则．已知，则的值为 ． 【答案】30 【思路点拨】本题主要考查了新定义的运算、同底数幂乘法运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．设，，，易得，，，且，然后根据，即可求得的值． 【规范解答】解：设，，， 则有，，，且， ∴，即有． 故答案为：30． 8．（22-23七年级下·江苏镇江·阶段练习）现有若干张卡片，分别写有1，，4，，16，，……，小明从中取出三张卡片，要满足三张卡片上的数字乘积为，其中三数之和的最大值记为A，最小值记为B，则的值等于 ． 【答案】 【思路点拨】由题意知，卡片数字为，，，，，，……，则使三数之和最大的三个数为，，，即，使三数之和最小的三个数为，，，即，然后代入计算求解即可． 【规范解答】解：由题意知，卡片数字为，，，，，，…… ∵三张卡片上的数字乘积为， ∴使三数之和最大的三个数为，，， ∴， ∴使三数之和最小的三个数为，，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了同底数幂的乘法，有理数的加减运算．解题的关键在于确定使三数之和最大的三个数于使三数之和最小的三个数． 9．（23-24八年级上·山西长治·阶段练习）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，；（，为正整数）． 请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)已知，，，请把，，用“”连接起来： ； (2)若，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】（）根据逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再比较大小； （）根据逆用同底数幂的乘法和逆用幂的乘方即可求解； （）根据逆用同底数幂的乘法和逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再计算即可求解； 本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方法则，掌握法则的逆用是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵， ， ． 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解： ， ， ∵，， ∴原式， ， ； （3）解： ， ， ， ， ， ， ． 10．（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）我们规定两数a、b之间的一种运算，记作：如果，那么． 例如，对于任意自然数n，可以证明． 理由如下：设，则，∴，∴，∴，∴． (1)根据以上规定求出： _____； _____； (2)①说明等式成立的理由； ②并计算； (3)类比猜想：． 【答案】(1)3，0 (2)①见解析；②14 (3)6 【思路点拨】此题主要考查了同底数幂的乘除运算法则，正确将原式变形分析是解题关键． （1）根据题意如果，那么，进而将原式变形求出答案； （2）①根据与的意义，得出，再表示出的值进而得出答案；②表示出与的值进而得出答案； （3）利用同底数幂的除法运算法则将原式变形求出答案． 【规范解答】（1）解：设，则， 故，即； 设，则， 故，即； 故答案为：3，0； （2）解：①设，，则， 故， 则， 即； ②设，，则， 故， 则， 即； 故答案为：14； （3）解：设，，则， 故， 则， 即． 故答案为：6． 11．（22-23七年级下·江苏连云港·阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么，例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：①_______，_______；②若，则_______． (2)小艺在研究这种运算时发现一个特征，，小艺给出了如下的证明： 设，则，即，所以，即，所以． 试解决下列问题： ①计算_______； ②若，，，请直接写出a，b，c之间的数量关系：_______ 【答案】(1)①2，4；② (2)①1，② 【思路点拨】（1）①根据定义的运算规则处理即可；②根据规则变形得，于是； （2）①根据定义的运算规则、归纳的结论计算即可；②由规则知，，，变形得，，于是，从而． 【规范解答】（1）解：①∵， ∴，； ②若，则，， ∴ ∴． （2）解：①计算 ； ②∵，，， ∴，，． ∴，． ∴，． ∴． ∴． ∴． 【考点评析】本题考查幂的运算法则，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 12．（23-24七年级下·山东济南·期中）“已知，，求的值．”对于这个问题，我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，可得，所以，所以． 请利用这样的思考方法解决下列问题．已知，，求下列代数的值： (1)___________，___________； (2)； (3)． 【答案】(1)36，12 (2)24 (3) 【思路点拨】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． （1）逆向运用幂的乘方运算法则计算即可； （2）逆向运用同底数幂的乘法公式计算即可； （3）逆向运用同底数幂的除法公式计算即可． 【规范解答】（1）解：，， ；； 故答案为：36；12； （2）解：，， ∴； （3）解：，， ∴． 13．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：我们知道，个相同的因数相乘可记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即，一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． (1)计算以下各对数的值： ， ， ． (2)观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？、、之间又满足怎样的关系式？ (3)根据（2）的结果，我们可以归纳出：且，，，请你根据幂的运算法则：以及对数的定义证明该结论． 【答案】(1)2，4，6 (2)， (3)见解析 【思路点拨】此题考查了整式的混合运算、有理数的乘方，利用阅读材料中的运算法则计算各式，即可确定出关系式． （1）根据对数的定义进行计算即可； （2），、、之间的关系根据结果得出：，则； （3）设，那么有，又设，那么有，根据对数的定义可得结论． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ， ， 故答案为：2，4，6； （2）解：， ； （3）解：设，那么有，又设，那么有， 故而， 根据对数的定义化成对数式为， ． 14．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）“已知，，求的值．”对于这个问题，我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，可得，所以，所以． 请利用这样的思考方法解决下列问题． 已知，，求下列代数的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了幂的乘方法则，同底数幂乘除法的逆运算： （1）先计算出，再根据进行求解即可； （2）先计算出，，再根据进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，即， ∴； （2）解：∵，， ∴，，即，， ∴． 15．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）某银行去年新增居民存款3亿元人民币． (1)经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚，如果将总额为3亿元的这种纸币摞起来，大约有多高？（结果用科学记数法表示） (2)一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍总额为3亿元的这种纸币，点钞机大约要点多少天？ 【答案】(1) (2)10天 【思路点拨】本题考查了同底数幂的除法与乘法运算、科学记数法， （1）先算出3亿元人民币的张数，然后再用张数乘以一张人民币的厚度即可得到答案； （2）用3亿元人民币的张数除以速度，再根据同底数幂相除，底数不变指数相减进行计算． 【规范解答】（1）解：， 答：将总额为3亿元的这种纸币摞起来，大约有； （2）解：天， 答：点钞机大约要点10天． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$