精品解析：山东省泰安市泰山区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷（五四制）

第一学期期末学情抽测 初四数学样题 （时间：120分钟，满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，请考生仔细阅读答题纸上的注意事项，并务必按照相关要求作答． 2．考试结束后，监考人员只收答题纸． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确答案的字母代号选出来，填入下面答题栏中的对应位置） 1. 如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，熟知主视图是从物体的正面看到的视图是解题的关键．按照主视图的定义逐项判断即可． 【详解】解：从上面看该几何体，如图， 故选：D． 2. 篮球裁判员通常用抛掷硬币的方式来确定哪一方先选场地，那么抛掷一枚均匀的硬币一次，正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查随机事件的概率，解题的关键在于掌握：概率=所求情况数与总情况数之比．根据概率公式计算即可． 【详解】解：抛掷一枚均匀的硬币一次，可能出现两种可能的结果，正面朝上，反面朝上， 正在朝上的概率为： 故选：A． 3. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，熟记余弦的定义是解题的关键． 利用勾股定理求得的长，然后根据余弦的定义即可求得答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 则， 故选：B． 4. 下列图形是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱柱 C. 圆锥 D. 圆柱 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”． 根据主视图和俯视图为矩形可得这个几何体是柱体，根据左视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱． 【详解】解：根据主视图和俯视图为矩形可得这个几何体是柱体，根据左视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱． 故选：D． 5. 把抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，熟练掌握抛物线的平移性质是解题的关键，根据抛物线的平移规律解答即可． 【详解】解：把抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是， 故选：C． 6. 如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图象交于、两点．若，则的值为（ ） A. 20 B. 16 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点，根据题意，得，，于是，结合，代入计算即可． 本题考查了交点坐标的意义，图形面积的表示与计算，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 【详解】解：设点，根据题意，得，， 于是， 又， 故， 解得． 故选：C． 7. 综合实践课上，某学校航模小组用无人机测量古树的高度．如图，点处与古树底部处在同一水平面上，且米，无人机从处竖直上升到达处，测得古树顶部的俯角为，古树底部的俯角为（参考数据：，，），则古树的高度约为（） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的边角间关系，矩形的性质和判定等知识，过点作，先说明四边形是矩形，再在中，利用直角三角形的边角间关系求出的长，最后利用线段的和差关系得结论，掌握相关知识是解题的关键 【详解】解： 过点作，垂足为，如图： 由题意知，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． ∴米，， ∵， ∴， 在中， ， ∴ （米）， 在中， ， （米）， （米）， 故选：A． ． 8. 如图，与都经过、两点，且点在上，点是弧上的一动点（点不与点、重合），连接并延长交点，连接，当点在弧上运动时，图中大小都不变的角的个数是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形的内角和定理，邻补角，正确运用圆周角定理是解题的关键． ，根据题意可知，整个图形中，点C是运动的，由于，不变，故在点C 的运动过程中，保持不变，则根据邻补角和三角形内角和定理可判断也不变，也不变． 【详解】解：连接， 根据题意可知，整个图形中，点C是运动的， ∴， ∵不变， ∴在点C的运动过程中，保持不变， ∵ ， ∴， ∴也不变， ∵ ， ∴， ∴也不变， 故不变的有四个角：， 故选：B． 9. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数、一次函数的图象．由于本题不确定的符号，所以应分和两种情况分类讨论，针对每种情况分别画出相应的图象，然后与各选择比较，从而确定答案．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键，在思想方法方面，本题考查了数形结合思想、分类讨论思想． 【详解】解：当时，一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过二、四象限，如图所示： ，与C选项符合； 当时，一次函数经过二、三、四象限，反比例函数经过一、三象限．如图所示： ，没有选项与之符合． 故选：C． 10. 如图，抛物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，由图象得到系数的符号，再结合对称轴、抛物线最值以及抛物线上点的特征即可得到答案，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：由图开口向下得到， 对称轴为，则，即， 抛物线与轴交于正半轴，则， ，故①错误； 由得到，即，故②正确； 抛物线对称轴为，且与负半轴交点的横坐标大于， 抛物线与正半轴交点的横坐标小于， 则当时，，故③正确； 当时，抛物线有最大值为；当时，抛物线， ，则，故④正确； ， ， 当时，，即，故⑤正确； 综上所述，正确的结论是②③④⑤，共4个， 故选：A． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果） 11. 二次函数的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点坐标公式．根据题意利用二次函数顶点坐标公式即可得到本题答案． 详解】解：∵二次函数， ∴， ∴顶点坐标为：，即， 故答案为：． 12. 如图，为的切线，分别为切点，，点到圆心的距离，则的半径为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了切线性质和切线长定理，熟练掌握切线长定理是解答本题的关键． 根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，可知的度数，连接，可知，故在中，根据角所对的直角边等于斜边的一半可将半径求出． 【详解】解：连接 ∵为的切线， ∴， ∵为的切线，， ∴， ∴， ∴的半径为1 故答案为：1． 13. 如图，为了测量大树的高度，小明发现大树离教学楼4.5m，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子长为1.2m，此时小明拿起一根高2m的竹竿竖直放置在水平地面上，测量出影子长1m，那么这棵大树高______m． 【答案】10.2 【解析】 【分析】本题主要考查了影长的有关计算，矩形的判定和性质， 过点D作于点E，证明四边形为矩形，得出，，根据高的竹竿竖直放置在水平地面上，测量出影子长，求出，即可得出答案． 【详解】解：过点D作于点E，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵高的竹竿竖直放置在水平地面上，测量出影子长， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：10.2． 14. 扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为，该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列函数关系式，扇形的面积，设该扇面所在圆的半径为，根据扇形的面积公式表示出，进一步得出，再代入即可得出结论． 【详解】解：设该扇面所在圆的半径为， ， ∴， ∵该折扇张开的角度为时，扇面面积为， ∴， ∴； 故答案为： 15. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，垂直于轴，以为对称轴作的轴对称图形，对称轴与线段相交于点，点的对应点恰好落在的双曲线上．点的对应点分别是点．若点为的中点，且，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用轴对称和中点的定义，确定EG和EO之间的关系，再利用平行线分线段成比例定理及推论，得到FG和OD之间的关系，设EG=x，FG=y，用它们表示出D点坐标，接着得到B点坐标，利用，得到，再利用反比例函数的定义，计算出B点横纵坐标的积，即为所求k的值． 【详解】解：如图所示，由轴对称的性质可知：GE=GA，CG=OG，BC=OD， ∵点为的中点， ∴AE=OA， ∴, ∵MN∥y轴， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴， 设EG=x，FG=y，则OG=3x，OD=4y， ∴， 因为D点和B点关于MN对称， ∴ ∵， ∴ ∴, ∵点恰好落在的双曲线上， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、中点的定义、平行线分线段成比例定理的推论、反比例函数的定义等内容，解决本题的关键是牢记相关定义与性质，能根据题意在图形中找到对应关系，能挖掘图形中的隐含信息等，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 16. 如图，是的直径，，点在上，，为弧的中点，是直径上一动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理以及路程的和最小的问题，正确作出辅助线是解题的关键．：作关于的对称点，连接，，，交于点．则的最小值就是的长度，在中根据边角关系即可求解． 【详解】解：作关于的对称点，连接，，，交于点． 则， 当共线时，时，的最小值， 又点在上，，为弧的中点，即， ． ． ． 则是等腰直角三角形． ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，满分86分．解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤） 17. 某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图1． （1）由三视图可知，该密封纸盒的形状是什么？ （2）根据该几何体的三视图，在图2中补全它的表面展开图； （3）请你根据图1中数据，计算这个密封纸盒的表面积．（结果保留根号） 【答案】（1）正六棱柱 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体及解直角三角形的知识； （1）根据该几何体的三视图知道其是一个正六棱柱； （2）根据正六棱柱的特征在图2中补全它的表面展开图； （3）根据其表面积是六个面的面积加上两个底的面积，从而得出答案． 【小问1详解】 解：根据该几何体的三视图知道它是一个正六棱柱． 故答案为：正六棱柱． 【小问2详解】 六棱柱表面展开图如 【小问3详解】 由图中数据可知：六棱柱的高为，底面边长为， 六棱柱的侧面积为． 如图，设圆心为，连接，，作于点， ； ∴ ∴密封纸盒的底面面积为：， 六棱柱的表面积为． 18. 如图，是上的点，，分别交，于点．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由圆中弦、弧和圆心角的关系得到，再由圆的半径相等，结合两个三角形全等的判定定理得到，最后由全等三角形的性质即可得证； （2）由等腰三角形性质得到，，再结合（1）中，即可得到，从而由两个三角形全等的判定定理得到，最后由全等三角形的性质即可得证． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， 在和中， ； ； 【小问2详解】 证明：， ，， 由（1）知， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆综合，涉及圆中弦、弧和圆心角的关系，圆的基本性质，全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟记圆的性质及三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 19. 一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中2个红球，2个黄球，1个白球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次． （1）随机摸球10次，其中摸出红球3次，则这10次摸球中，摸出红球的频率是多少？ （2）随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是黄球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查求频率、画树状图或列表法求概率、概率公式，熟练掌握画树状图或列表法求概率的方法是解题的关键． （1）根据“频数除以总数等于频率”求解即可； （2）画出树状图可得，共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有4种结果，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，摸出红球的频率是， 【小问2详解】 画树状图得， ， 共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是黄球有4种结果， 两次摸出的小球都是黄球的概率为． 20. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点，使得点在同一条直线上； ②过点作，并沿方向前进到点，用皮尺测得的长为4米； ③在点处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得，，；，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留一位小数）： （1）求线段和的长度； （2）求底座的底面的面积． 【答案】（1）米，米 （2）平方米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，涉及等腰直角三角形性质、正切函数定义、矩形面积公式等知识，熟练掌握正切函数定义解直角三角形是解决问题的关键． （1）由题意，数形结合，在中，由正切函数定义列式求解得到米，再由等腰直角三角形性质即可得到答案； （2）过点作于点，如图所示，由正切函数定义列式求解得到米，再由矩形面积公式代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：，的长为4米，， ， 米； ， 米， 米； 【小问2详解】 解：过点作于点，如图所示： ， ， ， ， ， 底座的底面的面积为：（平方米）． 21. 如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中，． （1）求二次函数的表达式； （2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点，的面积是的面积的5倍，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法确定二次函数表达式即可得到答案； （2）设，由题意得到，根据三角形面积公式，数形结合，由得到，将点代入二次函数表达式解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：将，代入， 得， 解得， 二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：设， 点在第二象限， ，． 的面积是的面积的5倍， ，即， 则， ， ，即， 则， 是二次函数图象上的一点， ， 解得，（舍去）， 点坐标为． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数表达式、二次函数图象与性质、三角形面积公式、解一元二次方程等知识，掌握二次函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键． 22. 中，，点在上，以为半径圆交于点，交于点．且． （1）求证：是的切线； （2）连接交于点，若，，求弧的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用证明，推出，据此即可证明结论成立； （2）设的半径为，在中，利用勾股定理列式计算求得半径，进而求得，再求得，利用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， 在和中，， ， ； 为的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：， ， 设的半径为， 在中，， 即，解得， ，， ∴， ， ， ， 弧的长为． 【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，三角函数的定义，弧长公式．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 23. 如图1，已知双曲线与直线交于、两点，点在第一象限．试解答下列问题： （1）若点的坐标为， ①请直接写出点的坐标；当满足什么条件时时，； ②如图2，过原点作另一条直线，交双曲线于、两点，点在第一象限，若点的横坐标为1，求的面积； （2）若设点、的横坐标分别为、， ①猜想：四边形可能是矩形吗？若可能，请说明应满足的条件及理由； ②猜想：四边形可能是菱形、正方形吗？若可能，请直接写出应满足的条件；若不可能，请说明理由． 【答案】（1）①点的坐标为，或；②4 （2）①当时，四边形矩形，理由见解析；②四边形不可能是菱形、正方形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用，正比例函数的应用，平行四边形与矩形、菱形、正方形的判定等知识，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． （1）①根据函数的对称性可得点的坐标为；再结合函数图象即可得； ②先求出反比例函数的解析式为，再求出点的坐标，然后过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，直线与直线交于点，则四边形是矩形．根据求解即可得； （2）①猜想：当时，四边形是矩形，理由是：先证出四边形是平行四边形，再求出点的坐标，利用两点之间的距离公式可得，然后根据矩形的判定即可得； ②先根据反比例函数的性质可得，则与不可能垂直，再根据菱形、正方形的判定即可得． 【小问1详解】 解：①由函数的对称性可知：点与点关于原点对称， ∴点的坐标为； 由函数图象可知，当或时，； ②将点代入得：， ∴反比例函数的解析式为， 当时，，即， 如图，过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，直线与直线交于点，则四边形是矩形． ∴，，， ∴， ∴， 即的面积为4． 【小问2详解】 解：①猜想：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵点与点关于原点对称，点与点关于原点对称， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 对于反比例函数， 当时，，即， 当时，，即， ∵，且， ∴，， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； ②猜想：四边形不可能是菱形、正方形，理由如下： ∵点在反比例函数上， ∴， ∴与不可能垂直， ∴四边形不可能是菱形、正方形． 24. 小亮利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x的值为时，输出y的值为2；输入x的值为1时，输出y的值为2；输入x的值为3时，输出y的值为6． （1）直接写出的值； （2）小亮在平面直角坐标系中画出了关于的函数图象，如图（2）； ①当随的增大而增大时，求的取值范围； ②若关于的方程（为实数），在时无解，求的取值范围； ③若在函数图象上有点（与不重合）．的横坐标为，的横坐标为．小亮对之间（含两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，直接写出的取值范围． 【答案】（1），， （2）①或②或③或 【解析】 【分析】（1）先确定输入x值的范围，确定好之后将x，y的值代入所给的y关于x的函数解析式种解方程或方程组即可； （2）①可知一次函数解析式为：，二次函数解析式为：，当时，，对称为直线，开口向上，故时，y随着x的增大而增大；当时，，，故时，y随着x的增大而增大； ②问题转化为抛物线与直线在时无交点，考虑两个临界状态，当时，抛物线与直线在时正好一个交点，因此当时，抛物线与直线在时没有交点；当，，故当时，抛物线与直线在时正好一个交点，因此当时，抛物线与直线在时没有交点，当或时，抛物线与直线在时没有交点，即方程无解； ③ 可求点P、Q关于直线对称，当，，当时，，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当时，，时，，故当，由题意得：，则；当，由题意得：，则，从而可得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴将，代入， 得：， 解得：， ∵， ∴将，代入 得：， 解得：； 【小问2详解】 解：①∵， ∴一次函数解析式为：，二次函数解析式为： 当时，，对称为直线，开口向上， ∴时，y随着x的增大而增大； 当时，，， ∴时，y随着x的增大而增大， 综上，x的取值范围：或； ②∵， ∴，在时无解， ∴问题转化为抛物线与直线在时无交点， ∵对于，当时， ∴顶点为，如图： ∴当时，抛物线与直线在时正好一个交点， ∴当时，抛物线与直线在时没有交点； 当，， ∴当时，抛物线与直线在时正好一个交点， ∴当时，抛物线与直线在时没有交点， ∴当或时，抛物线与直线在时没有交点， 即：当或时，关于x的方程（t为实数），在时无解； ③∵， ∴， ∴点P、Q关于直线对称， 当，，当时，， ∵当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当时，，时，， ∴当，如图： 由题意得：， ∴； 当，如图： 由题意得：， ∴， 综上：或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解，正确理解题意，利用数形结合的思想是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一学期期末学情抽测 初四数学样题 （时间：120分钟，满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，请考生仔细阅读答题纸上的注意事项，并务必按照相关要求作答． 2．考试结束后，监考人员只收答题纸． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确答案的字母代号选出来，填入下面答题栏中的对应位置） 1. 如图是由两个宽度相同长方体组成的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 篮球裁判员通常用抛掷硬币的方式来确定哪一方先选场地，那么抛掷一枚均匀的硬币一次，正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A 三棱锥 B. 四棱柱 C. 圆锥 D. 圆柱 5. 把抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图象交于、两点．若，则的值为（ ） A. 20 B. 16 C. D. 7. 综合实践课上，某学校航模小组用无人机测量古树的高度．如图，点处与古树底部处在同一水平面上，且米，无人机从处竖直上升到达处，测得古树顶部的俯角为，古树底部的俯角为（参考数据：，，），则古树的高度约为（） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图，与都经过、两点，且点在上，点是弧上的一动点（点不与点、重合），连接并延长交点，连接，当点在弧上运动时，图中大小都不变的角的个数是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 9. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果） 11. 二次函数的顶点坐标为______． 12. 如图，为的切线，分别为切点，，点到圆心的距离，则的半径为______． 13. 如图，为了测量大树的高度，小明发现大树离教学楼4.5m，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子长为1.2m，此时小明拿起一根高2m的竹竿竖直放置在水平地面上，测量出影子长1m，那么这棵大树高______m． 14. 扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为，该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系表达式为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，垂直于轴，以为对称轴作的轴对称图形，对称轴与线段相交于点，点的对应点恰好落在的双曲线上．点的对应点分别是点．若点为的中点，且，则的值为____． 16. 如图，是的直径，，点在上，，为弧的中点，是直径上一动点，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分86分．解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤） 17. 某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图1． （1）由三视图可知，该密封纸盒的形状是什么？ （2）根据该几何体的三视图，在图2中补全它的表面展开图； （3）请你根据图1中数据，计算这个密封纸盒的表面积．（结果保留根号） 18. 如图，是上的点，，分别交，于点．求证： （1）； （2）． 19. 一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中2个红球，2个黄球，1个白球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次． （1）随机摸球10次，其中摸出红球3次，则这10次摸球中，摸出红球的频率是多少？ （2）随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是黄球的概率． 20. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①水池外取一点，使得点在同一条直线上； ②过点作，并沿方向前进到点，用皮尺测得的长为4米； ③在点处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得，，；，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留一位小数）： （1）求线段和的长度； （2）求底座的底面的面积． 21. 如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中，． （1）求二次函数的表达式； （2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点，的面积是的面积的5倍，求点的坐标． 22. 中，，点在上，以为半径的圆交于点，交于点．且． （1）求证：是的切线； （2）连接交于点，若，，求弧的长． 23. 如图1，已知双曲线与直线交于、两点，点在第一象限．试解答下列问题： （1）若点的坐标为， ①请直接写出点坐标；当满足什么条件时时，； ②如图2，过原点作另一条直线，交双曲线于、两点，点在第一象限，若点横坐标为1，求的面积； （2）若设点、的横坐标分别为、， ①猜想：四边形可能是矩形吗？若可能，请说明应满足的条件及理由； ②猜想：四边形可能是菱形、正方形吗？若可能，请直接写出应满足的条件；若不可能，请说明理由． 24. 小亮利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x的值为时，输出y的值为2；输入x的值为1时，输出y的值为2；输入x的值为3时，输出y的值为6． （1）直接写出的值； （2）小亮在平面直角坐标系中画出了关于的函数图象，如图（2）； ①当随的增大而增大时，求的取值范围； ②若关于的方程（为实数），在时无解，求的取值范围； ③若在函数图象上有点（与不重合）．的横坐标为，的横坐标为．小亮对之间（含两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$