2025年安徽省安庆市潜山县市北片学校中考数学二模试卷

2025年安徽省安庆市潜山县市北片学校中考数学二模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若是二次函数，则a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 2.二次函数的图象关于y轴对称，则m的值(    ) A. B. C. D. 或3 3.反比例函数上有、、三点，，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 不确定 4.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，以点O为位似中心，在第四象限内作与的位似比为1：3的位似图形，则点C坐标为(    ) A. B. C. D. 5.在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是(    ) A. B. C. D. 6.二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 3 … y … 1 3 4 3 … 下列关于该二次函数的说法，错误的是(    ) A. 当时， B. 当时，y随x的增大而增大 C. 当时，y有最大值4 D. 当时， 7.如图，在正方形网格中，的位置如图，其中点A、B、C分别在格点上，则的值是(    ) A. B. C. D. 8.如图，AD：：1，BD：：3，的值是(    ) A. B. C. D. 9.如图，在长方形ABCD中，，在DC上存在一点E，沿直线AE把折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若的面积为24，则CE的长度为(    ) A. B. C. 2 D. 3 10.抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示.下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于x的方程无实数根.其中正确结论的是(    ) A. ①③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①④ 二、填空题：本题共4小题，共25分。 11.二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小，则k的值应取______. 12.如图，已知点A是反比例函数在第四象限内图象上的点，轴，垂足为点B，若，则k的值为______. 13.如图，在纸板中，，，，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是          . 14.关于x的二次函数的图象经过点 ______若关于x的二次函数的图象在内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是______ 三、解答题：本题共9小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题8分 计算： 16.本小题8分 已知线段a、b、c满足，且求a、b、c的值. 17.本小题8分 在平面直角坐标系xOy中，抛物线，若，为抛物线上两个不同的点，设抛物线的对称轴为直线 当时，求a的值； 若对于，都有，求a的取值范围. 18.本小题8分 如图，CD是的高，，，，E是BC边上一点，且，连接AE，求 19.本小题10分 如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是射线BC上的一个动点点P不与点B重合，连接AP，DP，E是线段AP上的一点，且，连接 求证： 求证： 20.本小题10分 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， 画出关于y轴对称的图形 以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧画出将放大后的，并求出的面积． 21.本小题10分 如图，一次函数的图象和反比例函数的图象交于，两点. 求反比例函数和一次函数的表达式； 过点B作轴且，连接AC，求的面积. 22.本小题10分 2022年亚运会即将在杭州召开，某网络经销商购进了一批以亚运会为主题的文化衫进行销售，文化衫进价为40元/件．当售价为50元/件时，销售量为500件．在销售过程中发现：售价每上涨1元销售量就减少10件．设销售单价为x元/件，销售量为y件． 写出y与x的函数表达式不要求写出自变量的取值范围 当销售单价为多少元时，销售总利润为8000元？ 若每件文化衫的利润不超过，要想获得总利润最大，每件文化衫售价为多少元？并求出最大利润． 23.本小题13分 如图1，在中，，，与边AC、BC分别交于点D、E，连接BD，点F、G、H分别是DE、DB、AB的中点，分别连接FG、 观察、猜想 观察图1，猜想______，______ 探究、说理 把绕点C逆时针方向旋转到图2的位置，中的结论还成立吗？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由 拓展、思考 在所在的平面内，把绕点C自由旋转，当、时，直接写出线段GH的长度的取值范围______ 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：由题意得：， 解得：， 故选： 利用二次函数定义进行解答即可． 此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、b、c是常数，的函数，叫做二次函数． 2.【答案】B  【解析】解：函数图象关于y轴对称， 函数的解析式形式应该是型， ， 解得：或， 二次函数的二次系数不能为0， 故选： 由于函数图象关于y轴对称，则函数的解析式形式应该是型，由此求得问题的答案． 当a相同时，二次函数不同的表达形式，其图象形状相同，在平面直角坐标系中的位置不同，应结合图象，熟记各类表达形式的性质． 3.【答案】D  【解析】解：当和、，在同一象限时， ，， ； 不在同一象限时，在第三象限的点对应与第一象限的点不能直接比较， 与、，之间的大小关系不能确定． 故选： 根据反比例函数的增减性解答即可． 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，需注意应考虑两点在同一象限和不在同一象限时y的值的大小关系． 4.【答案】C  【解析】解：以点O为位似中心，位似比为1：3，，A点和C点在位似中心的异侧， 点坐标为， 故选： 根据关于原点位似的关系，将A点横纵坐标都乘以即可． 本题考查了位似变换，解题关键是掌握点在坐标系中位似变化的规律． 5.【答案】C  【解析】解：A、由函数的图象可知，，相矛盾，故本选项错误； B、由函数的图象可知，，相矛盾，故本选项错误； C、由函数的图象可知，，由函数的图象可知，故本选项正确； D、由函数的图象可知，，由函数的图象可知，相矛盾，故本选项错误； 故选： 先根据反比例函数的性质判断出m的符号，再根据一次函数的性质判断出m的符号，二者一致的即为正确答案． 本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，重点是注意系数m的符号． 6.【答案】C  【解析】解：抛物线经过，， 抛物线对称轴为直线， 抛物线经过， 抛物线经过，选项A正确． 时，，时，且， 时，y随x增大而增大，即抛物线开口向下， 时，y取最大值， 选项B正确，选项C错误， 抛物线开口向下，抛物线经过，， 时，， 选项D正确． 故选： 由抛物线的对称性及抛物线经过，，可得抛物线对称轴，再根据抛物线经过可得抛物线的开口方向，进而可判断各选项． 本题考查二次函数的性质，解题关键是根据表格得出二次函数的开口方向及对称轴． 7.【答案】B  【解析】解：如图所示：取格点D，连接CD， 设每个小正方形的边长为1，由勾股定理可得： ，，， ， 为，且， ， 故选： 取格点D，连接CD，设每个小正方形的边长为1，由勾股定理结合勾股定理逆定理可得为直角三角形，且，再由正切的定义计算即可得解． 本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、求角的正切值，熟练掌握以上知识点是关键． 8.【答案】C  【解析】解：如图，过点D作交BE于F， 由条件可知，， ∽， ， ，则， ， ，， ∽， ， ：：1， ， ， 则， ， 故选： 过点D作交BE于F，证明∽，由得到∽，则，则，由得到，则，然后计算的值． 本题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的性质：所得的对应线段成比例，熟练掌握相关知识是解题的关键． 9.【答案】B  【解析】解：在长方形ABCD中，， ，，， 的面积为24， ， ， ， 由折叠的性质可得，， ， 设，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：， ， 故选： 由矩形的性质可得，，，求出，再由勾股定理结合折叠的性质可得，，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理是解题的关键． 10.【答案】B  【解析】解：①抛物线图象开口向上， ， 由图象可知a，b同号，，， ，故①正确． ②， 由图象可得当时，，即， 由图象可得时，，即， ，即，故②正确． ③，， ， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ，故③错误． ④抛物线的顶点坐标为， ， ， 无实数根．故④正确， 综上所述，①②④正确， 故选： ①由图象开口方向，对称轴位置，与y轴交点位置判断a，b，c符号．②把分别代入函数解析式，结合图象可得的结果符号为负．③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点y值越大．④由抛物线顶点纵坐标为m可得，从而进行判断无实数根． 本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数中a，b，c与函数图象的关系． 11.【答案】10  【解析】解：依题意可知，抛物线对称轴为， 即， 解得； 故答案为 根据二次函数的增减性可知，对称轴，再根据对称轴公式求k的值． 本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象的增减性是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：设， 则，， ， ， ， ， 点A在上， ， 故答案为： 根据三角形的面积求出，代入反比例函数的解析式，即可求出 本题考查了用待定系数法求出反比例函数的解析式和反比例函数系数k的几何意义，能求出是解此题的关键． 13.【答案】  【解析】解：如图所示，过P作交BC于D或交AB于E，则∽或∽， 此时； 如图所示，过P作交AB于F，则∽， 此时； 如图所示，过P作交BC于G，则∽， 此时，∽， 当点G与点B重合时，，即， ，， 此时，； 综上所述，要有4种不同的剪法，使得过点P沿直线剪下一个与相似，则AP长的取值范围是 故答案为： 分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到AP的长的取值范围． 本题主要考查了相似三角形的判定，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 14.【答案】1 或  【解析】解：二次函数的图象经过点， ， 解得， 故答案为：1； ， ， 当时，抛物线与直线只有一个交点， 当时，， 当时，， 当时，抛物线与直线只有一个交点， 综上，当或时，抛物线与直线只有一个交点， 故答案为：或 利用待定系数法求解即可； 找到抛物线与直线只有一个交点时，m的取值范围即可． 本题考查了二次函数的图象和性质，注意分情况讨论． 15.【答案】解：原式   【解析】先根据负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数运算的法则进行计算即可． 本题考查了实数的运算，涉及到特殊角的三角函数值、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 16.【答案】解：线段a、b、c满足， 设，则，， ， ， 解得， ，，  【解析】本题考查了比例的性质，设，则，，，结合求出k的值即可得解，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 17.【答案】解：当时，即， 解得： 当时，都有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，   【解析】根据抛物线对称轴公式代入计算即可； 利用二次函数的性质，即可求得． 本题考查了二次函数的性质，掌握性质是解题的关键． 18.【答案】解：如图：作于F， 是的高， ， ，， ， ， ，， ， 为，且， ，， ， ，， ，， ，   【解析】作于F，解直角三角形得出，由勾股定理可得，，证明为直角三角形，且，结合题意可得，，再由勾股定理可得，解直角三角形得出，，从而可得，最后由余弦的定义计算即可得解． 本题考查了解直角三角形、勾股定理、勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 19.【答案】证明：，， ∽， ， 即 证明：四边形ABCD是正方形， ，， ， ∽， ，   【解析】证明∽，可得，即可解决问题； 证明∽，可得 本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是寻找相似三角形解决问题． 20.【答案】解：如图，作出点A、B、C关于y轴的对称点、、，顺次连接，则即为所求； 解：如图，作出点A、B、C的对应点、、，顺次连接，则即为所求；   【解析】先作出点A、B、C关于y轴的对称点、、，然后顺次连接即可； 先作出点A、B、C的对应点、、，然后顺次连接即可得出放大后的，利用割补法求出三角形面积即可． 本题主要考查了作轴对称图形和位似图形，求三角形的面积，解题的关键是作出三角形三个顶点的对应点． 21.【答案】解：的图象过， ， ， 的图象过， ， ， 图象过A，B两点， ， 解得， ； 过A作交于N， ，，且轴， ，， 在中，， ，   【解析】将点代入反比例函数求出解析式，代入B点坐标求出n，代入一次函数即可得到答案； 过A作交于N，求出A点坐标，即可得到AB，结合三角形面积公式求解即可得到答案； 本题考查反比例函数与一次函数结合问题，勾股定理，解题的关键是根据交点求出两个函数解析式． 22.【答案】解：设销售单价为x元/件，上涨了元，此时销售量下降了件， 则销售量， 故答案为： 由题意可得：， 化简得：， 解得， 答：当销售单价为60或80元时，销售总利润为8000元． 设总利润为W元，则由题意可得：， 解得：， ， ，开口向下，对称轴， 时，W随x的增大而增大， 又， 当时，W最大，为8640元． 答：售价为64元时，利润最大，最大利润为8640元．  【解析】根据题意，找到等量关系，求解即可． 根据总利润等于销售量乘以每件利润，求得每件利润和销售量，求解即可． 根据题意，求得销售单价的取值范围，设利润为W元，求得w与x的关系式，根据二次函数的性质求解即可． 本题考查了一元二次方程和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握一元二次方程的解法和二次函数的性质是解题的关键． 23.【答案】  90    【解析】解：在中，，， ， 与边AC、BC分别交于点D、E， ， 在中，， ， ， ， 点F、G、H分别是DE、DB、AB的中点， ，GH分别为，的中位线， ，，，， ，，， ， ， ， ， 故答案为：，90； 中的结论还成立；理由如下： 在中，， ， 在中，， ， 又， ， ∽， ， 是的中位线， 同理可得， ， 是的中位线， ， ， ， 由得：， 由∽得：， ； 线段GH的长度的取值范围为；理由如下： 由题意可知，， ，即， 绕点C旋转时，当D点落在AC边上时，AD最小值为6；当点D落在AC延长线上时，AD最大值为14， 是的中位线，， ， 故答案为： 由平行得，则，由平行得到，则，由三角形中位线定理得到，故，，，再根据平行导角即可； 由角正切得到，证明∽，则，由三角形中位线得到，，再根据平行和相似三角形的性质导角即可； 由题意可知，，则，由于GH是的中位线，则，继而可求GH取值范围． 本题属于相似形综合题，主要考查了旋转的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握知识点和基本图形是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$