精品解析：河南省商丘市2024-2025学年九年级下学期第一次质量检测数学试题

2024-2025学年九年级下学期第一次质量检测 数 学 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 若收入100元记作元，则支出60元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 的化简结果是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将一把等腰直角三角尺和一把直尺摆放在同一平面内，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图所示的“榫”和“卯”中，“卯”的左视图是 （ ） A. B. C. D. 5. 《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟．六粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合……”可知：6粟圭，10圭撮，10撮抄，10抄勺，10勺合，则8合为（ ） A. 粟 B. 粟 C. 粟 D. 粟 6. 若一元二次方程有两个实数根，则k的值不可能是 （ ） A. B. C. 2 D. 3 7. 如图，PA，PB是的切线，A、B为切点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 有三张不透明的卡片，正面分别绘制有如图所示的图案．已知这三张卡片反面完全相同，把这三张卡反面向上放置在桌面上，从中任意抽取两张，抽到的两张卡片上的图案均是中心对称图形的概率是 （ ） A. B. C. D. 9. 若一次函数的图象不经过第四象限，则二次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 小宁利用如图（1）所示的电路（电源电压不变，为定值电阻）进行了如下实验：在开关S闭合的情况下，改变电阻箱的阻值，读取电流表示数．根据实验数据，小宁绘制了如图（2）所示的电流表示数随变化的曲线． 信息框 1．欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比． 2．电流表的电阻忽略不计． 下列说法正确的是（ ） A. 电流随电阻的增大而增大 B. 电流与电阻成反比例函数关系 C. 电阻两端的电压随的增大而减小 D. 当电阻为时，电路中的电流最小 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若一个足球元，一个篮球元，则买5个足球和10个篮球共需要______元． 12. 不等式组的解集为______________ 13. 某学校餐厅有10元、12元、15元三种盒饭供学生选择．某天盒饭的销售情况如图所示，则当天学生购买盒饭费用的平均数是_________元． 14. 如图，点C 在 弧上，若，，， 则弧的长为___________． 15. 如图，在中，，，点 D为 的中点，点E为边上一动点，将沿 翻折，得到，再将 沿 翻折，得到．当 时 ，的长为_____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简： 17. 某医药公司为招聘一名科研人员，组织了一场面试，甲、乙两名应聘者的成绩如下表（单位：分）． 应聘者 服装得体 专业知识 创新能力 语言表达 甲 80 96 94 85 乙 95 88 88 92 （1）乙的四项得分的众数为 分，中位数为_ 分． （2）若将服装得体、专业知识、创新能力、语言表达四项得分按的比例确定应聘者的最终成绩，通过计算说明若只看最终成绩，则该公司会录取谁． （3）请你判断（2）中分配比例是否合理．若合理，请说明理由；若不合理，请给出一个你认为合理的比例，并给出理由． 18. 图是水池边的一块警示牌的侧面示意图，矩形铁架垂直固定在水平地面上，铁架上面是一个边缘为圆弧形的塑料面板． 已知，，优 弧所在圆的圆心的距离为， 小龙在水池对面的点E处用测角仪测得塑料面板点 F 处的仰角为 （注：此时视线与圆弧形塑料面板相切，且与矩形在同一平面内，点E，A，B 在同一水平线上）． （1）求优弧所在圆的半径． （2）求的长度（结果保留根号） ． 19. 操作与发现 如图，在中，，点D，E分别是上的点，且． （1）尺规作图：请根据下列要求完成作图，并标出相应的字母．（保留作图痕迹） ①作线段的垂直平分线交于点F； ②在边上取一点G，使得； ③连接． （2）观察与思考：线段间满足怎样的等量关系，请直接写出你发现的结论． 20. 某超市销售着一种牛奶草莓，为了推广这种草莓，该超市做出两种促销方案，两种方案下购买这种草莓的费用（元）与购买量（千克）之间的函数关系图象如图所示． （1）分别求出两种方案下与之间的函数关系式； （2）请直接写出图中线段的长，并说明它的实际意义； （3）如果顾客购买21千克这种草莓，选择哪种方案更省钱？结合图象说明理由． 21. 如图，反比例函数 的图象与经过原点的直线交于，B 两点． （1）填空： ， ，点B 的坐标为____ ． （2）直接写出不等式的解集． （3）以为边在上方作等边三角形，求点的坐标． 22. 某地消防中队在一座废弃高楼上开展消防技能比赛，在距离地面的点处和其正上方的点处各设置了一个火源，消防员站在水平地面上的点处拿着水枪向处喷水（水流出口与地面的距离忽略不计），水流路径为抛物线的一部分．据录像资料显示，水流路径的最高点到高楼的水平距离为，到水平地面的距离为．待处火熄灭后，消防员退到点处，调整水枪，使水流刚好落在点处．已知点到高楼的距离为，且两次灭火时水流路径的最高点到高楼的水平距离相等，建立如图所示的平面直角坐标系，其中水流的高度为，水流到高楼的水平距离为． （1）求消防员灭处火源时水流路径所在抛物线的表达式； （2）若消防员灭，两处的火源时水流路径所在抛物线的形状相同，求，两点之间的距离． 23. 下面是人教版八上的一道复习题： 如图（1），牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 王老师带领学生们研讨了此题，并就“解决实际应用中路线最短问题”进行了如下探究． 【阶段一】王老师进行了如下作图：如图（2），作点A关于对称点，作点B关于直线l的对称点，连接，分别交，直线L于点P，Q，连接，则最短路径为折线．请同学们研讨：王老师判定折线是最短路径运用的基本事实为① ，最短路径的长是线段② 的长． 【阶段二】王老师又提出问题：如图（3），P是内一点，在上分别找点A，B，使周长最小． 解决方法：分别作点P关于的对称点，连接，分别交于点A，交于点B，连接，则此时的周长最小，最小值为的长．若，，则周长的最小值为③ ． 【阶段三】如图（4），在一个机器人比赛项目上，机器人从的边上的一点D出发，沿直线匀速到达上，然后到上，最后回到点D（机器人的速度为）．请你完成以下任务． （1）【阶段一】中的①处应填 ，②处应填 ． （2）在图（3）上按【阶段二】的“解决方法”画出；③处应填 ． （3）若，请计算出机器人完成比赛所用的最短时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级下学期第一次质量检测 数 学 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若收入100元记作元，则支出60元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正数、负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：由于正数、负数表示一对具有相反意义的量， 如果收入100元，记作元，那么支出60元，记作元． 故选：D． 2. 的化简结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式计算解题即可． 【详解】解：， 故选：B． 3. 如图，将一把等腰直角三角尺和一把直尺摆放在同一平面内，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，先根据对顶角相等和两直线平行，同位角相等得到，然后利用三角形的外角性质解题即可． 【详解】解：如图，， 由直尺的对边互相平行，可得 ， ， 故选：D． 4. 榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图所示的“榫”和“卯”中，“卯”的左视图是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．根据左视图是从左面观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由题意得“卯”的左视图是 故选：B． 5. 《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟．六粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合……”可知：6粟圭，10圭撮，10撮抄，10抄勺，10勺合，则8合为（ ） A. 粟 B. 粟 C. 粟 D. 粟 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：由题意可得：8合为． 故选B． 6. 若一元二次方程有两个实数根，则k的值不可能是 （ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由题意可得，求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：， ∴k的值不可能是， 故选：D． 7. 如图，PA，PB是的切线，A、B为切点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据切线的性质以及四边形的内角和即可求解． 【详解】解：∵PA，PB是的切线， ∴， ， ， 则， 故选B． 【点睛】本题考查了切线的性质以及四边形的内角和，掌握切线的性质是解题的关键． 8. 有三张不透明的卡片，正面分别绘制有如图所示的图案．已知这三张卡片反面完全相同，把这三张卡反面向上放置在桌面上，从中任意抽取两张，抽到的两张卡片上的图案均是中心对称图形的概率是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列表或树状图求概率，根据树状图可以得到所有等可能结果，然后找出符合条件的结果数，再根据概率公式计算解题． 【详解】解：将这三张卡片分别记为，，，其中卡片，上的图案是中心对称图形.根据题意，画树状图如图： 由树状图可知，共有种等可能的情况，其中抽到的两张卡片上的图案均是中心对称图形的情况有种，故所求概率为， 故选：D． 9. 若一次函数的图象不经过第四象限，则二次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数图象的性质，掌握一次函数、二次函数图象与解析式系数的关系是解题的关键． 由一次函数图象不经过第四象限可知，然后根据二次函数的对称轴、开口方向以及一定经过原点即可解答． 【详解】解：∵若一次函数的图象不经过第四象限， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴在y轴左侧， 由可得，抛物线开口向上且过原点， ∴抛物线的图象只能是C． 故选C． 10. 小宁利用如图（1）所示的电路（电源电压不变，为定值电阻）进行了如下实验：在开关S闭合的情况下，改变电阻箱的阻值，读取电流表示数．根据实验数据，小宁绘制了如图（2）所示的电流表示数随变化的曲线． 信息框 1．欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比． 2．电流表的电阻忽略不计． 下列说法正确的是（ ） A. 电流随电阻的增大而增大 B. 电流与电阻成反比例函数关系 C. 电阻两端的电压随的增大而减小 D. 当电阻为时，电路中的电流最小 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，根据图象和已知条件利用反比例函数的关系解答即可． 【详解】解：A. 电流随电阻的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意； B. 电流与总电阻成反比例函数关系，故该选项不正确，不符合题意； C. 电阻两端的电压随的增大而减小，故该选项正确，符合题意； D. 当电阻为时，电路中的电流最大，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若一个足球元，一个篮球元，则买5个足球和10个篮球共需要______元． 【答案】## 【解析】 【分析】根据总费用等于足球的费用加上篮球的费用，列出代数式即可． 【详解】解：一个足球元，一个篮球元，则：买5个足球需要元，买10个篮球需要元， ∴买5个足球和10个篮球共需要：元； 故答案为：． 【点睛】本题考查列代数式解决实际问题．根据题意，正确的列出代数式，是解题的关键． 12. 不等式组的解集为______________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 13. 某学校餐厅有10元、12元、15元三种盒饭供学生选择．某天盒饭的销售情况如图所示，则当天学生购买盒饭费用的平均数是_________元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数平均数，根据加权平均数的计算公式作答即可． 【详解】解：， 平均数是元， 故答案为：． 14. 如图，点C 在 弧上，若，，， 则弧的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，弧长公式，设点为弧所在圆的圆心，连接，，根据圆周角定理得到，过点作于点，连接，求出圆O的半径，根据弧长公式计算解题． 【详解】解：如图，设点为弧所在圆的圆心，连接，，则， ， 过点作于点，连接， ∵ ， ， ， ， 故弧的长为． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，点 D为 的中点，点E为边上一动点，将沿 翻折，得到，再将 沿 翻折，得到．当 时 ，的长为_____________． 【答案】1或 【解析】 【分析】分两种情况：在上方时，设，交于点F，根据折叠前后对应角相等，及平行线的性质，得出，推出，再证，用三角函数解，根据列方程，即可求解；当在下方时，设，交于点G，作于点H，依次求出和，再证，用三角函数解即可求解． 【详解】解：分两种情况： 当在上方且时，设，交于点F，如图， 由折叠知，， ， ， ， ，， ， 在中，，， 又， ， 解得：； 当在下方且时，设交于点G，作于点H，如图， 由折叠知，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在中，， 综上可知，的长为1或， 故答案为：1或． 【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等，注意分情况讨论是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算及实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）依次计算立方根、零次幂、负整数指数幂，再计算加减即可； （2）先通分计算括号里的，再计算除法即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 某医药公司为招聘一名科研人员，组织了一场面试，甲、乙两名应聘者的成绩如下表（单位：分）． 应聘者 服装得体 专业知识 创新能力 语言表达 甲 80 96 94 85 乙 95 88 88 92 （1）乙的四项得分的众数为 分，中位数为_ 分． （2）若将服装得体、专业知识、创新能力、语言表达四项得分按的比例确定应聘者的最终成绩，通过计算说明若只看最终成绩，则该公司会录取谁． （3）请你判断（2）中分配比例是否合理．若合理，请说明理由；若不合理，请给出一个你认为合理的比例，并给出理由． 【答案】（1）， （2）会录取乙 （3）不合理，合理的比例，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了计算加权平均数，众数，中位数，解题的关键是掌握加权平均数的计算方法． （1）根据众数，中位数的定义求解即可； （2）根据“服装得体、专业知识、创新能力、语言表达四项得分按的比例确定两人的最终成绩”，计算出两人的成绩，再进行比较即可； （3）根据题意进行分析，科研助理更加注重专业知识、创新能力，服装得体、语言表达占比应减小． 【小问1详解】 解：乙的四项得分中出现两次，次数最多，故众数为； 从小到大排列为88，88，92，95，居于中间的两个数为88，92，则中位数为； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：甲的得分为分， 乙的得分为分， ∴只看最终成绩，会录取乙； 【小问3详解】 解：不合理，合理的比例； 理由：该公司录取的是科研人员，应更看重应聘者的专业知识和创新能力，故这两项的占比应该增大． 18. 图是水池边的一块警示牌的侧面示意图，矩形铁架垂直固定在水平地面上，铁架上面是一个边缘为圆弧形的塑料面板． 已知，，优 弧所在圆的圆心的距离为， 小龙在水池对面的点E处用测角仪测得塑料面板点 F 处的仰角为 （注：此时视线与圆弧形塑料面板相切，且与矩形在同一平面内，点E，A，B 在同一水平线上）． （1）求优弧所在圆的半径． （2）求的长度（结果保留根号） ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设优弧所在圆的圆心为O，过点O作的垂线，分别交，于点G，H，连接，由垂径定理可知，，再由勾股定理解即可； （2）连接，延长，交于点K，由切线的定义得，由含30度角的直角三角形的性质求出，用三角函数解求出，根据即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，设优弧所在圆的圆心为O， 过点O作的垂线，分别交，于点G，H，连接， 则，， ， 由垂径定理可知，平分， ， 在中，由勾股定理得：， 优弧所在圆的半径为． 【小问2详解】 解：如图，连接，延长，交于点K， 是的切线， ， ，， ， ， ， 在 中，， ， ． 【点睛】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，解直角三角形，切线的性质，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是根据题干描述抽象出数学模型，通过作辅助线解决问题． 19. 操作与发现 如图，在中，，点D，E分别是上的点，且． （1）尺规作图：请根据下列要求完成作图，并标出相应的字母．（保留作图痕迹） ①作线段的垂直平分线交于点F； ②在边上取一点G，使得； ③连接． （2）观察与思考：线段间满足怎样的等量关系，请直接写出你发现的结论． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）按要求完成作图即可； （2）分别连接AF、BF，易得四边形EFBG是平行四边形，则可得BF=EG，由线段垂直平分线的性质定理得AF=BF=EG，则在由勾股定理即可得三线段的关系． 【小问1详解】 如图所示，即为所求作的图形． ①分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，连接MN，交DE于F，线段的垂直平分线MN即为所作，如图所示． ②以B为圆心，EF长为半径画弧，交BC于点G，则BG=EF． ③连接EG． 小问2详解】 ． 分别连接AF、BF，如图所示， ∵DE∥BC，BG=EF， ∴四边形EFBG是平行四边形， ∴BF=EG， ∵MN是线段AB的垂直平分线， ∴AF=BF， ∴AF=EG． ∵DE∥BC，∠C=90°， ∴∠AEF=90°， 在中，由勾股定理得： ， 即． 【点睛】本题考查了尺规作图：作线段的垂直平分线，作线段等于已知线段，平行四边形的判定与性质，线段垂直平分线的性质定理，勾股定理等知识，连接AF、BF并运用线段垂直平分线性质定理及判定平行四边形是关键． 20. 某超市销售着一种牛奶草莓，为了推广这种草莓，该超市做出两种促销方案，两种方案下购买这种草莓的费用（元）与购买量（千克）之间的函数关系图象如图所示． （1）分别求出两种方案下与之间的函数关系式； （2）请直接写出图中线段的长，并说明它的实际意义； （3）如果顾客购买21千克这种草莓，选择哪种方案更省钱？结合图象说明理由． 【答案】（1）方案一的函数关系式为：；方案二的函数关系式为：当,和当, （2），当购买千克的草莓时，方案一需要元钱，方案二需要元钱． （3）方案二，理由见详解． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，明确定题意，读懂图象，利用一次函数的性质来求解．方案二是分段函数． （1）分别找出方案一和方案二经过的点，用待定系数求解； （2）根据图象来求解； （3）将代入解析式计算求解，结合图象来进行说明． 【小问1详解】 解：根据题意可知，方案一经过和的一条直线， 设方案一直线为， 则， ， 方案一函数关系式为：． 方案二经过和为一条直线，过点后向上的直线经过， 当时，设方案二的直线为， 则， ， 方案二函数关系式为：， 当时,直线的解析式为， 则， 解得， 过点后向上的直线的解析式为． 即方案二的函数关系式为：当,和当, 【小问2详解】 解：由图象可知： ． 当购买千克的草莓时，方案一需要元钱，方案二需要元钱． 【小问3详解】 解：如果顾客购买21千克这种草莓，方案二更省钱些． 理由： 方案一需要的钱是（元）， 方案二需要钱是（元）， 所以方案二更省钱． 由图象可知，过交点后的方案二的图象比方案一图象低，所以方案二比方案一更省钱些． 21. 如图，反比例函数 的图象与经过原点的直线交于，B 两点． （1）填空： ， ，点B 坐标为____ ． （2）直接写出不等式的解集． （3）以为边在上方作等边三角形，求点的坐标． 【答案】（1），， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将代入反比例函数解析式即可得出，再根据一次函数经过原点即可得出，最后根据反比例函数与正比例函数的性质即可得出的坐标； （2）根据函数图象即可得解； （3）连接，作轴于，轴于，则，证明，得出，求出，，即可得解． 【小问1详解】 解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∵直线经过原点， ∴， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：由图象可得：不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：如图，连接，作轴于，轴于， ， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴点的坐标为． 22. 某地消防中队在一座废弃高楼上开展消防技能比赛，在距离地面的点处和其正上方的点处各设置了一个火源，消防员站在水平地面上的点处拿着水枪向处喷水（水流出口与地面的距离忽略不计），水流路径为抛物线的一部分．据录像资料显示，水流路径的最高点到高楼的水平距离为，到水平地面的距离为．待处火熄灭后，消防员退到点处，调整水枪，使水流刚好落在点处．已知点到高楼的距离为，且两次灭火时水流路径的最高点到高楼的水平距离相等，建立如图所示的平面直角坐标系，其中水流的高度为，水流到高楼的水平距离为． （1）求消防员灭处的火源时水流路径所在抛物线的表达式； （2）若消防员灭，两处的火源时水流路径所在抛物线的形状相同，求，两点之间的距离． 【答案】（1）所在抛物线的表达式为； （2）． 【解析】 【分析】（）根据题意，设顶点式，利用待定系数法将代入即可得到答案； （）根据题意，设第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为，把代入即可求解； 本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数表达式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【小问1详解】 由题意可知消防员灭处的火源时水流路径所在抛物线的最高点的坐标为， 则设水流路径所在抛物线的表达式为， 将代入，得， 解得， ∴， 故消防员灭处的火源时水流路径所在抛物线的表达式为； 【小问2详解】 ∵ 消防员灭，两处的火源时水流路径所在抛物线的形状相同，且两次灭火时水流路径的最高点到高楼的水平距离相等， ∴可设灭处的火源时，水流路径所在抛物线的表达式为， ∵ 抛物线过点， ∴，解得， 故灭处火源时，水流路径所在抛物线的表达式为， 令，则， ∴， ∴． 23. 下面是人教版八上的一道复习题： 如图（1），牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 王老师带领学生们研讨了此题，并就“解决实际应用中的路线最短问题”进行了如下探究． 【阶段一】王老师进行了如下作图：如图（2），作点A关于的对称点，作点B关于直线l的对称点，连接，分别交，直线L于点P，Q，连接，则最短路径为折线．请同学们研讨：王老师判定折线是最短路径运用的基本事实为① ，最短路径的长是线段② 的长． 【阶段二】王老师又提出问题：如图（3），P是内一点，在上分别找点A，B，使的周长最小． 解决方法：分别作点P关于的对称点，连接，分别交于点A，交于点B，连接，则此时的周长最小，最小值为的长．若，，则周长的最小值为③ ． 【阶段三】如图（4），在一个机器人比赛项目上，机器人从的边上的一点D出发，沿直线匀速到达上，然后到上，最后回到点D（机器人的速度为）．请你完成以下任务． （1）【阶段一】中的①处应填 ，②处应填 ． （2）在图（3）上按【阶段二】的“解决方法”画出；③处应填 ． （3）若，请计算出机器人完成比赛所用的最短时间． 【答案】（1）两点之间，线段最短； （2）图见详解， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查两点之间线段最短 ，轴对称的性质，解直角三角形； （1）根据两点之间，线段最短来解答即可； （2）根据题意画出，连接，根据轴对称的性质，可得，求得．过点O作于点 Q，得到，即可求出； （3）分别作点D关于的对称点，连接，分别交于点E，交于点F，则的长为的周长，得到的周长为，求出当的值最小时， 的周长最小，而当时， 的值最小，再计算出结果即可． 【小问1详解】 解：王老师判定折线是最短路径运用的基本事实为：两点之间，线段最短； 最短路径的长是线段的长； 故答案为：两点之间，线段最短；； 【小问2详解】 解：根据题意画出，如下图： 连接，如下图： 根据轴对称的性质，可得，． 又∵， ∴， ∴． 过点O作于点 Q， 则， ∴， 故周长的最小值为． 【小问3详解】 解：分别作点D关于对称点，连接，分别交于点E，交于点F，则的长为的周长． 如下图： ∵，， ∴， ∴， 此时的周长最小值为， ∴当的值最小时， 的周长最小． 而当时， 的值最小， 如下图， 则 ， ∴周长的最小值为， ∴机器人完成比赛的最短时间为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$